《钉子板上的多边形》说课稿 横板桥镇中心小学 廖为火
一、说教学内容：
苏教版（新版）五年级上册第8单元108-109探索规律“钉子板上的多边形”
二、说教学目标：
1、使学生探索并发现钉子板上围城的多边形的面积，与围城的多边形边上的钉子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。
2、使学生经历探索钉子板上围城的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程，体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。
3、使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。
三、说教学重点难点：
探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系
综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系
四、说教学过程：
一、问题引入，揭示课题
1.设疑激趣。
PPT出示点子板上围成的多边形，提出问题：不准分割你能迅速计算出下列方格图中每个多边形的面积吗（说明：这里的每个格子面积1cm²的正方形）？
在学生学习了常见多边形面积计算后，咋一看以为用常规方法能解答以上问题，但仔细一看题目要求，这些图形的面积计算就比较困难，这样就激发起学生强烈的求知欲。此时教师提出：用数格点的方法可以解决。此时学生脑里想的是：格点是什么？怎么数？与图形面积有什么关系？带着这一系列疑问，我出示第二组图形（图1-图3）
2.引入课题。
谈话：钉子板上多边形的面积与哪里的钉子数有关，有怎样的关系呢？我们这节课就来研究这个问题，看看到底有怎样的关系。
二、分层探索，发现规律
（一）引导尝试，初步感知。
1.引导学生观察 图1-图3，。
引导：请大家观察PPT上面的多边形，按上面要求数一数，在教材第108页的表格里填一填。
（1） 数一数或算一算每个多边形的面积各是多少平方厘米；
（2） 数一数每个多边形上的钉子各有多少枚；
（3） 想一想多边形的面积和边上的钉子数有怎样的关系。
2.学生交流，完成第108页的表格。
3.观察数据，比较发现。
引导：你能看出这些多边形的面积和边上钉子数的关系吗？同桌先说一说。
交流：你发现这里的多边形面积和边上的钉子数有什么关系？（板书：多边形的面积=多边形上的钉子数÷2）
说明：为了更简洁、方便地表示出这个规律，我们可以用字母来表示。如果用n表示多边形上的钉子数，用S表示多边形的面积，那上面发现的这个规律可以怎样表示？
教师确认、说明字母表示的关系式，PPT出示：
S=n÷2 4.观察比较，反思质疑。
（二）继续研究，拓展认识。
1.提出问题，引发思考。 PPT出示图4-图6：
引导：如果多边形内部都有2枚钉子，多边形面积与它边上的钉子数又有什么关系呢？现在请大家自己在方格纸中画图，数一数、比一比，看看有没有规律。
2.小组合作，探究规律。
引导：现在请你们四人小组合作，按照下面的办法研究多边形的面积。
出示活动要求：
（1） 每人在方格纸中画一个内部有2枚钉子的多边形，数出边上的钉子数，算出它的面积；
（2） 每人把获得的数据在小组内交流，并记录在课本第109页的表格里；
（3） 观察表格中的数据，小组讨论交流：你有什么发现？
学生操作、填表、比较、思考，教师巡视。
3.交流引导，发现规律。
PPT 出示图4-图6及表格，指名学生交流结果，在表格里呈现。
引导：我们刚才已经知道，这里的面积不等于n÷2，但和n÷2 有点什么关系吗？同桌互相讨论，看看有什么发现。
提问：通过数据比较，你有什么发现？
小结：通过这里的多边形的比较，可以发现，当多边形内部钉子数a=2时，面积S=n÷2+1。（板书：a=2 S=n÷2+1）
追问：检查你画的内部有2个钉子的多边形，面积符合这个规律吗？如果不符合，把你的例子在全班交流。
指出：现在没有学生提出反例，所以的都符合这里的规律。从大家的图形和数据可以发现，当多边形内部有2个钉子时，也就是a=2时，S=n÷2+1。
（三）引导猜想，概括规律。
1.引发学生猜想。
提问：上面发现图形内部钉子数a=1时，S=n÷2；a=2时，S=n÷2+1。你能联系这里的规律，猜一猜，如果多边形内部有3枚钉子，它的面积与边上钉子数又有怎样的关系呢？先想一想，再告诉大家你的猜想。
交流：你猜想的规律是怎样的？（板书：a=3 S=n÷2+2 ？）怎样想的？
2.画图举例，验证猜想。
让学生在点子图上画出图形，验证上面的猜想。
交流：你画出的是怎样的图形，验证的结果有什么结论？（指名学生呈现图形验证结论）
PPT出示图7-图9，引导学生完成表格。
确认：当多边形内钉子数是3时，面积S就等于n÷2+2 。
追问：现在我们又有什么发现？
3.拓展延伸，揭示规律。
引导学生观察关系式：a=1 S=n÷2
a=2 S=n÷2+1
a=3 S=n÷2+2
引导：你觉得如果a=4，会有什么规律？a=5呢？
那你能任选一个a等于几，画一画、算一算来验证吗？自己画图验证。指名学生交流，呈现不同例子的图形用数据验证，并板书关系式。
提问：你现在能发现钉子板上多边形面积的规律了吗？
指出：如果用a表示多边形内部的钉子数，n表示多边形边上的钉子数，那么，多边形的面积S就等于边上的钉子数n除以2，再加上内部的钉子数a，然后减1。（板书：S=n÷2+a-1）
验证：请大家用这个规律解决本课开始的问题。PPT返回到本课
5 最早的三个多边形图，用上面的公式迅速计算，体验成功的快乐。
(四).适当介绍，拓展视野。PPT
说明：我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理（一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：S=a+b÷2-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，s表示多边形的面积）。有兴趣的同学，可以在网络上或书籍里了解皮克定理。如果有进一步认识的要求，那记住这本书：闵酮鹤的著作《格点和面积》，以后有兴趣、有条件了，可以去阅读。
