2018年 九年级数学中考复习圆 证明题 专项复习卷
1、如图，点A，B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．求证：AC=CD．
2、如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接AO并延长交BC于点M，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD． (1)判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=9，BC=6．求PC的长．
3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB上一点，以BD为直径的⊙O和AB相切于点P． （1）求证：BP平分∠ABC；
（2）若PC=1，AP=3，求BC的长．
4、已知：如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C． （1）求证：PB是⊙O的切线．
（2）若OP∥BC，且OP=8，∠C=60°，求⊙O的半径．
5、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N． 求证：MN是⊙O的切线．
6、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，CE⊥AD，交AD的延长线于点E． （1）求证：∠BDC=∠A；
（2）若CE=4，DE=2，求⊙O的直径．
7、已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DC=BD （2）求证：DE为⊙O的切线．
8、如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的直线与AB的延长线交于点D，连接AC，BC，∠BCD=∠CAB．E是⊙O上一点，弧CB=弧CE，连接AE并延长与DC的延长线交于点F． （1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，sinD=，求线段AF的长．
9、如图，已知MN是⊙O的直径，直线PQ与⊙O相切于P点，NP平分∠MNQ． （1）求证：NQ⊥PQ； （2）若⊙O的半径R=2，NP=
，求NQ的长．
10、已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB=AC；连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
(1)求证：DC=BD (2)求证：DE为⊙O的切线
参考答案
1、∵直线AC与⊙O相切，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，即∠OAB+∠CAB=90°， ∵OC⊥OB，∴∠BOC=90°，∴∠B+∠ODB=90°， 而∠ODB=∠ADC，∴∠ADC+∠B=90°，∴OA=OB， ∴∠OAB=∠B，∴∠ADC=∠CAB，∴AC=CD．
2、（1）解：PC与圆O相切，理由为：
过C点作直径CE，连接EB，如图，
∵CE为直径，∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，∵AB∥DC，∴∠ACD=∠BAC， ∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．∴∠E=∠BCP，
∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，∴CE⊥PC，∴PC与圆O相切； （2）解：∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD， ∵BC∥AD，∴AM⊥BC，∴BM=CM=
BC=3，∴AC=AB=9，
在Rt△AMC中，AM= =6， ﹣r， 设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM﹣r=6在Rt△OCM中，OM+CM=OC， 即3+（6222
2﹣r）=r， 解得r=
22
，
∴CE=2r= ，OM=6 ﹣ = ，∴BE=2OM= ，
∵∠E=∠MCP，∴Rt△PCM∽Rt△CEB，∴ = ，即 = ，∴PC=
3、（1）证明：连接OP，
∵AC是⊙O的切线，∴OP⊥AC，BC⊥AC，∴OP∥BC，∴∠OPB=∠PBC， ∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∴∠PBC=∠OBP，∴BP平分∠ABC
（2）作PH⊥AB于H．∵PB平分∠ABC，PC⊥BC，PH⊥AB，∴PC=PH=1， 在Rt△APH中，AH= ∴ = ，∴ =
=2
，∵∠A=∠A，∠AHP=∠C=90°，∴△APH∽△ABC，
，∴BH=AB﹣AH=
，
．
，∴AB=3 在Rt△PBC和Rt△PBH中，，∴Rt△PBC≌Rt△PBH，∴BC=BH=
4、（1）证明：连接OB，∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°，
∵OC=OB，∴∠OBC=∠C，∵∠PBA=∠C，∴∠PBA=∠OBC，即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°， ∴OB⊥PB，∵OB为半径，∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵OC=OB，∠C=60°，∴△OBC为等边三角形，∴BC=OB， ∵OP∥BC，∴∠CBO=∠POB，∴∠C=∠POB， 在△ABC和△PBO中∵
，∴△ABC≌△PBO（ASA），∴AC=OP=8，即⊙O的半径为4．
5、证明：连接OM，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OM，∴∠B=∠OMB，∴∠OMB=∠C，∴OM∥AC， ∵MN⊥AC，∴OM⊥MN．∵点M在⊙O上，∴MN是⊙O的切线．
6、（1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O切线，∴∠ODC=90°，即∠ODB+∠BDC=90°，
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ODB+∠ADO=90°，∴∠BDC=∠ADO， ∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDC=∠A； （2）∵CE⊥AE，∴∠E=∠ADB=90°，
∴DB∥EC，∴∠DCE=∠BDC，∴∠DCE=∠A，∵CE=4，DE=2 ∴在Rt△ACE中，可得AE=8∴AD=6 在在Rt△ADB中
可得BD=3∴根据勾股定理可得
7、证明：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵AB=AC，∴DC=BD； （2）连接半径OD，∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠CED，
又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．
8、（1）证明：连接OC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．
∵OA=OC，∴∠1=∠2．∵∠DCB=∠BAC=∠1．∴∠DCB+∠3=90°．∴OC⊥DF．∴DF是⊙O的切线； （2）解：在Rt△OCD中，OC=3，sinD=．∴OD=5，AD=8． ∵=，∴∠2=∠4．∴∠1=∠4．∴OC∥AF．∴△DOC∽△DAF．∴
．∴AF=
．
9、（1）证明：连结OP，如图，∴直线PQ与⊙O相切，∴OP⊥PQ，
∵OP=ON，∴∠ONP=∠OPN，∵NP平分∠MNQ，∴∠ONP=∠QNP，∴∠OPN=∠QNP，∴OP∥NQ，∴NQ⊥PQ； （2）解：连结PM，如图，∵MN是⊙O的直径，∴∠MPN=90°， ∵NQ⊥PQ，∴∠PQN=90°，而∠MNP=∠QNP，∴Rt△NMP∽Rt△NPQ， ∴=，即=，∴NQ=3．
10、（1）证明：（1）连接AD；∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°． 又∵AB=AC∴DC=BD （2）连接半径OD；∵OA=OB，CD=BD，∴OD∥AC．∴∠0DE=∠CED．
又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°．∴∠ODE=90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．
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