1．如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形，则当正方形A•′OB′C′绕正方形
ABCD的中心O顺时针旋转的过程中．
（1）四边形OECF的面积如何变化．
（2）若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积．
解：在梯形ABCD中由题设易得到：
△ABD是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°．
过点D作DE⊥BC，则DE=1BE=6．
2过点A作AF⊥BD于F，则AB=AD=4．
故S梯形ABCD
2．如图，ABCD中，O是对角线AC的中点，EF⊥AC交CD于E，交AB于F，问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．
解：四边形AFCE是菱形．
∵四边形ABCD是平行四边形．
∴OA=OC，CE∥AF．
∴∠ECO=∠FAO，∠AFO=∠CEO．
∴△EOC≌△FOA，∴CE=AF．
而CE∥AF，∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵EF是垂直平分线，∴AE=CE．
∴四边形AFCE是菱形．
3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，•垂足分别为E、F．求证：（1）△BDE≌CDF．（2）△ABC是直角三角形时，四边形AEDF是正方形．
19．证明：（1）DEAB,DFACBEDCFD90
BC
△BDE≌△CDF．
（2）由∠A=90°，DE⊥AB，DF⊥AC知：
D是BC的中点BDCD
四边形AEDF是矩形
矩形AEDF是正方形．
BEDCFEDEDF
4．如图，ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且AE=CF，问：四边形EBFD是平行四边形吗？为什么？
解：四边形EBFD是平行四边形．在
ABCD中，连结BD交AC于点O，
则OB=OD，OA=OC．又∵AE=CF，∴OE=OF．
∴四边形EBFD是平行四边形．
5．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3 cm，BC＝4 cm．现将A，C重合，使纸片
折叠压平，设折痕为EF，试求AF的长和重叠部分△AEF的面积．
【提示】把AF取作△AEF的底，AF边上的高等于AB＝3．
由折叠过程知，EF经过矩形的对称中心，FD＝BE，AE＝CE＝AF．由此可以在 △ABE中使用勾股定理求AE，即求得AF的长．
【答案】如图，连结AC，交EF于点O，
由折叠过程可知，OA＝OC，
∴O点为矩形的对称中心．E、F关于O点对称，B、D也关于O点对称． ∴BE＝FD，EC＝AF，
由EC折叠后与EA重合， ∴EC＝EA．
设AF＝x，则BE＝FD＝AD－AF＝4－x，AE＝AF＝x． 在Rt△ABE中，由勾股定理，得
AB2＋BE2＝AE2，即32＋(4－x) 2＝x2．
25． 81257
52∴S△AEF＝×3×＝（cm）
281625752
故AF的长为cm，△AEF的面积为cm．
816
解得x＝
6．如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．
【提示】延长GP交BC于H，只要证PH＝PF即可，所以只要证∠PBF＝∠PBH． 【答案】∵BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB．
∵在矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DBC＝∠ADB， ∴∠EBD＝∠CBD． 延长GP交BC于H点． ∵PG⊥AD， ∴PH⊥BC．
∵PF⊥BE，P是∠EBC的平分线上．
∴PF＝PH．
∵四边形ABHG中，
∠A＝∠ABH＝∠BHG＝∠HGA＝90°． ∴四边形ABHG为矩形， ∴AB＝GH＝GP＋PH＝GP＋PF 故PF＋PG＝AB．
7．已知：如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，B在FE的延长线上．
求证：AE、AF把∠BAC三等分．
【提示】证出∠CAE＝30°即可．
【答案】连结BD，交AC于点O，作EG⊥AC，垂足为G点．
∵四边形AEFC为菱形， ∴EF∥AC． ∴GE＝OB．
∵四边形ABCD为正方形， ∴OB⊥AC，
∴OB
GE，
∵AE＝AC，OB＝
1
1BD＝AC， 2
2∴EG＝AE，
∴∠EAG＝30°． ∴∠BAE＝15°．
在菱形AEFC中，AF平分∠EAC， ∴∠EAF＝∠FAC＝
∠EAC＝15° 2
∴∠EAB＝∠FAE＝∠FAC． 即AE、AF将∠BAC三等分．
8．如图，已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，∠MCN为定角，
连结AM、AN，并延长分别交BC、CD于E、F两点，则∠CME与∠CNF在M、N两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论．
【提示】BD为正方形ABCD的对称轴，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
用∠1和∠2表示∠MCN以及∠EMC＋∠FNC． 【答案】∵BD为正方形ABCD的对称轴，
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∴∠EMC＝180°－∠1－∠3＝180°－2∠1． 同理∠FNC＝180°－2∠2．
∴∠EMC＋∠FNC＝360°－2（∠1＋∠2）． ∵∠MCN＝180°－（∠1＋∠2）， ∴∠EMC＋∠FNC总与2∠MCN相等．
因此∠EMC＋∠FNC始终为定角，这定角为∠MCN的2倍．
9．如图（1），AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC、S△DAC和S△DBC分别
表示△DMC、△DAC、△DBC的面积．当AB∥CD时，有
S△DMC＝
SDACSDBC
①
（1）如图（2），若图（1）中AB
时，①式是否成立？请说明理由．
（2）如图（3），若图（1）中AB与CD相交于点O时，S△DMC与S△DAC和S△DBC有何种相等关系？证明你的结论．
图（1）图（2）图（3）
【提示】△DAC，△DMC 和△DBC 同底CD，通过它们在CD 边上的高的关系，来确定它们面积的关系． 【答案】（1）当AB时，①式仍成立．
分别过A、M、B作CD的垂线，AE、MN、BF的垂足分别为E、N、F． ∵M为AB的中点，
（AE＋BF）．
211
1∴S△DAC＋S△DBC＝DC·AE＋DC·BF＝DC·（AE＋BF）＝2 S△DMC．
222SSDAC
∴S△DMC＝DBC
∴MN＝
（2）对于图（3）有S△DMC＝
SDBCSDAC
．
证法一：∵M是AB的中点，S△ADM＝S△BDM，S△ACM＝S△BCM，
S△DBC＝S△BDM＋S△BCM＋S△DMC，① S△DAC＝S△ADM＋S△ACM－S△DMC②
①－②得：S△DBC－S△DAC＝2 S△DMC
∴S△DMC＝
SDBCSDAC
．
证法二：如右图，过A作CD的平行线l，MN⊥l，垂足为N，BE⊥l，垂足为E．设A、M、B到CD的距离分别h
1、h0、h2．则MN＝h1＋h0，BE＝h2＋h1．
∵AM＝BM， ∴BE＝2 MN．
∴h2＋h1＝2（h1＋h0），
h2h
1． 2SSDAC
∴S△DMC＝DBC．
∴h0＝
10．已知：如图，△ABC中，点O是AC上边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，
MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证EO＝FO．
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．
【提示】（1）证明OE＝OC＝OF；
（2）O点的位置首先满足四边形AECF是平行四边形，然后证明它此时也是矩形． 【答案】（1）∵CE平分∠BCA，
∴∠BCE＝∠ECO． 又MN∥BC，
∴∠BCE＝∠CEO． ∴∠ECO＝∠CEO． ∴OE＝OC． 同理OC＝OF． ∴OE＝OF．
（2）当点O运动到AC边的中点时，四边形AECF是矩形，证明如下： ∵OE＝OF，又O是AC的中点， 即OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD，且∠BCA＋∠ACD＝180°，
∴∠ECF＝∠ECO＋∠OCF＝∴□AECF是矩形．
（∠BCA＋∠ACD）＝90°． 2
