“函数的概念”教学设计 济南信息工程学校 李雪梅
一、内容和内容解析
“函数”是中学数学的核心概念．
在初中，学生已经学习过函数概念．初中建立的函数概念是：
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数．其中x称为自变量．
这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系．从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式．后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制．
进入高中，学生需要建立的函数概念是：
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作
y＝f（x），x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f（x）|x∈A叫做函数的值域．
函数概念的核心是“对应”，理解函数概念要注意：
①两个数集间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应．
②涉及两个数集A，B，而且这两个数集都非空；
这里的关键词是“每一个”“唯一确定”．也就是，对于集合A中的数，不能有的在集合B中有数与之对应，有的没有，每一个都要有．而且，在集合B中只能有一个与其对应，不能有两个或者两个以上与其对应． ③函数概念中涉及的集合A，B，对应关系f是一个整体，是集合A与集合B之间的一种对应关系，应该从整体的角度来认识函数．
二、目标和目标解析
（1）通过丰富实例，建立函数概念的背景，使学生体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的三个要素．
（2）会判断两个函数是否为同一函数，会求一些简单函数的定义域和值域．
（3）通过从实例中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力．
教学的重点是，在研究已有函数实例（学生举出的例子）的过程中，感受在两个数集A，B之间所存在的对应关系f，进而用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念．然后再进一步理解它．
三、教学过程设计
1．观看微课程，思考些列问题
问题1 通过观看函数的概念微课程，并结合初中学过的函数概念，请你举几个函数的具体例子．
设计意图：通过具体例子，让学生回顾初中学习过的函数概念，把握内涵． 教师根据所举例子的具体情况，引导学生列举分别用解析式、图象、表格表示对应关系的函数．
问题2 你凭什么说，你举出的例子表示一个函数呢？请说给我们大家听听．大家也思考一下，他们所举的是函数的例子吗？为什么？
设计意图：让举例的同学分别解释他们所举例子的含义，为什么用这个例子来说明函数．挖掘背后的思维过程，暴露学生对函数本质的理解状况，突出“两个变量x，y”，对于变量x的“每一个”确定的值，另一个变量y有“唯一”确定的值与x对应，“y是x的函数”．并要求学生指出对应关系f是什么？x取哪些数？即取值范围，感受数集A的存在，y值的构成情况，为引入两个集合做准备．
问题3 前面我们学习了“集合”，你能用“集合”以及对应的语言刻画函数概念吗？
设计意图：引导学生把初中学习过的函数概念与高一刚学习的过的集合知识联系起来，用集合的观点解释过去的概念，获得对函数概念的新认识．
获得新的函数定义方式：
设A，B是两个非空数集．如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称对应
f：A→B 为集合A到集合B的一个函数，记作
y＝f（x），x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）| x∈A}叫做函数的值域．
若C＝{f（x）| x∈A}，则CB．
师生共同就每一个例子，找出集合A，B分别是什么，对应关系f指什么？突出“三要素”．
问题4 在这个定义中，你认为哪些是关键词？怎样理解这个概念呢？ 设计意图：促使学生抓住概念中的关键词，多方面理解概念，抓住本质．同时，指出函数的要素为定义域、对应关系、值域．由于对于一个函数，当定义域确定、对应关系确定后，值域也随之确定，因此，两个函数相等的条件是定义域以及对应关系相同．
2．认识函数的定义域，值域，对应关系
小练习：
（1）填写下列表格：
（2）能否说f（x）＝x2－4x是实数集R到实数集R的函数？
（3）已知函数f（x）＝＋．求
①f（－）；
②f（x－4）的定义域；
（4）下列函数中哪个是与y＝x相同的函数，为什么？
①y＝（）2； ②y＝（）3；
③y＝（）； ④y＝．
你能否举一个看起来相似，实质是两个不同的函数的例子．
设计意图：感受定义域的重要性，体验函数的三个要素．两函数相同，当且仅当三要素相同．
3．小结
通过本节课的学习，你主要有哪些收获？
学习了函数概念的新解释：函数是两个集合非空数集A，B之间的对应，对于集合A中的每一个数，按照对应关系f，在集合B中有唯一的数f（x）与之对应．函数的值域不一定就是集合B．函数不一定非用解析式表示，等．
4．课后作业
（1） 理解并记忆函数的概念； （2）课后练习1.2.3
