高中数学教学案例设计
12、任意角的三角函数（1）
一、教学内容分析：
高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）第12页1.2.1任意角的三角函数第一课时。
本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。
二、学生学习情况分析
我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣。我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索。如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？ 《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：
第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。 第
二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。
根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：
其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；
其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。
三、设计理念：
本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图像，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣。并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想”，改变课程实施过程于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生学生收集和处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力。
四、教学目标：
1.借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义； 2.从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号； 3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。
五、教学重点和难点：
1.教学重点：任意角三角函数的定义.
P2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域.
OA图1 具体设计如下：
六、教学过程
第一部分——情景引入
问题1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为ho，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发（如图1所示），过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？
【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。这个数学模型很好融合初中对三角函数的定交，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡，揭示函数的本质。
第二部分——复习回顾锐角三角函数
让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”
【分析】：作图如图2很容易知道：从起始位置OA运动30秒后到达P点位置，由题意知AOP300，作PH垂直地面交OA于M，又知MH＝ho，所以本问题转变成求PH再次转变为求PM。 要求PM就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数。
问题2：锐角的正弦函数如何定义？ 【学生自主探究】：学生很容易得到
sin|MP||MP||MP|Rsin|PH|h0Rsin |OP|R图2 POMABNHPOaMhh0Rsin
所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒,你离地面的高度h为多少？”
h1h0Rsin300 h2h0Rsin450
Y【教师总结】：t在锐角的范围中，
0POMAXhh0Rsint0
第三部分——引入新课
问题3：请问t的范围呢？随着时间的推移，你离地面的高度h为多少？能不能猜想hh0Rsint0？
B【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天我们就要来学习任意角的三函数角函数。
问题4：如图建立直角坐标系，设点P(xP,yP)，能你用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角的正弦函数的定义吗？能否也定义其它函数（余弦、正切）？
【学生自主探究】：sin|MP|yP R|OP|cos|MP|yP|OM|xP，tan |OM|xP|OP|R问题5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？ 【分析】：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明。
【设计意图】：让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变，只与角有关系。
通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样。
问题6：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义呢？
【学生自主探究】：学生通过上面已知知识得到sin|MP|yP R|OP|PxyO学生定义好第二象限角后，让学生自己算出摩天轮座舱在第150秒时，离地面的高度h？
通过摩天轮知道：hh0Rsin1500h1h0Rsin300 由此得到：sin1500
|MP|yP在第二R|OP|12图3【设计意图】：通过这个，让学生检验sin象限角是否正确？
问题7：sin|MP|在第三象限角或第四象限能成立吗？ |OP|【设计意图】：让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现正、负符号的偏差。 （可以让学生取t210，从而hh0Rsin2100,得到sin2100＝，发现这与sin|MP||MP|不相符，实际上是sin） |OP||OP|12【教师总结】：我们通过个模型知道如何在某些范围内如何计算自已此时离地面的高度，用数学模型hh0Rsint0来表示，当摩天轮转动，角度的概念也不知不觉地推广到任意角，对于任意角的正弦不能只是依赖于角所在的直角三角形中的对边的长度比斜边长度了，我更应该用点P的横坐标来代替|MP|或|MP|，那么这样就能够很好表示出正弦的函数任意角的定义。
第三部分——给出任意角三角函数的定义
如图3,已知点P(x,y)为角终边上的点，点P到顶点O的距离为R，则
siny （R） Rx （R） Ry （k） x2costan【分析】：让学生通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离。
问题8：当摩天轮的半径R＝1时，三角函数的定义会发生怎样的变化。
【学生自主探究】：siny，cosx，tany。 x教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化。 教师进一步给出单位圆的定义 给出下列表格，让学生自己补充完整。 三角函数 定义一：|OP|1
定义二：
|OP|R
定义域
sin
y
y Rx RR
cos x
y xR
2tan
y xk
及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握。 第三部分——例题讲解
例1.（课本P14例2）已知角终边经过点P0(3,4)，求角的正弦、余弦和正切值。
【分析】：让学生现学现卖，得用上面的定义二就可以得到答案。
例2.（课本P14例1）求
5的正弦、余弦和正切值。 3【学生自主探究】：让学生自己思考并独立完成。然后与课本的解答相对比一下，发现本题的难点。
【教师讲解】：本题题意很简单，但是如何入手却是难点，关键是对本节课的三角函数定义的要点有没有领会清楚（任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离），因此本题的重点之处是如何利
PMOxy图4用单位圆找到这个点P，如图4可以知道POM象限，得到P(,123，又点P在第四
3)，这样就可以很容易得到本题答案。 2不妨让学生取R|OP|4，能否也得到点P的坐标，得到的三角函数值是否与单位圆的一样。这样可以让学生更深刻体验三角函数的定义。
第四部分——巩固练习练习1.例2变式求
7的正弦、余弦和正切值。 6练习2.问题9：通过观察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边所在象限不同，请说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号?独立完成课本P15的“探究”。
【设计意图】：练习
1、练习2的设计与例
2、例3衔接，主要目的是帮助学生巩固三角函数的本质特征，引导学生从定义出发利用坐标平面内的点的坐标特征自主探究三角函数的有关问题的思想方法。并在特殊情形中体会数形结合的思想方法。
第五部分——小结与作业 学生自我总结
作业：P23习题1.2A组 1,2,3
七、教学反思
上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义： 1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。背景创设是学生熟悉的摩天轮，认知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。
2.情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。
3.通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。这和课程标准的理念是一致的。
4.《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一, 在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间, 促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力, 发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断。在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略, 使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界, 是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器, 同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力。增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。
