高中数学教学设计
《等比数列的前n项和(第一课时)》
淮口中学 沈友胜
等比数列的前n项和
( 第一课时)
一. 教材分析。
(1)教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5)》(人教a版)第二章第5节第一课时,是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
(2)从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。
二.学情分析。
(1)学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。
(2)教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。
(3)从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势
利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。
三.教学目标。
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为:
(1)知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。
(2)过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力.
(3)情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的 简洁美。
四.重点,难点分析。
教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。
教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。
五.教法与学法分析.
培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话: 还课堂以生命力,还学生以活力。
六.课堂设计
(一)创设情境,提出问题。(时间设定:3分钟)
[利用投影展示] 在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印度国王大为赞赏,对他说:我可以满足你的任何要求。西萨说:请给我棋盘的64个方格上,第一格放1粒小麦,第二格放2粒,第三格放4粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第64格。国王令宫廷数学家计算,结果出来后,国王大吃一惊。为什么呢?
[设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣,调动学习的积极性.故事内容紧扣本节课的主题与重点]
提出问题1:同学们,你们知道西萨要的是多少粒小麦吗?
2363引导学生写出麦粒总数1?2?2?2???2
(二)师生互动,探究问题[5分钟]
提出问题2:1+2+22+23+??+263究竟等于多少呢?
有学生会说:用计算器来求(老师当然肯定这种做法,但学生很快发现比较难求。)
提出问题3:同学们,我们来分析一下这个和式有什么特征?(学生会发现,后一项都是前一项的2倍)
提出问题4:如果我们把每一项都乘以2,就变成了它的后一项,那么我们若在此等式两边同以2,得到另一式:
[[利用投影展示]
...s64?1?2?2?2???2.........(1)
2s64?2?2?2?2???2234642363.......(2)
比较(1)(2)两式,你有什么发现?(学生经过比较发现:(1)、
(2)两式有许多相同的项)
提出问题5
:将两式相减,相同的项就消去了,得到什么呢?。(学
生会发现:s
64
?2
64
?1
[这五个问题的设计意图:层层深入,剖析了错位相减法中减的妙用,使学生容易接受为什么要错位相减,经过繁难的计算之苦后,突然发现上述解法,也让学生感受到这种方法的神奇] 这时,老师向同学们介绍错位相减法,并
提出问题6:同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程,为什 么(1)式两边要同乘以2呢?
[这个问题的设计意图:让学生对错位相减法有一个深刻的认识,也为探究等比数列求和公式的推导做好铺垫]
(三)类比联想,解决问题。[时间设定:10分钟] 提出问题7:设等比数列?a?的首项为a
n
,公比为q,求它的前项和sn
即 sn?a1?a2?a3???a
n
学生开展合作学习,讨论交流,老师巡视课
堂,发现有典型解法的,叫同学板书在黑板上。
[设计意图:从特殊到一般,从模仿到创新,有利于学生的知识迁移和
能力提高,让学生在探索过程中,充分感受到成功的情感体验]
(四)分析比较,开拓思维。[时间设定:5分钟]
种方法:
可能也有同学会想到由等比定理得
sn?a1?a2?a3???an?a2a1
?a3a2
???
anan?1
?q
?
a2?a3???ana1?a2???an?1
sn?a1sn?an
?q
?q
即
?(1?q)sn?a1?anq??
【设计意图:共享学习成果,开拓了思维,感受数学的奇异美】( 五).归纳提炼,构建新知。[时间设定:3分钟]
提出问题8:由(1-q)sn=a1-a1qn得sn=于1?等比数列中的公比能不能为1?q
a1-a1q1-q
n
对不对?这里的q能不能等
?
?1时是什么数列?此时sn?
【设计意图:通过反问精讲,一方面使学生加深对知识的认识,完善知识结构,增强思维的严谨性】
.
提出问题9:等比数列的前n项和公式怎样?
n
?a1(1?q)?a1?anq
,q?1,q?1??
1?q?sn??学生归纳出sn??1?q
??na1,q?1?na1,q?1?
【设计意图:向学生渗透分类讨论数学思想,加深对公式特征的了解】
(六)层层深入,掌握新知。[时间设定:15分钟]
基础练习1已知?an?是等比数列,公比为q(1)若a1=
23,q=
,则sn?
(2).则a1?2,q?1,则sn?练习2 判断是非
(1).1-2+4-8+16-?+?-2??
n
n
1?(1?2)1?(?2)
n
n
(2).1?2?2?2???2?(3).a?a?a???a?
1?(1?2)1?2
a(1?a)1?a
【设计意图:通过两道简单题来剖析公式中的基本量.进行正反两方面的“短、浅、快” 练习.通过总结、辨析和反思,强化公式的结构特征.】
例1 已知数列?an?是等比数列,完成下表
【设计意图:渗透方程思想.通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力.掌握公式中”知三求二”的题型】 练习3:求等比数列1,1,11 变式
1、等比数列11,11 变式
2、等比数列248162481624816
, ???前
8项和;
6364
, ???前多少项的和是;
, ???求第5项到第10项的和;
23n
???a,?求前2n项中所有偶数项的和。 变式
3、等比数列a,a,a,
(先由学生独立求解,然后抽学生板演,教师巡视、指导,讲评学生
完成情况,寻找学生中的闪光点,给予热情表扬。)
【设计意图:变式训练,深化认识,增加思维的梯度的同时,提高学生的模式识别能力,渗透转化思想】.
练习4 有一位大学生毕业后到一家私营企业去工作,试用期过后,老板对这位大学生很欣赏,有意留下他,就让这位大学生提出待遇方面的要求,这位学生提出了两种方案让老板选择,其一:工作一年,月薪五千元;其二:工作一年,第一个月的工资为20元,以后每个月的工资是上月工资的2倍,此时,老板不假思索就选择了第二种方案,于是他们之间就订了一个劳动待遇合同。请你分析一下,老板的选择是否正确?
【设计意图:让学生进一步认识到数学来源于生活并应用于生活,生活中处处有数学.】
(七)总结归纳,加深理解。[时间设定:2分钟]
(1)等比数列的求和公式是什么?应用时要注意什么? (2)用什么方法可以推导了等比数列的求和公式?
【设计意图:形成知识模块,从知识的归纳延伸到思想方法的提炼,优化学生的认知结构】
(八)课后作业,巩固提高。[时间设定:1分钟] 必做:(1)p66练习1
研究性作业:请上网查阅“芝诺悖论” 选做:求和:1?2?2?2
?3?2?4?2???n?2
34n
【设计意图:为了使所有学生巩固所学知识,布置了“必做题”;“选做题”又为学有余力者留有自由发展的空间,布置了“探究题”以利
于学生开展研究性学习,拓展学生的视野.】
七、教学反思:
本节课立足课本,着力挖掘,设计合理,层次分明。充分体现以学生发展为本,培养学生的观察、概括和探究能力,遵循学生的认知规律,体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则,通过问题情境的创设,激发兴趣,使学生在问题解决的探索过程中,由学会走向会学,由被动答题走向主动探究。在教学思想上既注重知识形成过程的教学,还特别突出学生学习方法的指导,探究能力的训练,引导学生发现数学的美,体验求知的乐趣。
2008.11.