第 29 讲 不等式的证明-比较法与综合法
(第1课时)
差比法比较法商比法综合法方法
分析法
反证法数学归纳法
放缩三角换元换元不等式的证明整体代换配方
拆项技巧利用函数的值域和单调性一式的平方不小于零
利用基本不等式均值不等式倒数的和不小于2
利用不等式的性质
重点:1.差作法和商比法;2.综合法和分析法;3.其它方法的简单应用。
难点:1.分析法的灵活运用;2.放缩技巧的使用。
3.了解证明不等式的其它方法。
⑵ 证明不等式常用的主要技巧:放缩,换元,配方,拆项,利用基本不等式,利用不等式的性质,利用函数值域和函数的增减性。
⑶ 证明不等式常用的基本不等式:
① 一式的平方不小于零。
2222即 a0(aR) 或 (ab)0(a,bR)。后者的变式为:ab2ab 或
a2b22ab 。
② 两个大于零的式子的算术平均值不小于它们的几何平均值。 即
ab
ab (a,b0) ,可推广至多个式子。
2③ 倒数的和不小于2。
ba
2 (a,b同号) 。 ab
上述基本不等式中,当且仅当 ab 时取等号。
2222
前三个基本不等式的内在联系为:a0 (ab)0 ab2ab
即
aab
ab2ab
ab
ab 。 2
1.比较法 ⑴ 差比法
要证AB ,只要证AB0 。 例.求证:3(a2b)8ab 。 证明:∵ 3(a22b2)8ab3(a
22
4b222
)b0 , 3
3∴ 3(a2b)8ab 。
点评:本题使用差比法。证明不等式时,要判断一式是否大于零,有时需要使用配方法以及基本不等式。本题使用了配方法以及基本不等式“一式的平方不小于零”。
⑵ 商比法
要证AB ,当A,B0 时,只要证法。
例.已知 ab0 ,求证:aabbabba 。
A
1。当不等式两边是积或幂的形式时,可用此B
aabbaabba
()ab 证明:baab
bab
aa
∵ ab0 ,∴ 1 ,又 ab0 ,∴ ()ab1 ,
bb
abba
又 ab0 ,ab0 , ∴ aabbabba 。
点评:本题使用商比法。
2.综合法
所谓综合法就是从已知或以证明过的不等式出发,根据不等式的性质推导出欲证的不等式(由因导果),综合法的特点是表述简单、条理清楚,所以在实际证题时,往往先用分析法来寻求证明途径,而后用综合法来书写证明过程。
例.求证:log2log52 。
证明:∵ 底数大于1的对数函数是增函数, ∴ log2log5log23log53log
2log2log5log527 32
252
2
3点评:本题使用综合法,利用了缩放技巧。所谓“缩放”,就是在待证不等式两边的值的中间找一个或多个中间量,再根据不等式的传递性来间接证得结论成立。缩放时可以舍去或加上一些项;也可以加大或减小一些项;还可以把分子或分母放大缩小。证对数不等式的关键在于利用对数函数的性质。
111
1。 1 (n为正整数)
2n1n22n111
证明:∵ ⑴
2nn1n111
⑵
2nn2n
例.求证:„„„„
111 (n) 2nnnn
11111
把上述各式相加得 nn ,
2nn1n22nn
1111即 1 。
2n1n22n
点评:本题使用综合法,利用了放缩技巧。这里是把各式相加,有时需要把各式项乘,例如
习题中的第7题。
例.若 p0 ,k为大于1的整数,求证:(1p)1pk 。
证明:∵ k为大于1的整数,故利用二项式定理得 (1p)1CkpCkpp , ∵ p0 ,∴ 1CkpCkpp 的所有项都是正的,
∴ 1CkpCkpp1Ckp1kp ,∴ (1p)1pk 。 点评:本题使用综合法,利用了二项式定理以及缩放技巧。 例.求证:11。 !22!33!nn!(n1)! (nN)证明:∵ kk!(k1)!k! (kN),
∴ 原不等式左边(2!1!)(3!2!)(4!3!)[(n1)!n!]
k
k
k
k
k
k
(n1)!1(n1)!右边
点评:本题使用综合法,利用了拆项技巧。
1x23x4例.求证不论x为何实数,都有 27 。
7x3x
4x23x4
证明:设 2y ,即 (y1)x2(3y3)x4y40 ,
x3x4
22
∵ x为实数,∴ 9(y1)16(y1)0 ,即 (7y1)(y7)0 , 1x23x41
∴ y7 ,即 27 。
7x3x47
点评:本题使用综合法,利用函数的值域证不等式。即要证ya (或ya),可先找出
一个关于y的不等式,再解出y。
例.已知 2x4y1 ,求证:xy
。 20
(14y) , 2
1111
则 x2y2(14y)2y2(5y1)20 ,
204205111
∴ x2y2 ,当 x ,y 时等号成立。
2010
5证明:由 2x4y1 可得 x
点评:本题是条件不等式证明,证条件不等式与证一般的不等式并没有什么不同,关键在于
条件的转化应用。可以利用条件消元,再运用比较法证明。要证最后一式的大于零或小于零,往往需要配方。
DS
23
02,03
不等式证明 差比法 商比法 综合法 放缩 换元 配方 拆项
利用基本
不等式 2 利用不等式的性质 利用函数值域 技巧利用函数的增减性
1 2 3 4 5 6 7 8
√ √√√ √ √√√√√√ √√
1.a、b为互不相等的正数,求证:ababab 。 证明:∵ ababab(ab)(ab)0 , ∴ ababab 。
点评:本题使用差比法,使用技巧“一式的平方不小于零”。 2.已知a2,求证:loga1alogaa1
1loga(a1)loga(a1)1
, loga(a1)
loga(a1)loga(a1)
∵ a2,∴ loga(a1)0,loga(a1)0 ,
解法一: loga1aloga(a1)
loga(a1)loga(a1)2[loga(a21)]2[logaa2]2
∴ loga(a1)loga(a1)[]1
244
∴ loga1aloga(a1)0 。
解法二:∵ a2,∴ loga(a1)0,loga(a1)0 ,
loga(a1)loga(a1)2[loga(a21)]2[logaa2]2
而 loga(a1)loga(a1)[]1
244
loga1aloga(a1)1∴ 1 ,
loga(a1)loga(a1)loga(a1)loga(a1)∴ loga1aloga(a1)0 。
点评:解法一使用差比法,解法二使用商比法。
2463
3.若 a0 ,求证 1aaa4a 。
证明:∵ a0 ,∴ 1a2a2a ⑴,aa2aa2a ⑵, ⑴+⑵得 1aaa4a 。
6
36
6
ab
ab 。 2
1111
4.求证:22222 (nN)。
123n1111
证明:∵ 2 (k=2,3,„,n)
k(k1)k1kk
1111111
∴ 原不等式左边2()()()
1223n1n1
11
1(1)22右边
nn
点评:本题利用基本不等式
点评:本题使用综合法。利用了拆项技巧。改用
111111
() 也可。 22nn1(n1)(n1)2n1n1
1222
5.若 xyz1 ,试证:xyz 。
111
证明:令 xt ,y2t ,z3t (t为实数),
333111
x2y2z2(t)2(2t)2(3t)2
33312141
tt2t4t22t9t2 9393911
14t2 (∵ t为实数,∴ t20) 33
当 t0 ,即 xyz 时,上式取等号。
点评:本题使用综合法,利用了换元技巧。题设为线性方程形式的不等式证明,根据线性方程的特点适当引入参数可使问题简化。
6.已知 0x1 ,a0 ,a1 ,求证:loga(1x)loga(1x) 。 证明:∵ 0x1 ,∴ 01x1 ,1x1 ,01x1 , 当 a1时,
loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x2)0
当0a1时,
loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x)loga(1x2)0
∴ loga(1x)loga(1x) 。
点评:本题使用综合法,利用了函数增减性。
135991 。 24610010
99100123456
证明:∵ , , ,„„ ,
100101234567
13599246100
把上述各式两边项乘得 ,
246100357101
13599
两边同时乘以 得
24610013599224610013599()()() , 2461003571012461001359921即 ( , )
2461001011359911∴ ,
24610010110
7.试证:
∴ 原不等式成立 。
点评:本题使用综合法,利用了放缩技巧。