530021广西南宁三中 许兴华文集
——高中数学教案
课题：用比较法证明不等式
（５３００２１广西南宁三中许兴华）
教学目标：
1、通过本课的学习，使学生掌握两种“比较法（作差比较法与作商
比较法）”证题的基本原理；
2、学会“比较法”证题的基本步骤；
3、初步学生培养分析问题解决问题的能力.重点难点：重点是牢固掌握用“比较法”证题的步骤；
难点是掌握变形的思路和技巧.
教学过程：
一、复习引入：
1、实数大小比较的依据是什么？
（让学生回答）主要依据是：
①a－b＞0
＞b
②a－b＝0b
③a－b＜0b
2、由以上法则我们知道：
① 要证a＞b，只需证a－b＞0；
② 要证a＜b，只需证a－b＜0.于是我们得到不等式证明的一种方法：作差
比较法.二、新授课：
1、“作差比较法”证明不等式：
例1：求证：x2+3>3x
（1） 分析：欲证x2+3>3x，只需证x2+3－3x＞0
33（2） 于是配方即得:(x)20,此不等式显然成立.2
4（3） 证明：板书证明过程（略）.例2：已知a，b∈R+，并且a≠b，求证：
a5＋b5＞a3b2＋a2b
3(1)分析：要证a5＋b5＞a3b2＋a2b3,只要证明(a5+b5)－(a3b2+a2b3)>0而(a5+b5)－(a3b2+a2b3)=(a5－a3b2)+(b5－a2b3)
=a3(a2－b2)－b3 (a2－b2)= (a2－b2)(a3－b3)
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= (a－b)2(a+b)(a2+ab+b2)>0(a,bR,ab)
(2)：板书证明过程(略).
引导学生进行小结:用“作差比较法”证不等式的步骤是： ①作差 ②恒等变形 ③ 判断符号 ④结论
其中，“变形”以“作差”为基础，“判断差的符号”是“变形”的目的.证明的实质：进行实数大小比较.（3）为了确定差的正负，“变形”的目标一般是： ① 一个常数；
② 一个常数与一个或几个平方的和的形式； ③ 几个因式的积的形式.
a2b2ab
课堂练习：设a＞b＞0，比较2与 的大小.
2abab
（要求一位学生到黑板去做，其余学生在下面做，大家都做完后，教师进行适当讲评）
（1） 分析：作差通分变形即可.
（2） 证明：必要时纠正学生的板书“证明过程”.
2、“作商比较法”证明不等式：
a
比较法还有“作商比较法”：若已知b>0 , 则要证ab,只要证明1.b
abba
例3．已知a,bR，求证：abab.
aabb
分析：a,bR,ab0，故只要证明ba1.
ab
b
a
aaabbaaba
不妨设ab,则1,ab0,baab
babbb（板书证明过程）（略）
三、课堂练习：
课本：P.7之
1、
2、
3、4.ab
1.
5.(补充练习):已知abc0,求证:abc(abc)练习后，当堂讲评:
abc
abc
3.
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证明:
aabbcc(abc)
abc3ac3
a
2abc
b
2bac
c
2cab
a
ab3
a
ab3
b
ba3ac3
b
bc3
c
bc3
ca3
c
cb3
abacbc
aa
abc0,ab0,1,()
bb
ab
a
1,同理可证:()
c
ac3
b0,()
c
bc3
0.
ab
a
ab3
ac
c
ac3
bc
abc3
bc3
1,
因此, abc(abc).
四、小结：
（1）“比较法”分为 “作差比较法”与“作商比较法”两种；
（3） 何时采用“作差比较法”或“作商比较法”？这两种方法证明不等式
的步骤如何？请同学们思考.五、作业：
课本P.15之
5、
6、
7、9 补充练习：
1.设a0,b0,nN,,求证:(ab)(ab)2(a
n
n
n1
b
bn1).
2a2b2cbccaababcabc.2.若abc0,求证:
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