●备课资料
一、《教师教学参考书》《中学数学教学》
二、参考例题
［例1］写出命题“若x≥2且y≥3，则x＋y≥5”的逆命题、否命题，逆否命题.并判断其真假.分析：应注意分析清楚原命题的条件与结论，并充分利用四种命题的定义，还要注意条件和结论中“或”“且”“非”的否定的语句表述的准确性.解：原命题：“若x≥2且y≥3则x＋y≥5”为真命题.逆命题为：“若x＋y≥5，则x≥2且y≥3”，为假命题.否命题是：“若x＜2或y＜3，则x＋y＜5.”其为假命题.逆否命题是：“若x＋y＜5，则x＜2或y＜3”其为真命题.评述：本题应注意理解掌握“p且q”的否定为“p或q”，“p或q”的否定为“p且q”.［例2］写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假.2(1)若x＝1，则x＝1.(2)对顶角相等.(3)等腰三角形的两腰相等.2(4)x＋2x＋8＞0的解集为空集.分析：应先将原命题改写成“如果„„，那么„„的形式”然后再构造它的逆命题.
2解：(1)逆命题是“若x＝1，则x＝1.” 原命题为假命题，逆命题是真命题.(2)逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”.原命题为真命题，逆命题为假命题.(3)逆命题是“如果一个三角形有两边相等，那么这个三角形是等腰三角形.” 原命题为真命题，逆命题也为真命题.
2(4)逆命题是“空集是x＋2x＋8＞0的解集”.原命题和逆命题都是假命题.［例3］写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假.(1)如果x＞－3，那么x＋8＞0.(2)如果一个三角形的三边都相等，那么这个三角形的三角都相等.(3)矩形的对角线互相平分且相等.(4)相似三角形一定是全等三角形.分析：将原命题的条件和结论同时加以否定，便得到其否命题.解：(1)否命题是：“如果 x≤－3，那么x＋8≤0”.原命题为真命题，否命题为假命题.(2)否命题是：“如果一个三角形的三边不都相等，那么这个三角形的三角不都相等.原命题为真命题，否命题也为真命题.(3)否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”.原命题是真命题，否命题也是真命题.(4)否命题是“不相似的三角形一定不是全等三角形.” 原命题是假命题，否命题是真命题.评述：一个命题的否定应当包含除了本身以外的所有情况.如：“都相等”的否定应为“不都相等”，即至少有两个元素不相等；“p或q”与“p且q”互为否定；“一定是”的否定是“一定不是”.
三、参考练习题
1.命题“能被4整除的数一定是偶数”，等价命题是（ ） A.偶数一定能被4整除
B.不能被4整除的数一定不是偶数 C.不能被4整除的数不一定是偶数 D.不是偶数一定不能被4整除 答案：D 2.命题：“若a∈A，则{a}A”的逆命题是（ ）
A.若a∈A，则{a}A B.若{a}A，则a∈A C.若{a}A，则aA D.若aA，则{a}A 答案：B 3.命题：“若∠A＝60°，则△ABC是等边三角形”的否命题（ ） A.是假命题
B.与原命题同真或同假
C.与原命题的逆否命题同真同假 D.与原命题的逆命题同真同假 答案：D 4.若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的_______命题.答案：逆否 5.命题“若a＞0，则什么命题：
(1)若a≤0，则(2)若
3a3＝”的相关命题如下，在题后括号内注明它是这一命题的4a43a3≠.（ ） 4a43a3＝，则a＞0 ( ) 4a43a3(3)若≠，则a≤0 ( ) 4a4答案：（1）否命题 (2)逆命题 (3)逆否命题 6.写出下列命题的逆命题的逆否命题： (1)若a＞4则a＋3＞6 (2)若x与y成正比关系，则y＝kx.答案：(1)若a≤4则a＋3≤6 (2)x与y不成正比关系，则y≠kx.7.把下列命题改写成“若p则q”的形式： (1)15是5的倍数.(2)正方形四边相等.答案：(1)若a＝15，则a是5的倍数.(2)若一个四边形是正方形，那么这一四边形的四边相等.8.写出命题：“若ab＝0，则a、b中至少有一个为0”的逆否命题.答案：若a、b都不为零，则ab≠0.
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一、《教师教学用书》
二、参考例题
222［例1］写出命题“在△ABC中，若∠C＝90°，则c＝a＋b”的逆命题，否命题和逆否命题，并指出它们的真假.解：原命题是真命题.
222逆命题为“在△ABC中，若c＝a＋b，则∠C＝90°.为真命题.
222否命题为：“在△ABC中，若∠C≠90°，则c≠a＋b”，是真命题.
222逆否命题为：“在△ABC中，若c≠a＋b，则∠C≠90°，是真命题.评述：此题的原命题中“在△ABC中”是大前提，在写这类命题的逆命题、否命题和逆否命题时一般保持不变.［例2］写出命题“x≥2且y≥3，则x＋y≥5”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.分析：本题中原命题的条件是复合条件.因此解好本题的关键是准确地写出“p且q”的否定.解：原命题是真命题.逆命题是：“x＋y≥5则x≥2且y≥3”为假命题.否命题是：“x＜2或y＜3，则x＋y＜5”为假命题.逆否命题是：“x＋y＜5则x＜2或y＜3”为真命题.评述：注意“p或q”的否定是“p且q”，“p且q”的否定是“p或q”.在否命题中的准确运用.［例3］写出下列命题的逆命题，并判断其真假.2(1)当x－3x＋2＝0时x＝2 (2)ac＞bca＞b.
2解：(1)逆命题为：“当x＝2时，x－3x＋2＝0”，为真命题.(2)逆命题为：“a＞bac＞bc”其为假命题.
三、参考练习题
1.在下列命题中，真命题是（ ）
①“在同一个三角形中，大边对大角”的否命题.2②“若m≤1，则x－2x＋m＝0有实根”的逆命题.③“菱形的对角线互相垂直平分”的否命题.④“若A∩B＝B，则AB”的等价命题.A.①②④ B.③④ C.①②
D.①②③ 答案：D 2.命题“若a＞b，则am＞bm”与它的逆命题、否命题，逆否命题中真命题共有____个.答案：0 3.写出命题“对角线不互相垂直的平行四边形不是菱形.”的逆命题、否命题、逆否命题，并指出它们的真假.答案：逆命题为：“不是菱形的平行四边形，对角线不互相垂直”，为真命题.否命题为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，为真命题.逆否命题为“平行四边形是菱形，其对角线互相垂直”，为真命题.4.判断下列命题的否命题的真假.(1)正方形四条边相等.(2)已知a＜0，如果x＝－a，那么x＜0 (3)一个锐角的补角是钝角.答案：(1)否命题为假命题.(2)否命题为假命题.(3)否命题为真命题.
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一、《教师教学用书》
二、参考例题
［例1］用反证法证明：若｜a－b｜＞a－b，则a＜b 分析：反证法证题的关键是对命题的结论进行否定——推理——矛盾——肯定.证明：假设a≥b
则有a－b≥0即｜a－b｜＝a－b.但这与已知中｜a－b｜＞a－b矛盾.故a＜b 评述：反证法证明过程中必须对结论的反面的各种情况一一加以否定，才能证明原命题的正确性.
2［例2］用反证法证明：｜a｜＜3则a＜9.2证明：假设a≥9，两边同时开方取算术根得：｜a｜≥3.这与已知条件中｜a｜＜3相2矛盾.故a＜9.［例3］如果一个整数n的平方是偶数，那么这个整数n本身也是偶数，试证之.分析：由“整数n的平方是偶数”这个条件，很难直接证明“这个整数n本身也是偶数”这个结论成立，因此考虑用反证法证明.证明：假设整数n不是偶数，那么n可写成：n＝2k＋1（k∈Ｚ）, 2222则n＝（2k＋1）＝4k＋4k＋1＝2（2k＋2k）＋1.22∵k∈Ｚ ∴2k＋2k∈Z，则2（2k＋2k）为偶数.2那么2(2k＋2k）＋1为奇数.2∴n为奇数.但这与已知条件矛盾.则假设不成立，故n是偶数.评述：否定结论是反证法的第一步，能否导致矛盾是反证法的关键，一般通过推理导致以下矛盾之一即可：
①与条件矛盾；②与定义、定理、公理矛盾；③与客观事实矛盾；④自相矛盾.
三、参考练习题
1.用反证法证明命题的第二步中，得出的矛盾可以是与下列哪些内容产生的( ) ①命题已知 ②数学定义 ③定理，公理 ④推理、演算的规律
A.① B.①③
C.②
D.①②③④ 答案：D 2.用反证法证明“一个三角形内，不能有两个钝角或直角”.证明：假设可以有两个钝角或直角，那么这两个角与任意大小的第三个角的和必大于180°，这与三角形的内角和为180°相矛盾.故一个三角形内，不能有两个钝角或直角.3.否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是（ ） A.有一解
B.有两解 C.有三解
D.至少有两解 答案：C 4.否定下列各结论，并写出由此可能出现的情况： (1)a＝b （2）AB∥CD （3）点A在直线a上 答案：(1)a≠b，即a＞b或a＜b
(2)AB与CD不平行，即AB与CD相交，或AB与CD重合.(3)点A在直线a外，即点A在直线a的一侧或另一侧.5.用反证法证明：若a2＝－a，则a≤0 证明：假设a＞0，可得a2＝｜a｜＝a，这与已知a2＝－a相矛盾.故a≤0.6.假设p、q都是奇数，求证：关于x的方程x＋px＋q＝0无整数根.分析：此题中含有否定用“无”，可考虑用反证法，另外关于有无整数根，可从已知方程的判别式与根和系数的关系入手分析证明.
222证法一：只有在Δ＝p－4q＝（p－m）时((p－m)表示完全平方数,其中由－4q＝－2pm＋m可知m应为偶数)才可能有整数根.化简上式得出p与q的关系：q＝p·因p是奇数，不论2
2
mm2
－（），22m是怎样的整数，都可得q为偶数，这与已知q为奇数相矛盾，则判别2式Δ的值不会是一个完全平方数，故方程无整数根.
2证法二：假设方程有整数根α，无论α是奇数还是偶数，都必有α＋pα＋q为奇数，2这与α＋pα＋q＝0矛盾.故方程无整数根.
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