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高中课程标准实验教科书必修《数学1》（苏教版）教学问答
南京金陵中学 张松年 朱骏
问：怎样理解集合的运算？
答：对象与集合的隶属关系以及集合的运算是“集合”这一章所研究的主要内容．对象与集合的隶属关系包括：元素与集合的属于关系和集合与集合之间的包含（子集）关系．集合的运算是由若干集合得到一个新集合的过程，包括“补”、“交”、“并”三种运算．把补集、交集、并集看作是集合运算的结果，使学生对数学运算的含义有了新的认识．新的运算对象和规则拓宽了学生的视野，为以后学习新的数学运算作了铺垫．在习题中，通过阅读题给出了两个集合的差的运算，这是补集概念和集合运算的延续，是对补集概念的再认识，让学生进一步体会集合运算的含义，但不要求学生会求两个集合的差集．
问：怎样指导学生做写作题“用集合的语言介绍你自己”？
答：写作题是新教材的一大特色，这在以往的教材中从没有出现过．写作题没有统一的要求，主要是提供一种新的方式，让学生根据对所学知识的掌握程度，进行一次自我总结，给学生以充分的发挥空间．写作题“用集合的语言介绍你自己”，可以从学生的自然状况、个性品质、技能等方面入手，介绍自己的特征、个性为元素的集合，以及元素与集合的关系等。例如，名字中汉字组成的集合、名字的汉语拼音字母组成的集合、我的个性品质组成的集合等，如我∈{x|x是名字叫李明的人}，我∈{x|x是中国江苏省人}⋂{x|x身高不低于1．70cm的人}，我∈{x|x是想拿诺贝尔的人}⋃{x|x是登上珠穆朗玛峰的人}⋃{x|x是在月球上生活的人}，我∈{x|x是出生于农村的人}⋃{x|x是出生于知识家庭的人}，我∈{x|x是每天打篮球的人}，我的业余爱好组成的集合是{读书、画画、下围棋、弹钢琴、郊游、踢足球}，我∈{x|x是2007年3月12日××中学的高一男生}，我∈/{x|x是缺乏自信的人}⋃{x|x是没有责任心的人}．我的座右铭∈{努力，坚持，勤于思考，做得更好}，等等．不要求学生过分讲究集合的数学含义．
问：在新课标的理念下，如何进行函数概念的教学？
答：学生在初学函数以及后续学习中，会遇到很多困难，这与教师在函数概念的教学中所采用的教学方式有着密切关系．以往教材的呈现方式和课堂讲授方法，虽然能较好地界定函数概念的内涵和外延，但由于函数概念本身的抽象性，
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学生接受起来还是有较大的困难．新课标更多地强调在数学情境下，学生主动进行知识的建构．
函数概念的引入，需要教师创设符合学生实际的数学情境．从贴近学生实际出发，教材中给出了三个具体的实例，供选择使用．三个例子分别用解析法、列表法和图像法给出，意在呼应下一节的三种表示法．教学中也可以结合所教班级的实际再补充一些实例，如加油站给汽车加油时油量与金额之间的关系等．
因为学生初中对函数已经有了初步的认识，进入高中后又学习了集合的概念，函数的概念引入，可以从让学生利用集合语言描述函数特征开始，可以设计如下问题串：
问题1：在上面的例子中，是否确定了函数关系？为什么？
问题2：在上面的例子中，涉及哪些集合？其中的表格、表达式和图象的作用是什么？
问题3：如何用集合语言阐述几个实例共同特点？
① 你的结论是否正确地概括了例子的共同特征？
② 我们初中学习过的函数都有这样的特征吗？
③ 你现在的认识与初中函数概念是否有本质上的差异？
在进一步体会两个变量之间的依赖关系的基础上，学习用集合与对应的语言来刻画单值对应，领悟函数就是从一个数集到另一个数集的单值对应．“单值对应”是函数对应法则的根本特征。“箭头图”给出了“单值对应”从一个集合到另一个集合的方向性，应突出“输入”与“输出”的关系．
在构建函数的概念时，要重点突出一个对象对另一个对象的依赖关系．建立函数，必须交代定义域．但是，对定义域和值域不作过多技巧要求和训练．
在函数定义的教学过程中，需突出以下几点： ①集合A与集合B都是非空数集； ②对应法则的方向是从A到B；
③强调“非空”、“每一个”、“惟一”这三个关键词．
要注意发展学生的数感、符号感．用课本中旁注的示意图帮助学生理解符号f(x)的意义：对应法则f对自变量x作用．应强调函数符号“y＝f(x)”是“y是x的函数”的数学表示，它表示“f对x作用得到y”．应指出f(a)与f(x)既有区别又
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有联系，f(a)是f(x)在x＝a的情况下的一个函数值，一般地，f(a)是一个特殊值，而f(x)是一个变量．
现代信息技术的引入，为学生进一步体会、理解函数的本质，为求函数值、作函数的图像，提供了新的行之有效的工具．
问：在新课程的理念下，如何引入“函数的奇偶性”？
答：与认识函数的单调性一样，认识函数的奇偶性也需要学生从图形的直观感受上升到数量关系的精确描述．因此，需要利用我们熟悉的函数创设数学情境，并逐步引导学生深入地认识．可以在列举生活中的实例，感受自然界的对称美的基础上，再结合已经学过的图象具有对称性的函数，让学生认识到研究图象具有对称性的函数成为必要．
问题1：如何用数量关系来描述函数y＝x2的对称性？
（1）图象是由点组成的，如何描述函数y＝x2图象上某一特殊点和其关于y轴对称的点之间的关系？
（2）对其他的点，这一关系成立吗？ （3）如何用数学语言精确地描述这一关系？
（4）对其它的关于y轴对称的函数，也能类似地描述吗？
1问题2：你能否模仿研究函数y＝x图象对称性的过程，研究函数y＝x图象
2的对称性？你得到的结论适用于其它图象关于原点对称的函数吗？
在上述问题解决的基础上，抽象出偶函数与奇函数的概念． 也可以提出如下问题进行引入：
一般地，函数y＝f(x)，x∈R与函数y＝f(－x)，x∈R是不一样的，但有些特殊的函数，y＝f(x)，x∈R与函数y＝f(－x)，x∈R是一样的，即f(－x)＝f(x)．同样，有些特殊的函数，y＝f(x)，x∈R，函数y＝f(－x)，x∈R与函数y＝－f(x)，x∈R是一样的．从而导出偶函数、奇函数的定义．
问：“映射”和“反函数”的处理，新教材和以前的教材有着明显的区别，你能介绍一下新教材对这两个部分的教学要求吗？
答：以前的教材是用映射来定义函数，而新教材则把映射看成是函数概念的推广．函数的对象只是数集，而一般映射的对象可以是任意集合．显然，现在的
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处理是先特殊再一般，其目的是考虑与初中知识的衔接，同时更符合学生的认知规律．映射中的问题背景和例子的安排，目的是先从学生身边说起，再抽象到一般的字母，让学生体会到映射的一般性．值得注意是例题暗示了数字化的用意，看似平常，却反映了人们在探索和发明中的聪明才智．
事实上，从数学的发展史上来看，是先有函数，再通过函数概念的一般化，得到了更一般的对应关系——映射．因此映射比函数更抽象．相对而言，后一种处理方法更符合学生的认知规律，而且和初中内容的衔接也比较自然．
新教材对映射的要求是：了解映射的概念，会借助图形帮助理解映射的概念，并了解函数是两个非空数集之间的映射．因此，教学时应先从学生熟悉的对应入手，选择生活中和数学中的“一对多”、“多对多”、“多对一”、“一对一”的对应实例，通过图示，引导学生观察比较，逐步归纳概括出映射的基本特征，辨析映射和函数的关系．
需要特别指出的是，新教材中，没有涉及到象和原象的概念，更没有映射的分类，不要拓宽和加深．
新教材降低了对反函数的要求，只要求知道指数函数y＝ax和对数函数y＝logax（a＞0，a≠1）互为反函数，对反函数的一般概念、判断一个函数是否存在反函数以及求函数的反函数等均不作要求．教学中，可以让学生结合图象体会，不必要对此作过多的研究，对有兴趣的学生，可以指导其阅读教材中链接的内容，结合对数函数产生的背景，体会求一个函数的反函数的步骤．
问：教材在习题中提供了很多探究拓展的内容，比如在“映射的概念”这一节的习题中提供了一个有关纽扣的阅读题，对这类习题如何处理？
答：习题中探索拓展内容设计的目的和要求，在教材前面的“致同学”中，说明得很清楚．为了激发学生探索数学的兴趣，学生在掌握基本内容后，可以选择一部分内容作探究，不要求每个学生都能解决．因此需要教师根据学生的学习情况，酌情选择、指导．
映射一节有关纽扣的问题，通过纽扣和扣眼的对应关系，不仅能使学生更加形象地理解映射的概念，而且感受了映射的分类，它让学生进一步体会到对应关系充斥在我们周围．
这一问题的处理应根据学生的情况区别对待．对基础比较薄弱的学生，可以
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让他们仿造该实例，举出生活中其它映射的例子；而对基础比较好的学生，既可以让他们对该实例中的两种形式的映射，作进一步的探究．
问：幂函数的内容曾一度从中学教材中删除，这次又回到了新教材中，对这一部分的教学要求是什么？
答：幂函数是我们生活中既熟悉又陌生的一类函数模型，这是因为它普遍存在于我们身边，有着广泛的实际应用；它的解析式虽然简单，但其性质却比较复杂．新教材对幂函数的要求不高，只要求会画几个特殊的幂函数（y＝x，y＝x2，1y＝x3，y＝x1，y＝x2）的图象，并能通过图象了解它们的主要性质．
由于学生已经有了学习指数函数、对数函数的经历，给出幂函数的概念后，可以让学生画出五个幂函数的图象，根据图象，合作探究幂函数的性质．
至于指数的变化对幂函数图象和性质的影响，有条件的学校，可以利用Excel、几何画板等工具作动态演示，让学生有感性认识即可．
问：数据拟合是函数中的一个新内容，在以前的教材中从未涉及过，对这一部分内容的教学要求是什么？
答：教材把数据拟合列为链接内容，有条件的学校可以选择使用．本节内容主要通过实际问题说明数据拟合在预测、规划方面的应用，提高学生运用数学的能力．常见的数据拟合有：直线型、抛物线、指数型、对数型．教学时，应通过结合实例让学生体会不同函数类型增长的意义，并且让学生尝试利用Excel进行数据拟合，理解并体会利用Excel进行数据拟合的步骤：输入数据、作散点图、观察散点趋势、选择合适的模型、添加相应的趋势线、计算R2值、根据R2值对选择的模型进行调整．在选修教材中，还会系统学习直线型数据拟合——线性回归．
