小数乘小数教学设计
(计算教学研究课例）
陈 敏
这学期执教五年级，学校安排教研课，我选择执教“小数乘小数”。“小数乘小数”的教学，细想起来曾经执教过两次，第一次是初登讲台时，第二次是工作不久。回想当时的教学，力求让学生会算，且计算正确，考试不出错，因此停留在以算法为主，提高学生计算正确率方面。如今，十多年的变化，其教学理念、教材体系，学生思维都有了跨越式的变化。“老调重弹”，“穿旧鞋走新路”已经不能适应新课标的要求，因此不得不重新审视“小数乘小数”。
思 考
思考一：如何认识“小数乘小数？
“小数乘小数”是学生掌握了小数乘整数、小数的意义、小数加减法、整数四则运算，因数与积的变化规律等基础上进行学习的，学生具有一定的学习经验。教学中只需要将学生已有的知识经验进行合理化的迁移。其次，“小数乘小数”相对于小数乘整数而言，在计算方法上更为抽象，学习难度上有所提升，像积的小数点与因数的小数点不对齐，积的结果可能比因数小，积的小数位数与因数的小数位数可能出现不同……这些都是学生第一次接触，是学生对四则运算理解的一次质的飞跃。对学生而言，需要打破学生整数四则运算、小数乘整数的固有思维模式，理解算理，掌握算法。
思考二：“小数乘小数”教什么？
“小数乘小数”就知识点而言，只需要将学生已经掌握的小数乘整数的方法进行迁移即可，只需要告知学生，“计算小数乘小数，先按照整数乘法进行计算，然后数因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点”。因此，其计算方法可谓简单，教师在教学中重点强化，且通过大量的练习，学生对其算法掌握，也能做到“熟能生巧”。如此一来，学生就成为计算的工具，机械地进行计算，对算理的理解知之甚少，对学生的发展毫无价值可言。因此，“小数乘小数”的教学应该定位在算理上。在帮助学生掌握算法，提高计算正确率的同时，更重要的是理解算理，从计算中获得体验，促进学习方法和思维品质的提升，让学生的知识建构变得“丰满”。
其次，教材中是借助于学生常见的宣传栏刷油漆来引入，引导学生在具体的情境中进行思考。这种情境只是起到“引”的作用，对学生理解算理作用不大。“小数乘小数”的算理，更多地是借助于“因数与积的变化规律”来解释积中小数点的位置，因此情境的可有可无也就不再那么重要。
正是基于上面的思考，我把“小数乘小数”的教学定位于激活学生经验，在探索活动中引领学生理解算理，掌握算法，获得体验、感悟，促进学生经验的提升，实现学生知识的建构，经验的建构。
实 录
【片段一】“小数乘小数”的新课导入 师：小明最近搬了新家，这是他家的部分平面图。（多媒体出示小明房间和阳台的平面图）从图上你了解了哪些信息？
生1：我知道小明家房间的长是3.6米,宽是2米。
生2：小明家阳台长2米，宽1.15米。
生3：小明家的房门在东南角。
生4：小明家的房间比阳台要大许多。
……
师：根据这些信息，你能提出哪些数学问题？
生5：小明房间的面积有多大？
生6：阳台的面积有多少平方米？
教师根据学生回答，教师板书列式。
房间的面积 3.6×2 阳台的面积 2×1.15
师：先看2.6×2，这是我们前面学习的小数乘整数，你会计算吗？你是怎样计算的？
（学生列出竖式进行计算，并说一说小数乘整数的计算方法。）
师：如果把小明房间的宽度拉长为2.8米（课件在平面图上修改），你还能求出房间和阳台的面积吗？算式怎样列？
（教师根据学生的回答，板书：3.6×2.8 1.15×2.8。此时学生苦于无法计算，面露难色，教师指导观察。）
师：比较一下：3.6×2.8、2.8×1.15这两道算式和前面的有什么不同？这节课，我们一起学习“小数乘小数”。(板书：小数乘小数)
【思考】学生是带着“经验”走进课堂的，此时此刻，在学生的知识经验中已经掌握了小数乘整数，小数的意义、小数加减法和整数四则运算。这些已有经验是学生探求知识的基础。为了沟通学生已有经验和新知的联系，从计算“房间的面积”这个生活原型引入，创设一个学生比较熟悉的环境，整合小数乘整数、小数乘小数以及两种小数乘法的比较，突出数学与实际生活的联系，唤起学生的学习兴趣，引发学生的思考。学生在获得数学信息后其数学问题的呈现均来自于学生，虽然有些数学问题游离于课堂教学之外，但是是学生自己的思考，在学生的辨别分析后其数学问题的价值也更能突显，增强了学生学习的内驱力。同时，学生在计算房间面积过程中，既复习了已有知识，激活了新知的生长点，又通过学生的观察比较，引出了“小数乘小数”的新的数学问题，打破了学生的“经验”体系，使得学生认识到自身“经验”的不足，给计算教学增添了浓郁的现实意义。
【片段二】（在估算中确定积的范围）
师：这两题中的两个因数都是小数，该怎样计算呢？我们不妨先来估一估。
师：根据算式3.6×2.8，你能估计一下房间的面积大约有多大吗？ （学生在小组内交流、讨论）
生1：4×3=12平方米，把3.6和2.8分别看成最为接近的整数，把两个数都看大了，准确得数比估计的数小，所以积小于12平方米。
生2:3×2=6平方米，把3.6和2.8分别看成整数，用整数相乘，把两个数都看小了，准确得数比估计的数要大，所以积大于6平方米。
生3：3×3=9平方米，把3.6和2.8分别看成比较接近的整数，把3.6看小，2.8看大，所以积在9平方米左右。
师：通过刚才的估计，我们知道“3.6×2.8”的积应该在6平方米到12平方米之间，或者说是9平方米左右，那么准确得数究竟是多少呢？我们可以用竖式来计算。
【思考】在竖式计算之前，让学生先估一估，既是为了让学生体会解决问题的不同方式，感受其策略的灵活性，使得学生的“经验”显现化，更是为学生接下来探索笔算方法提供一种支持。学生可以通过对笔算结果与估算结果进行比较，判断估算结果是否合理，从而确认其相应计算方法的正确性，促进学生的“经验”向多样性和灵活性发展。
【片段三】（点拨转化，尝试算法）
师：根据我们以往计算小数乘整数的经验，猜测一下：用竖式计算小数乘小数可以怎样算？
生1：把一个小数看成整数，用小数乘整数的方法计算，再在积里点上小数点。
生2：把两个小数都看成整数进行计算，再在积里点上小数点。
师：都是这样想的吗？请大家选择第一小题独立做一做，有困难的同学可以在小组内讨论。
（学生独立计算或小组讨论完成，教师巡视，让不同的算法展示。）
板书：
师：请这些同学说说自己的算法。
生3：把3.6×2.8看成36×28来计算，结果是1008。因为两个因数都是一位小数，所以积也是一位小数,结果是100.8。
生4：我也是把3.6×2.8看成36×28来计算，结果是1008。因为两个因数都是一位小数，所以积中肯定也有两位小数,积是10.08。
师：所得的积到底是一位小数还是两位小数。
生5：我觉得是两位小数。因为3.6到36扩大到它的10倍，2.8到28也扩大到它的10倍，这样乘得的积就扩大到原来的100倍，要使乘积不变，就应该把1008也缩小100倍，所以结果是10.08。
师：按照你的说法，第一位同学的做法是错误的。其他同学，你们怎么想的？
生6：因为3.6约是4，而4×2.8=11.2，现在是100.08，结果肯定不对。
生7:我们学过3.6×28=100.08，而现在的因数是2.8，不是28，所以2.6×2.8=100.08是不对的。
师：同意吗？那么第三种做法你们怎么看？ 生8：竖式写错了，数字写错位，下面的2应该写在十位上，7写在百位上。
生9：同样的道理。因为3.6约是4，而4×2.8=11.2，所以3.6×2.8不会等于3.6。
生10：很明显不对。3.6×1=3.6，而这里是3.6×2.8，因此，肯定不对。
师：几位同学说得都很有道理。看来问题的关键是积是几位小数。
【思考】学生根据小数乘整数的经验，用自己的方法去尝试解决问题。学生在尝试中出现多种算法，进行了个体“创造”，教师在尊重学生差异的同时，让学生展示了自己的个性，也让学生暴露了其认知经验的困惑，体现了学生内在经验的不同。教师则根据学生困惑，将其转化为教学资源，进一步推进教学的前行——教师让学生面对多种算法，在“经验”面前相互辩驳，激发学生的思考，使得学生经历着质疑、解释、否定等思维过程，将内在的“经验”矛盾展现出来，有助于学生形成自己的观点，同时在学生的交流和倾听中，学生通过直觉判断出小数乘小数也能转化成整数乘法进行计算，潜移默化中发现确定小数部分的位数是计算小数乘小数的关键所在，从而逐步完善学生的“经验”体系。
【片段四】（激活经验，明理深化）
师：计算3.6×2.8的积为什么要点出两位小数？你能想办法说明吗？
生1：把3.6米和2.8米分别改写成分米作单位,算出面积是1008平方分米，再还原成平方米作单位.所以积是两位小数。
生2：运用“积的变化规律”和“小数点移动规律”，计算时把3.6和2.8分别看作36和28 ，把两个因数都乘了10，算出的积1008就等于原来的积乘100。为了让积不变，就要把1008除以100。
师：为了更好地让大家理解两位同学的观点，我们不妨来看一看这样一幅推理图。
出示：
师：你能看懂虚线框里的意思吗？谁愿意说一说。
生3：第一个箭头“×10”是把3.6看成36，是乘10；第二个箭头“×10”是把2.8看成28，是乘10；把两个因数都乘10，得到的积就等于原来的积乘100；最后一个箭头“÷100”，表示要得到原来的积就要把得到的整数积除以100。
师：现在我们再来回顾前面第（1）种算法错在哪里？
生4：两个因数都乘10，积也就乘100，算法（1）只把得到的积除以了10。
师：通过推理，我们证明了3.6×2.8=10.08，和先前估计的结果是一致的，积确实大于6平方米小于12平方米，接近9平方米。现在你能求出阳台的面积吗？
（让学生根据自己的思考，完成分析图，并交流）
师：你是怎样得到1.15乘2.8的积的？
生5：把两个因数都看成整数，等于把一个因数乘100，另一个因数乘10，所以得到的积就等于原来的积乘1000。要得到原来的积，就要用3220除以1000，从3220的右边起数出三位，点上小数点。
师：3.220可以化简吗？依据是什么？ 生6:3.220可以化简，化简以后的结果是3.22。
生7：小数化简的依据是小数的基本性质。
师：我们在计算小数乘小数时，是先确定积的小数点位置还是先化简？
生8：我觉得是先确定小数点的位置。因为我们是把每一个因数都看成整数进行计算的，此时的积是整数的积，不能先运用小数的性质进行化简。
生9：我认为是先确定小数点的位置，如果先化简实际上把乘得的积变小了，然后再点小数点，这样结果会更小，与我们的估计结果不同。
师：不错。先确定小数点的位置，还是先化简，需要联系我们的计算过程来思考，这样才能保证计算的正确。
【思考】教师在让学生尝试计算后，设计寻找依据环节，让学生经历推理的过程，帮助学生梳理方法，使得学生对“积的小数位数与因数小数位数”之间的关系有了更真切的体验；同时也让学生经历归纳算法的过程，提高了学生归纳和抽象的思维能力；第三，学生经历算法推理，也验证了前期的猜测，使学生“知其所以然”，其算理得到进一步的深化与明晰；第四，在“先确定小数点的位置，还是先化简”的讨论中，学生的思维逐渐清晰，且运用已有经验来迁移自己的思考，对猜测和探索作出合理的解释，使得学生的思维得到完善和提升。在本教学片段中，教师层层深入的引领，逐步打破学生原有“经验”，形成新的“经验”，“破”中立“新”，使学生经验走向丰富。
【片段五】（抽象概括，领悟深化）
师：比较上面两题中两个因数与积的小数位数，你发现它们之间有什么联系？
生1：我发现两个因数一共有几位小数，那么积里面就有几位小数。
生2：积的小数位数，正好和两个因数的小数位数和相等。
师：同意他们的观点吗？（同意）你能根据刚才的发现，给下面各题的积点上小数点吗？（出示）
师：通过探索，大家对小数乘小数的方法都有了各自的理解。你觉得小数乘小数应该怎样计算？在小组里相互说一说。
（学生先在小组内讨论、交流，然后全班交流）
【思考】学生在探索小数乘小数的计算方法后，其获得的经验是零散的，没有形成体系。教师通过引导，通过发挥学生之间的有效合作交流，将形象化的探索进行抽象化得概括，促进学生“经验”的提升，将“经验”内化，实现了知识的建构。
【片段六】（应用提升，发展思维）
1、专项练习。
（1）你能给下面各题的积点上小数点吗？
师：你是怎么想的？
（2）
师：你是怎么想的？ 追问：怎样才能做得快？你有小窍门吗？
【思考】“给各题的积点上小数点”对学生而言，难度不大。此题的设计在于面向全体学生，通过基本的练习内化算理，借助于学生的眼、口、脑来实现多种感官的参与、感悟。同时在追问中激发学生的学习兴趣，引发学生的进一步思考，引导学生将获得的规律进行成功体验，同时做到深入、感悟。
2、基础练习
（1）
师：你是怎样判断的？依据是什么？
追问：你觉得以后怎样避免这样的错误？
（2）计算下面各题
（3）解决实际问题。
【思考】练习的设计主要是为了突出重点，引导学生运用算法解决问题。通过一系列的练习帮助学生形成计算技能，提高学生的计算能力。同时，正视学生的错误，将学生的错误作为教学资源加以运用，引导学生从错误中寻找成因，形成矫正策略，使计算教学走向实效。
3、拓展练习
根据42×38=1596，在（ ）里填上合适的数，使等式成立。
（ ）×（ ）=15.96 （1）师：可以怎么填？
（2）观察、比较所填的数，追问：你有什么发现？
【思考】拓展思维练习重在让学生体会自我学习的乐趣，获得成功的体验，将所获得的“经验”真正地运用，使得学生的思维得到发展，得到提升。
【片段七】（总结梳理，形成体系）
师：通过今天的学习，你有哪些收获？愿意将你的收获与大家分享吗？
【思考】总结反思是对学习经历的回顾与整理，是对学生完善经验体系的再认识，引领着学生的经验走向深远。
反 馈
40分钟的一节课，最终没有能及时的停止课堂教学，大概拖堂了2分钟左右，其原因在学生练习时给予学生较为充足的时间和空间，让学生充分的说，在时间调控上有所失误。回顾学生说思维的过程，试想如果能引导学生先在小组内进行交流，然后集体交流，这样的效果会更好一些，拖堂的现象也能够避免。其次，学生在总结梳理中，更多的是将算法、算理进行了重复性的转述，而在数学思考和情感上感悟不深，这与学生内在的思维品质有极大的关系。 课后，请同班老师对班上学生进行了简单的问卷调查。调查发现：认为这节课很有趣的占87.2%，主要集中在引导学生参与探索活动上，有3.2%的学生认为没有兴趣，他们主要集中在思维缓慢的学生身上，对于探索活动，往往不能主动参与，思维的敏捷程度不及其他学生；认为自己在课堂上学习主动、对自己课堂行为满意的占91,3%，有2.3%的学生认为自己学得比较被动。最值得苦恼的是，在探究活动中不能充分表达自己的观点，自己说话的权力被无形中剥夺，同时对自己的思考不能相信，害怕出现错误。还有部分学生认为，这节课可以直接告诉他们如何计算，不需要探索等。
调查的结果从整体上看，学生的满意度较高，这得益于教师在积极的引导学生思考，将教师讲的权力下放给学生，引领学生主动的学习。学生对算理的理解，对算法的掌握可谓“水到渠成”，这从学生课后作业的正确率上也能得到佐证。
在课后教师研讨中，也有教师将教学的重点定位在引导发现算法，用算理解释算法，在提高计算能力的同时引导学生感悟、反思持相左的意见：认为计算教学的重点是计算能力的提高，需要全面提升学生计算式题的正确率，特别是对于中下等生，对于算理的理解作用不大。
反 思
反思一：怎样看待学生“经验”？
“经验”可以解释为从多次实践中得到的知识或技能或者是经历。学生走进课堂时，并非无任何经验，其经验隐性于学习者个体中，往往带有非严格理性色彩，同时每一个个体经验都存在着许多差异。就数学教学而言，学生所持有的“经验”往往是经历各种数学活动获得的经验，是数学知识的一部分。因此，我们的课堂教学的着眼点应该是学生，教学的起点应是学生现有的经验体系，将学生已有的知识经验作为学生后续学习的基础，引导学生借助于已有“经验”对未知领域作出猜测、探索、解释，从而完善经验、提升经验，让“经验”在引领中螺旋上升。
反思二：我们需要什么样的计算教学？
现实教学中的计算往往定位在掌握计算方法，能够正确计算，提高计算能力上。这无可厚非，然而这种计算教学目标的单一化，使得计算教学越来越走向单纯的“计算”，学生望“算”而生“畏”。这是现实教学中，计算教学功利化的表现，也是对学生的一种摧残。
2011年新颁布的《数学课程标准（实验稿）》明确将计算定位于“理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”因此，在我看来，计算教学不仅仅在于运用，更重要的是培养学生思维的灵活性，促进学生思维、心理的发展和计算能力的提高，帮助学生建构计算。因此，我们的计算教学应该从关注学生的学习发展和需要出发，引领学生在具体的情境中经历过程，理解算理，明确算法，实现计算的再创造，实现生命个体的智慧灵动。
反思三：学生的感悟、情感从何而来？
学生的感悟、情感是学生内在的思想，它不同于实实在在的数学事实，数学知识，可圈可点。因此数学教学中对学生的感悟、情感教学往往停留在理论，停留在文字上。如何引领学生在数学教学感悟，发展情感体验？我以为应该讲具体的情感目标有机融入到生动的数学教学活动中，引导学生主动参与数学教学活动，多关注学生的自主体验和感受，多给予学生时间和空间，让学生有机会能充分表达自身的观点，交流自己的感悟，将隐性情感显性化。在学生经验体系的形成过程中渗透情感，从而更好的促进学生情感的发展，感悟的提升。
推荐理由：
本教学设计是老师基于自己对于计算教学的探究和反思而进行的教学实践及教后反思。
教学设计中教学重点和教学难点把握准确，由概念和抽象造成的难,做了大量的具体化或形象化; 教案设计有创新，兼顾了教法设计，学法指导；习题设计对后续教学有巩固知识点和启发后续学习的作用；板书设计有新意，能突出重点；本教学设计既是教师个人教学智慧、教学水平的体现，又是教师教学理念的体现。所以推荐为本组优秀。
