人教版数学九年级上册《24.1.4圆周角(1)》教学设计及说明
乌鲁木齐五十中学冯笑红
一、内容及内容解析 ⒈ 内容
圆周角概念、圆周角定理及其推论 ⒉ 内容解析
与圆心角一样，圆周角也是研究圆时重点研究的一类角。圆周角定理揭示了一条弧所对的圆周角和圆心角的数量关系，从而把圆周角与相对应的弧、弦联系起来。圆周角定理及其推论为与圆有关的角的计算，证明角相等，证明弧、弦相等等数学问题提供了简便的方法和思路。所以本节课既是圆心角、弧、弦之间关系的继续，又是后面研究圆与其他平面几何图形的桥梁和纽带。
圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和化一般为特殊的化归思想。
二、目标和目标解析 教学目标分析
1．知识与技能
理解圆周角的概念，理解并证明圆周角定理，能运用圆周角定理及推论进行简单的证明和计算。
2．数学思考
①在探索圆周角定理的活动过程中，体会分类与化归的数学思想；
②通过观察、讨论、类比、操作、合作探究、交流反思等学习过程，提高分析问题，解决问题的能力。
3．问题解决
在探索圆周角定理的过程中，学会用分类讨论、化归的数学思想解决问题。 ⒋情感态度价值观
经历探索圆周角定理的过程，发展数学思维的能力。通过积极的引导，有意识地积累数学活动经验，获得成功的体验。 重点：探索圆周角定理的过程 难点：分三种情况证明圆周角定理 教学目标解析
达成目标①的标志是：能在具体的图形中正确识别一条弧所对的圆周角；知道一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，知道同弧或等弧所对的圆周角相等。
达成目标②的标志是是：能通过画图、观察、度量、归纳等方式发现一条弧所对的圆周角与圆心角之间的关系；能根据圆心与圆周角的位置关系对同弧所对的圆周角进行分类，理解证明圆周角定理需要分三种情况的必要性；理解证明圆周角定理时，可以把圆心在圆周角的内部和外部两种情况转化成特殊情况，从而证明定理。
三、教学问题诊断分析
圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角内部，圆心在圆周角外部。所以，圆周角定理要采用完全归纳法，分情况证明。学习本节课内容时，学生已经具备一定的逻辑推理能力，但对于一个几何命题要分情况证明的经验还很缺乏。因此，教学的关键是①在学生明确圆周角的概念后，让学生动手画圆周角，一方面让学生深入了解圆周角，另一方面让学生在动手操作中体会圆心与圆周角具有三种不同的位置关系，为后面证明的分类讨论做好铺垫，②学生合作交流，通过度量事先画的一条弧所对的圆周角与圆心角的度数，探究并猜想它们之间的数量关系，然后教师再利用计算机软件来验证，让学生进一步明确它们之间的关系，从而得到命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。③从特殊的位置关系----圆心在圆周角的一边上的情形入手，先证明猜想，再将其他两种情形转化为圆心在圆周角的一边上的情形。
基于以上分析，本节课的教学难点是：分情况证明圆周角定理。
四、教学支持条件分析
这节课采用以观察发现为主，多媒体演示为辅的教学组织方式．在教学过程中，通过设置带有启发性和思考性的问题串，创设问题情景，启发学生思维．利用计算机和几何画板软件，并结合学生亲自观察、猜想、证明、归纳等方式，让学生亲身体验知识的产生、发展和形成的过程．
五、教学过程设计
创设情境→概念辨析→合作探究→学以致用→回顾反思→布置作业
㈠ 创设情境
提出问题: 仅从射门角度考虑谁的射点更有利? 教师追问：∠COD是我们学过的什么角？ 师生活动：学生思考并回答问题。
设计意图：生活中的情境问题面向了全体学生，并且摆脱枯燥单调的知识回顾。
㈡概念辨析
提出问题：那∠CAB和∠CDB还是圆心角吗？有什么特征吗？
设计意图：产生认知冲突，然后通过观察、对比、发现，并尝试归纳总结。由回答不完整，不严谨到逐步完整、严谨、规范，通过不断的修正，有利于加深对概念的理解。
练习①判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
②找一找：例:如图,点A、B、C、D在同一个圆上,说出图中的圆周角有几个？分别是？
设计意图：这是学生对新知理解的一种自主体验，在辨析中针对圆周角两个特征进行强化，达到教学目标中所要求的理解圆周角的概念。
㈢合作探究
提出问题：现在再来看刚才的问题，这三个角之间有什么联系？
设计意图：先引导学生观察这三个角在图上的联系，它们所对的是同一段弧。把学生的思维引导到圆周角与圆心角的关系上，以“同一条弧所对”作为关系纽带，进入合作探究这一环节。并且学生已经了解“同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等”，为猜想在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系做了知识铺垫。 在这个环节中，安排了五个活动
活动一：目的让学生明白为什么要分类 师生活动：操作步骤
①在圆O中任取一段弧BC ②做弧BC所对的圆心角
③做弧BC所对的圆周角，顶点为A 提出问题：操作2中的弧BC所对的圆心角你能做出几个？ 教师追问：那操作3中有什么发现要和大家分享呢？ 设计意图：圆周角定理的证明要用到完全归纳法，学生对分类证明的必要性难以理解。所以在操作中让学生发现一条弧所对的圆周角有无数个，提出问题我们研究其中一种情况能代表弧BC所对的所有圆周角吗？学生做不到对所有情况逐一分析，得到分类的必要性。 活动二：目的让学生明白怎么去分类
师生活动：请同学们在操作纸上再多画几个弧BC所对的圆周角，然后小组商议怎么分类，如何分类学生会存在一定的困难，课堂中采用先自主商议分类标准，再通过关注圆心和圆周角的位置关系准确描述分类标准，教师利用几何画板动态演示让学生在教师的启发下进一步了解分类要做到不重不漏。
设计意图：在活动一的基础上，讨论如何分类。培养学生独立思考、合作交流的能力，体会分类讨论的思想。教师利用几何画板动态演示让学生体会分类的合理性。
活动三：探索定理 师生活动：
⑴度量弧BC所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现了什么？
一条弧所对的圆周角是圆心角的一半
⑵通过几何画板操作演示①改变圆周角的大小②拖动圆周角的顶点让学生发现刚才的结论还成立。再借助几何画板演示，发现圆周角和圆心角之间没有刚才的数量关系，让学生思考原因。
设计意图：让学生经历观察、操作、交流等基本数学活动，发现一条弧所对的圆周角是圆心角的一半。教师通过几何画板做进一步演示与验证，在动态环境中研究圆周角与圆心角的关系，即在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解一条弧所对的圆周角与圆心角的数量关系。 活动四：证明定理
请小组商议你们准备从哪种情况开始证明？又如何证明？ ⑴关注点：证明过程中用到哪些知识？ 【等腰三角形（圆中半径相等），(圆周角是等腰三角形的底角，圆心角是等腰三角形顶角的外角)三角形外角定理】
对这种特殊情况重点让学生明白所用知识点，找到基本图形，为后两种情况证明做好铺垫。
⑵对于圆心在圆周角内部的情况，关注点放到学生的辅助线上，怎么想到要做这条辅助线，辅助线起到了什么作用，可以对第三种情况有所启发。
⑶先独立思考在小组商议解决
设计意图：学生通过画图，学会运用分类讨论的方法，由特殊到一般的策略，用化归思想推理验证圆周角定理，体会将一般情况转化成特殊情况的思维过程，理解添加辅助线的必要性，达到突破难点的目的，并且培养学生严谨的学习态度和解决问题的能力。
活动五：那刚才的问题里∠A和∠B的数量关系呢？ 设计意图：学生运用圆周角定理证明同弧所对的圆周角相等，并根据上节课学习的弧与圆心角的关系进一步得到等弧对的圆心角也相等，从而得到圆周角定理的推论。
（四）学以致用（目标检测设计）
设计意图：及时地巩固反馈，有助于学生加深对圆周角定理的理解与应用 考查：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
2）学生对等弧所对的圆周角和圆心角之间关系的掌握。
（五）回顾反思
在课的结束我给大家给了一些关键词（知识、方法、思想、收获、喜悦、困惑、成功······），大家可以挑一个或几个关键词谈一下自己的体会。 设计意图：本环节由学生自己总结叙述，体会由“特殊到一般”，“分类”，“化归”等数学思想方法，充分发挥学生的主体作用，增强学生的自信心，使其获得更大的发展。
（六）布置作业
设计意图：通过分层作业，使不同层次的学生都能对本节知识得到巩固。在作业中又设置了思考题，是对情境中问题的发展和提升，给学生课下留有更多的思考空间，达到对所学知识进一步的理解和认识。 板书设计
24.1.4圆周角（1）
1、概念：顶点在圆上，并且两边都与圆相交。
2、定理：一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
3、同弧或等弧所对的圆周角相等。
⑴ 由前面结论得：∠BAD= ∠BOD.⑵由前面结论得：∠BAD= ∠BOD.同理：∠CAD= ∠COD.
同理：∠CAD= ∠COD.∴∠BAD+∠CAD= ∠BOD+ ∠COD
∴∠CAD－∠BAD = ∠COD－∠BOD, 即：∠BAC= ∠BOC.
即：∠BAC= ∠BOC.
