高等数学习题第78章_

发布时间：2020-03-03 17:56:15 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

高等数学第

七、八章练习题

1.指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：

A(2，1,-6)，B(0，2，0)，C(-3，0,5)，D(1，-1，-7).2.已知点M(-1，2，3)，求点M关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标.

3.在z轴上求与两点A(-4，1，7)和B(3，5，-2)等距离的点.4.证明以M1(4,3,1)，M2(7,1,2)，M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

5、已知向量a=（0，3，1），b=（1，2，-1），则ab=______；

6、过点A（1，-2，1）且以a=（1，2，3）为法向量的平面方程是_____；

7、过点（1，-2，3）且与平面7x3yz60平行的平面方程是＿＿；

8．已知两点M1(4,2,1)与M2(3,0,2)，求M1M2，方向余弦，方向角．

9．试确定m于n的值，使向量a{2,3,n}与向量b{m,6,2}平行．

10、已知平面1：A1xB1yC1zD10与平面2：A2xB2yC2zD20，则1||2的充要条件是＿＿，而12的充要条件是＿＿；

11、平面3xy2z10的法向量为(3,1,2)＿＿；

12、过点（1，-2，2）且以向量a=（1，-2，3）为方程向量的直线方程是＿＿；

13、指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？

22(1) x－2y=1； (2) x+y=1；

222(3) 2x+3y=1； (4) y=x.14、求下列旋转曲面的方程．

（1）将zOx面上的抛物线z5x绕x轴旋转一周； 2

x2y

21绕y轴旋转一周；（2）将xOy面上的椭圆9

4（3）将xOy面上的双曲线4x29y236分别绕x轴及y轴旋转一周；

（4）将xOy面上的直线y2x1绕x轴旋转一周．

15、求下列二元函数的定义域，并绘出定义域的图形.(1) zzln(xy) (3)z1(4)zln(xy1)ln(xy)

16.求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形： (1) zsin212；

(2) z

xy

122(3) f(x,y)xy)；

(4) f(x,y) 1

7、函数zxy)的定义域为  。

arcsinx

18、函数z的定义域为  。 y

- 1 -

y

19、设函数f(x,y)x2y2xylnx

，则f(kx,ky)=  。 20、设函数f(x,y)xy

xy

，则f(xy,xy)=  。

21、极限lim

sin(xy)

x0y

=  。

22、极限lim

ln(yex

2)x0。

y

1x2

= y

23、求极限limxyex

x0

4 。

y0

xy

24.计算下列极限：

limex(1) y

xy)

x0xy

；

(2)lim

sin(;

(x,y)(0,3)xy

1sin(x3y3(3) lim)

；

(4)

(x,y)(0,0)xy

(x,ylim

)(0, 0)

.25.求下列极限：

(1) (x,limy)(0,0)(x2y2)sin1xy

；

(2) (x,ylim)(0, 0).

limx226.极限y

x0x4y

2=（）

y0

(A)等于0； (B)不存在；(C)等于

12； (D)存在且不等于0或12



27、设函数f(x,y)xsin1ysin

1xy0，则极限limyx

x0

f(x,y)=0

xy0

y0

(A)不存在；(B)等于1；(C)等于0；(D)等于228.说明下列极限不存在：

(1) limxyx0； (2) limx3y

60

xyx0y0

xy

2.y

xy22

9、设函数f(x,y)

x2y

2x2y0，则f(x,y)

0x2y20

(A) 处处连续；(B) 处处有极限，但不连续；

31.下列函数在何处间断？

（）

(1) z

1；

xy

2(2) z

32、设zsin(3xy)y，则

zx

x2y

1_________。

33.偏导数fx(x0,y0)，fy(x0,y0)存在是函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续的()A 充分条件B 必要条件

C 充要条件D 即非充分也非必要条件

34.函数f(x,y)(0,0)处的偏导数存在的情况是().

A fx(0,0)，fy(0,0)都存在B fx(0,0)存在，fy(0,0)不存在

C fx(0,0)不存在，fy(0,0)存在D fx(0,0)，fy(0,0)都不存在

35、设zyx

ln(xy)，求zz

x,y

。36.求下列函数偏导数：

(1) z=x

3+3xy+y3

；(2) zsiny

;

(3) zln(x3y)；(4) zxylnxy(x0，y0,x1)

z(5) uxy

；

(6) ucos(x2y2ez)

37.求下列函数在指定点处的偏导数：

(1) f(x,y)=x2－xy+y2

，求fx(1,2)，fy(1,2);

(2) f(x,y)arctanx2y2

xy

;求fx(1,0)

(3) f(x,y)sin(x21)earctan(x2

; 求fx(1,2)；

(4) f(x,y,z)ln(xyz), 求fx(2,0,1),fy(2,0,1),fz(2,0,1).38

．设r 2

(1) rxryrz

1; (2) 2r2r2rx2y2z

2r; (3)

2(lnr)2(lnrx2)2(lnr)

1y2z2r

2.39.求下列函数的二阶偏导数2z2z2

zx2,y2,yx

： (1) z4x33x2y3xy2xy；(2) zxln(xy).40.求下列函数的全微分：

(1) z=4xy3

+5x2y6

；

(2) z(3) u=ln(x－yz)；(4) uxsin

eyz 41.计算函数z=xy

在点(3，1)处的全微分.

42.求函数z=xy在点(2，3)处，关于Δx=0.1，Δy=0.2的全增量与全微分.

43.计算 (1.04)2.02

的近似值.

44.设有一个无盖圆柱形玻璃容器，容器的内高为20 cm，内半径为4 cm，容器的壁与底的厚度均为0.1 cm，求容器外壳体积的近似值.

45.求下列函数的全导数：

3u+2v2

(1) 设z=e，而u=t,v=cost,求导数dz；

dt3

(2) 设z=arctan(u－v),而u=3x,v=4x,求导数dz;

(3) 设z=xy+sint,而x=e,y=cost,求导数dz.

46.求下列函数的偏导数(其中f具有一阶连续偏导数)：

(1) 设z=uv－uv，而u=xsiny,v=xcosy，求z和z；

xy

224x+2y

(2) 设z=(3x+y)，求z和z；

xyx+2y+3z2

(3) 设u=f(x,y,z)=e,z=xcosy，求u和u；

xy

(4) 设w=f(x，xy，xyz)，求w,w,w.

xyz

47、函数zz(x,y)由方程xyze

(xyz)

2z

所确定，则x

2z

。答：y

48、设函数zz(x,y)由方程xy2zxyz所确定，求

49.已知sinxy－2z+e=0,求z和z..xy

50.求下列函数的二阶偏导数(其中f具有二阶连续偏导数)：

2(3) z=f(xy,x－y).

51.求由下列方程所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数z,z：

xy(1) x+y+z－4z=0；

(2) z－3xyz=1.

52.设z=f(x,y)由方程xy+yz+xz=1所确定,求z,z2,z.

xxxy

53.

设函数f(x,y)1,则下列结论正确的是()

A 点(0,0)是f(x,y)的极小值点B 点(0,0)是f(x,y)的极大值点 C 点(0,0)不是f(x,y)的驻点D f(0,0)不是f(x,y)的极值

54、函数fx,yxay

a0在0,0处（）

A、不取极值B、取极小值C、取极大值D、是否取极值依赖于a

55、设函数z1

x2y2，则点(0,0)是函数z的（）

（A）极大值点但非最大值点；（B）极大值点且是最大值点；

（C）极小值点但非最小值点；（D）极小值点且是最小值点。

56、设函数zf(x,y)具有二阶连续偏导数，在P0(x0,y0)处，有（）

fx(P0)0,fy(P0)0,fxx(P0)fyy(P0)0,fxy(P0)fyx(P0)2，则

（A）点P0是函数z的极大值点；（B）点P0是函数z的极小值点；（C）点P0非函数z的极值点；（D）条件不够，无法判定。



57．设资本投入为K，劳动投入为L时，某产品的产出量为y，且yAKL



，其中A,,

为常数，则y对资本的偏弹性K，对劳动的偏弹性L58.求下列函数的极值：

3(1) f(x,y)=x+y－6xy+18x－39y+16；

(2) f(x,y)=3xy－x－y+1.59.求下列函数的条件极值： (1) z=xy，x+y=1；

2(2) u=x－2y+2z， x+y+z=1.60.要用铁板做成一个体积为8m的有盖长方体水箱，如何设计才能使用料最省？ 61.某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x件和y件，总成本函数为

C(x,y)=1000+8x2－xy+12y2(元),

要求每天生产这两种产品的总量为42件，问甲、乙两种产品的日产量为多少时，成本最低？ 62.某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销售收入R(单位:万元)与电视广告费x(单位:万元)和报纸广告费y(单位:万元)之间的关系为

R(x,y)=15+14x+32y－8xy－2x2－10y2，

(1) 若广告费用不设限，求最佳广告策略.(2) 若广告费用总预算是2万元，分别用求条件极值和无条件极值的方法求最佳广告策

略.63.某水泥厂生产A,B两种标号的水泥，其日产量分别记作x,y(单位：吨)，总成本(单位：元)为

C(x,y)=20+30x2+10xy+20y2,

求当x=4,y=3时，两种标号水泥的边际成本，并解释其经济含义.64.设某商品需求量Q与价格为p和收入y的关系为

Q=400－2p+0.03y.

求当p=25,y=5000时，需求Q对价格p和收入y的偏弹性，并解释其经济含义.

265.求函数f(x,y)=x(2+y)+ylny的极值.

66、某工厂生产两种产品甲和乙，出售单价分别为10元与9元，生产x单位的产品甲与生产y单位的产品乙的总费用是

4002x3y0.01(3xxy3y)元，求取得最大利润时，两种产品的产量各为多少？

67．某工厂生产甲、乙两种产品，产量各为x、y，其成本函数为c(x,y)x22xy3y2。由市场调查得知，甲、乙两种产品的单价与产量分别有如下关系：P。 1363x,P2405y试求甲、乙两种产品产量各为多少时总利润最大？并求出最大利润。

(元)。

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