55讲直线与平面平行和平面与平面平行
直线与平面平行
【例1】
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.【证明】方法1：如图，作ME//BC，
交BB于E，作NF//AD，交AB于F，1 连结EF，则EF平面AA1B1B.MEB1MNFBN 易得＝＝.BCB1CADBD
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CM＝DN，
所以BM＝NB.1 MEBNNF又BC＝BD，所以＝＝，所以ME＝NF.1BCBDAD 又ME//BC//AD//NF， 所以四边形MEFN为平行四边形，
所以MN//EF，所以MN//平面AA1B
1B.
方法2：如图，连结CN并延长
交BA所在直线于点P，连结B1P，
则B1P平面AA1B1B.
NDCN 因为NDC∽NBP，所以＝.NBPN
又CM＝DN，B1C＝BD，
CMDNCN所以＝，所以MN//B1P.MB1NBNP
因为B1P平面AA1B1B，所以MN//平面AA1B1B.
方法
3：如图，作MP//BB1，交BC
于点P，连结NP.
因为MP//BB1，所以CM＝CP.MB1PB 因为BD＝B1C，DN＝CM， CMDNCPDN所以BM＝BN，所以＝,所以＝,
1MB1NBPBNB 所以NP//CD//AB，
所以平面MNP//平面AA1B1B，所以MN//平面AA1B1B.
欲利用判定定理证明线面平行，就是根据题中的条件在这个平面内去寻找
这条“目标直线”，构成平行关系的桥梁，从而完成过渡．寻找方法一是将线段平移到已知平面(如方法1)；寻找方法二是通过一点作为投影中心，作出该直线在平面内的投影(如方法2)．
(2)若要借助于面面平行来证明线面平行，则先要确定一个平面经过该直线且与已知平面平行，此目标平面的寻找方法是经过线段的端点作该平面的平行线(如方法3)．
【变式练习1】
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D、E分别是BC、B1C1的中点．求证： (1)DE∥平面ACC1A1； (2)平面A1EB∥平面ADC1.
【证明】1在侧面BCC1B1中，BB1//CC1， 又因为点D、E分别是BC、BC的中点，
1
1所以DE//CC1.又CC1平面ACC1A1，DE平面ACC1A1， 所以DE//平面ACC1A1.
2由1知，DE//CC1，且DE＝CC1， 又AA//CC，所以DE//AA，
111
所以四边形ADEA1是平行四边形．所以AD//A1E，
又AD平面ADC1，A1E平面ADC1， 所以A1E//平面ADC1.
因为BD//C1E且BD＝C1E，
所以四边形BDC1E是平行四边形．
所以BE//DC1，又DC1平面ADC1，BE平面ADC1，
所以BE平面ADC1.
因为BEA1E＝E，BE平面A1EB，A1E平面A1EB， 所以平面AEB//平面ADC.11
与平行有关的探索性 问题【例2】
如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝2AB，AB∥DC，设E是DC上一点，试确定E点的位置，使D1E∥平面A1BD.
【解析】方法1：设E是DC的中点，
则D1E//平面A1BD.
因为DE//AB，DE＝AB，
所以四边形ABED为平行四边形，
所以BE//AD，BE＝AD，
所以A1D1//BE，BE＝A1D1，
故四边形A1D1EB为平行四边形，所以D1E//A1B.又 A1B平面A1BD，D1E平面A1BD，所以
D1E//平面A1BD.
方法2：过D1作A1D的平行线交AD的延长线于H，过H作BD的平行线交DC于E，则D1E//平面A1BD.
证明：因为D1H//A1D，所以D1H//平面A1BD.同理，HE//平面A1BD，又D1HEH＝H，所以平面A1BD//平面D1HE.又D1E平面D1HE，所以D1E//平面A1BD.
E的位置，再进行证明．而确定E的位
置，可在过点D1且与平面A1BD的平行平面内中(如方法2)，或与平面A1BD内直线平行的直线中(如方法1)，找出确定的点E.
【变式练习2】
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB.
【 解析】当t＝时，PA//平面MQB.
连结AC，设ACBQ＝O，
连结OM.在AOQ与COB中，因为AD//BC，所以AOQ∽COB.AOAQ1AO1所以，所以.OCCB2AC3 在CAP与COM中，
COCM2因为，ACP＝OCM，
CACP
3所以CAP∽COM，所以CPA＝CMO，所以AP//OM.
因为OM平面MQB，PA平面MQB，
所以PA//平面MQB.
1.给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条
直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；
②如果一条直线同时平行于两个不重合的平面，那么这两个平面平行； ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条平行线，那么这两个平面互相平行． 其中真命题的序号是
_________.
2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是AC上一动点，P、Q分别为DD
1、CC1的中点，则平面AOP与平面BQD1的位置关系是___________.3.已知在三棱锥P－ABC中，点M、N分别是△PAB和△PBC的重心，若AC＝a，则MN＝_____________
【解析】连结PM并延长交AB于点D，连结
PN并延长交BC于点E，连结DE.因为点M、N分别是PAB和PBC的重心， PMPN2DE1所以＝＝＝， PDPE3AC2 MN2所以＝，因为AC＝a， DE3 2211所以MN＝DE＝AC＝
a.332
34.在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD和△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_____________________.
【解析】如图所示，连结DM、DN，并延长 分别与AC、BC相交于点Q、P.因为M、N分别是ACD和BCD的重心，
所以P、Q分别是BC、AC的中点，
且DM＝DN＝2，所以MN//PQ.MQNP
1而MN平面ABC，PQ平面ABC， 所以MN//平面ABC.
同理可得MN//平面
ABD.
5.如图，已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.
//AB交BE于M，作QN//AB交BC于N.则PM//QN，且
PMEP
＝,ABEA
QNBQ
＝.CDBD
又AP＝DQ，AB＝CD，EA＝BD，所以PM＝QN.所以四边形PMNQ是平行四边形，所以PQMN.因为PQ平面CBE，MN平面CBE，故PQ平面CBE.方法2：如图，作PR//BE交AB于R，连结RQ.
因为PR平面CBE，BE平面CBE，所以PR//平面CBE.因为PR//BE，所以
APAR＝.AEAB
ARDQ＝,ABDB
又因为两矩形全等，所以AE＝BD.又AP＝DQ，故从而RQ//AD，所以RQ//BC.
因为RQ//BC，RQ平面CBE，BC平面CBE，所以RQ//平面CBE.
又PRRQ＝R，所以平面PRQ//平面CBE.因为PQ平面PRQ，所以
PQ//平面CBE.
方法
3：如图，连结AQ并延长与BC(或其延长线)相交于点G，连结EG.
易知ADQ∽GBQ，所以即
AQDQ＝,QGQB
AQDQ＝.AGDB
因为DQ＝AP，DB＝AE，
AQAP所以＝,所以PQ//EG.
AGAE
又PQ平面CBE，EG平面CBE，所以PQ//平面CBE.
1．证明直线与平面平行的步骤是：①说明a ；②寻找b；③证明a//b；④
由线面平行的
判定定理得a//.
2．利用面面平行判定定理证明面面平行时注
意\"a//，b//，ab＝O\"这三个条件缺一不可．3．证明平行问题时要注意\"转化思想\"的应用， 要抓住线线、线面、面面之间平行关系，实现“空间
问题”与“平面问题”之间的转化．1．(2010·泰州市期末联考
)正三棱锥S－ABC
中，BC＝2，SBD、E分别是棱SA、SB
上的点，Q为边AB的中点，SQ平面CDE，
则三角形CDE的面积为__________．
选题感悟：本题以正三棱锥为载体，设计了线面垂直的判断和计算问题，突出考查了考生空间想象能力和计算推理能力．
2．(2010·苏北四市期末卷)如图①，E，F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，∠B＝90°，沿EF将三角形ABC折成如图②所示的锐二面角A1－EF－B，若M为线段A1C中点．求证：
(1)直线FM∥平面A1EB； (2)平面A1FC⊥平面A1BC.解析】【1取A1B中点N，连结NE，NM， 11则MN//BC，EF//BC，所以MN//FE，
2
2所以四边形MNEF为平行四边形，所以FM//EN，
又因为FM平面A1EB，EN平面A1EB，
所以直线FM//平面A1EB.
2因为E，F分别为AB和AC的中点， 所以AF＝FC，所以FMAC，
1
1同理，ENA1B，由1知，FM//EN，所以FMA1B，
＝A1，所以FM平面A1BC，1A1B 又因为AC
又因为FM平面A1FC，所以平面A1FC平面A1BC.
选题感悟：本题以空间中的线面、面面位置关系组成一道中档题．着重考查考生对空间位置关系的观察、分析、抽象和推理论证的能力．
