北 京 四 中
撰 稿：张炜卓编 审：肖国友责 编：姚一民
面面平行、平行平面的距离
[本周重点]：面面平行的判定和性质
[本周难点]：判定及性质定理应用
[本周内容]：
一、空间两平面位置关系的定性研究
1．两平面相交（公理2告诉我们两平面存在一公共点则必相交于一过该点直线）
α∩β=l
2．与上述情况相反，若两平面不存在公共点，称它们平行。
α//β
3.空间两平面关系非此即彼。故若用反证法判定位置关系时，只需假设另一种关系成立。如欲证α//β，可假设α∩β=l推矛盾。
二、定量研究
1．对面面平行可引入距离刻画相对位置关系。
2．对面面相交，可引入成角来刻画它们互相张开的程度。
三、面面平行
1．定义：如两平面没有公共点，我们就说这两个平面互相平行
说明：该定义的核心是对存在性的否定，通常这种定义不易从正面说明，采用反证的方法。
2．判定：
分析：考虑若两平行平面α//β，在α中任取一直线a
α//β矛盾）
α一定有a//β（否则设a∩β=p, p是α、β公共点与
上述命题反之也成立，（否则设α∩β=l。l上任一点所在α内的直线就不与β平行）。
因此正面判定面面平行的问题就可以转化为已解决的一组关系：线面平行的判定：如果α内的任一直线均与β平行则α//β。
但是这一方法虽然将面面关系转成了较低级的线面关系判定，可任一直线并不发判断或说明，于是考虑能否减少到确定平面的两条
直线。
显然若α内两平行直线与β平行不够。反例如图：
a
另一个可直接用于判定的命题：垂直于同一直线的两平面平行。
α,b
α, a//b, a//β, b//β,α β于是有判定定理：一平面内两相交直线平行于另一平面，则面面平行。
事实上垂直于一组平行直线的一组平面也是平行的位置关系。
3．性质：
两平行平面无公共点是由定义得的性质。
此外，α//β， a
4．定理研究面面平行
将公垂线段的长度定义为平行平面的距离。这里有一点需注意：
a，b异面，a
这一事实告诉我们可以将这三种距离相互转化，在某个距离不好求时可转化成另一种距离去求。例如正
方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和A1B的异面距离等于B1（到平面A1BD的距离（B1C//平面A1BD）等于平α, bβ，图中线段AB即是异面直线a，b的距离（公垂线段），又是a到β（或b到α）的线面距，还是α、β两平行平面距离。α则a//β（由面面平行推出线面平行）性质定理：两平行平面同时和第三平面相交，交线平行（由面面平行推出线线平行）。
面A1BD与平面D1B1C
的距离，它们都等于边长的
[本周例题]
并求两平面间距离。
倍。例1．已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，E、F、G、H分别为棱AA
1、AB、CD、DD1中点，求证：平面EFGH//平面A1BCD1，
证明：平面ABB1A1中，
∵ E、F分别是平面AA1AB中点，
∴ EF//A1B，
∴ EF//平面A1BCD1，
∵ H是DD1中点， ∴ EH//A1D1，
∴ EH//平面A1BCD1， ∴平面EFGH//平面A1BCD，
连结AB1分别交A1B于I交EF于J，
平面ABB1A1中AB1⊥A1B
又 ∵ A1D1⊥平面ABB1A
1∴ A1D1⊥AB1， ∴ AB1⊥平面A1BCD1，
又平面A1BCD1//平面EFGH，
∴ AB1⊥平面EFGH。
即AB1是公垂线，IJ是两平面距离，
∴
IJ=
即两平面距离为。
例2．已知平面α//β,AB与CD异面，AB α, CDβ，AC中点为M，BD中点为N，求证MN//平面β。
证明：连结AD，取AD中点P，连结MP，NP，ΔACD中，∵ M，P分别是AC、AD中点。∴ MP//CD，同理NP//AB（ΔDAB中）∵ CDβ，∴ MP//β，
设平面ABD∩平面β=l,
∵ α//β, ∴ AB//l
由公理4 NP//l, NP//β, ∴平面MNP//β， ∴ MN//平面β。
补充：本题中连结BC令其中点为Q，请问：如果不考虑Q点与平面PMN的关系，四边形MPNQ是什么图形。
例3．已知平面α//平面β，线段AB
AC与BD成角。
解：过B作BE//AC交平面β于E，平面ABCD分别交α，β于AB，CE，
∴ AB//CE， ∴ ABCE是平行四边形
BE=AC=
CE=AB=1， ∠ECD是AB，CD所成角60°，
∴ 在ΔECD中，由余弦定理，有
DE2=CE2+CD2-2CE·CDcos∠ECD=
3又∵ BE//AC，∴ ∠EBD为AC，BD成角
，α，线段CDβ，AB、CD异面，AB=1，CD=2，，BD=3，AB和CD成60°角，求
ΔBED中，cos∠
EBD=
∴ ∠EDB=30°即AC、BD成角30°。
[本周练习]
,
平面α//平面β，AB是夹在α、β间的定长线段，AB=6，CD是夹在α、β间的动线段，CD⊥AB，当AB于β成60°角时，CD长的最小值为________。
解答：。
