应用导数证明不等式

发布时间：2020-03-02 14:02:50 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

应用导数证明不等式

常泽武指导教师：任天胜

（河西学院数学与统计学院甘肃张掖 734000）

摘要：不等式在初等数学和高等代数中有广泛的应用，证明方法很多，本文以函数的观点来认识不等式，以导数为工具来证明不等式。

关键字：导数不等式最值中值定理单调性泰勒公式

中图分类号： O13

Application derivative to testify inequality

ChangZeWu teachers: RenTianSheng

(HeXi institute of mathematics and statistics Gansu zhang ye 734000) Abstract: He inequality in elementary mathematics and higher algebra is widely used, proved many methods, based on the function point of view to know inequality to derivative tools to prove to inequality.

Key words: The most value of derivative inequality value theorem monotonicity Taylor formula

1.利用微分中值定理来证明不等式

在数学分析中，我们学到了拉格朗日中值定理，其内容为：

定理1.如果函数fx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b上可导，则至少存在一点a,b，使得f\'()

拉格朗日中值定理是探讨可微函数的的几何特性及证明不等式的重要工具，我们可以根据以下两种方法来证明。

（1）首先，分析不等式通过变形，将其特殊化。其次，选取合适的函数和范围。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根据函数的单调性和最大值和最小值。

（2）我们可根据其两种等价表述方式

①f(b)f(a)f\'(a(ba))(ba),01

②fahfaf\'ahh,01

我们可以的范围来证明不等式。 f(b)f(a)。 ba

11(x0)例1.1证明不等式ln(1)x1x

证明第一步变形1 ln(1)ln(1x)ln(x) x

第二步选取合适的函数和范围

令f(x)lnttx,1x

第三步应用拉格朗日中值定理

存在x,1x使得f\'()f(1x)f(x) (1x)(x)

即ln(1x)ln(x)1

而 

1x1)而0x 即ln( x1xln(1x)ln(x)

例 1.2证明：h>-1且h0都有不等式成立：

hln(1h)h 1h

证明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，0,1使得

ln(1h)f(h)f(0)f\'(h)h

当h>0时有

1h11h,

当1h0时有

11h1h0,即h.1h1hh;1h1h1hh.1h1h

2．利用函数单调性证明不等式

我们在初等数学当中学习不等式的证明时用到了两种方法：一种是判断它们差的正负，另一种是判断它们的商大于1还是小于1.而我们今天所要讨论的是根据函数的导数的思想来判断大小。

定理：设函数f(x)在a,b上连续，在a,b可导，那么

（1）若在a,b内f\'(x)0则f(x)在a,b内单调递增。

（2）若在a,b内f\'(x)0则f(x)在a,b内单调递减。

使用定理：要证明区间a,b上的不等式f(x)g(x)，只需令F(x)f(x)。 g使在(x)a,b上F\'(x)>0（F\'(x)

证明：令F(x)ln(1x)xex（x>0）

显然F(0)0

1exx21xx（x>0） F\'(x)exex1x(1x)e

现在来证明exx210

令f(x)exx21显然f(0)0

当x0时f\'(x)ex2x0

于是得f(x)在x0上递增

故对x0有f(x)f(0)f(x)0

而(1x)ex0

所以F\'(x)0故F(x)递增

又因为F(0)0

所以F(x)0

所以ln(1x)xex成立

3．利用函数的最大值和最小值证明不等式

当等式中含有“=”号时，不等式f(x)g(x)(或f(x)g(x)) g(x)f(x)0（或g(x)f(x)0），亦即等价于函数G(x)g(x)f(x)有最小值或F(x)f(x)g(有最大值。x)

证明思路：由待正不等式建立函数，通过导数求出极值并判断时极大值还是极小值，在求出最大值或最小值，从而证明不等式。

1例3.1证明若p>1，则对于0,1中的任意x有p1xp(1x)p1 2

证明：构造函数f(x)xp(1x)p(0x1)

则有f\'(x)pxp1p(1x)p1p(xp1(1x)p1)

令f\'(x)0，可得xp1(1x)p1，于是有x1x，从而求得x1。由于2

函数f(x)在闭区间0,1上连续，因而在闭区间0,1上有最小值和最大值。

由于函数f(x)内只有一个驻点，没有不可导点，又函数f(x)在驻点x1和2

111p1)p1,f(0)f(1),区间端点(x0和x1)的函数值为f())p(1所以2222

1f(x)在0,1的最小值为p1，最大值为1，从而对于0,1中的任意x有2

11f(x)1xp(1x)p1。，既有p1p122

4．利用函数的泰勒展式证明不等式

若函数f(x)在含有x0的某区间有定义，并且有直到(n1)阶的各阶导数，又在x0处有n阶导数f(n)(x0)，则有展式： f\'(x0)f\'\'(x0)fn(x0)2(xx0)(xx0)(xx0)nRn(x)f(x)f(x0)1!2!n!

在泰勒公式中，取x0=0,变为麦克劳林公式

f\'(0)f\'\'(0)2fn(0)nf(x)f(0)(x)(x)(x)Rn(x) 1!2!n!

在上述公式中若Rn(x)0(或0)则可得

f\'(0)f\'\'(0)2fn(0)nf(x)f(0)(x)(x)(x)， 1!2!n!

f\'(0)f\'\'(0)2fn(0)n(x)(x)(x)。或f(x)f(0)1!2!n!

带有拉格朗日余项的泰勒公式的实质是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一个定量估计式，该公式在不等式证明和微分不等式证明及较为复杂的极限计算中有广泛的应用。

用此公式证明不等式就是要把所证不等式化简，其中函数用此公式，在把公式右边放大或缩小得到所证不等式。

例4.1若函数f(x)满足：（1）在区间a,b上有二阶导函数f\'\'(x)，（2）

f\'(a)f\'(b)0，则在区间a,b内至少存在一点c，使

f\'\'(c)4f(b)f(a)。 2(ba)

证明：由f(x)在xa和xb处的泰勒公式，并利用f\'(a)f\'(b)0，

得f(x)f(a)f\'\'()(xa)2

2! f\'\'()f(x)f(b)(xb)2,于是2!

abf\'\'()(ba)2abf()f(a)(a),22!42

abf\'\'()(ba)2abf()f(b)(a),22!42

f\'\'()f\'\'()(ba)2

相减，得f(b)-f(a)=,24

4f(b)f(a)1(ba)2

即f\'\'()f(),(ba)224

当f\'\'()f\'\'()时，记c否则记c=,那么

f\'\'(c)4f(b)f(a)(abc)(ba)2

参考文献

《数学分析》上册，高等教育出版社，1990.1郑英元，毛羽辉，宋国栋编，

2赵焕光，林长胜编《数学分析》上册，四川大学出版社，2006。 3欧阳光中，姚允龙，周渊编《数学分析》上册，复旦大学出版社，2004.4华东师范大学数学系编《数学分析》上册，第三版，高等教育出版社2001.

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