巧用构造法解不等式问题

巧用构造法解不等式问题

湖州中学黄淑红

数学中有许多相似性，如数式相似，图形相似，命题结论的相似等，利用这些相似性，通过构造辅助模型，促进转化，以期不等式得到证明。可以构造函数、方程、数列、向量、复数和图形等数学模型，针对欲证不等式的结构特点，选择恰当的模型，将不等式问题转化为上述数学模型问题，顺利解决不等式的有关问题。

一、根据不等式特征，构造恰当的初等函数，再根据函数单调性、奇偶性等特征来证明不等式。

例1证明：对于任意的x,y,z(0,1),不等式x(1y)y(1z)z(1x)1成立。

证明设f(x)(1yz)xy(1z)z,显然该函数是以x为主元的一次函数。 当x(0,1)时，f(x)是单调函数，且f(0)yyzz(y1)(1z)11, f(1)1yz1.所以，当x(0,1)时，f(x)的最大值小于1，即x(1y)y(1z)z(1x)1 例

2如果(xy1，那么xy0

证明

构造函数f(x)lg(x单调递增。



(xxR).可以证明函数f(x)在R上是奇函数且 y1,

f(x)f(y)lg(xlg(y

lg(xy=lg1=0 f(x)f(y),即f(x)f(y)所以xy,即xy0

通过构造函数，利用函数单调性和奇偶性，把一些看似与函数无缘的问题转化为函数问题来解决，思路灵活新颖，简洁巧妙，可出奇制胜。

二、有些不等式分析可知它与数列有关，可构造出相应的数列，再利用数列的单调性来研究。

n(n1)(n1)

2例

3证明不等式对所有正 22

整数n成立。

分析：

是一个与n无关的量，将它与左右两端作差 构造出相应的数列，在利用数列的单调性来研究。

解：

设an3，1n)(N构)造数列xn，令

xnann(n1)(n1)(n2)n(n1)(n1)0, ，

则xn1xnan1an222

(nN)，所以xn1xn，x

n为单调数列，首相x11为最小值。

n(n1)(n1)2

所以xnx110，即an，又令ynan，

22

(n1)2(n2)22n3则yn1ynan1an， 222

所以yn1yn，y

n为单调递减数列，首相y12为最大项，

(n1)2

所以yny120，即an.2

n(n1)(n1)2

an(nN) 综上所述，22

用构造单调数列证明不等式，若不等式的一边为和（积）式，则构造数列an，使其通项等于和（积）式与另一端的差（商），然后通过比较法确定数列an的单调性，利用数列的单调性即可使不等式获证。

三、对某些不等式，根据条件和结论，可将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等关系mnmn，使问题得到解决。

a2b2c2abc例4已知a,b,cR，求证：a,b,cR bccaab2



证明

设mn ，则 22222abc(mn)(abc)2abcm2 bccaab2(abc)2n利用向量虽是一种构造性的证明方法，但它与传统的综合法有很大不同，能避免繁杂的凑配技巧，使证明过程既直观又容易接受。

四、有些不等式若采用通法解很繁琐，用变量替换法又不可行，利用数形结合的思想方法将抽象的式用形表示，则使问题中的各变量关系更具体明确，使问题简明直观。

例

51x

2析本题若转化为不等式组来解很繁琐，利用数形结合的思想方法将抽象的式用形表示，则使问题变得简明直观

解：令yy1x， 2

x，问题转化

为它们对应的图象为半圆(x1)2y21(y0)与直线y

(x1)2y21(y0)的图象在y

1x上方时x的范围，如图 218x得x0 25

故原不等式的解为：x0x 

85

五、一类属函数图象的问题，与求最值结合，利用数形结合是基本的指导思想，但还需结合复合函数求导，使不等式的证明水到渠成。

例6 如图，设曲线yex(x0)在点M(t,et)处的切线l与x轴y轴所围成的三角形面 积为S(t)，求（1）切线l的方程；2）求证S(t)2 e

t（1）解： f\'(x)(ex)\'ex，切线l的斜率为e

故切线l的方程为yetet(xt)，即etxyet(t1)0

（2）证明：令y0得xt1，又令x0得ye(t1)， t

S(t)11(t1)et(t1)(t1)2et 2

21t\'从而S(t)e(1t)(1t).2当t(0,1)时,S\'(t)0,当t(1,)时,S\'(t)0,

S(t)的最大值为S(1)22，即S(t) ee

应用导数法求函数的最值，并结合函数图象，可快速获解，也充分体现了求导法在证明 不等式中的优越性。

证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面.如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点.

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