宁波工程学院
高等数学AI教案
习题课4——中值定理、法则、泰勒、不等式证明
1、必达法则求下列极限.lntan7x(1)lim
x0lntan2x
(2)limxex2x2
xx12lim()lim(cosx)(3)
(4)
x1x1lnxx02e2xex(5)lim
x3ex2e2x
2、lim{(aaa)/n}nxx1x11x11x21xn(ak0)(书后疑难)
1x21xn提示:limlnylimnx{ln(aaa)lnn}
xxttttln(a1ta2an)lnna1tlna1a2anlnanlimnlimnlna1a2an tttt0t0ta1a2an
3、已知f(x)在(, )内可导,且limf(x)e,(Lagrange定理)
x lim(xxcx)lim[f(x)f(x1)],求c的值。
xxc提示:lim(xxcx2C)lim(1)xxcxcxc2c2cxce2c,
1。 2f(x)x
4、设函数f(x)具有二阶导数,f(0)0,f(0)1,f(0)2试求 limx0x2
5、① 设f(x)于`[0,)上有连续的一阶导数,且limf\'(x)a,则limf(x); 由Lagrange定理,有f(x)f(x1)f(),于是,e2ce,cxx ② 设f(x)于`[0,)上可微且limf\'(x)0,则limxxf(x)0; xex1x
36、泰勒公式求极限lim 6x0sinx3高等数学课程建设组 解: (方法1)limex3ex31x62x3x0sinx3xe3limex31xx63x0lim3xe2x33x25x06x
lim1x02x3lim3x06x21。 2163166361xxo(x)1xxo(x)x3e1x12limlim2。 (方法2)lim2x0sin6xx0x0x6x6
7、证明:不等式arcsinxarccosx2(1x1)
8、设f(x)在[a,b]上二阶可导, 且f(a)f(b)0, f(x)0, 证明在(a,b)内f(x)0
9、证明三次代数方程至少有一个实根;
10、证明xx10只有一个实根;
11、设函数f(x)在[a,b]上二阶可导,且f(a)f(b)0,令F(x)(xa)f(x),证明在(ab),使F//()0.
12、设f(x)于[a,b]上连续,(a,b)内可导,ba0,则存在(a,b)使5f(b)f(a)f\'()lnb; a
13、求证:harctanhh,(h0)。 21h提示:arctanharctan0h 1
214、设limf(x)1,且f(x)0,证明:f(x)x。
x0x证明:∵f(x)0,∴f(x)二阶可导,从而f(x)连续,
∴f(0)limf(x)limx0f(x)f(x)f(0)f(x)x0,f(0)limlim1,
x0x0xx0x0xf()2f()2xxx,介于0与x之间。 2!2!由泰勒公式得f(x)f(0)f(0)x
∵f(x)0,∴f()0,∴f(x)x。
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