考研数学高等数学重要知识点解析有关微分中值定理的证明

考研数学高等数学重要知识点解析—有关微分中值定理的证明

万学教育•海文考研 王丹

2013年考研数学大纲于2012年9月14日正式出炉，数学

一、数学

二、数学三高等数学考试内容和考试要求包含标点符号在内均没有任何的变化；而线性代数部分，由原来的“线性方程组的克莱姆法则”改为“线性方程组的克拉默法则”，只是名称的改变，内容没有变化；概率论与数理统计部分，数学一没有任何变化，而数学三“多维随机变量的分布这一章”考试内容和考试要求的难度都降低了，具体变化为将考试内容中“两个及两个以上随机变量的函数的分布”增加了两个字“简单”，即“两个及两个以上随机变量简单函数的分布”；相应的考试内容中“会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布”改为“会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其简单函数的分布”。

有了考试大纲，就有了我们复习的依据，通过对历年考研命题规律的分析，我们得出与中值定理有关的证明题是考研数学的重点且是难点，每年必考有关中值定理的一道证明题10分．所以大家一定要引起重视，对于解这类题目,首先要确定证明的结论,然后联想与之相关的定理、结论和方法以及所需要的条件,再看题设中是否给出条件,若都没有直接给出,考虑如何由题设条件推出这些所需的条件,最后证明．其中,当要证明存在某些点使得它们的函数值或者高阶导数满足某些等式关系或者其他特性时,用中值定理所求的点常常是区间内的点．下面我就有关中值等式的证明总结几种方法，并且通过例题加强对此类问题方法的理解和把握。

一、有关闭区间上连续函数等式的证明主要有以下几种方法：

(1)直接法．利用最值定理、介值定理或零点定理直接证明,适用于证明存在[a,b],使得G(,f())0．

(2)间接法．构造辅助函数F(x)(其中F(x)的构造方法可参照重要题型五),然后验证F(x)满足中值定理的条件,最后由相应的中值定理得出命题的证明．

二、证明存在一点使得关于a,b,f(a),f(b)或,f(),f(),„,f(n)()的等式成立．常用证法：

(1)对于这类等式的证明问题,可以通过移项使等式一端为0,转化为重要题型五中证明存在一点使得G(,f(),f\'())0的问题.(2)利用拉格朗日中值定理直接进行证明．

现举例题如下

例题1：设f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，0ab，试证明(a,b)，使得

\'f(b)f(a)22f()(aabb) 2ba3

分析本题的关键是构造辅助函数．对于关系式中显含a,b及f(a),f(b)的情形,更多地是直接采用拉格朗日中值定理,将含介值的项全部右移,再将左端分子、分母中的a,b分离,然后直接观察即可得到所需辅助函数．

\'f(b)f(a)f(b)f(a)f\'()22f()(aabb)222ba3ba(aabb)32

f(b)f(a)f\'()即.a3b332

证令g(x)x3，则f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且当x0时，g\'(x)0，

f(b)f(a)f\'()f(b)f(a)f\'()则由柯西中值定理有，所以， \'332g(a)g(b)g()ab3

\'f(b)f(a)22f()即，得证.(aabb)ba32

例题2 设函数f(x)在0,3上连续，在0,3内存在二阶导数，且

2f(0)fx(d)x02f(2)f， (3)

(I)证明：存在(0,2)使f()f(0);(II) 证明存在(0,3)，使f()0 证明：(I) 2f(0)f(x)dx，又fx在0,2上连续 02

由积分中值定理得，至少有一点0,2，使得fxdxf20 02

2f02f，存在0,2使得ff0。

(Ⅱ)f2f32f0，即f2f3f0 2

又fx在2,3上连续，由介值定理知，至少存在一点12,3使得f1f0 fx在0,2上连续，在0,2上可导，且f0f2

由罗尔中值定理知，10,2，有f10

又fx在2,1上连续，在2,1上可导，且f2f0f1 由罗尔中值定理知，22,1，有f20

又fx在1,2上二阶可导，且f(1)f(2)0

由罗尔中值定理，至少有一点1,2，使得f()0.

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