碰撞 生成 互动 突破
――“运用商不变性质计算有余数的除法”教学案例
“同学们，你们想听故事吗？”我以这样的开场白来进入我的课堂。故事？学生当然爱听了，特别面对平时较为严肃，难得今天能从嘴里吐出故事“象牙”的数学老师，学生在下面一阵“躁动”。故事开始了：今天，我给同学们讲的是《猴子上当了》。有一天，20只猴子正在为分一堆桃子而发愁，桃子很多，有90只，怎么分才好呢？这时，有一只刚好路过的狐狸听到了，就走了过来说：“这有什么难的，我来帮你们分吧。你们不是已经学习了在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变的性质吗？我们就利用这个性质来分吧。”小猴子们一听到狐狸愿意帮助他们，都很高兴地同意了。于是狐狸就写了一道算式，（这时，我板书） 90÷20=4（只）„„1（只）
2 0）9 0
8 1 写好后狐狸又说：“看，每人4只，余下一只就给我吃吧。”猴子们觉得狐狸的分法很合理，就答应了。
“如果你是其中的一只猴子，你接受狐狸的建议吗？”
这时，教室里热闹极了，我意识到这可是小组交流的好机会，忙说：小组讨论。同学们七嘴八舌地议论开了：“ 真是一群笨猴子！”“不合理！”“真是一只狡猾的狐狸！”“猴子们都上当了！”„„此时，我暗暗高兴，心想：学生的数学思维应该被激活了吧，我没有太阿Q吧。如果还没激活到一定高度，但至少证明学生们的潜能是一条潜力股吧。
我追问：那么，你们觉得狐狸狡猾在何处，不合理在什么地方？
问题一出，学生激动的情绪猛涨，个个跃跃欲试地想找出原因所在，极大的吸引了学生，激发了求知的欲望。
很快一双双小手高高举起，还有几个学生忍不住喊了出来：“狐狸明明得到了10只桃子，却说余下一只给我吃吧，他把猴子们都骗了。”小家伙还学做狐狸的狡猾状，引来一片童声笑。“狐狸得到了10只桃子，而不是1只。也就是说余数是10而不是1。不合理。”“我想猴子们可以分一分，每只猴子分4只桃子，分完以后还剩下10只，就知道狐狸说的是假话。” 此时我也暗暗高兴，学生们的思维细胞真被激活了。良好的开端是成功的一半，课堂教学也是这样，头开得好与坏直接关系到一节课的成败。小学生个个爱听故事，我把数学知识编成故事，激发了学生的兴趣，促使其积极探究。
“那你能否用你的方法来证实狐狸得到了10只桃子，而不是1只，告诉猴子们不要上当呢？”稍一沉默，还是有学生举手答道：“我觉得也可以用验算的方法证明，20×4+10=90。”
“我想到了不把被除数和除数缩小10倍来计算。得到的商是4，余数应该是10。”
“既然被除数和除数同时缩小10倍，那么余数也缩小了10倍，所以在横式上写答案的时候应该把余数还原（扩大10倍）就是10。这道题有点特别。”特别? 想法虽有点朦胧，或许这是学生们思维碰撞的火花吧，我这样想着。而后又是一阵窃喜，也相信学生的潜能是无限的，没有教不会的学生，这话不假。对接下来的内容更加地充满了自信，我想：该是放手让学生去说、去辩、去总结的时候了。于是我决定出示接下来的内容，让学生自主去尝试。
“那我们再来做道题试试。”我出示了例3：5300÷200 。于是学生们纷纷动起笔来。等到差不多的时候学生们又一个一个举起手来要求上来板演。我很民主地叫了男女同学各一位上来板演。
男生的列式是：5300÷200 ＝26„„100 女生的列式是：5300÷200＝26„„100
26
26
200）5300
200）5300
400
1300
13 1200
100
1 呵，这两位学生的做法居然与我预设一样。（也可能我的预设简单了些）正当我满心欢喜以为都一致通过但又较民主地问道：“有没有问题？”“我有！我不同意女同学的做法。”无奈，只得请该男生来板演以显示我的公平。他的竖式是：
26
200）5300
100 下面立刻像炸开了锅，你一言我一语。我看了之后也有点怵，但还是相信学生会帮我解决的。于是我就果断决定让学生来解释：“既然余数要添上与消去的个数同样多的0，那么在竖式中直接在余数的末尾要添上0。” 我若有所思地皱了皱眉头：“你的想法连老师都没有想到，真不错。”但其实，当时我也挺迷惘了：该不该立即否定这位学生的做法。但直觉告诉我不，我记得斯苗儿老师曾说过：学生能解决的，教师绝不包办。我赶紧把“绣球”抛向了全班同学：“大家同意他的说法吗？”马上有学生举手道：“不同意，竖式中被除数和除数已经消去了0，那么余数也应该消去0。”
我庆幸没有和盘托出，实际证明学生能行。这不是突出学生的主体地位？ “那这是怎么回事呢？今天我们就来讨论这个问题。”我想，这时候我该揭题了，（揭示课题——运用商不变性质计算有余数的除法）经过新旧知识的碰撞，学生产生了本节课的问题——为什么竖式上的余数和横式的余数不同？问题情境是知识发生的框架，知识产生于问题情境。建构主义也认为，学习总是与一定的问题情境相联系的。在问题情境下进行学习，可以使个体能更好地利用原有认知结构中的知识和经验去同化当前学到的新知识，从而赋予新知识以某种意义。
“现在，老师是狐狸，你们是小猴子，看我们班的同学是不是聪明的猴子，会不会像故事里的猴子一样上了狐狸的当，你们会上狐狸的当吗？”看看学生，劲头很足，从他们的眼神中，都表示不会上狐狸的当。 “以例3为例，谁来回答一下为什么余数是100而不是1？请你们以小组为单位讨论一下。”我想，小组的合作讨论学习就是为了让每一位学生参与学习的全过程，给每一位学生提供展示的空间，使学生能够充分表达自己的观点，通过组内的交流、探讨，使学生不断完善自己的观点，不断产生新的想法。生生交流与合作学习为学生学习提供了宽松和充分的学习环境，使学生惧怕说错的心理压力大大减轻，发言机会多于师生交流，更利于促进学生的智力发展、社会交际和情感交流的发展。
一个学生站起来：“我们小组用以前的方法计算出来余数是100。“木桶原理中的短木板，我心中一阵灰心。
又一个学生答道：“把5300除以200转化成了53除以2，被除数除数都缩小了100倍，余数肯定也缩小了，所以余数1肯定错了。”
这种方法的出现，确实令我很高兴，为了让学生更清楚的理解，我用数字简单板书：
5300 ÷ 200 = 26„„（ ） ÷100 ÷100 不变 ÷100 53 ÷ 2 = 26„„ （ 1 ） 还有一组同学更绝：“我们计算的是5300除以200余数1在原来算式的百位，表示一个百，所以余数应该是100。”
果然学生出现了这种方法，先不急于下结论，把判定对错的主动权交给学生：“大家讨论的结果非常的正确，我很是钦佩你们。那我们以后在用商不变性质做有余数的除法时要注意什么问题呢？”新课标强调让学生自己“做数学”，就得给予学生充分展开探索与研究的时间与空间，应相信学生有能力完成相应的研究任务。教师应努力扮演“合作者”、“引导者”与“支持者”的角色意识，将学习的主动权最大限度地还给学生，让课堂真正成为学生自己的舞台。 学生不假思索的回答：“在做有余数的除法时，我们不能用商不变性质做。” “用商不变性质做，如果有余数要特别当心，不能直接把竖式上的余数抄到横式上去。”
“把余数抄到横式上去要变一下。”
哎，与我教案的预设有段距离。但我只能又启发道：“你们提醒得很好，用商不变性质计算除法商是不变的，但余数要变。我们来观察一下黑板上例3这道题，我们应该怎样来写横式上的余数呢？思考一下，先说给同桌听听。” 看看同桌两人说得热火朝天，我感觉到我的问题还是有价值的，“谁来说一说你的想法？”
果然，有个聪明的小男孩举手到：“5300÷200 用商不变性质把被除数、除数同时缩小了100倍，余数也缩小了100倍，要求原来的余数应该把现在的余数‘1’扩大100倍是100。”
这种方法的出现，自然解决了余数所占的数位问题。我为这位同学竖起了大拇指，并肯定小结：用商不变性质计算，指商不变余数却要变，余数是根据被除数、除数的变化而变化的。是啊，课堂上教师和蔼的态度和热情的赞语，都会缩短师生心灵间的差距，进一步诱发学生学习数学的热情，使学生敢想、敢问、敢说。
我立即板书：
1、被除数、除数同时缩小几倍余数就扩大几倍 又有一个学生发话了：“5300 ÷ 200竖式上的，余数是随着被除数、除数的变化而变化的，所以余数“1”所占的数位应该看原来的被除数5300所占的数位，在百位表示一个百。表示一个百是100。”
说的真好，我再次板书：
2、看余数在原来被除数的什么位，就表示几个计数单位。
又有一个学生举手道：“5300÷200看被除数上有2个‘0’，就在余数后面添上2个‘0’。”
我又板书：
3、看被除数上有几个“0”，就在余数后面添上几个“0”。 咦，还有：5300÷200被除数、除数同时划掉了2个“0”，就在余数后面添上2个“0”。
我想是最后板书了吧：
4、被除数、除数同时划掉了几个“0”，就在余数后面添上几个“0”。
我再一次感叹学生的潜能：刚才同学们想了这么多的方法，到底行不行呢？我们来验证一下。请你独立完成以下计算：2840÷500、45700÷130。 “验证下来，这里的方法可行吗？”我又抛出了问题。
学生议论到：第一种可以„„第二种可以„„第三种不可以。“为什么不可以？”
生：第2题竖式上的余数7按照第三种方法看被除数上有几个“0”，就在余数后面添上几个“0”的话，这题的余数就变成700了，比除数还大了，所以这种方法是错的。
“第三种我们把它划掉，那第四种呢？”“可以。”“这么多的方法你喜欢哪一种？为什么？”
学生开始分别讲讲他们的理由。我小结了：这么多的方法，其实就是一种方法，我们来看第一种方法，被除数、除数同时消去相同个数的“0”也就是同时缩小了相同的倍数，在余数的后面补上相同个数的“0”也就是把余数扩大同样的倍数；我们再看第二种方法，看余数在原来被除数的什么位，就表示几个计数单位，我们在余数的后面添上与被除数消去个数同样多的“0”，也就得到了几个这样的计数单位。所以这么多的方法，归根到底就是一种方法，被除数、除数同时划掉了几个“0”，就在余数后面添上几个“0”。
新课标在数学思考的目标中指出，学生在解决问题的过程中，能进行有条理地思考，能对结论的合理性作出有说服力的说明。学生自始至终参与整个学习活动，经历着数学知识的探索过程，这正是教师组织教学的精华所在，学生尝到了成功的喜悦，同时也强化了对计算方法的正确感知，
学生在接下来的练习过程中，计算正确率有了提高，碰到有错误的，学生也能马上进行自我反思，学得轻松，一节课在不知不觉中结束了。
