八年级数学相似三角形小结与复习

发布时间：2020-03-03 07:02:28 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

中考网 www.daodoc.com 章相似三角形小结与复习[内容]

教学目标

1.对全章知识有一个系统的认识，掌握知识的结构和内在联系.2.利用基本图形结构的形成过程，掌握本章的重点：平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定及性质定理.3.通过例题分析，系统总结本章常用的数学思想方法，提高分析问题和解决问题的能力.教学重点和难点

重点是掌握本章的主要概念、定理及数学方法.难点是灵活运用以上知识，提高解题能力.教学过程设计

一、掌握本章知识结构

具体内容见课本第258页内容提要.

二、按照“特殊——一般——特殊”的认识规律，理解本章的基本图形的形成、变化及发展过程，把握本章的两个重点

1.平行线分线段成比例定理所对应的基本图形(如图5－123).要求：

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中考网 www.daodoc.com (1)用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式，会分线段成已知比； (2)对图5－123(a),(b)要求会用比例式证明两直线平行.2.相似三角形所对应的基本图形.(1)类比推广：从特殊到一般，如图5－124；

(2)从一般到特殊：如图5－125.要求：用对比的方法掌握相似三角形和相似多边形的定义及性质，系统总结相似三角形的判定方法和使用范围，尤其注意利用中间相似三角形的方法.3.熟悉一些常用的基本图形中的典型结论有助于探求解题思路.(1)在图5－125(a)中的相似三角形及相似比、面积比；

(2)在图5－125(b)中有公边共角的两个相似三角形：公边的平方等于两相似三角形落在一条直线上的两边之积；

(3)在图5－125(d)中射影定理及面积关系等常用的乘积式.

三、通过例题分析，系统总结本章常用的数学思想及方法

abbcab,.求:bc的值.例1 已知：2354分析：已知等比条件时常有以下几种求值方法：

(1)设比值为k; (2)比例的基本性质；

(3)方程的思想，用其中一个字母表示其他字母.abbc及54，得a:b=2:3,b:c=5:4,即a:b:c=10:15:12.设解法一

由23a=10k,b=15k,c=12k,

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中考网 www.daodoc.com 则(a+b):(b－c)=25:3.a2b5,b3c4 解法二 ∵ab5bc1ab25.b3b5bc

3∴, ∴abb524b,a,c3b5, 解法三 ∵23c4,∴a=2bbab35125bcb4b3535 ∴

例2 已知：如图5－126(a)，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线交于O点，过O作

112EF;(3)若MN为梯形中EF∥BC，分别交AB，DC于E，F.求证：(1)OE=OF;(2)ADBC位线，求证AF∥MC.分析：

(1)利用比例证明两线段相等的方法.acdd,a=c(或b=d或a=b)，则b=d(或a=c或c=d)； ①若abda,则a=b(只适用于线段，对实数不成立)； ②若aca'c'''dddd,a=a′,b=b′,c=c′,则d=d′.③若,(2)利用平行线证明比例式及换中间比的方法.

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中考网 www.daodoc.com 112111EF时，可将其转化为“abc”类型后： (3)证明ADBCcc1ab①化为直接求出各比值，或可用中间比求出各比值再相加，证明比值的和为1；

②直接通分或移项转化为证明四条线段成比例.(4)可用分析法证明第(3)题，并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题.延长BA，CD交于S，AF∥MC

∴ AF∥MC成立.(5)用运动的观点将问题进行推广.若直线EF平行移动后不过点O，分别交AB，BD，AC，CD于E，O1，O2，F，如图5－126(b),O1F 与O2F是否相等?为什么? (6)其它常用的推广问题的方法有：类比、从特殊到一般等.例3 已知：如图5－127，在ΔABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AC于E，F为DE中点，BE交AD于N，AF交BE于M.求证：AF⊥BE.分析：

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(1)分解基本图形探求解题思路.(2)总结利用相似三角形的性质证明两角相等，进一步证明两直线位置关系(平行、垂直等)

ADDEDCCF 的方法，利用ΔADE∽ΔDCE得到ADDFBCCE,结合∠3=∠C,得到ΔBEC∽ΔAFD，因此∠1=∠2.进一步可结合中点定义得到得到AF⊥BE.(3)总结证明四条线段成比例的常用方法：①比例的定义；②平行线分线段成比例定理；③ 三角形相似的预备定理；④直接利用相似三角形的性质；⑤利用中间比等量代换；⑥利用面积关系.例4 已知：如图5－128，RtΔABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.求证：(1)CD3=AAE·BF·AB；(2)BC2：AC2=CE:EA;(3)BC3:AC3=BF:AE.分析：

(1)掌握基本图形“RtΔABC，∠C=90°，CD⊥AB于D”中的常用结论.222①勾股定理：AC+BC=AB.②面积公式：AC·BC=AB·CD.222③三个比例中项：AC=AD·AB,BC=BD·BA,CD=DA·DB.

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AC2AD2BD ⑤BC(2)灵活运用以上结论，并掌握恒等变形的各种方法，是解决此类问题的基本途径，如等式

两边都乘或除以某项，都平方、立方，或两等式相乘等.(3)学习三类问题的常见的思考方法，并熟悉常用的恒等变形方法.3242①证明a型：先得到a=bc型，再两边乘方，求出a来，进行化简(证法一).或在a=bc两边乘以同一线段a，再进行化简(证法二).22②证明a:b=c:d型问题的常用方法：

a2mmc2nd nb(ⅰ)先证,再利用中间比证明

x2ca2x2ax222d ybyy再两边平方：(ⅱ)先证b,然后设法将右边降次，得

a2meamae,2bnbfnf,再将右边化简.b (ⅲ)先分别求出,两式相乘得③证明a3:b3=c:d型问题的常用方法：

a2mx2ny，再通过代换变形实现； (ⅰ)先用有关定理求出baxy,两边平方或立方，再通过代换实现； (ⅱ)先证ba3mexcamaeax,nbf,by,然后相乘并化简：b3nfyd (ⅲ)先分别求出b第(1)题：

2证法一 ∵ CD=AD·BD, 422 ∴ CD=AD·BD=(AE·AC)·(BF·BC)=(AE·BF)(AC·BC) =(AE·BF)·(AB·CD).

ACBC

2AB 证法二 ∵ CD=AD·BD,CD=ACBC

3AB∴ CD=AD·BD·

ADACBDBCABABAB=

=AE·BF·AB.第(2)题：

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中考网 www.daodoc.com BC2BDBABDBDDFCE2ADEAAE,命 ADABADAC证法一 ∵,利用ΔBDF∽ΔDAE，证得题得证.BCDEBC2DE2AEECCE,得222ACAEAE ACAEAE证法二由证法三 ∵ ΔBCD∽ΔCAD，

BCDFACDE(相似三角形对应高的比等于对应边的比) ∴

BC2DFDEDFCEBCDE2ACAEDEAEAEAE ∵ DE∥BC，∴,∴AC第(3)题：

BC2BDABBD2ADABAD, 证法一 ∵ACBC4BD2BFBCBC3BF423AEACAE ACADAC ∴,∴BCDFACDE 证法二： ΔADC∽ΔCDB，∴BC3DF3DFDF2DFBFCFBF332DEAEECAE· DEDEDE ∴ACBCDFBCDEBCBF,,DEACAEACDF, 证法三 ∵ACBC3BCBCBCDFDEBFBF3ACACACDEAEDFAE ∴AC

四、师生共同小结

在学生思考总结的基础上，教师归纳： 1.本章重点内容及基本图形.2.本章重要的解题方法、数学思想方法及研究问题的方法.

五、作业

课本第261～265页复习题五中选取.补充题：

1.利用相似三角形的性质计算.已知：如图5－129，在RtΔABC，中∠ACB=90°，E为AB上一点，过E作ED∥BC交AC于D，过D作DF⊥AC交AB于F.若EF：FB=2:1，ED=2，CD=65,求FB的长.(答：2)

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2.证明相似三角形的方法.如图5－130，在ΔABC，中∠C=60°，AD，BE是ΔABC的高，DF为ΔABD的中线.求证：DE=DF.(提

DE12.) 示：证明ΔCDE∽ΔCAB，得到AB3.已知：如图5－131，ΔABC内一点O，过O分别作各边的平行线DE∥BC，FG∥AB，HK∥AC.求证：

EFDHGK1ACABBC(1)

(2)设SΔOEF=S1,SΔODH=S2,SΔOGK=S3,SΔABC=S.则

S1S2S3S

4.构造相似三角形来解决问题.(1) (1) 已知：如图5－132，ΔABC中，点E为BC中点，点D在AC上，AC=1，∠BAC=60°∠ABC=