10专升本《高等数学》高分实战技术

专升本《高等数学》高分实战技术

焦作大学 王 岗

冲刺：试卷分析第一阶段

题目分类

一、已知知识点明确的题目；

二、有疑问的题目；

三、不会的；

四、错题：（1）笔误和审题错误；（2）原则错误。 试卷分析第二阶段：

一、分析试卷题目针对的各部分的知识点，突出重要点；

二、分析知识点的基本题型结构及解决方法；

三、题目结构变化、延伸。

试卷分析第三阶段：重复以上工作形成基本成熟的知识体系和解答试题的方法思想。 试卷分析第四阶段：强化和提高竞技状态。 试卷分析第五阶段：回顾放松、培养自信心。 基本中心：

四大运算结构：

1、函数结构运算；

2、极限运算；

3、导数、微分运算；

4、积分运算。

经典语言：对哪一个函数关于哪一个变量在做什么运算。 概念题分析

一、函数与极限的考点

1、函数结构（定义域与函数值）

2、函数性质：主要奇偶性。

3、无穷小量：

4、常见极限结论：

5、极限存在的充要条件及函数的连续性。

6、间断点：

一、函数与极限

1、函数结构（定义域与函数值）：

（1） 具体解析式：以对数函数、无理根式、反三角函数为基础组合题目； （2） 抽象式：

1、已知f(x)求f[(x)]的。

2、已知f[(x)]求f(x)的。

2 例、设f(1x)的定义域为1,5，则f(x)的定义域为________ （3） 发展延伸：

1、积分函数[(x)](x)af(t)dt

x

2、导函数若 例f(e)1x,则 f(x)

x令te,xlntf(t)1lnt，即f(x)1lnx，故f(x)xlnxc

(1)n

3、幂级数的和函数值 例e2 nn0n!2

12、函数性质：主要奇偶性。

axax(a0)偶 f(x)ln(1xx)奇 f(x)22axaxf(x)(a0)奇 f(x)(x)(x)偶

2f(x)(x)(x) 奇 f(x)ln

3、无穷小量：

（1） 常见的等价无穷小量

ax(a0)奇 ax1(x))~(x)当x0时(x)0 当x0时 ln(1x)~xln(x当x0时e1~x; 当x0时1cosx~12x.2当x0时tanxsinx~131x; 当x0时xsinx~x3 26当x0时1x1x~x

(x)ln(13x2)3x2（2）lim 例limlim23

x0(x)22x0x0x1x1x注意：（1）有限个不同阶的无穷小量之和取其弱。 （2）有限个不同阶的无穷大量之和取其强。 例: 当x0时,x1cosx与x是( ) A.等价无穷小 B.高阶无穷小 C.同阶无穷小 D.低阶无穷小

4、常见极限结论：（要注意延伸变化） sinx111 limxsin1 limnsin1

x0xnxxnsinx1sinn0 limxsin0 lim0 limxx0nxxn（1）lim lim(x)sinx010 (x)bcbcbcxdb)ea lim(1)cndea

（2）lim(1xnaxan （3）lima，limx01xxaxaxa ，limx0sinxx，不存在；limax01x20,(a1)。

5、极限存在的充要条件及函数的连续性。

6、间断点：

（1） 间断点分类； （2） 几个常利用的函数

f(x)xx1x，f(x)xaxa，f(x)sinxx1x2，f(x)arctan(xa)

x2a2f(x)a1a11x主要利用lima及limax01xx0(a1)结论。

二、导数与微分的考点

1、定义式

2、可导与连续

3、导数的几何意义：

4、参数方程与隐函数的导数

5、高阶导数：

二、导数与微分

1、定义式 定义limh0f(x0ah)f(x0bh)abf(x0)

chc 定义limxx0f(x)f(x0)f(x0)

xx0f(x)x(xa1)(xa2)(xan)求f(ai)

2、可导与连续

常用的几个函数结构

1kxsin（1）f(x)x0 （3）f(x)x0x0； （2）f(x)x

1x1xln(1x)1x0x0

(x)x0,其中当x0时(x)~(x)则f(x)在x0处连续且可导。 f(x)(x)x0.

3、导数的几何意义：求切线方程和法线方程，确定一些函数值。（可导函数的极值点必为驻点f(x)0）

3

4、参数方程与隐函数的导数 （1）参数方程二阶导

xx(t)xx(t)d2ydyy(t)2 dxyy(t)dxx(x)要注意dydx还是 dxdy（2）幂指结构

yu(x)v(x)dyv(x)u(x)v(x)1u(x)v(x)u(x)v(x)lnu(x) dx

5、高阶导数： （1）常用的结论

注意f(n)(x)[f(axb)](n)anf(n)(axb)例(sin(3x2))(n)

三、中值定理与导数应用的考点

1、中值定理

2、函数的单调性、极值，凹凸、拐点。

3、渐近线

三、中值定理与导数应用

1、中值定理

（1）选定满足定理条件的函数题型；

（2）求满足定理条件的值的题型 即求f(x)0；及f(x)f(b)f(a)的根。

ba（3）零点定理及方程根的问题

2、函数的单调性、极值，凹凸、拐点。 （1）、基本定理题目。 （2）极限局部保号性

limxaf(x)f(a)b则有b0f(x)f(a),xa为极小值点f(a)为极小值， 2(xa)则有b0f(x)f(a),xa为极大值点f(a)为极大值。 （3）类似结构可判定增减、凹凸

limf(x)f(x)blimb

xa(xa)2xa(xa)2（3）单调性应用

例 设f(a)g(a)，且当xa时，f(x)g(x)，则当xa必有（）

例 已知函数fx在区间1,1内具有二阶导数，fx严格单调减少，且

4 f1f11，则 有 (A) 在1,1和1,1内均有fxx (B) 在1,1和1,1内均有fxx(C) 在1,1内fxx，在1,1内fxx (D) 在1,1内fxx，在1,1内fxx

3、渐近线

水平渐近线limf(x)A,yA为水平渐近线；limf(x)，xx0为垂直渐近线

xxx0xe曲线f(x)既有水平又有垂直渐近线？ 曲线f(x)ex(x1)的水平及垂直渐近线

x11x21 曲线y1xx2的铅锤渐近线是

四、不定积分与定积分的考点

1、被积函数与原函数的关系

2、定积分概念、性质

3、广义积分

1、被积函数与原函数的关系即

F(x)f(t)dt,F[(x)],f(x),f(x)

f[(x)]之间关系。既已知什么求什么。 f[(x)],例 设f(x)连续且不等于零，若

f(x)dxarctanxc，

dxx32则(1x)dxxc

f(x)3注意已知f(x)dxF(x)C求(x)f[(x)]dxF[(x)]C题型

x例 若f(x)e，则f(lnx)dxf(lnx)celnxcxc x

2、定积分概念、性质 （1）对称区间上的定积分 例11x2ln(x21x)dx0； (x9x2)2dx29dx

2022（2）变上限积分

(x)f(t)dt是f(x)的一个原函数即(x)f(x)

ax[(x)](x)af(t)dt((x)af(t)dt)([(x)])[(x)](x)f[(x)](x)

5 ((x)h(x)f(t)dt)f[(x)](x)f[h(x)]h(x)

例已知ex2af(t)dttanexf(x)

2积分上限函数构成的微分方程要注意内含的初始条件问题。 例：已知连续函数f(x)满足f(x)e（3）定积分的几何意义

2xtf()dt，求f(x) 033xaa122sinxdxnaxdxa  0222n（4）积分性质：估值定理结合最值 M(ba)baf(x)dxm(ba)

(5)平均值：

3、广义积分

几个重要结论 （1）baf(x)dxba

1p1时收敛1 dx0p1时发散xpp1时收敛11。特别注意dx是发散的。 dx2p2(lnx)x(lnx)0p1时发散（2）2（3）1p1时收敛1 dx(a0,b0)pabx0p1时发散akxdx,(a1)k0时收敛 （4）0（5）b0p1时发散1。 dxpx0p1时收敛（6）注意对应的级数有相同的敛散性。

五、空间解析几何部分的考点

1、数量积、向量积概念、向量积几何意义。

2、直线与直线、直线与平面等位置关系

x2yz50x1y0z2直线与直线的位置关系（）不平行也不垂直 3352xyz6044

43、方程所表示的曲面：主要是二次曲面注意三个方向x0y，xoz，yoz

4、投影曲线方程

6 22zxy空间曲线C：在xoy平面上的投影曲线方程_______________ 22z2(xy)

六、偏导数与全微分的考点

1.偏导数概念

2、极限、连续、偏导与全微分的关系

3、求偏导数与全微分的值

注意利用偏导数几何意义 即fx(x,b)为zf(x,y)zf(x,y)关于x求导 ； fy(a,y)为关于y求导。

ybxa例设f(x,y)2x(y3)arctanx2则fx(1,3)_______ yf(x,3)2xfx(x,3)2fx(1,3)2

4、二元极值部分（1） 驻点 （2） 极值点

七、二重积分部分的考点 重在正确分析积分区域

即（1）正确读出D的代数信息； （2）正确读出D的几何信息；

（3）正确读出D的代数结构信息； （4）写出累次积分； （5）计算结果。

1、交换积分次序

2、直角坐标与极坐标的相互转化

（1）x2y2a202

0ra（2）xy2ax22

0r2acos22 （3）x2y22ay0

0r2asin例20d02sin0f(rcos,rsin)rdr

22yy20020d2sinf(rcos,rsin)rdrdyf(x,y)dx

2、曲线积分

（1） 对弧长曲线积分

（2）.对坐标的曲线积分

与路径无关的条件即

LP(x,y)dxQ(x,y)dy中有

PQ yx 7 (x2,y2)(x1,y1)P(x,y)dxQ(x,y)dyP(x,y1)dxQ(x2,y)dy

x1y1x2y2（3）面积问题 s

八、级数部分的考点

1、常数项级数 （1）收敛定义 1xdyydx,L为正向一周 L2 （2）收敛必要条件limun0，一定要注意以limn10为基础的敛散性的划分。 nn （3）一般级数：收+收=收； 收+散=散； 散+散=不一定

2、正项级数

（1）几个常用结论

p1收敛p1收敛11 p；  p0p1发散0p1发散nn(lnn)n1n2p1收敛1。 (a0,b0)pn1abn0p1发散11 发散ln(1)2n(lnn)n1n2

（2）以nk,an(a1),n!,nn组合为通项题型。

ann!(a0),(1)0ae收敛(2)ae发散 nn1n（3）非常规的要善于利用n时通项an~1的结论判断。 nk111例ln(12) (1cos) (sin)

nnnn1n1n1n（4）绝对收敛、条件收敛

3、幂级数

（1）幂级数的收敛半径、收敛区间 P(n)xR1,(1,1)； nn0P(n)nxRa,(a,a)。 nn0a1P(n)n 例： (x1)n (xb)Ra,(ba,ba)n2nn0an0(3n2n)5P(n)anxnRn0111,(,) aaa 8 P(n)an(xb)nRn0111,(b,b) aaa（2）幂级数的展开式：

（3）幂级数的和函数

1(1)n2n3例

e2n(lnn)n!3n2n0

2九、微分方程部分的考点

1、方程类型

2、已知方程求通解或解。选择以验证为主。

3、已知通解或解求方程。

二阶常系数线性齐次方程为例

（1）yC1e1xC2e2xy(12)y12y0

（2）y(C1xC2)exy2y2y0 （3）yex(CcosxCsinx)y2y(22)y0

4、二阶常系数线性非齐次方程特解问题

例 通解为yC1cos2xC2sin2x2x的二阶常系数线性非齐次方程为

y4y8x将yx代入y4yf(x)f(x)8x

3x例设yy(x)是二阶常系数线性非齐次方程y2yye满足条件

y(0)0,y(0)0的解，则limx0x0x02x0sintdty(x)___

limy(x)lim(e3x2y(x)y(x))1

计算题分析

一、求极限：以幂指函数及洛必塔法则结合等价无穷小为主。

二、求导数与微分

三、求不定积分：以分部积分为主。

四、定积分：以换元和分区间题型为主。

五、多元复合偏导及全微分

例 若zf(xy,)g()且f,g可微，求xyyxzz,.xy解：令uxy,vxy,w,则zf(u,v)g(w) yx9 zf(u,v)uf(u,v)vdg(w)w1yyyfufv2g() xuxvxdwxyxx

六、二重积分：

1、重在正确分析积分区域 即（1）正确读出D的代数信息；

（2）正确读出D的几何信息；

（3）正确读出D的代数结构信息；

（4）写出累次积分；

（5）计算结果。

2、注意被积函数中出现

sinycosyy2y2;;e;e;siny2;cosy2,一般采用y型积分函数。 yy

3、注意x型积分区域及y型积分区域的特点，既垂直线和水平线。

七、展开成幂级数、求收敛区间; 方法以不变应万变 an0nxanxn,unanxn nn0un1an1xn1an1limlimlimxx nunaxnnannnx1收敛即x1，R1，(11,)

(2n)!2n14n1n1n2nn例

1、nx

2、

3、

4、x(x3)x222(n!)3n2nn1n0n0n0几个重要结论

11n（1）x,x1; （2）(1)nxn,x1;

1xn01xn0nxn1n1x（3）ln(1x)(1)(1),x1; n1nn0n1n1xnn2nx （4）(1)x,x1; （5）e,x(,) 21xn0n0n!2nx2n1nx（5）sinx(1),x(,) （7）cosx(1),x(,) (2n1)!(2n)!n0n0nxxn1xnn（8）nx,x1; （9）ln(1x),x1; 2n(1x)n1n0n1n1 10 注意F(x),f(x),f(x) F[(x)],f[(x)],f[(x)]应用。 例将函数f(x)1展开成x的幂级数，并写出收敛区间。 212x3x11313nn1()3x(1)nxn 解：f(x)2413x1x12x3x4n04n03n1(1)nn11 []x;x(,)

433n0

八、求微分方程的通解：以一阶线性非齐次方程为主。 注意深度变形

1、常规的一阶线性非齐次方程。

2、x,y角色互换类型。

3、积分变限函数类型（注意隐藏的初始条件）。

4、缺y的可降阶为一阶线性非齐次方程的。 例yy1xex降阶ppxex xx应用题分析

一、求面积及旋转体的体积（几何问题）

二、一元函数求最值、多元函数求最值（几何问题、简单经济问题） 证明题分析：

等式、不等式、方程根、积分等式、变上限函数的奇偶性的讨论、中值定理等。 尤以中值定理要注意利用微分方程解构造辅助函数。

专升本高等数学(二)

高等数学模拟题专升本

河南专升本《高等数学》教材

河南专升本《高等数学》教材

专升本高等数学复习题15

专升本高等数学复习题8

高等数学专升本考试大纲

高等数学专升本考试大纲

成考专升本高等数学

浙江省专升本《高等数学》考试大纲

《10专升本《高等数学》高分实战技术.doc》

将本文的Word文档下载到电脑，方便编辑。

推荐度：

点击下载文档