高中数学课堂教学的实践与思考
江西省宁师中学 赖春发
新教材融进了近、现代数学内容，精简整合了传统高中数学内容。与以往教材相比，教学内容增多，教材明显变厚，教材的难度有所降低，高中新课程的课时数减少，但高考选拔人才的水准不可能降低。与义务教育初中阶段的课程相比，其教学容量和教学难度大为提高。如何研究新教材，按照高中学生的个性特点和认知结构，设计出指导学生高效率学习的有效方法，以使学生适应新教材，顺利完成初高中数学衔接学习，培养学生自学、探索和创新能力，体现《标准》的原则和精神，已十分紧迫地摆在我们面前。通过一年的教学体会，现就必修3和必修4两个模块的教学与大家进行交流。
一、研究新教材，领会新教材的编写思想
新教材改变课程内容“难、繁、偏、旧”和过于注重书本知识的现状，加强课程内容与学生生活以及现代社会和科技发展的联系，关注学生的学习兴趣和经验，精选终身必备的基础知识与技能。
（一）教材特别注重知识的发生和发展过程的展示。概念更加通俗易懂，为学生今后的生存和发展准备数学工具
新教材所表现的是经过逻辑加工的演绎体系，表现为“概念──定理（或性质、公式）──范例”组成的系统，概念的形成，公式、定理的发现过程，解题的探索过程更加通俗易懂，便于学生接受，在适合学生阅读方面作了大幅度的改革。例如必修4三角函数中“诱导公式”部分改变了以往教材多、繁、杂的公式排布模式，改变了公式的推导过程，把公式通过加工整理成了两大类：角α与-α的三角函数间的关系以及角α与nπ+α（k∈Z）的三角函数间的关系。把很多公式整理总结在一起，利用奇偶性和π的奇偶倍分析总结了三角函数值的符号问题。这种编写简明阐述了公式的整体特征，更便于学生阅读理解，并且在利用公式解题时大大缩短了思维空间，使学生学习效率提高，解题的速度提升，也不会出现符号搞不清楚的问题，降低了教学难度，也便于教师实施知识总结，是该部分的一大亮点。
（二）教材将培养学生创新思维能力摆在显著的地位，更加重视数学思想方法的渗透
教材除了通过正文阐述，还通过“思考与讨论”中的想一想，渗透分类讨论思想、函数思想、数形结合思想、转化思想等等。例如，三角函数图象变换一节，在正文例题中阐述了
这一先周期变换再平移变换的过程，此例题讲解后，教材又在思考与讨论中编写了例：想一想，如何按照下列指定的顺序，将一个函数的图象变为下一个函数的图象？
让学生自己作图，发现先平移变换再周期变换与先前知识的异同，从而加深对知识的理解，明确函数变换的不同顺序路径的异同。
（三）较好地体现了“因材施教”“循序渐进”的教学原则
教材的每一章首先给出一个实际问题或一个数学典故，指出要解决这些问题，就得掌握本章的知识，然后明确本章所要学习的内容。例如在学习概率一章时教材引用 “五千万幸运儿‘横空出世’” 的通讯报道，阐述了社会上购买福利彩票中大奖的问题以及中奖率的问题，大大提高了学生的学习兴趣，为本章的后续学习作好了铺垫，使学生很容易进入状态。
每一节的正文描述，一般从学生熟悉的知识入手，先作渗透，后讲理论、概念，加强应用。教材及习题坡度平缓，有些习题采用一题多问，由浅入深的编写方法。例如：在算法初步这一新知识学习之前，教师和学生对它都是陌生的，但真正接触起来，给人的感觉确是平稳过渡，是一种自然的由浅入深的学习过程。教材从学生熟知的鸡兔同笼趣题谈起，一下子激起了学生的学习热情，使他们有了进一步获取新知识的冲动，接着教材中又设计了利用Scilab程序求解二元一次方程组的解法。把学习本章计算程序语句的问题推向了高潮。然后教材从算法──框图──语句由浅入深地作了详细阐述，符合学生认知规律，不难使学生掌握。
（四）教材内容安排采用螺旋编写体系，与时代发展要求相吻合
安排知识顺序注意处理好与初中数学的衔接，符合逻辑上的基本规则，在深浅上注意坡度的设计，工具性内容靠前安排，相关内容适当集中。这些特点更加符合高中学生的年龄特征和认知规律，更适合学生的自主学习和课前预习，也有利于我们开展素质教育、培养学生能力。高一新教材4个模块囊括了基本初等函数、向量、三角、立体几何、解析几何（直线与圆）、概率统计以及新加入的算法初步，这些知识几乎将原先的教材内容全部涉及，但是看起来“形”散的新教材结构其实“神”不散，现在学习的这些内容都是工具性的知识，只有这些知识储备多了，学生才能在学习过程中游刃有余，更好地接受新知识，甚至影响到其他领域的学习。
（五）教材突出了数学与实际问题的联系，意在培养学生的数学应用意识
在教材编排上：章前图的设计为了说明数学来源于实际，章前引言从实际问题导出，阅读材料很多是介绍数学模型及应用方法，习题也适当地增加了联系实际的题目，所有这些都是为了创设联系实际问题的氛围，培养应用数学的意识。例如，概率部分的章头图是北京、上海、香港三大城市的降水率；在古典概型中引入基因控制问题，分析了显性基因和隐性基因的问题；在本章最后，教材用键盘设计和排布问题以及“一次性密码本”的设计问题编辑了例题，更深入地阐述了概率在实际生活中的应用。这些实际问题不但增强了学生学习的积极性，更使学生深刻懂得了学习这些数学知识的重要性，从而在学习中更加注意把知识和实际结合起来。
二、研究教法，丰富教学内容的呈现方式
新的课程观认为课程不只是“文本”课程（教学计划、教学大纲、教材），而更是“体验课程”（被教师与学生实实在在地体验到、感受到、领悟到、思考到的课程），课程不再只是特定知识的载体，而是教师和学生共同探求新知的过程。教师和学生不是外在于课程的，而是课程的有机构成部分，是课程的创造者和主体，他们共同参与课程开发的过程。 新教材虽然起点较低，但标高却可以由不同的教师推向不同的档次，因而对教师的要求更高。教师应根据学生的实际，加强对学生分层指导，对不同层次的学生提出不同的要求。可以说，新教材“下可保底，上不封顶”。
（一）创设问题情景，激发学习兴趣
对于新课引入，可以在教学中设计成问题的形式，让学生发现新旧知识的联系，并予以迁移和转化，所设计的问题要能充分暴露新旧知识的联系，使问题既要建立在旧知识的基础上，使学生不感到陌生，有思考的余地，又要在此基础上向新课作自然延伸，使学生在思考中有新的发现，而这种发现又使学生自然地进入到新课状态和新课情境中来。我们在教学中主要从以下几个方面创设情景：
（1）创设产生学习兴趣的情景； （2）创设产生认知冲突的问题情景； （3）创设产生发现乐趣的发现情景； （4）创设产生探索欲望的知识迁移情景； （5）创设产生成就感的成功情景。
例如在讲解随机事件问题时，我举了一个例子创设悬念：同学们，老师有个发现，把数学课本随意翻开，一定会出现这样的事情：左边的页码是偶数，右边的页码是奇数，相信不相信？试一试。接着我又出示第二个例子：老师手中的转盘（有多块不同颜色的区域），如果将它自由转动，请你们猜一猜，当转盘停止时，指针会指向那种颜色的区域？（学生发现答案不确定。）翻书和转盘这两个事情是现实中的有趣问题，最能触及学生的情感和意志领域，自然会把学生引入随机现象之中，使学生感受到随机事件就在身边。这一问题情景建立在学生的生活现实和认知基础上，学生“跳一跳，够得着”，因而能够成为学生进入学习状态的诱因，不断地引起认知冲突，然后再根据教材中的事例展开分析，更能用好教材。
（二）启迪学生思维，教会学生思考 1.设计一题多问，促进自主学习
对于新知识的学习，通过问题形式揭示知识的形成过程，让学生自己去尝试、去探索、去发现，其效果远胜于教师单纯的讲解。数学上任何一个知识点都有其形成过程，或是对实际问题的数学抽象，或是对旧知识进行归纳、类比后推理得出结论，这种数学抽象或推理的过程就是知识的形成过程，如果学生能掌握这些知识的形成过程，就能从整体上把握知识的结构，沟通知识的联系，弄清知识的来龙去脉，将知识学“活”。这就要求教师善于挖掘这些知识的产生过程，并将其分解成若干个问题，一步一步地去引导、去探求、去发现。在知识的形成过程中，学生的发现思维能力在不断形成、不断完善、不断总结中得以提高，进而避免了知识上的死记硬背，应用上的生搬硬套现象。
新教材必修4中的“思考与讨论”有一思考讨论题：x为锐角，比较x，sin x，tan x的大小。在讲授时，我没有讲完题目答案就作了以下变式设计：已知x为弧度制锐角，请用小于号“＜”将x，sin x，tan x连接起来。
教师提问： （1）根据已经学过的弧度制、角的定义和三角函数线的知识，请大家想一想：我们可以用什么来帮助解决这个问题？
（2）你能在以坐标原点为圆心的单位圆中把要比较的三个量所对应的图形表示出来吗？
（3）请大家看图，这三个量谁大谁小？ （4）想一想还有没有更好的思路？
（5）当x为钝角时如何？其他范围呢？推广后你会得到什么结论？ 这一过程比过去的“填鸭式”教学好多了，也更好地运用了教材。
2.倡导一题多解，实施分层教学，教材不仅是一本教科书，也是一本很好的“学材”。所以在新教材的教学中教师要努力倡导一题多解，注意培养学生的发散思维的习惯和能力，鼓励学生大胆想象，标新立异。
例如：设2α是第二象限角，则必有（ ）。 A.tan α＞cot α B.tan α＜cot α C.sin α＞cos α D.sin α＜cos α
本题是比较两个三角函数值大小的问题，先求出α的范围
A层（基础较差的学生）作差比较大小：
因为cot 2α＜0，所以tan α＞cot α。
由学生的“最近发展区”入手，调动学生的积极性，让学生主动参与求解。
B层（中等学生）在同一坐标系下画出正切函数和余切函数的图象以及正弦函数与余弦函数的图象，比较图象得出结果。给学生充分的思维空间，反思计算过程，加深对数形结合思想方法的理解.
C层（水平较高的学生）用特殊值或单位圆解决。特殊值的使用使学生在解决问题中尝试到学习的乐趣，单位圆的使用使学生在解决三角问题的过程中有了一定的模型，可以更好地带动他们的后续学习。这样设计教学过程拓宽了学生知识面，使不同层次的学生学有所得，并且从中提炼了方法，培养了他们的创新意识和探究能力。
（三）加强研究性学习活动，培养学生合作、探究的意识 改变过于强调接受性学习、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。即倡导主动、合作、探究的学习是新教材的精髓。
新的课程数学教学要求中，明确增加通过“研究性课题”使学生学会提出问题、体验数学活动的过程，培养创新精神和应用能力。教材还通过布置一定量的“实习作业”“调查报告”等实践内容让学生亲身体验数学活动的过程，提高他们的数学素养，以达到培养学生创新精神和应用能力的目的，这也是高中新教材改革之宗旨和目标。在新教材的知识背景下，我们特别注重研究性学习的教学，试教中主要采用了“数学作文教学法”，即指导学生进行知识总结，实际调查，数据证明等程序后，以作文（或说报告）的形式写出自己对知识的回味、反刍、体味，对知识进行再加工再创造，或者是学生本人从实际生活中观察和搜集的与课本相关知识的事例。例如在此活动中有一个学生深感城市交通阻塞和混乱情况严重，为了调查这一问题，不惜用整个周末的时间在街上统计车流情况，最后作了《用数学方法解决城市道路布局问题》一文，文中用频率统计表和频率分布折线图论证了一天中不同时间交通阻塞情况，通过道路两侧障碍物和摊点与车辆的相关散点图分析阐述了自己的观点，自行设计了许多改进意见。观点明确，立意鲜明，使得所学“统计”一章的知识得到了充分应用。
（四）搞好知识衔接，加强知识再创造，培养学生的创新意识 1.做好初高中数学知识的衔接
近年来，初中数学教学内容作了较大程度的压缩、上调，中考难度的下调、新课程的实验和新教材的教学，使高中数学在教材内容以及高考中都对学生的能力提出了更高的要求，使得原来的矛盾更加突出，因此要特别注意帮助学生树立信心，搞好初高中的衔接。我们针对高一新生的特点，结合新教材中设计的数学文化及数学史料，开展数学兴趣的教育，教材中设计的数学范例和古代数学家探究问题的精神，熏陶和鼓舞了许多学生，使高初中知识衔接的矛盾得到了缓解。
与初中数学相比，高中数学的内容多，抽象性、理论性强，不少学生进入高中之后很不适应，特别是高一年级，进校后，代数里首先遇到的是理论性很强的集合和函数，再加上立体几何的空间概念、空间想象能力又不可能一下子就建立起来，这就使一些初中数学学得还不错的学生不能很快地适应而感到困难，高一阶段数学的教与学中出现的问题：“学生感到难学，教师感到难教”，高一数学相对于初中数学而言，逻辑推理强，抽象程度高，知识难度大。初中毕业生以较高的数学成绩升入高中后，不适应高中数学教学， 学习成绩大幅度下降，出现了严重的两极分化，过去的尖子生可能变为学习后进生，甚至，少数学生对学习失去了信心。基于此，我们开展了许多学习方法讲座，同学生一起分析研究教材，取得良好效果。
2.搞好知识本身的衔接
重视探究学习，推动学习方式的变革。我们在强调探究性学习方式的同时，注意到接受和发现两种学习方式都有其存在的价值，彼此是相辅相成的关系。
新教材必修4将三角分成了两部分：基本初等函数（Ⅱ）和三角恒等变换，除作了大量删减，没有将两部分安排在一起。开始并不明白编写的意图，在试教三角恒等变换过程中逐渐明确，三角恒等变换是借助向量为工具来解决论证一系列公式的。教材将三角函数定义、向量、三角恒等变换穿在一起，形成一条主线，学习完后更容易把他们融为一体。 例如和角公式的推导，教材中用单位圆结合角终边上一点三角函数值的定义，以及数量积的知识作了推导，综合运用了前面已有的知识，教材第143页“探索与研究”又作了新的提问。基于此，笔者在讲授这一部分知识时也作了新的推理和尝试，加深了对新教材的认识，即新教材具有更强的可操作性。另法如下：设两向量坐标与以x轴正轴为始边组成的角为α、β。
此解法完全从向量进入，更容易引发学生对向量的认识，从而有利于知识的加深、巩固和应用。
新教材的理念是；课堂教学是活动的教学，教师的作用是引导学生进行数学活动，学生通过发现、探究性的数学活动，提高了兴趣，调动了潜能，经受了锻炼，培养了能力，并在这个过程中获得了印象深刻、不易忘怀的数学结果。
教材、学生、教师构成教学的三要素。在新理念下，教材是“学材”，是在教师指导下必不可少的进行数学学习和活动的主要材料（像演戏的剧本）。
学生是主体，是数学学习和活动的主角，而不是被教师牵着走的学习机器（像演戏的演员）。
教师是主导，其作用在于组织、引导、指导、评价，这与过去在教学中搞满堂灌式的个人表演大相径庭（象演戏的导演）。
数学课程改革是一个动态的持续发展过程，我们数学教师应顺应时代发展的趋势，加强数学教学过程中的对象意识、情景意识、目的意识及评判意识，转变教育观念、提高素质修养，本着以人为本、注重个性发展的教育新思路，面向全体学生，通过恰当的教育模式和方法，培养学生的创造性思维与综合实践能力，为社会培养出具有创新精神和实践能力的复合型人才，为我们中华民族的伟大复兴作出新的贡献。万事开头难，既然我们已经开始了新课程理念下的数学教学探索，我们就应该相信自己，只要努力就一定会获得数学教育的成功。
