高中数学竞赛教材讲义 第七章 解三角形

第七章解三角形

一、基础知识

在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，pabc为半周长。

2abc1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。 sinAsinBsinC

111推论1：△ABC的面积为S△ABC=absinCbcsinAcasinB.222

推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足ab，则a=A.sinasin(a)

1absinC；再证推论2，因为B+C=-A，所2正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=

以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推

absinasin(a)，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，sinAsinBsinAsin(A)

11等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于22

cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0

b2c2a2

2．余弦定理：a=b+c-2bccosAcosA，下面用余弦定理证明几个常2bc222用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则b2pc2qAD=pq.（1） pq2【证明】因为c=AB=AD+BD-2AD·BDcosADB，

222所以c=AD+p-2AD·pcosADB.①

222同理b=AD+q-2AD·qcosADC，②

因为ADB+ADC=，

所以cosADB+cosADC=0，

所以q×①+p×②得 2222

b2pc2qqc+pb=(p+q)AD+pq(p+q)，即AD=pq.pq22222b22c2a2

注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式AD.2

122212212222（2）海伦公式：因为SABCbcsinA=bc (1-cosA)= bc 44

4(b2c2a2)2122 22[(b+c)-a][a-(b-c)]=p(p-a)(p-b)(p-c).122164bc

这里pabc.2

用心 爱心 专心 - 1 -

所以S△ABC=

p(pa)(pb)(pc).

二、方法与例题

1．面积法。

例1（共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足POQ,QOR，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0, )，则P，Q，R的共线的充要条件是

sinsinsin()

.uvw

【证明】P，Q，R共线SΔPQR0SOPRSOPQSORQ 

11

1uvsin(α+β)=uwsinα+vwsinβ 222sin()sinsin，得证。

wuv

2．正弦定理的应用。

例2如图所示，△ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。 求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。

【证明】过点P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分别为D，E，F，则P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。

00

由题设及BPC+CPA+APB=360可得BAC+CBA+ACB=180。

所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=60。

00

所以EDF=60，同理DEF=60，所以△DEF是正三角形。 所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得证：

例3如图所示，△ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。

【证明】延长PA交GD于M，

GMO1AAF

.MDAO2AE

APAFPAAE

,由正弦定理，

sin(1)sinsin(2)sinAEsin1sin

.所以

AFsin2sin

GMPMMDPM

,另一方面，， sinsin1sinsin2GMsin2sin

所以， MDsin1sinGMAF

所以，所以PA//O1G， MDAE即PABC，得证。

因为O1GBC，O2DBC，所以只需证

3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.22

2例4在△ABC中，求证：a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c) ≤3abc.【证明】令a=y+z, b=z+x, c=x+y，则 abc=(x+y)(y+z)(z+x)

xyyzzx=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

=a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)-2abc.

222

所以a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c) ≤3abc.4．三角换元。

例5设a, b, c∈R，且abc+a+c=b，试求P

+

222

22

3的最大值。 a21b21c21

【解】由题设b

ac

，令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ, 1ac

101102

则tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cosγ≤3sin，

333

11022

当且仅当α+β=，sinγ=，即a=时，Pmax=.,b2,c

3322

41222

例6在△ABC中，若a+b+c=1，求证: a+b+c+4abc

22222

【证明】设a=sinαcosβ, b=cosαcosβ, c=sinβ, β0,.

2

因为a, b, c为三边长，所以c|a-b|，

222

从而0,，所以sinβ>|cosα·cosβ|.

4

因为1=(a+b+c)=a+b+c+2(ab+bc+ca),

222

所以a+b+c+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc).又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c)

22224

=sinβcosβ+sinαcosα·cosβ·cos2β

141=41>4

=

[1-cos2β+(1-cos2α)cosβcos2β] +

224

1424

cos2β(cosβ-cos2αcosβ-cos2β) 411442

+cos2β(cosβ-sinβ-cosβ)=.44

1222

所以a+b+c+4abc

三、基础训练题

1．在△ABC中，边AB为最长边，且sinAsinB=

2

3，则cosAcosB的最大值为__________.

42．在△ABC中，若AB=1，BC=2，则C的取值范围是__________.3．在△ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+tanCtanB，则△ABC的面积为__________.

4．在△ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，则C=__________.5．在△ABC中，“a>b”是“sinA>sinB”的__________条件.

6．在△ABC中，sinA+cosA>0, tanA-sinA

35，cosB=，则cosC=__________.513

AC

1”的__________条件.8．在△ABC中，“三边a, b, c成等差数列”是“tantan

223

7．在△ABC中，sinA=

9．在△ABC中，若sinC=2cosAsinB，则三角形形状是__________.

10．在△ABC中，tanA·tanB>1，则△ABC为__________角三角形.

11．三角形有一个角是60，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12，求这个三角形的面积。

12．已知锐角△ABC的外心为D，过A，B，D三点作圆，分别与AC，BC相交于M，N两点。求证：△MNC的外接圆半径等于△ABD的外接圆半径。

13．已知△ABC中，sinC=

四、高考水平训练题 1．在△ABC中，若tanA=

sinAsinB

，试判断其形状。

cosAcosB

1

1, tanB=，且最长边长为1，则最短边长为__________.2

32．已知n∈N+，则以3，5，n为三边长的钝角三角形有________个.+22

23．已知p, q∈R, p+q=1，比较大小：psinA+qsinB__________pqsinC.

4．在△ABC中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，则△ABC 为__________角三角形.

5．若A为△ABC 的内角，比较大小：cot

A

cotA__________3.8

6．若△ABC满足acosA=bcosB，则△ABC的形状为__________.7．满足A=60，a=6, b=4的三角形有__________个.

8．设为三角形最小内角，且acos

222+sin-cos-asin=a+1，则a的取值范围是2222

__________.

9．A，B，C是一段笔直公路上的三点，分别在塔D的西南方向，正西方向，西偏北30方向，且AB=BC=1km，求塔与公路AC段的最近距离。

10．求方程xy1yx1xy的实数解。 11．求证：

17sin200.320

五、联赛一试水平训练题

1．在△ABC中，b=ac，则sinB+cosB的取值范围是____________.sinBcosA2cosC

，则△ABC 的形状为____________.sinCcosA2cosB

ABC

3．对任意的△ABC，Tcotcotcot-(cotA+cotB+cotC)，则T的最大值为

22

22．在△ABC中，若____________.

4．在△ABC中，sin

A

sinBsinC的最大值为____________.2

5．平面上有四个点A，B，C，D，其中A，B为定点，|AB|=3，C，D为动点，且

22

|AD|=|DC|=|BC|=1。记S△ABD=S，S△BCD=T，则S+T的取值范围是____________.

6．在△ABC中，AC=BC，ACB80，O为△ABC的一点，OAB10，ABO=30，则ACO=____________.

00

7．在△ABC中，A≥B≥C≥小值为__________.

ABC

，则乘积coincos的最大值为____________，最

2226

CAAC

cos=____________.22

8．在△ABC中，若c-a等于AC边上的高h，则sin

9．如图所示，M，N分别是△ABC外接圆的弧AB，AC中点，P为BC上的动点，PM交AB

于Q，PN交AC于R，△ABC的内心为I，求证：Q，I，R三点共线。

10．如图所示，P，Q，R分别是△ABC的边BC，CA，AB上一点，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。

求证：AB+BC+CA≤2（PQ+QR+RP）。

11．在△ABC外作三个等腰三角形△BFC，△ADC，△AEB，使BF=FC，CD=DA，AE=EB，ADC=2BAC，AEB=2ABC，BFC=2ACB，并且AF，BD，CE交于一点，试判断△ABC的形状。

六、联赛二试水平训练题

1．已知等腰△ABC，AB=AC，一半圆以BC的中点为圆心，且与两腰AB和AC分别相切于点D和G，EF与半圆相切，交AB于点E，交AC于点F，过E作AB的垂线，过F作AC的垂线，两垂线相交于P，作PQBC，Q为垂足。求证：PQ

EF

，此处=B。

2sin

2．设四边形ABCD的对角线交于点O，点M和N分别是AD和BC的中点，点H1，H2（不重合）分别是△AOB与△COD的垂心，求证：H1H2MN。

3．已知△ABC，其中BC上有一点M，且△ABM与△ACM的内切圆大小相等，求证：

AMP(Pa)，此处P

(a+b+c), a, b, c分别为△ABC对应三边之长。

24．已知凸五边形ABCDE，其中ABC=AED=90，BAC=EAD，BD与CE交于点O，求证：AOBE。

5．已知等腰梯形ABCD，G是对角线BD与AC的交点，过点G作EF与上、下底平行，点E

和F分别在AB和CD上，求证：AFB=90的充要条件是AD+BC=CD。

6．AP，AQ，AR，AS是同一个圆中的四条弦，已知PAQ=QAR=RAS，求证：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。

22222

7．已知一凸四边形的边长依次为a, b, c, d，外接圆半径为R，如果a+b+c+d=8R，试问对此四边形有何要求？

8．设四边形ABCD内接于圆，BA和CD延长后交于点R，AD和BC延长后交于点P，A，

B，C指的都是△ABC的内角，求证：若AC与BD交于点Q，则

cosAcosCcosB

.APCRBQ

9．设P是△ABC内一点，点P至BC，CA，AB的垂线分别为PD，PE，PF（D，E，F是垂足），

求证：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并讨论等号成立之条件。

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