人教版高中数学教案：第6章：不等式,教案,课时第 (6)

第六教时

教材：不等式证明一（比较法）

目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，

要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。 过程：

一、复习：

1．不等式的一个等价命题

2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论

二、作差法：（P13—14）

1． 求证：x2 + 3 > 3x

证：∵(x2

+ 3)  3x = x2

3x(3)2(3)23(x3)23

2224

0

∴x2 + 3 > 3x

2． 已知a, b, m都是正数，并且a

bmb

证：

amab(am)a(bm)m(bmbb(bm)ba)

b(bm) ∵a,b,m都是正数，并且a 0 ,b  a > 0 ∴

m(ba)

amab(bm)

0即：

bmb变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a

3． 已知a, b都是正数，并且a  b，求证：a5

+ b5

> a2b3

+ a3b2

证：(a5 + b5 )  (a2b3 + a3b2) = ( a5  a3b2) + (b5  a2b3 )

= a3 (a2  b2 )  b3 (a2  b2) = (a2  b2 ) (a3  b3) = (a + b)(a  b)2

(a2

+ ab + b2

)

∵a, b都是正数，∴a + b, a2

+ ab + b2

> 0

又∵a  b，∴(a  b)2 > 0∴(a + b)(a  b)2(a2 + ab + b2) > 0 即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行

走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路

程以速度n行走，如果m  n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？ 解：设从出发地到指定地点的路程为S，

甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，

t1mt

1SS

2nS,

2m2n

t2可得：t2SS(mn)2

1mn,t22mn

2SS(mn)S[4mn(mn)2]S(mn)2

∴t1t2mn2mn2(mn)mn

2mn(mn) ∵S, m, n都是正数，且m  n，∴t1  t2

三、作商法

ab5． 设a, b  R+

，求证：aa

bb

(ab)2

abba

abba证：作商：

aabbab

2aba

b

(a(ab)

b

)

ab当a = b时，(a

b

)

1

b

当a > b > 0时，a

1,

aba2

b20,(a

b

)1

ab当b > a > 0时， 0a

1,

ab2

b20,(a

b

)1

ab

∴aabb(ab)

（其余部分布置作业）

作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。

四、小结：作差、作商

五、作业： P15练习

P18习题6.31—4

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