40平面向量的数量积
教材分析
两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的乘法，它区别于数的乘法．这篇案例从学生熟知的功的概念出发，引出平面向量数量积的概念和性质及其几何意义，介绍向量数量积的运算律及坐标表示．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系在一起，这为解决三角形的有关问题提供了方便，特别是能有效解决线段的垂直等问题．这节内容是整个向量部分的重要内容之一，对它的理解与掌握将直接影响向量其他内容的学习．这节内容的教学难点是对平面向量数量积的定义及运算律的理解和对平面向量数量积的应用．
教学目标
1.理解并掌握平面向量的数量积、几何意义和数量积的坐标表示，会初步使用平面向量的数量积来处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
2.通过对数量积的引入和应用，初步体会知识发生、发展的过程和运用过程，培养学生的科学思维习惯．
任务分析
两个向量的数量积从形式和实质上都与数的乘法有区别，这就给理解和掌握这个概念带来了一些困难．在学习时，要充分让学生理解、明白两个向量的数量积是一个数量，而不是向量．两个向量的数量积的值是这两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积，其符号由夹角余弦值的正负而确定．
两向量的数量积“a·b”不同于两实数之积“ab”．
通过实例理解a·b＝b·c与a＝c的关系，a·b＝0与a＝0或b＝0的关系，以及（a·b）c＝a（b·c）与（ab）c＝a（bc）的不同．
教学设计
一、问题情景
如图40-1所示，一个力f作用于一个物体，使该物体发生了位移s，如何计算这个力所做的功．由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角θ，真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力，这个分力与物体位移的乘积才是力f做的功．即力f使物体位移x所做的功W可用下式计算．
W＝｜s｜｜f｜cosθ．
其中｜f｜cosθ就是f在物体前进方向上的分量，也就是力f在物体前进方向上正射影的数量．
问题：像功这样的数量值，它由力和位移两个向量来确定．我们能否从中得到启发，把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？
二、建立模型
1.引导学生从“功”的模型中得到如下概念：
已知两个非零向量a与b，把数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积（内积），记作a·b＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a与b夹角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．
规定0与任一向量的数量积为０．
由上述定义可知，两个向量ａ与ｂ的数量积是一个实数．
说明：向量a与b的夹角θ是指把a，b起点平移到一起所成的夹角，其中0≤θ≤π．当θ＝时，称a和b垂直，记作a⊥b．为方便起见，a与b的夹角记作〈a，b〉． 2.引导学生思考讨论
根据向量数量积的定义，可以得出
（1）设e是单位向量，a·e＝｜a｜cos〈a，e〉． （2）设a·b是非零向量，则a⊥b（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝
a·b＝0．
.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（这与实数｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．
三、解释应用 ［例 题］
已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b． 解：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10． ［练习］
1.已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影为－2，求：（1）a·ｂ．
（2）a在b上的投影．
2.已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求
四、建立向量数量积的运算律
·．
1.出示问题：从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数量积运算才更富有意义．回忆实数的运算律，你能类比和归纳出向量数量积的一些运算律吗？它们成立吗？为什么？
2.运算律及其推导
已知：向量a，b，c和λ∈R，则 （1）a·b＝b·a（交换律）． 证明：左＝｜a｜｜b｜cosθ＝右．
（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（数乘结合律）． 证明：设a，b夹角为θ，当λ＞0时，λa与b的夹角为θ， ∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜cosθ＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）； 当λ＜0时，λa与b的夹角为（π－θ），
∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（a·b）；
当λ＝0时，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）． 总之，（λa）·b＝λ（a·b）； 同理a·（λb）＝λ（a·b）． （3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法对加法的分配律）．
证明：如图40-2，任取一点O，作＝a，＝ｂ，＝c．
∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即
｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，
∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝ ｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝c·a＋c·b， ∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．
思考：（1）向量的数量积满足结合律，即（a·b）c＝a（b·c）吗？ （2）向量的数量积满足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c吗？
五、应用与深化 ［例 题］
1.对实数a，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．类似地，对任意向量a，b，也有类似结论吗？为什么？
解：类比完全平方和公式与平方差公式，有
（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2． 其证明是：（a＋b）＝（a＋b）·（a＋b）＝ a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝ a2＋2a·b＋b2，
2
22
2
2
2（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝ a2－b2． ∴有类似结论．
2.已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）． 解：（a＋2b）·（a－3b）＝ a2－3a·b＋2b·a－6b2＝
｜a｜－｜a｜｜b｜cos60°－6｜b｜＝－72．
3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a与b不共线．当k为何值时，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±． 2
2因此，当k＝±时，有（a＋kb）⊥（a－kb）．
4.已知：正方形ABCD的边长为1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．
解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，
∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．
解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1×
［练习］
1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a与b的夹角θ．
×
＋2×1×
×
＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2
．
2.在边长为2的正三角形ABC中，求
六、拓展延伸
·＋·＋·．
1.当向量a，b的夹角为锐角时，你能说明a·b的几何意义吗？ 如图40-3，a·b，即以b在a上射影的长和ａ的长为两邻边的矩形面积（OA＝OA1）．
2.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图40-4，＝－
＝＋，．试说明平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系．
3.三个单位向量a，b，c有相同终点且a＋b＋c＝0，问：它们的起点连成怎样的三角形？
解法1：如图40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2， 2∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜cos∠AOC＝－1，cos∠AOC＝
，∠AOC＝120°． 同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即该△ABC为等边三角形．
解法2：如图40-6，．
＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋
∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB为菱形．
又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°．
同理∠AOC＝∠BOC＝120°，…
4.在△ABC中，·＝·＝·，问：O点在△ABC的什么位置？
解：由同理⊥·，＝⊥
·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，
．故O是△ABC的垂心．
点 评
这篇案例的一个突出特点是使用类比方法，即在研究向量的数量积的性质及运算律时，经常以实数为对象进行类比．以物理学中的力对物体做功的实例，引入数量积的过程比较自然，学生容易接受．在“拓展延伸”中，较多地展示了向量的综合应用．这都充分体现了向量是数形结合的重要载体．运用向量方法解决与向量有关的综合问题，越来越成为考查学生数学思维能力的一个重要方面．认识向量并会使用向量是这一部分的基础，也是重点．总之，这篇案例较好地实现了教学目标，同时，关注类比方法的运用，以及学生数学思维水平的提高．美中不足的是，对学生的自主探究的引导似乎有所欠缺．
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