向量数量积教案模板（精选多篇）

推荐第1篇：平面向量的数量积教案

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

教学目标：

1、知识目标:推导并掌握平面向量数量积的坐标表达式，会利用数量积求解向量的模、夹角及判定垂直等问题.

2、能力目标:通过自主互助探究式学习,培养学生的自学能力,启发学生用多角度去思考和解决问题的能力,促进学生对知识的掌握和灵活运用.

3、情感目标:通过自主学习,增强学生的成就感,提高学生学习的积极性和自信心.教学重点:利用数量积的坐标表示解决模、夹角、垂直等问题.教学难点:平面向量数量积的坐标表达式的推导.教法:启发式教学,讲练结合 学法:自主互助探究式 教学用具:多媒体 教学过程设计:

一、复习引入

(教师提问,学生回答)

二、知识探究

1.平面向量数量积的坐标表示

b(x,y)abx1x2y1y2 a(x,y)已知非零向量,22,则11(找学生到黑板上推导) 结论:两个向量数量积等于它们对应坐标的乘积的和.思考:向量数量积的坐标表示与前面所学的向量的坐标运算有什么联系和区别?

(学生讨论回答,教师归纳) 例

1.已知a(2,3),b(2,4),c(1,2),求: (1)ab; (2)a(bc); (3)

(ab)(ab); (4)2(ab).

(教师讲前两问,学生做后两问)

2.平面向量数量积的应用

(1)求模问题:

(让学生自己推导) i)a(x,y),axy22.

(x2x1)(y2y1)22ii)A(x,y1),B(x2,y2)1,

AB (平面上两点间距离公式).

a1iii)求a的单位向量e,eaaa,其中e1.

例2.(1)已知a(3,4),e是a的单位向量,求a,e.

(2)已知A(1,2),B(3,4),求

巩固练习:P107练习1 已知a(3,4),b(5,2),求aAB.

,

b,ab

(2)判定向量的垂直关系: (让学生自己推导) abab0x1x2y1y20

a//bx1y2x2y10

(对比记忆) 例3 .已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断ABC的形状,并给出证明.

(3)求向量的夹角: (让学生自己推导) 思考:i)的范围?

ii)由cos能确定吗?为什么?

(找学生回答) 例4.

巩固练习.P107 练习3

已知a(3,2),b(5,7),求a与b设a(5,7),b(6,4),求ababcosabx1x2y1y2xy2121xy222

2及a与b的夹角(精确到1).

0的夹角(精确到1).

0

思考:不使用计算器,结合上面的例题,能求出的值吗? (找学生回答)

三、能力提升

已知a(cos,sin),b(cos,sin),证明

(ab)(ab).

四、小结

这节课咱们一起学习了: 1.平面向量数量积的坐标表示 2.平面向量数量积的应用 (1)求模; (2)判定垂直; (3)求夹角.希望大家在掌握的基础上加以灵活应用.

五、作业

P108 A组5(1) ,(2),(3)任选一个、

9、11.

六、课后探索题: 已知a(2,1),b(x,1)

(1)若a与b(2)若a与b(3)若a与b的夹角为45,则实数x的值是_____;

0的夹角为锐角,则实数x的取值范围是_____; 的夹角为钝角,则实数x的取值范围是_____.

推荐第2篇：69向量的数量积(二)

2009——2010高一数学学案NO.65编制王军成审定： 高一数学组

平面向量的数量积

（二）

【典例练讲】

1、已知||||1，且(2)(32)=8

求：（1）a,b的夹角；（2）a+b与a的夹角

2、已知||||1，|32|7

（1）求|32|；（2）求+在上的投影

3、已知，且+3与7-5垂直，求,是非零向量，-4与7-2垂直，的夹角

4、若，是两个给定的非零向量，tR，当t的长度取最小值时 （1）求t的值；（2）证明：⊥atb。 

推荐第3篇：两个向量的数量积（推荐）

8、《两个向量的数量积》说课稿

尊敬的各位评委老师：

大家好！今天我说课的内容是《两个向量的数量积》。现代教育理论指出学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发、以学生活动为主线、在原有认知结构基础上、建构新的知识体系。本节课的教学设计中，我将此理念贯穿于整个教学过程中。下面就从教材分析、教学目标分析、重难点分析、教法分析、学法分析、教学设计、板书设计及教学评价等方面进行说明。

一、教材分析

《两个向量的数量积》是现行人教版高中数学第二册下第九章第5节的内容。在本节之前，同学们已经学习了空间向量的一些知识，包括空间向量的坐标运算、共线向量和共面向量、空间向量基本定律，这些知识是学习本节的基础。

向量概念的引入是数学学习的一个捷径，同时也引入了一种新的解决数学问题的方法：坐标法，同时也引入了一种新的数学思想：数形结合的思想。同时，两个向量之间的位置关系可以通过数量积来表示。因此，研究两个向量的数量积是高中数学的一个重点知识。

二、教学目标

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：

1．基础知识目标：掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法，掌握两个向量数量积的概念、性质、计算方法及运算律；

2．能力训练目标：掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。

3．个性品质目标：训练学生分析问题、解决问题的能力，了解数量积在实际问题中的初步应用。

4．创新素质目标：培养学生数形结合的思想。

三、重难点分析

教学的重点是两个向量数量积的计算方法及其应用，在此基础上应该让学生理解两个向量数量积的几何意义，这也就是本节课的难点。

下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我将从教法和学法上进行讲解。

四、教法

教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习，充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，采用采用引导式、讲练结合法进行讲解。

五、学法

教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：

(1)联想法：要求学生联想学过的向量知识，特别加深理解数学知识之间的相互渗透性。

1(2)观察分析法：让学生要学会观察问题，分析问题和解决问题新。

(3)练习巩固法：让学生知道数学重在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距。

下面，我将具体谈谈这堂课的教学过程。

六、教学程序及设想

七、板书设计

板书要基本体现整堂课的内容与方法，体现课堂进程，能简明扼要反映知识结构及其相互联系；能指导教师的教学进程、引导学生探索知识；同时不完全按课本上的呈现方式来编

排板书。即体现系统性、程序性、概括性、指导性、启发性、创造性的原则；（原则性）

以上就是我说课的内容，希望各位老师对本堂课的说课提出宝贵的意见。 谢谢。

6

推荐第4篇：向量的数量积教学设计

平面向量数量积的物理背景及其含义

教学过程

（一）创设情境、引入新课

如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，力F所做的功为多少？

【师生活动】由全体学生共同回答。然后教师提问学生功、位移、力各是什么量，由此引入向量“数量积”的概念。 【结论】

（二）讲授新课

1、向量的数量积

2、数量积的几何意义

3、向量数量积的性质

4、向量数量积的运算律

古典概型

教材分析

本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在学习随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的 。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。

学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些简单事件的概率，有利于解释生活中的一些现象与问题。 学情分析

学生在初中阶段已经了解了频率与概率的关系，会计算一些简单等可能事件发生的概率，这为学习古典概型提供了一定的基础。 教学目标

1.知识与技能：

(1) 通过试验理解基本事件的概念和特点；

(2) 通过具体实例分析，抽离出古典概型的两个基本特征，并推导出古典概型下的概率计算公式；

(3) 会求一些简单的古典概率问题。

2.过程与方法：经历探究古典概型的过程，体验由特殊到一般的数学思想方法。

3.情感、态度与价值观：通过具有现实意义的实例，激发学习兴趣，培养勇于探索，善于发现的创新思想。教学重、难点

重点：理解古典概型的概念，利用古典概型求解随机事件的概率。 难点：如何判断一个试验是否为古典概型，弄清在一个古典概型中基本事件的总数和某随机事件包含的基本事件的个数。 教学过程

（一）创设情境、引入新课

有一本好书，两位同学都想看。甲同学提议掷硬币：正面向上甲先看，反面向上乙先看。乙同学提议掷骰子：三点以下甲先看，三点以上乙先看。这两种方法是否公平？

【师生活动】由全体学生共同回答。教师提出公平与否实质上是概率大小问题，切入本堂课主题——利用古典概型求随机事件的概率。

（二）温故知新

回顾前几节课对概率求取的方法。

【师生活动】由全体学生共同回答，进而教师提出这种求概率的方法的不足之处，提出建立概率模型的必要性。 【结论】大量重复试验。

（三）讲授新课

1、基本事件

问题1：（1）抛掷一枚质地均匀的硬币，会有哪几种可能结果？

（2）抛掷一枚质地均匀的骰子，会有哪几种可能结果？

【师生活动】由全体学生共同回答。教师提出基本事件的概念。 【结论】

定义：一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

问题2：掷一枚质地均匀的骰子

(1)在一次试验中，会同时出现“1点”和“2点”这两个基本事件吗？

(2)随机事件“出现点数小于3”与“出现点数大于3”包含哪几个基本事件？

问题3：掷一枚质地均匀的硬币

(1)在一次试验中，会同时出现“正面向上”和“反面向上”这两个基本事件吗？

(2)“必然事件”包含哪几个基本事件？

【师生活动】由全体学生共同回答。教师引导学生发现基本事件的共同特征。 基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是互斥的;

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

2、古典概型

思考:从基本事件角度来看,上述两个试验有何共同特征？ 【师生活动】由个别学生回答，教师辅助讲解，引出古典概型的概念。 古典概型的特征：

(1)试验中所有可能出现的基本事件的个数有限； (2)每个基本事件出现的可能性相等。 思考：能否列举出一些生活实例是符合古典概型的特征的？

3、求解古典概型

思考:古典概型下,每个基本事件出现的概率是多少?随机事件出现的概率又如何计算？ (1) 基本事件的概率 试验1:掷硬币

P(“正面向上”）= P (“反面向上”）=1/2 试验2:掷骰子

P（“1点”）=P（“2点”）=P（“3点”）=P（“4点”）=P（“5点”）=P（“6点”）=1/6 【师生活动】由全体学生共同回答，教师板书。

【结论】古典概型中,若基本事件总数有n个,则每一个基本事件出现的概率为1/n。 (2)随机事件的概率

掷骰子试验中，记事件A为“出现点数小于3” ，事件B为“出现点数大于3”，如何求解P(A)与P(B)？

【结论】古典概型中,若基本事件总数有n个，A事件所包含的基本事件个数为m，则P（A）=m/n。

正弦函数、余弦函数的图象

一、教材分析

本节课是在学生掌握了单位圆中的正弦函数线和诱导公式的基础上进行的，不仅是对前面所学知识应用的考察，也是后续学习正、余弦函数性质的基础。对函数图像清晰而准确的掌握也为学生在解题实践中提供了有力的工具。本小节内容是三角函数的图象与性质，是本章知识的重点，有着承前启后的作用。

二、学情分析

知识上，通过高一对函数的学习，学生已经具备了一定的绘图技能，能够类比推理画出图像，并通过观察图像，总结性质。心理上，具备了一定的分辨能力、语言表达能力，初步形成了辩证的思维方法。

三、教学目标

（一）知识与技能

1、会用单位圆中的线段画出正弦函数的图象；

2、结合正弦函数的图像，会用诱导公式画出余弦函数的图象；

3、会用“五点法”画正、余弦函数的图象。

（二）过程与方法

1、通过将单位圆12等分，过各分点做垂线，得到对应于0、π/6...2π等角的正弦线，将其向右平移，得到函数y=sinx ,x[0,2]的图象；

2、根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象；

3、通过先描关键的五个点，再用光滑的曲线将其连接起来，得到正余弦函数的图象。

（三）情感、态度与价值观

1、通过作函数图象，感受数形结合的思想；

2、通过各函数图象之间的关系，学会用联系的观点看问题。

四、教学重、难点

重点：用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线。

难点：利用单位圆中的正弦线画出函数y=sinx ,x[0,2]的图象；

利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线。

五、教学过程

（一）复习引入

1、如何画函数的图象？有什么方法

2、回顾一下三角函数线的概念。

【师生活动】对于这两个问题，可由个别学生回答，教师根据学生的回答进行板书，进而引出本节课的主题——绘制正余弦函数的图象。

（二）讲授新课

1、正弦函数的图象

（1）提问：1）一般怎样得到函数图象上点的两个坐标数据？

2）由于一般角的三角函数值都是近似值，作图不够精确，我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长（或有向线段数值）表示x角的三角函数值。即如何在直角坐标系中准确的描出此点（x,sinx）？

【师生活动】问题1可由学生回答，学生可能会回答描点法，进而教师指出三角函数值都是近似值，作图不够精确，抛出问题2。对于问题2，教师可自问自答，指出可利用单位圆中的正弦线来准确描点。之后教师板书利用正弦线作正弦函数图象的过程。 （2）利用正弦线作正弦函数的图象： 1）作直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧画单位圆 2）把单位圆分成12等分（等分越多，画出的图象越精确），可分别在单位圆中作出对应于x的0,,,„„ ,2 的正弦函数线。

3）找横坐标：把x轴上从0到2 (2≈6.28)这一段分成12等分。 4）找纵坐标：将正弦线对应平移，即可得到相应12个点。

5）连线：用平滑的曲线将12个点依次从左至右连接起来，即得y=sinx，x∈[0,2]的图像。 使学生明白作图方法的来由。

2、余弦函数的图象

思考：能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数的图象？

【师生活动】教师引导学生利用诱导公式将正余弦函数联系起来，可由个别学生回答。 【结论】

3、五点法作图

（1）提问：利用正弦线作图确实比较精确，但不太实用，我们该如何快捷地画出正弦函数的图象呢？

追问：请同学们仔细观察：是否可看出，在函数y=sinx，x∈[0,2]的图象上，起关键作用的点只有五个：（哪五个？）

【师生活动】由全体学生共同回答，进而教师指出在精确度不高的情况下，常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就可以得到函数的简图。 【结论】

（2）提问：类似于正弦函数图象的五个关键点，能否找出余弦函数的五个关键点？作出简图。

【师生活动】由学生自主探索用五点法作图，教师可请一位学生上来板演，之后进行一定的讲解。

（三）例题讲解

两角差的余弦公式

教材分析

三角恒等变换处于三角函数与数学变换的结合点和交汇点上，是前面所学三角函数知识的继续与发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材．两角差的余弦公式是《三角恒等变换》这一章的基础和出发点，公式的发现和证明是本节课的重点，也是难点。 由于和与差内在的联系性与统一性，我们可以在获得其中一个公式的基础上，通过角的变换得到另一个公式．我们可以用“随机、自然进入”的方式选择其中的一个作为突破口．教材选择两角差的余弦公式作为基础，其基本出发点是使公式的证明过程尽量简洁明了，易于学生理解和掌握，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和能力．

教材没有直接给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行探究，并从简单情况入手得出结果．这样的安排不仅使探究更加真实，也有利于学生学会探究、思维发展。 教学过程

（一）创设情境、引入新课 问题1：我们知道cos3013，cos60，cos30又可写成cos(60-30)，那么

22cos(60-30)是不是就等于cos60-cos30呢？

【师生活动】可由教师直接在黑板上板书，与学生共同验证结论的错误，进而引出本节课所要探讨的两角差的余弦公式。

（二）讲授新课

两角差的余弦公式：cos(-)coscossinsin 思考：如何证明上述公式？

追问：求一个角的余弦值的最原始的方法是什么？

【师生活动】教师引导学生从单位元上的三角函数出发，在单位元中构造直角三角形和角α、β，将cos、cos、sin、sin表示出来，找出它们之间的等量关系。可先考虑简单的情形，即α、β是锐角的情况。 【结论】通过单位元中的三角函数线。 【证明】

提问：对于α、β是任意角的情况，如何将公式进行推广呢？

【师生活动】此项推广工作比较繁难，教师在课堂上可提示有兴趣的学生回去自行研究一下。 提问：上个单元我们学习了向量的知识，在证明两角差的余弦公式时能否利用向量的知识来证明呢？

【师生活动】教师提示学生可在单位元中取两个向量，通过计算向量的数量积得到公式，但要提醒学生注意考虑角的范围，通过观察讨论搞清-2k。 【证明】

正弦定理

一、教材分析

正弦定理选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5（人教A版）》，主要学习正弦定理及其应用。本节课作为本章的起始课，既是初中解直角三角形的延拓，也是对三角函数和平面向量等知识在三角形中的运用。本节内容是解任意三角形的基础，同时为后续学习余弦定理打下了一定的基础。

二、学情分析

学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，这为学习正弦定理打下了良好的基础。但本节内容涉及代数推理，定理的推导和证明中可能涉及多方面的知识方法，综合性强，因此学生在学习过程中难免会有困难。

四、教学重点、难点

教学重点： 1.正弦定理的推导.

2.正弦定理的运用

教学难点：1.正弦定理的推导.

2.正弦定理的运用.

五、教学过程

（一）创设情境、引入新课

我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系的准确量化呢？

【师生活动】教师指出在一个ABC中，如果已知。。。，我们要研究。。。由此，引出本节课的主题——正弦定理。

（二）讲授新课

1、特殊入手，探究证明

直角三角形中角与边的等式关系：

【师生活动】教师引导学生根据正弦函数的定义，得到三边与对应的角的正弦值的关系。 【证明】

2、推广拓展，探究证明

锐角三角形中角与边的等式关系：

问题1：在锐角三角形ABC中，如何构造、表示 “a与sinA、b与sinB”的关系呢？ 追问：能否构造直角三角形，将问题化归为已知问题？

【学情预设】此处，学生可能出现以下答案情形。学生对直角三角形中证明定理的方法记忆犹新，可能通过以下两种方法构造直角三角形。

生1：过 C作BC边上的线CD，交BA的延长线于D，得到直角三角形DBC。 生2：过A作BC边上的高线AD，化归为两个直角三角形问题。 【师生活动】可由个别学生回答，教师根据学生的回答进行板书证明。 【证明】

问题3：钝角三角形中如何推导正弦定理？

【师生活动】教师引导学生对于钝角三角形的情况，类别锐角三角形，构造直角三角形，留给学生课后回去思考。

3、正弦定理的理解 正弦定理：

问题4：定理从结构上看有什么特征？有哪些变形式？

【师生活动】教师引导学生观察定理的结构，用方程的观点看问题，每个方程含有四个量，知三求一。

【结论】（1）从结构看：各边与其对角的正弦严格对应，成正比例，体现了数学的和谐美。

（2）从方程的观点看：每个方程含有四个量，知三求一。从而知正弦定理的基本作用为：

① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边；

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值。

余弦定理

教材分析

余弦定理是初中勾股定理的直接延拓，也是解任意三角形的基础，是三角函数和平面向量知识在三角形中的具体运用，具有广泛的应用价值。同时，它也是学习后续知识的基础。 【学情分析】

学生已经会用正弦定理解决三角形相关问题，了解三角形边角之间存在着一定的数量关系，这为本节课的学习奠定了基础。对于正弦定理解决已知两边及夹角问题学生有一定的求知欲，这就促使学生去探索如何求解该类问题。

【教学重点】 余弦定理推导

【教学难点】 余弦定理推导及应用 教学过程

（一）创设情境、引入新课

如果已知一个三角形的两边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。怎样在这样的已知三角形的两边及其夹角的条件下解三角形呢？

【师生活动】教师引导学生先用数学符号表示上述问题：如果已知三角形的两边a，b和角C，如何解出c，B，A？先考虑怎样计算出c的大小。即要研究如何用已知的两条边及其所夹的角来表示第三条边的问题，由此引出本节课的主题——余弦定理。

（二）讲授新课

1、余弦定理

问题1：联系所学过的知识，从什么途径来解决上述问题呢？

【师生活动】由于涉及到边长问题，教师引导学生从向量的角度出发考虑，利用向量的数量积求解。 【证明】 余弦定理：

2、余弦定理的推论 问题2：

【师生活动】教师引导学生将余弦定理进行变形，可以通过三边计算出三角形的三个角。 【结论】

3、余弦定理和勾股定理的关系

问题3：余弦定理与以前的关于三角形的什么定理在形式上非常接近？

【师生活动】由个别学生回答，教师由此引进就三种不同情形探究两个定理之间的联系。 【结论】

（三）例题讲解

等差数列

（一）创设情境、引入新课

情境1：在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，10,15,20...情境2： 情境3 情境4：

思考：同学们观察一下上面的这四个数列： 0，5，10，15，20，„„ ① 48，53，58，63 ②

18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③

10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④ 看这些数列有什么共同特点呢？

【师生活动】教师引导学生观察每个数列相邻两项之间的关系，由此引出等差数列的概念。 【结论】

（二）讲授新课

1、等差数列的概念

问题1：对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义。

【师生活动】由个别学生回答，教师辅助讲解。 【结论】

问题2：如果在与中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？ 【师生活动】由个别学生回答，教师由此引入等差中项的概念。 【结论】

2、等差数列的通项公式

问题3：对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？

【师生活动】教师引导学生根据等差数列的定义，先得到相邻两项之间的关系，再将每一项用首项及公差表示出来，即可发现一定的规律，得到通项公式。 【结论】

等差数列的前n项和

教材分析

等差数列的前n项和是数列与等差数列的概念的延续，是进一步学习数列知识的重要基础和有力工具。同时，它也为后续学习等比数列的前n项和打下了一定的基础，与数学中的函数、三角函数、不等式等都有密切的联系。

（一）创设情境、引入新课

等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的问题。在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+„„+100=？当时，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1+100）+（2+99）+„„+（50+51）=101×50=5050。高斯的算法解决了1+2+3+„„+n中前100项之和的问题。

【师生活动】教师通过讲述这个故事，因此本节课的主题——等差数列的前n项和，并让学生思考高斯的算法妙在哪里。

（二）讲授新课

问题1：能否尝试用高斯的方法计算出1+2+3+„„+n的结果？ 【师生活动】先由学生自主思考，再请个别学生回答，教师辅助讲解。 【结论】

问题2：有没有更巧妙的方法呢？

【师生活动】教师指出数学家们从高斯那里受到启发，于是用下面的这个方法计算1，2，3，„，n，„的前n项的和：

由 1 + 2 + „ + n-1 + n n + n-1 +„ + 2 + 1 （n+1）+（n+1）+ „ +（n+1）+（n+1）

可知

这种方法叫“倒序相加法”。

问题3：对于一般的等差数列求和，能否用倒序相加法来求解？

【师生活动】教师设出一个一般的等差数列，引导学生用倒序相加法求和，将Sn用两种方式表示出来，同样将两式相加，得到等差数列前n项和的公式。 【推导过程】

问题4：如果不知道末项，如何求前n项和？

【师生活动】教师引导学生可利用等差数列的通项公式，将an用首项及公差表示，得到公式2。 【结论】

等比数列的前n项和

一、教学内容分析

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5）》（人教版）第二章第5节第一课时。从在教材中的地位与作用来：看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 学情分析

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨。 教学过程

（三）创设情境、引入新课

国际象棋起源于古代印度。相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么。发明者说：请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什么呢？

【师生活动】教师引导学生将各格所放的麦粒数看成一个数列，可得到一个等比数列。该问题即是求这个等比数列前64项的和。 提问：如何对上式进行求解呢？

【师生活动】教师引导学生对上式进行观察，进而发现后一项均是前一项的2倍，用2乘以上式，得到一个新的式子，再引导学生观察两个式子的关系，将两式相减，从而得到最终结果。 【求解过程】

（四）讲授新课

问题1：对于一般的等比数列。。，它的前n项和是。。。，如何求前n项和呢？ 【师生活动】教师引导学生类比求麦粒的过程，自主探究等比数列的前n项和的公式，可请个别学生上来板演。 【推导过程】 【注意点】q1

问题2：如果不知道数列总共有多少项，如何求第一项至最后一项的总和？

【师生活动】教师引导学生如果不知道n具体为多少时，该如何求解前n项和，引导学生回顾。。，可将公式进行变化得到另一公式。 【结论】

问题3：若q=1，则是什么数列？

【师生活动】由全体学生共同回答，教师进行板书，将特殊情况罗列出来。 【结论】常数数列。

平行线的判定

1、教材分析

图形的判定与图形的性质，是研究图形时必须要解决的两类问题，判定两条直线平行，是指根据直线具备的某个条件，就可以得到这两条直线平行的结论。而性质是一种事物区别于其它事物的根本属性。研究平行线的性质，平行线是已知的前提条件。因此二者的不同之处在于平行线是条件还是结论。教科书通过学生已学过的平行线的画法中，有同位角相等画出的两直线就平行这一数学事实，得出“同位角相等，两直线平行”的判定方法。这一方法是判定两直线平行的基本方法，利用这一方法，通过对顶角和邻补角关系分别推出平行线的另外两种判定方法。教科书p36上端提出的问题可用反证法的思想加以说明。假设CD与EF不平行，那么CD与EF相交，设交点为O，那么过O点就可画两条直线与AB平行，这与“经过直线外一点能画并且只能画一条直线与已知直线平行”的已知事实矛盾，所以CD∥EF。在平行线判定的教学中，应充分体现一条主线索：“充分实验—仔细观察—形成猜想—实践检验—明确条件和结论．”

2、学生分析

以前学生接触的是一步推理，而且因果关系比较明显。判定定理的推导需要先通过角的关系，找符合判定公理的条件，涉及两步推理，学生需要思考的问题复杂了一些，可能一时适应不了问题的思考方法。教学时注意引导，随时归纳总给使学生逐渐学会思考和分析。根据以前经验，多数学生能积极思考、探究，敢于发表自己的见解；在前面的教学中，曾开展过探究实践活动，全班同学具有初步的小组合作交流的经验。

3、学习目标

知识与技能目标：经历观察、操作、推理、交流等活动，探索并掌握平行线的三个判定方法，并会正确识别图中的同位角、内错角和同旁内角。

能力与方法目标：经历探索直线平行的条件的过程，发展空间观念和有条理的表达能力。

情感与态度目标：在自己独立思考的基础上，积极参与小组活动对直线平行条件的讨论，敢于表达自已的观点，并从中受益。

重点难点分析：本节的重点是：平行线的判定公理及两个判定定理．一般的定义与第一个判定定理是等价的．都可以做判定的方法．但平行线的定义不好用来判定两直线相交还是不相交．这样，有必要借助两条直线被第三条直线截成的角来判定．因此，这一个判定公理和两个判定定理就显得尤为重要了．它们是判断两直线平行的依据，也为下一节，学习习近平行线的性质打下了基础．本节内容的难点是：理解由判定公理推出判定定理的过程．学生刚刚接触演绎推理方法，对几何说理还不太理解．有些同学甚至认为从直观图形即可辨认出的性质，没必要再进行证明．这些都使几何的入门教学困难重重．因此，教学中要有直观的演示和操作，也要有严格推理板书示范．创设情境，不断渗透，使学生初步理解说理的步骤和基本方法．

勾股定理

教材分析：

这节课是九年制义务教育初级中学教材浙教版八年级第二章第六节《探索勾股定理》第一课时，勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起到重要的作用，在现时世界中也有着广泛的作用。学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

学情分析

八年级学生已经具有了一定的几何图形的观察能力，同时他们的抽象思维能力、逻辑推理能力也有了一定的发展。学生已经学过了三角形，全等三角形，等腰三角形以及简单多边形的相关性质，对本节课的学习有很大帮助。本节内容思维量较大，对思维的严谨、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。

多边形的内角和

一、教材分析：

从教材的编排上，本节课作为第三章的第三节。从三角形的内角和到四边形的内角和至多边形的内角和，环环相扣。同时，对今后学习的镶嵌，正多边形和圆等都是非常重要的。知识的联系性比较强。因此，本节课具在承上启下的作用，符合学生的认知规律。再从本节的教学理念看，编者从简单的几何图形入手，蕴含了把复杂问题转化为简单问题，化未知为已知的思想。充分体现了人人学有价值的数学，这一新课程标准精神。

二、学情分析：

学生刚学完三角形的内角和，对内角和的问题有了一定的认识，加上七年级的学生具有好奇心，求知欲强，互相评价，互相提问的积极性高。因此对于学习本节课内容的知识条件已经成熟。学生参加探索活动的热情已经具备。因此把这节课设计成一节探索活动课是必要的。

三、教学目标的确定：

新课程标准注重教学内容与现实生活的联系，注重学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程。根据学生现有的知识水平，依据课程标准的要求，我确定了以下的教学目标。

知识技能：掌握多边形的内角和公式

数学思考：

1、通过动手实践，自主探索，交流互 动，能够将多边形的问题转化为三角形的问题。从而深刻理解多边形的内角和，并会加以应用。

2、通过活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动经验，在探索中学会交流自己的思想和方法。

3、通过探索多边形内角和公式，让学生逐步从实验几何过渡到论证几何。

解决问题：通过探索多边形的内角和公式，使学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法并能有效的解决问题。

情感态度：让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感。在解题中感受数学就在我们身边。

四、重难点的确立：

既然是多边形内角和具有承上启下的作用。因此确定本节课的重点是探究多边形的内角和的公式。由于七年级学生初学几何，所以学生在几何的逻辑推理上感到有难度。所以我确定本节课的难点是探究多边形内角和公式推导的基本思想，而解决问题的关键是教师恰当的引导。

对数的概念

一、教材分析

本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修一（人教A版）》第二章2.2.1，主要学习对数的概念及其运算。对数与对数运算是学生在学习了指数与指数幂后的又一重要运算，对数与指数的互化是对指数函数及其性质的巩固，也是后续学习对数函数的基础。因此，本节课起着承上启下的重要作用。

二、学情分析

本节内容面向高一学生，学生在此之前已经学习了指数与指数幂的运算及指数函数，而对数是由指数转化过来的，所以前面的学习为本节课的学习做了一定的铺垫。学生已经初步具备运用所学知识解决问题的能力，但本节内容的学习对学生的迁移转化能力有较高的要求。因此，教师要加以一定的指导。

三、教学目标

四、教学过程

（一）创设情境、引入新课

根据上一节的例8我们能从中，算出任意一个年头x的人口总数，那么哪一年的人口达到18亿，20亿，30亿？

【师生活动】由学生根据问题得出计算公式，进而教师引导学生观察3个式子，都是已知底数和幂的值，求指数。由此，教师引出本节课所要学习的对数问题。

（二）讲授新课

1、对数的定义

一般地。。。

思考：利用对数写出上述3个问题的答案。

【师生活动】全体学生共同回答，教师根据学生的回答板书，帮助学生掌握对数的概念。 【结论】

提问：为什么对数的定义中要求a>0且不等于1？

2、两个重要的对数

3、对数与指数间的关系

4、对数的性质

提问：是否所有实数都有对数？

【师生活动】教师引导学生将对数式先转化为指数式，再进行思考。 【结论】

（三）课堂例题

直线的倾斜角与斜率

教材分析

本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2（人教A版）》第三章3.1，主要学习直线的倾斜角与斜率。直线的倾斜角与斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法的方式来研究直线及其几何性质的基础。本节课是第三章的第一节，该节是学生学习用坐标法研究图形，研究几何问题的初步知识，这些知识是初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本节也是后续学习直线的方程、圆锥曲线的基础。 学情分析

学生在初中已经学习了一次函数，对直线的表示有一定的了解，这为本节内容的学习打下了一定的基础。由于这是学生第一次接触直线的倾斜角和斜率，对于两者之间的转换也有一定的难度，对学生的问题探究能力也有一定的要求。因此，在课堂中要让学生好好理解直线的倾斜角与斜率的概念。 教学过程

（一）创设情境、引入新课

在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？

（二）讲授新课

问题1：对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定呢？ 【师生活动】教师引导学生发现两点可以确定一条直线，一点不能确定一条直线。 问题2：如图，在直角坐标系中，过点P的不同直线的区别在哪里？ 【师生活动】教师引导学生发现过定点的不同直线，其倾斜程度不同。

圆的标准方程

教材分析

本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学必修2（人教A版）》第四章4.1.1，主要学习圆的标准方程。圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用。圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，是后续学习直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的基础。 学情分析

学生在初中阶段已经学习了圆的概念和基本性质，在前一阶段的学习中又掌握了求直线方程的一般方法，为本节的学习打下了一定的基础。但由于学生以往更注重从几何的角度理解圆的性质，而且学习解析几何的时间还不长，尚未牢固建立数形结合的思想，对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。 教学过程

（一）创设情境、引入新课

在初中，我们已经学习了圆的定义，圆是怎么定义的呢？确定一个圆需要哪些条件？ 【师生活动】教师引导学生回顾圆的定义，让学生明确确定一个圆的几何要素是半径和圆心。

（二）讲授新课

问题1：在平面直角坐标系中，圆心在原点，半径为r的圆如何表示呢？

【师生活动】教师引导学生利用圆的定义，设出圆上的任意点的坐标，利用圆上的任意点到圆心的距离等于半径的关系求出圆的方程。 【结论】

问题2：在平面直角坐标系中，如果圆心不在原点，圆的方程应该如何表示呢？ 【师生活动】 【结论】

直线与平面平行的判定

教材分析

本节内容。。。本节课是在前面学习点、线、面的位置关系基础上，进一步研究直线与平面的位置关系。平行关系是本章的重要内容，线面平行是平行关系的初步，也是面面平行判定的基础，还映射着线面垂直的关系。 学情分析

学生通过对点、线、面位置关系的学习，初步理解了空间中点、线、面的位置关系，基本熟悉了直观感知、操作确认这一研究方法，但对学生的空间想象能力有一定的要求。

a，b，且a//ba//.证明：由a得

a//或者aA.

下证aA不可能.

若aA，由a//b，b，得

Ab.

则过点A做c//b，则a//c.

又acA，矛盾.

a//.

推荐第5篇：03 第三节 数量积 向量积 混合积

第三节 数量积 向量积 混合积

内容分布图示

★ 两向量的数量积

★ 数量积的运算 ★ 例

2★ 例5

★ 例3

★ 例

1★ 例4

★ 引例

★ 向量积的运算

★ 向量积的定义 ★ 例7

★ 例10

★ 混合积的几何意义

★ 例13

★ 例8

★ 例6

★ 例9

★ 向量的混合积

★ 例11

★ 例12

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题7-3

★ 返回

内容要点：

一、两向量的数量积：

定义1设有向量a、b，它们的夹角为，乘积|a||b|cos称为向量a与b的数量积（或称为内积、点积），记为ab，即

ab|a||b|cos.

根据数量积的定义，可以推得：



（1） ab|b|Prjba|a|Prjab; （2） aa|a|; （3） 设a、b为两非零向量，则 ab的充分必要条件是 ab0.2数量积满足下列运算规律：

（1） 交换律

abba;

（2）分配律

（3）结合律 (ab)cacbc; (ab)(a)ba(b),（为实数）.

二、两向量的向量积

定义2 若由向量a与b所确定的一个向量c满足下列条件：

（1）c的方向既垂直于a又垂直于b, c的指向按右手规则从a转向b来确定（图7-3-5）；

（2）c的模 |c||a||b|sin，(其中为a与b的夹角)， 则称向量c为向量a与b的向量积（或称外积、叉积），记为

cab.根据向量积的定义，即可推得

（1）aa0；

（2）设a、b为两非零向量，则 a//b的充分必要条件是 ab0.向量积满足下列运算规律: （1）abba;

（2）分配律 (ab)cacbc;

（3）结合律 (ab)(a)ba(b),（为实数）.

三、向量的混合积 例题选讲：

两向量的数量积

例1 (讲义例1) 已知a{1,1,4},b{1,2,2}, 求 (1) ab;

(2) a与b的夹角; (3) a与b上的投影.

例2 证明向量c与向量(ac)b(bc)a垂直.例3 (讲义例2) 试用向量方法证明三角形的余弦定理.

例4 (讲义例3) 设a3b与7a5b垂直, a4b与7a2b垂直, 求a与b之间的夹角.例5 (讲义例4) 设液体流过平面S上面积为A的一个区域, 液体在这区域上各点处的流速均为(常向量) v.设n为垂直于S的单位向量(图7-3-3a), 计算单位时间内经过这区域流向n所指一方的液体的质量P (液体的密度为).

两向量的向量积

例6 (讲义例5) 求与a3i2j4k,bij2k都垂直的单位向量.例7 (讲义例6) 在顶点为A(1,1,2),B(5,6,2)和C(1,3,1)的三角形中, 求AC边上的高BD.例8 设向量m,n,p两两垂直, 伏隔右手规则, 且

m4, n2, p3,

计算(mn)p.

例9 (讲义例7) 设刚体以等角速度绕l轴旋转, 计算刚体上一点M的线速度.例10 利用向量积证明三角形正弦定理.

向量的混合积

例11 (讲义例8) 已知(ab)c2, 计算[(ab)(bc)](ca).例12 (讲义例9) 已知空间内不在同一平面上的四点

A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4)

求四面体的体积.例13 已知ai,bj2k,c2i2jk, 求一单位向量, 使c, 且与a,b此同时共面.

课堂练习

1.已知向量a0,b0, 证明

2222|ab||a||b|(ab).

2.已知a,b,c两两垂直, 且|a|1,|b|2,|c|3,求sabc的长度与它和a,b,c的夹角.

推荐第6篇：课题：2.4向量的数量积(二)教案

学案---------高一年级（上）数学NO.48 课题：2.4向量的数量积

（二）教案

备课时间 2007-12-13 上课时间：

主备：贾永亮 审核： 姓名：

〖 点拨²导学 〗

1、学习目标：

（1）、会进行平面向量数量积的坐标运算。

（２）、能用平面向量数量积的坐标表示，实现数与形的转化。

（3）、会用数量积处理向量夹角，垂直问题，掌握向量夹角，垂直坐标表示。

2、学习重难点：会用数量积处理向量夹角，垂直问题。

〖 温故²知新 〗 已知a⊥b ，|a|＝2，|b| ＝3，且向量3a + 2b与kab互相垂直，求k的值？

〖 探究²研讨 〗



1、若两个向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），利用向量的运算律计算：ab

即：两个向量的数量积等于__________________即：____________________ 2思考：（1）、设a=（x，y），则a=_______________，|a|=_____________ （2）、用向量方法推导出两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式AB= 

2、设两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），它们的夹角为，由向量的数量积的定义计算cos。

特别地：（1）、若a⊥b，则x1，y1，x2，y2之间有何关系？

（2）、若x1x2+y1y2=0，则a⊥b吗？

3、应用：

（1）、已知直线l1：x-2y=0和l2：x+3y=0，求直线l1和l2的夹角。

学案---------高一年级（上）数学NO.48 （2）、在△ABC中，设AB=（2，3），AC=（1，k），且△ABC是直角三角形，求k的值。



3、已知|a|＝6，|b| ＝4且a与b的夹角为60，求 (a + 2b)²(a3b) ．

变式：已知a3,b4,aba2b23,那么a与b夹角为（

） A、60

B、90

C、120

D、150

〖 测试²反馈 〗

1、已知向量a(x5,3),b(2,x)，且 ab，则x的值为（ ） 

2、已知a=（1，2），b=（3，－1）且a+b与a－λb互相垂直，则实数的λ值为（

）

611611 A．－

B．－

C．

D．

116116

3、已知向量a和b的夹角为60°，| a | ＝ 3，| b | ＝ 4，则（2a –b）²a等于

（A）15

（B）12

（C）6

（D）3 〖 迁移²提高〗

1、在△ABC中，已知|AB|=4，|AC|=1，SABC=3，则AB²AC等于（ ）

A.－2 B.2

C.±2

D.±4 A 6 B 2 C 2或3 D －1或6

2、设向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.



3、设MB=（2，5），OB=（3，1），OC=（6，3），在线段OC上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由。

推荐第7篇：12022向量数量积的运算律

向量数量积的运算律

制作人：张明娟审核人：叶付国使用时间：2012-5-8编号：12022 学习目标：

1、掌握平面向量数量积的运算律及其运算；

2、通过向量数量积分配律的学习，体会类比、猜想、证明的探索性学习方法；

3、通过解题实践，体会向量数量积的运算方法.学习重点：向量数量积的运算律及其应用.

学习难点：向量数量积分配律的证明.

重点知识回顾：

1、两个向量的夹角的范围是：；

2、向量在轴上的正射影

正射影的数量为；



3、向量的数量积（内积）：a·b=；

4、两个向量的数量积的性质：

（1）ab；

（2）aaa

（3）cos=；

向量数量积的运算律

1（）abba;

(2)(

(3)(aa)ba(b)(ab)ab;b)cacbc

22平面向量数量积的常用公式

(1)(a

2(2)(ab)(a

证明：（1）

（2）

b)a2abbb)ab22

典例剖析：

例

1、已知a=6，b=4，a与b的夹角为600，

求：（1）b在a方向上的投影；

（2）a在b方向上的投影；

（3）a 2ba3b

例0

2、已知a与b的夹角为120，a=2，b=3，求：

22 （）ab；（2）a

b；（3）（2a

1（4

5 b）（a3b）

1,a与b夹角为120，问t取何值0

t

例

a

3、已知=3，b=4，（且a与b不共线），当且仅当k为何值时，向量akb与akb 互相垂直？

变式：已知a=1, b=2, a与ab垂直.求a与b的夹角.练习题:求证菱形的对角线互相垂直.

例

0

4、已知a=2，b=4，a,b120，求a与ab的夹角.

课堂小结：

跟踪练习：

1、下列运算不正确的是（）

A.abcabcB.abcacbc

C.mabmambD.abcabc

2、设e、e，则2e

12是两个单位向量，它们的夹角为6001e23e12e2（

A.99

2B.2C.8D.8

3、已知a7, b7，ab7，则a与b的夹角为（）；

4、已知：向量a与b的夹角为1200，且a4， b2，求：

（1）ab；（2）3a4b；（3）aba2b

）

推荐第8篇：平面向量的数量积及运算律

平面向量的数量积及运算律

【基础知识精讲】

1.平面向量的数量积的定义及几何意义

(1)两平面向量和的夹角：，是两非零向量，过点O作

=、

=，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)就称为向量和的夹角，很显然，当且仅当两非零向量、同方向时θ=0°；当且仅，反方向时，θ=180°，当θ=90°，称与垂直，记作⊥.(2)两平面向是和的数量积：、

是两非零向量，它们的夹角为θ，则数量｜｜·｜｜cosθ叫做向量与的数量积(或内积)，记作·，即·=｜｜·｜｜·cosθ.因此当⊥时，θ=90°,cosθ=0，这时·=0 特别规定，零向量与任一向量的数量积均为0.综上所述，·=0是⊥或，中至少一个为的充要条件

两向量与的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当≠，≠，0°≤θ＜90°时，也可以为负(当≠，≠，90°＜θ≤180°时，还可以为0(当=或=或θ=90°时).(3)一个向量在另一向量方向上的投影：设θ是向量与的夹角，则｜｜cosθ，称为向量在的方向上的投影：而｜｜cosθ,称为向量在的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影也是一个数，不是向量，当0°≤θ＜90°时，它为正值：当θ=90°时，它为0；当90°＜θ≤180°时，它为负值.特别地，当θ=0°,它就等于｜｜；而当θ=180°时，它等于-｜｜.我们可以将向量与

的数量积看成是向量

的模｜

｜与｜

｜在

的方向上投影｜｜cosθ的乘积.2.向量数量积的性质：

设、是两非零向量，是单位向量，θ是与的夹角，于是我们有下列数量积的性质：

(1) ·=·=｜｜cosθ (2) ⊥·=0 (3)、同向地·=2

2·=｜｜·｜｜; ,反向

.

·=-｜｜｜｜;特别=｜｜或｜｜=(4)cosθ= (θ为，的夹角) (5)｜·｜≤｜｜·｜｜ 3.平面向量的数量积的运算律

(1)交换律： ·=·

(2)数乘向量与数量积的结合律：λ(·)=(λ(3)分配律： (+)· =·+·

【重点难点解析】

两向量的数量积是两向量之间的一种乘法运算，它与两数之间的乘法有本质的区别： (1)两向量的数量积是个数量，而不是向量，其值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘弦的乘积.(2)当≠时，不能由·=0，推出=，因可能不为，但可能与垂直.(3)非零实数a,b,c满足消去律，即ab=bc=).(4)对实数的积应满足结合律，即a(bc)=(ab)c,但对向量的积则不满足结合律，即·(·)≠(·)·，因·(·)表示一个与共线的向量，而(·)·表示一个与共线的向量，而两向量不一定共线.例1已知、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数

(1)｜·｜＝｜｜·｜｜(2) ，反向⊥

∥

a=c，但对向量积则不成立，即·=·

)·=·(λ

);(λ∈R)

·=-｜｜·｜｜ (3) ｜+｜=｜-｜ (4)｜｜｜·｜＝｜·｜ A.1 B.2 C.3 D.4 ＝｜｜分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.解：(1)∵·=｜｜·｜｜cosθ

∴由｜·｜＝｜｜·｜｜及、为非零向量可得｜cosθ｜=1 ∴θ=0或π，∴∥且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题.(2)若,反向，则、的夹有为π，

∴·=｜｜·｜｜cosπ=-｜｜·｜｜且以上各步可逆，故命题（2）是真命题.(3)当⊥时，将向量，的起点确定在同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有｜+｜＝｜-｜.反过来，若｜+｜＝｜-｜,则以，为邻边的四边形为矩形，所以有⊥，因此命题(3)是真命题.(4)当｜｜＝｜

｜但

与的夹角和

与的夹角不等时，就有｜

·｜≠｜·｜，反过来由｜·｜｜＝｜·｜也推不出｜｜＝｜｜.故命题(4)是假命题.综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择(C).说明：(1)两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为π(或180°)；两向量垂直时，夹角为90°，因此当两向量共线时，夹角为0或π，反过来若两向量的夹角为0或π，则两向量共线.(2)对于命题(4)我们可以改进为：｜｜＝｜｜是｜·｜＝｜·｜的既不充分也不必要条件.例2已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.分析：要求与的夹角，首先要求出与的夹角的余弦值，即要求出｜｜及｜｜、·，而本题中很难求出｜｜、｜｜及·，但由公式cosθ=可知，若能把·，｜｜及｜｜中的两个用另一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得与的夹角θ.解：设与的夹角为θ.∵+3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2，

解之得∴2 2=2·

2=2·

=2 ∴｜｜＝｜｜

∴cosθ===∴θ=

因此，a与b的夹角为.例3已知++=,｜｜=3,｜｜＝1,｜｜＝4，试计算·+·+·.分析：利用｜｜＝解：∵++=

∴(++)=0 从而｜｜＋｜｜＋｜｜＋2·+2·+2·＝0 又｜｜＝3，｜｜＝1，｜｜＝4

22

2222,｜｜＝

2 2

,｜｜＝

22

.∴·+·+·=-(｜｜＋｜｜＋｜｜) =-

222

(3+1+4) =-13

222例4已知：向量=-2-4,其中、、是两两垂直的单位向量，求与同向的单位向量.分析：与同向的单位向量为：·

解：∵、、是两两垂直的单位向量

∴＝22＝2＝1, ·=·=·=0 ∴2=(-2-4)(-2-4)=+4

2

2+16-4· -8·+16·=21

2从而｜｜=∴与同向的单位向量是·= (-2-4)=--

例5求证：直径上的圆周角为直角.

已知：如图，AC为⊙O的直径，∠ABC是直径AC上的圆周角.求证：∠ABC=90° 分析：欲证∠ABC=90°，须证证明：设∵=,=+, =,有=-

⊥=

，因此可用平面向量的数量积证

·

=0 且｜｜＝｜｜ ∴∴·⊥=(+)( -)=｜｜-｜｜=0 ∴∠ABC=90°

22【难题巧解点拔】

例1如图，设四边形P1P2P3P4是圆O的内接正方形，P是圆O上的任意点.求证：｜＋｜｜＋｜2

｜

2｜＋｜｜为定值.

2

分析：由于要证：｜｜＋｜

2

｜＋｜

2

｜＋｜｜为定值，所以需将

2 (i=1,2,3,4)代换成已知向量或长为定值的向量的和(或差)，才能使问题证，而这里的半径、、=｜=(

2、+

-=

、-)=(

2

2等可供我们选择. (i=1,2,3,4).)-2(

22证明：由于∴有｜

··

)+()

)

2设⊙O的半径为r，则｜∴｜+)·｜＋｜=8r-2··22

｜=2r-2(｜＋｜

22

｜＋｜｜＝8r-2(

22

++

=8r(定值).例2设AC是□ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE，CF，垂足分别为E，F，如图，

2试用向量方法求证：AB·AE+AD·AF=AC

分析：由向量的数量积的定义可知：两向量，的数量积·=｜｜·｜｜·cosθ(其中θ是，的夹角)，它可以看成｜｜与｜｜在的方向上的投影｜｜·cosθ之积，因此要证明的等式可转化成：量方法不难得证： 证明：在Rt△AEC中｜在Rt△AFC中｜∴｜｜∴｜｜·｜｜·｜｜·｜

｜＝｜｜＝｜｜=｜｜=｜｜＋｜

+

=

｜cos∠BAC ｜cos∠DAC ｜·｜｜·｜｜·｜

｜·cos∠BAC=｜cos∠DAC=｜=

·

+

···

=(

+

)·

·

+

·

=

,而对该等式我们采用向又∵在□ABCD中，∴原等式左边=(+)·=·=｜｜=右边

2例3在△ABC中，AD是BC边上的中线，采用向量法求证：

｜AD｜=2 (｜AB｜+｜AC｜-

222

｜BC｜) +

，

=

+

，通过计算证明

2分析：利用｜a｜=a·a及=证明：依题意及三角形法则，可得：

=+=-

=+=+

则｜｜=(2-)(-)=｜｜+

2｜｜-

2

·

｜｜=(2+)(+)=｜｜+

2

｜｜+

2

·

所以｜｜＋｜2

｜＝2｜

2

｜＋

2

｜｜

2移项得：｜｜=2

(｜｜+｜

２

｜-

2

｜｜)

2例4若(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)，试求，的夹角的余弦值.分析：欲求cosθ的值，根据cosθ=，只须计算即可

解：由(+)⊥(2-),( -2)⊥(2+)

①×3+②得：2=

2

∴｜｜=2｜｜③

2由①得：·=由③、④可得：

2-2

2=｜｜-2×

2

｜｜=-

2

｜｜④

2cosθ= ==-

∴，的夹角的余弦值为-【典型热点考题】

.例1设、、是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题

①(·)·-(·)·)=; ②｜｜-｜｜＜｜-｜; ③(·)·-(·)·不与垂直； ④(3+2)·(3-2)=9｜｜-4｜｜.其中正确的有( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④

解：选D.②正确，因、不共线，在｜｜-｜｜≤｜-｜中不能取等号；④正确是明显的，①错误，因向量的数量积不满足结合律；③错误，因［(·)·-(·)·］·=(·)·(·)-(·)·(·)=0,则(·)·-(·)·与垂直.例2已知+=2-8,-=-8+16,其中,是x轴、y轴方向的单位向量，那么·= .

2

2 =-3+4, =5-12

∴·=(-3+4j)·(5-12)=-15+56·-48∵⊥,｜｜=｜｜=1,∴·=0 ∴·=-15｜｜-48｜｜=-63

2

2

2

2

解法2：· =［(+)-(-)］=2

2

2

22

［4(-4)-64(-2)］

2

22=-8·+16j-16(-4·+4) =-15+56·-48

22

=-63 解法3：在解法1中求得=-3+4，即向量的坐标是(-3，4)，同理=(5,-12).∴·=-3×5+4×(-12)=63 例3设、是平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，且=(m+1) -3,=+(m-1) ，如果(+)⊥(-)，则m= .解法1：∵(+)⊥(-) ∴(+)·(-)=0,即

2

2-

2

=0

2∴［(m+1) -3］-［+(m-1) ］=0 ∴［(m+1) -3］｜｜-［6(m+1)+2(m-1)］·+［9-(m-1)］·∵｜｜＝｜｜=1, ·=0, ∴(m+1)-(m-1)+8=0，则m=-2.解法2：向量的坐标是(m+1,-3),的坐标是(1，m-1).由(+)·(-)=0,得｜｜＝｜｜.解得m=-2 评析：向量的运算性质与实数相近，但又有许多差异.尤其是向量的数量积的运算与实数的乘法运算，两者似是而非，极易混淆，是近年来平面向量在高考中考查的重点，应予以重视.例4在△ABC中，若

=,

=,

=，且·=·=·，则△ABC的形状

2

222

2

2

2

=0 是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.A、B、C均不正确 解：因为++=++

2

2

= ① 则有+=-,( +)=同理：2+2+2·=2

2

②

2①-②，有2-+2(·-·)=-

2

由于·=· 所以2＝2

即是｜｜＝｜｜ 同理｜｜=｜｜ 所以｜｜＝｜

｜＝｜

｜

△ABC为正三角形.∴应选C.

推荐第9篇：平面向量的数量积及运算律的教案说明

《平面向量的数量积及运算律》的教案说明

新疆石河子第一中学曹丽梅

一、教学内容的本质：

本教案是人教版高中数学第一册（下）第五章平面向量的第六节内容，整个课题按照课程标准分两个课时，这是第一课时的教案。

平面向量数量积第一课时的教学，通常要求形成数量积的概念，得出数量积运算的公式，并把培养学生的探究精神和应用意识的目标，有机地融入知识学习和技能形成的过程之中。平面向量数量积是平面向量的重点内容之一，也是难点之一，这一节主要介绍两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，是中学代数中从未遇到过的一种新的乘法，与数的乘法有区别，同时这一节与下一节平面向量的数量积的坐标表示有着紧密联系。由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。通过对这一节的学习，既可以让学生掌握平面向量的数量积，几何意义，重要性质及运算律，又可使学生了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度，和垂直问题，而且为平面向量的数量积的坐标表示的学习做了充分准备，对后面正，余弦定理的证明起到至关重要的作用，因此本节课的教学内容起着承前启后的作用。

根据“平面向量的数量积及运算律”在高中数学中的地位与作用，并且考虑到学生已有的认知结构心理特征，我认为本节课的教学目标应以人为本注重对学生自主能力的培养，启发引导学生发现问题，观察问题，进而得以解决问题，在这一过程中希望能充分调动学生的积极性，不断激发学生学数学的兴趣。

二、教学内容的应用及渗透

平面向量作为一种工具，重在应用，而且今后用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题；而平面向量的数量积作为一种特殊的运算也有它不可替代的作用，如：求向量的模长，夹角，推导正、余弦定理等。

由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用，众所周知，物理与数学是密不可分的，而向量在物理中的应用比比皆是，举不胜举，反过来物理又可为某些数学知识作有效的解释。比如：本课时的引入就是以物体在力的作用下所做的功为模型，事实上这也就是平面向量数量积的物理意义，这样可以更贴近生活，使学生更容易理解平面向量数量积的概念，符合学生的认知习惯。同时解析几何也往往将向量作为有力的解题工具。

三、教学分析

《数学课程标准》中强调：“数学课程要实现：人人学有价值的数学；人人都获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展。”同时，她倡导的“关注过程”“强调本质”“体现数学的文化价值”“发展数学的应用意识”等都向我们昭示出高中数学课程的价值取向。

为使《数学课程标准》得以顺利实施，教师理应不断更新教学观念，努力成为数学学习活动的组织者、引导者、合作者。通过精心设计、实践与反思，不断改进教学方法和教学手段„„以优化课堂教学，提高课堂教学的效率。课程设计必须从学生的角度出发，要与学生的经历和经验相联系，关注学生的体验、感悟和实践过程。

基于以上认识，对于“平面向量数量积及运算律”引入，我进行了这样的

教学设计： 首先演示一个外力作功的实验：W=|F| |S|cosθ，并揭示这个物理模型的实质，即：力与位移的数量积。

其次，具体分析平面向量的夹角，向量的数量积、重要性质等概念，并巩固练习。 再者，基本概念均简明有效的给出，为之后学生深入学习、探究提供了时间上的保证，从定义出发推导运算律也变得简单易行。随后，从特殊到一般，得出数量积的几何表示。在教师为主导、学生为主体的教学模式中，学习活动进展顺利，学生们都显得游刃有余。在教学过程中，学生对平面向量数量积的定义及运算律的理解有些难度，总的感觉是：在核心问题上的处理不太容易把握，学生需要较多的时间去探究和体验。

结合多年教学发现学生对数量积的结果是数量重视不够，解题中往往忽略，

学生容易忽略；书写中符号“”学生容易省略不写，教学和作业中发现问题教师应时常提醒学生及时纠正，避免重复错误；运算律中消去律和结合律不能乱用，要给学生讲清楚一定不能与实数的运算律混淆，这些地方应反复给学生强调。

最后，在有效落实教学目标的同时，如何让学生的“学”更轻松些，让教师的“教”更顺畅些，使“数量积”的概念形成更具一般性，更能揭示“数量积”的本质内含就显得尤为重要。

四、教法及教学反思

教学过程中采用启发引导式与讲练相结合，并借助多媒体教学手段，使学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后引导学生推导数量积的性质，通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识，初步掌握平面向量数量积定义的运用。这一切主要是通过课堂教学来实现的，因此，要精于课堂教学设计，并在实践中进行反思和再设计，形成一系列适合学生认知、发展的教学方案。同时，在教学中要注意引导学生不断增强自主性、探索性、合作性和思辨性，促使他们成为学习的主人。而贯彻数形结合思想是克服难点的有效举措．通过例题、练习的分析讲评和学生积极主动的解题实践，运用知识解决问题的能力将得到提高。由于课堂教学准备的较充分，基本能达到预定目标。

教学反思，是教师对自身教学工作的检查与评定，是整理教学中的反馈信息，适时总结经验教训、找出教学的成功与不足的重要过程。因此教学后适时的反思有利于促进教学，以上就是我对本节课的理解和反思。

推荐第10篇：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教案

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

教学目标：

1、掌握平面向量数量积的坐标表示方法

2、掌握向量垂直的坐标表示的条件，及平面内两点间的距离公式.

3、能用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.

4、培养学生数形结合、转化与化归的数学思想

教学重点：平面向量数量积的坐标表示及运算规律.教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 教学过程：

一、复习引入：

1．平面向量数量积（内积）的定义：ababcos,0,

2．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.（1）

ea = ae =|a|cos；

（2） ab  ab = 0 （3） aa = |a|2或|a|aa

（4）cos =

ab ；

|a||b|3．练习：已知|i||j|1，ij，且a3i2j，bij，则ab ；

二、讲解新课：



（一）探究：已知两个非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)，怎样用a和b的坐标表示ab？.1．平面两向量数量积的坐标表示

设向量i,j分别为平面直角坐标系的x轴、y轴上的单位向量，则有

ax1iy1j，bx2iy2j

∴ ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2ix1y2ijx2y1ijy1y2j

x1x2y1y2 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.课堂练习

①若a(2,3)，则aa ，|a| ；

②若表示向量a的起点和终点的坐标分别为(1,2)和(2,0)，则|a|

； ③若a(1,1)，b(3,3)，则ab

，a与b的夹角是

；

22由上面三题，引导学生由特殊到一般，自己推导公式 2.平面内两点间的距离公式

（1）设a(x,y)，则|a|2x2y2或|a|x2y2.（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，

那么|a|(x1x2)2(y1y2)2(平面内两点间的距离公式) 3． 向量垂直的判定

设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab x1x2y1y20

4． 两向量夹角的余弦（0）

abcos =|a||b|

（二）讲解范例：

x1x2y1y2x1y122x2y222

例1 已知a1,3,b 3,1,求ab,a,b及a与b的夹角.例2已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.例

31.若a3,1,bx,3,且ab,求实数x.2.已知a(3,4),b(2,1),(akb)(ab),求k的值.2.法一由题可知解：2222akbabak1abkb0,再分别算出a,ab,b法二akb3,4k2,132k,4k,ab1,3akbab32k14k3155k0k3

三、课堂练习：练习

1、

2、3题



四、小结： 1.abx1x2y1y2

2.平面内两点间的距离公式 |a|3.向量垂直的判定：

(x1x2)2(y1y2)2

设a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab x1x2y1y20

五、课后作业：

思考：以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，求点B和向量AB的坐标.

第11篇：平面向量的数量积典例精析

平面向量的数量积典例精析

四川 谭森

例1平面内有向量

动点。

（1）当的坐标； ，点X为直线OP上的一个

（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cosAXB的值。 分析：因为点X在直线OP上，向量个关系式；再根据的最小值，求得

的余弦，利用数量积的知识容易解决。

解：（1）设

共线，可以得到关于；而cosAXB是向量坐标的一夹角

又

于是

由二次函数的知识，可知当y＝2时，

； 有最小值-8

。此时

（2）当

。

，即y＝2时，有，

，

说明：由于X是OP上的动点，则向量是变化的，于是它们的数量积

均是不确定的，它们的模和方向均

也处在不确定的状态，这个数量积由

的模及它们的夹角三个要素同时决定，由解题过程即可以看

出它们都是变量y的函数。 另外，求出

的坐标后，可直接用坐标公式求这两个向量夹角的余弦值。

。

例2 设平面内有两个向量（1）证明（2）若两个向量

； 与

的模相等，求

。

分析：题目的条件及所求结论均非常明确，只要能得到证明（1），再利用|证明：（1）

|与|

|相等，确定

的值。

，即可

（2）

由已知

，可得到

注意到

于是（*）式化为

。由于

说明：由解题过程可知a与b均是单位向量，由向量加法的平行四边形法则，可知角为

是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线，从（1）中，

时，a与b的夹

。故

，

。此时由a及b

，因此

垂直，可知这个平行四边形是菱形，而由（2）知

又，有

（为a与b

的夹角）。这时

为邻边组成的四边形是正方形。

第12篇：2.3.1 向量数量积的物理背景及定义

学案55必修四2.3.1 向量数量积的物理背景与定义姓名________________备课人：张华张晓梅审核人：王志祥

一、学习目标

1.记住向量的夹角，向量在轴上的正射影及向量的数量积定义；

2.会求向量在轴l上的正射影的数量，会利用定义求向量的数量积，两向量的夹角；会证明向量的数量积的性质。

二、自主学习：阅读课本107-109页，回答问题

问题1：给出以下向量a,b，作出a,

b



（1）a（2）b

b

（3）a（4）

abb

两个非零向量，夹角的范围为。 问题2：已知向量a和轴l，作出向量

a在轴l上的正摄影，并证明a

lacos

a

l

问题3：a·b=________，由定义回答下列问题：

（1）a

b是向量还是实数？

（2）当a，b同向时，a,

b 此时a·b 。

（3）当，反向时， a,b

此时·

。

（4）当时，a,

b，

此时· 。

（5）证明向量内积的性质（1）--（5）

问题4 ： （

1）已知a5,b4,a,b120

,求ab

（2）已知ab5,ab10,求a,b

三、当堂练习

1、已知向量a、b，实数λ，则下列各式中计算结果为向量的有。

①＋②－③λ④·⑤· ⑥(a·b)·c⑦0·a

2.判断下列各题正确与否，并说明理由。

（1）若，则对任意向量，有·； （） （2）若，则对任意向量，有·0； （） （3）若，·0，则；（）

（4）若·0，则，中至少有一个为零；（）

（5）对任意向量a，有a2

||2；（） （6）|a·b|≤|a||b|。

3.已知OA8,OA,l135

,则OA （）

在轴l上的正射影的

数量为_________

4.设||=12，||=9，·=－542，则与的夹角



5.在ABC中，||=3, ||=4, ∠C=30°，则

·=______________。

6.在ABC中，AB=, =，且·>0，则ABC是 三角形。

7.在ABC中，已知|AB|=|AC|=4，且AB·AC=8，则这个三角形的形状为_________

8.在ABC中，三边长均为1，且=，=，=，求·+·+·的值。

第13篇：平面向量的数量积及其应用教学设计说明

平面向量的数量积及其应用设计立意及思路

平面向量在教材中独立成章，它既反映了现实世界的数量关系，又体现了几何图形的位置关系，具有代数形式和几何形式的“双重身份”，它将数和形有机地结合起来，是中学数学知识网络的一个“交汇点”，成为联系众多知识内容的媒介。特别是在处理解析几何的有关度量、角度、平行、垂直、共线等问题时，运用向量知识，可以使几何问题直观化、符号化、数量化，从而把“定性”研究推向“定量”研究。

由于向量具有“双重性”，所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。而在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。从近几年高考试卷来看，对向量的考查除了直接考查平面向量外，还将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，以平面向量的相关知识为载体，以数形转化思想为主线，在知识网络交汇点处设计创新力度大，综合性强的问题。因此，研究向量与其它内容的综合运用，对培养学生的综合能力（尤其是培养学生从学科整体的高度解决问题的综合能力）和数学素养，把握高考命题趋势，都有着重要的意义。，

本节课复习目标是在回顾和梳理基础知识的基础上，突出平面向量的数量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高学生分析问题与综合运用知识解决问题的能力，使学生站在新的高度来认识和理解向量。 在知识点4.平面向量数量积运算律的回顾中安排“思考讨论：abac,乙:bc,则 以及在双基训练3．甲：(ab)c与a(bc)是否相等?”甲是乙的什么条件的判断。目的是让学生通过通讨论和练习，深刻认识到向量数量积运算中“结合律”及“消去律”是不成立的。

例

1、是以平面向量的知识为平台，与三角函数的有关运算综合。第（1）小题目的是让学生理解并掌握体向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用

向量运算的几何意义来证。第（2）小题目的是让学生掌握ab|a||b|，但反之不成立，并将向量相等问题转化为模相等问题，建立等量关系。

例2是函数的最值与向量综合问题，用两种方法建立函数关系式，体现向量具有代数形式和几何形式“双重性”，培养学生的综合应用能力。

第14篇：《平面向量的数量积》教学设计及反思

《平面向量的数量积》教学设计及反思

交口第一中学

赵云鹏

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角函数的一种重要工具，在每年高考中也是重点考查的内容。向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定定比分点坐标以及平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。

一、总体设想：

本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。

二、教学目标：

1.了解向量的数量积的抽象根源。

2.了解平面的数量积的概念、向量的夹角

3.数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义

4.理解掌握向量的数量积的性质和运算律，并能进行相关的判断和计算

三、重、难点：

【重点】1.平面向量数量积的概念和性质

2.平面向量数量积的运算律的探究和应用

1 【难点】平面向量数量积的应用

四、课时安排：

2课时

五、教学方案及其设计意图： 1．平面向量数量积的物理背景

平面向量的数量积，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。首先说明放置在水平面上的物体受力F的作用在水平方向上的位移是s，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时物体力F的所做的功为WFscos，这里的是矢量F和s的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。这给我们一个启示：功是否是两个向量某种运算的结果呢？以此为基础引出了两非零向量a, b的数量积的概念。 2．平面向量数量积（内积）的定义

已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.

零向量的方向是任意的，它与任意向量的夹角是不确定的，按数量积的定义ab = |a||b|cos无法得到，因此另外进行了规定。 3.两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）OB＝ｂ，

2 叫ａ与ｂ的夹角.

ababcos，ab是记法，abcos是定义的实质――它是一个实数。按照推理，当022时，数量积为正数；当时，数量积为零；

2当时，数量积为负。

4.“投影”的概念

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。

投影也是一个数量，它的符号取决于角的大小。当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.因此投影可正、可负，还可为零。

根据数量积的定义，向量b在a方向上的投影也可以写成

ab a

注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，应结合图形加以区分。 5．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.向量数量积的几何意义在证明分配律方向起着关键性的作用。其几何意义实质上是将乘积拆成两部分：a和bcos。此概念也以物体做功为基础给出。bcos是向量b在a的方向上的投影。

3 6．两个向量的数量积的性质： 设a、b为两个非零向量，则

(1) ab  ab = 0；

(2)当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|.特别的aa = |a|2或|a|aa

(3)|ab| ≤ |a||b|

(4)cosab，其中为非零向量a和b的夹角。 ab例1.(1) 已知向量a ,b，满足b2,a与b的夹角为600,则b在a上的投影为______

(2)若b4,ab6,则a在b方向上投影为 _______ 例2.已知a3，b4，按下列条件求ab

(1)a//b

(2)ab (3) a与b的夹角为 1500 7.平面向量数量积的运算律 1．交换律：a  b = b  a

证：设a，b夹角为，则a  b = |a||b|cos，b  a = |b||a|cos

∴a  b = b  a

2．数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b) 证：若>0，(a)b =|a||b|cos， (ab) =|a||b|cos，a(b) =|a||b|cos，

若

4 =|a||b|cos，

a(b) =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos.3．分配律：(a + b)c = ac + bc

在平面内取一点O，作OA= a， AB= b，OC= c，

∵a + b （即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即

|a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2

∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， ∴c(a + b) = ca + cb

即：(a + b)c = ac + bc

说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0

ａ＝ｂ

（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，

（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２

例3 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b垂直，a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角.解：由(a + 3b)(7a  5b) = 0  7a2 + 16ab 15b2 = 0

①

(a  4b)(7a  2b) = 0  7a2  30ab + 8b2 = 0

② 两式相减：2ab = b2 代入①或②得：a2 = b2

abb21设a、b的夹角为，则cos =

∴ = 60 |a||b|2|b|225 评述：(1)在四边形中，AB，BC，CD，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；

(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.

例4若记aaa2，求证：(1)(ab)2a22abb2;(2)(ab)(ab)a2b2.

以此作为今后求模的基础。

围绕向量的数量积的定义，可开发出解决几何问题中有用的知识：垂直的判断，夹角的计算和线段长度的计算。根据教学实际，有的数学知识可提出问题让学生解决，并总结、概括出一般的结论或规律，但有些知识学生听讲时，理解起来都比较困难，就需要老师的讲解，此时恰当的处理方式是：先让学生学会，再说明道理。这里，两个向量垂直的判断和夹角的计算，可通过让学生自己做题后总结出来；而计算模则需要老师讲解并加以强化：由a2aaaac0osa2ababcos，当b = a时，aa2.接着演示例题并练习。

〖例2〗已知a2,b3,且a, b夹角是60，求a(ab);ab.小结与反思：

以问题的形式，来反馈一节课的重点是否突出，难点是否突破。

问题一：关于向量的数量积的概念包括哪些主要内容？如何引入的？

问题二：说出向量数量积的几何意义及运算律。

问题三：用向量的数量积可解决几何中的哪三大问题？如何解决？  数量积的概念包括两个非零向量的夹角的定义和范围、数量积的定义。  向量数量积的几何意义是：a  b是向量a的模与向量b在向量a方向

6 上的投影的乘积；运算律有三条：„„。

 用向量的数量积可解决几何中三大问题：垂直的判断、夹角的计算和求线段长度。⑴abab0； ⑵cosab2aa ⑶。 ab；板书设计：整个板面分成三列，把重点知识数量积的定义放在中间显著位置。由其衍生出来的几何意义、运算律放在其下面，再把后面的三大问题放在中间一列的中间位置；左边一列，是两个向量夹角的相关概念；右列集中放例题。

教学记：本节课的设计注重教学目标的明确；注重根据学生的认知规律而科学地进行知识序列的呈现；注重调动学生参与教学活动；注重课堂效果的实效性。高中数学教学应体现知识的来龙去脉，创设问题情景，建立数学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的愿望和信心。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。教师是学生学习的引导者、组织者，教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提，教学过程中要发扬民主，要鼓励学生质疑，提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径。

第15篇：两向量的向量积

§1.8 两向量的向量积

定义1.8.1 两个向量a与b的向量积（外积）是一个向量，记作a×b，它的模是

|a×b|  |a| |b| sin

其中 为a与b间的夹角.a×b的方向与a与b都垂直，并且按a，b，a×b的顺序构成右手标架{O；a，b，a×b}（下图）.

abba 定理1.8.

1两个不共线向量a与b的向量积的模，等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积.

定理1.8.

2两向量a与b共线的充要条件是a  b  0.

证

当a与b共线时，由于sin(a、b) = 0，所以 |ab|=|a| |b| sin(a、b) = 0，从而ab0；反之，当ab  0时，由定义知，a =0 ，或b =0，或sin(a、b) = 0，a // b，因零矢可看成与任向量都共线，所以总有a // b，即a与b共线.定理1.8.3 向量积满足下面的运算律 (1) 反交换律 (2) 分配律

证 （略）.定理1.8.4 设a ax i  ay j  az kb bx i  by j  bz k，则

ab  (aybz azby)i＋(azbx axbz)j ＋(axby aybx)k

证

由向量积的运算律可得

a  b  (ax i  ay j  az k)  (bx i  by j  bz k)

axbx i  i  axby i  j  axbz i  k ＋aybx j  i ＋ ayby j  j ＋ aybz j × k

＋azbx k  i  azby k  j azbz k  k

由于 ii  jj  kk  0，ij  kjk  I，k  i  j

所以

ab  (aybz azby)i＋(azbx axbz)j＋(axby aybx)k.

为了帮助记忆，可利用三阶行列式符号将上式形式地写成

ijkab axayaz bxbybzba

a  b  b  a，

(a  b)  c  a  c  b  c，c (a  b)  c a  c  b.(a)  b  a  (b)  (a  b) (为数). (3) 数因子的结合律



使用时可按第一行展开.

－16－例1 设a  (2 1 1)，b(1 1 2)，计算ab  解

ab2jk11112i  i－5j －3k

例

2已知三角形ABC的顶点分别是A (123)、B (345)、C (247)求三角形ABC的面积

解

根据向量积的定义可知三角形ABC的面积

SABC11|AB||AC|sinA|ABAC|22

由于AB(222)AC(124)因此

ijkABAC2221244i6j2k

于是

SABC11|4i6j2k|2242(6)22214

例3 设刚体以等角速度 绕l 轴旋转计算刚体上一点M的线速度

解

刚体绕l 轴旋转时我们可以用在l 轴上的一个向量n表示角速度它的大小等于角速度的大小它的方向由右手规则定出即以右手握住l 轴当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时大姆指的指向就是n的方向

设点M到旋转轴l的距离为a 再在l轴上任取一点O作向量rOM并以 表示n与r的夹角那么

a|r| sin 

设线速度为v那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知v的大小为

|v||n|a |n||r| sin 

v的方向垂直于通过M点与l轴的平面即v垂直于n与r又v的指向是使n、r、v符合右手规则因此有

vnr

－17－

第16篇：示范教案(2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角)

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

整体设计

教学分析

平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.

前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.

教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.三维目标

1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法.2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.3.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质.重点难点

教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.课时安排 1课时

教学过程

导入新课

思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.

思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.推进新课 新知探究 提出问题 ①平面向量的数量积能否用坐标表示? ②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢? ③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？ ④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？

活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下: ∵a=x1ｉ+y1j,b=x2ｉ+y2j, ∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j) =x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2.又∵ｉ·ｉ=1,j·j=1,ｉ·j=j·ｉ=0, ∴a·b=x1x2+y1y2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下: 1°平面向量数量积的坐标表示

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和, 即a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a·b=x1x2+y1y2.2°向量模的坐标表示

若a=(x,y),则|a|=x+y,或|a|=x2y2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么 a=(x2-x1,y2-y1),|a|=(x2x1)2(y2y1)2.3°两向量垂直的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥bx1x2+y1y2=0.4°两向量夹角的坐标表示

设a、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得 cosθ=ab|a||b|x1x2y1y2xy212122

2xy2222

讨论结果:略.应用示例

例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.

活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC是直角三角形.下面给出证明.∵AB=(2-1,3-2)=(1,1), AC=(-2-1,5-2)=(-3,3), ∴AB·(-3)+1×3=0.AC=1×∴AB⊥AC.∴△ABC是直角三角形.

点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明.变式训练

在△ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,求k的值.解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.

AC=0.若∠A=90°,则AB⊥AC,所以AB·于是2×1+3k=0.故k=23.

113同理可求,若∠B=90°时,k的值为32113; 若∠C=90°时,k的值为

13.故所求k的值为23或或

3213.例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC的余弦值; (2)a=(3,0),b=(-5,5),求a与b的夹角.

活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)的数量积a·b=x1x2+y1y2和模|a|=x1y1,|b|=即cosθ=ab|a||b|x1x2y1y2xy212122x2y2的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,

22xy2222.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.解:(1)AB=(5,1)-(2,-2)=(3,3), AC=(1,4)-(2,-2)=(-1,6), AC=3×∴AB·(-1)+3×6=15.又∵|AB|=3232=32,|AC|=(1)262=37, ABAC|AB||AC|15323757474∴cos∠BAC=

.

(2)a·b=3×(-5)+0×5=-15,|a|=3,|b|=52.设a与b的夹角为θ,则 cosθ=ab|a||b|15352220≤θ≤π,∴θ=.又∵

34.

点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.变式训练

设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a·b及a、b间的夹角θ.(精确到1°) 解:a·b=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a|=52(7)2由计算器得cosθ=74,|b|=(6)(4)2252

27452≈-0.03.利用计算器中得θ≈92°.

例3 已知|a|=3,b=(2,3),试分别解答下面两个问题: (1)若a⊥b,求a; (2)若a∥b,求a.

活动:对平面中的两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2-x2y1=0很容易混淆, 应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a·b=0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.解:(1)设a=(x,y),由|a|=3且a⊥b, x2y2|a|29,得 2x3x0,99x13,x13,1313解得 或66yy1313,1313∴a=(91313,61313)或a=

91313,61313.

(2)设a=(x,y),由|a|=3且a∥b,得 x2y2|a|29, 3x2y0.6x13解得y91313,6x13或y9131313)或a=(61313, 13.913∴a=(61313,91313,13).

点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.变式训练

求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l1)与一次函数y=12x的图象(直线l2)互相垂直.解:在l1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l1上取两点A(1,-1),B(2,1).同理,在直线l2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是: AB=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2), CD=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).

CD=1×由向量的数量积的坐标表示,可得AB·(-2)+1×2=0, ∴AB⊥CD,即l1⊥l2.知能训练

课本本节练习.解答: 1.|a|=5,|b|=29,a·b=-7.2.a·b=8,(a+b)·(a-b)=-7,a·(a+b)=0,(a+b)2=49.3.a·b=1,|a|=13,|b|=74,θ≈88°.

课堂小结

1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.作业

课本习题2.4 A组

8、

9、10.

设计感想

由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用,是对平面向量几何意义的综合研究提高,因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高,这符合新课程理念,符合新课标要求.我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容,也是高考中的重点,既有选择题、填空题,也有解答题(大多同立体几何、解析几何综合考查),故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用.而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容,用坐标表示直角坐标平面内点的位置,是解析几何的一个基本特征,从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系.以三角函数表示点的坐标,又可以沟通向量与三角函数的相互关系,由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题.

平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便,也拓宽了向量应用的途径.通过学习本节的内容,要更加加深对向量数量积概念的理解,同时善于运用坐标形式运算解决数量问题,尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等,往往可以使问题简单化.灵活使用坐标形式,综合处理向量的线性运算、数量积、平行等,综合地解决向量综合题,体现数形结合的思想.在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决问题的意识与能力.

第17篇：平面向量的数量积及应用教学设计[推荐]

高效课堂教学模式探讨公开课

平面向量的数量积及应用教学设计

华罗庚中学 袁劲竹

一、教材分析

向量作为一种基本工具，在数学解题中有着极其重要的地位和作用。利用向量知识，可以解决不少复杂的的代数几何问题。《平面向量的数量积及应用》，计划安排两个课时，本节课是第2课时。也就是，在复习了平面向量数的有关概念， 坐标表示，以及平面向量数量积的基础知识之后，本节课是进一步去认识、掌握平面向量数量积及平面向量的相关应用。

二、课标要求

1、平面向量的数量积

①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义； ②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2、向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

三、命题走向及高考预测

通过对近几年广东高考试题的分析，向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，对向量的数量积及运算律的考查多为一个小题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到．整个命题过程紧扣课本，重点突出，有时考查单一知识点；有时通过知识的交汇与链接，全面考查向量的数量积及运算律等内容。

预测高考：

预测2012年广东高考仍将以向量的数量积的运算、向量的平行、垂直为主要考点，以与三角、解析几何知识交汇命题为考向。

四、学情分析

学生已复习了向量的相关概念、线性运算、数量积及初步应用，已较好地理解了向量的概念， 比较熟练地掌握向量的运算和性质，已初步体会研究向量运算的一般方法，具有一定的观察、探究能力，这为学生进一步复习数量积数量积及应用做了铺垫。由于本班是普通班，受实数乘法运算的影响，造成不少学生对数量积理解上的偏差，从而出现错误。

五、教学目标

知识目标：

1、掌握平面向量的数量积公式及向量的夹角公式；

2、运用平面向量的知识解决有关问题。

能力目标：

1、通过本节课的学习培养学生观察、分析、化归转化的能力；

2、提高学生分析问题、解决问题的能力。

六、教学重点、难点

重点：平面向量数量积公式及平面向量的应用。

难点：如何将有关问题等价转化为向量问题。

七、教法、学法分析

教法：采取启发引导、反馈评价等方式；

学法：引导学生积极参与、自主探索，培养探究能力。

八、教学过程

【 基本知识点回顾 】

1、向量的数量积的概念

高效课堂教学模式探讨公开课

b的数量积。

2、数量积的性质(e是单位向量，〈a，e〉＝θ) 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与

(1)e·a＝a·e＝__________.

(2)当a与b同向时，a·b＝_____；当a与b反向时，a·b＝__________.特别

地，有a·a＝_______或|a|＝________ (3)a⊥b⇔__________.

(4)cos〈a，b〉＝________.

3、数量积的坐标运算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝______________.

2(2) 若a＝(x，y)，则|a|＝_______，|a|＝________.→ (3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|BA|＝____________________.

(4) 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔_____________________.

4、向量的应用

（1）平面向量数量积的运算

（2）利用平面向量数量积解决平行与垂直问题 （3）利用平面向量数量积解决夹角问题

（4）平面向量的综合运用

注：本节课是第2课时，重点学习（3）利用平面向量数量积解决夹角问题和（4）平面向量的综合运用，其中平面向量的综合运用主要是在三角函数中的应用，在立体几何、解析几何等方面的应用放在后面学习。

【典例剖析】

应用3：利用平面向量数量积解决夹角问题

11例

1、(2011年广州调研)已知a1，ab，(ab)(ab)，求： 22（1）a与b的夹角的大小;(2)ab与ab夹角的余弦值

思路分析（先提问学生，然后板演解题过程）：利用向量夹角的余弦公式求解

设计意图：让学生分析解题思路以培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。让学生上台板演可以暴露学生存在的问题，老师及时予以纠正，并呈现标准的解答格式，促使学生自我反思，以加强学生答题的规范性，做到“会做的题目得满分，不会做的题目不得零分”。

【巩固练习】

（1）（09重庆理）已知A、6

a

1、b6且a(ba)2，则向量a与b的夹角是（）

 B、C、D、

4322

高效课堂教学模式探讨公开课

(2（)2010年高考课标全国卷）则a，b夹角的余弦值等于（）816168 C、D、A、B、65656565a，b为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，

答案：（1）C； （2）C；

设计意图：选用的两道题中，一道题向量是非坐标形式的，另一道题向量是坐标形式的，通过练习，让学生学会选用适当的公式解题，巩固所学知识。同时，让学生多参与、多思考、多活动，改变教师大段讲解的倾向，使师生活动交替进行，调节学生的注意力，促进学生各方面的发展。

题后小结：

(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它们的关系． (2)若已知a与b的坐标，则可直接利用公式 x1x2＋y1y2cosθ＝.2222 x1＋y1·x2＋y2

应用四：平面向量的综合运用

sin)，c(1，例

2、(2009 湖北理)已知向量a(cos， b(cos， sin)，0)．（1）求向量b+c的长度的最大值；

（2）设 π4，且a⊥(bc)，求cos的值．

设计意图：通过典例精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、解决问题的能力。

【自主探究、共同提高】



1、(06天津理)设向量a与b的夹角为，a(3,3)，2ba(1,1)，则cos_____

0

2、已知两单位向量a与b的夹角为120，若c2ab，dba，试求c与d的夹角的余弦值

3、设02，已知两个向量则向量p1p2长度的最大值是op1(cos,sin)，op2(2sin,2cos)，

______ 答案：

1、31010；

2、92142；

3、32

设计意图：要求每位学生自己先做练习，然后对照答案进行自主的学习、同座之间互相探讨，然后听老师或学生进行讲解。本环节尽量留出时间让学生充分地比较，互相学习，共同提高。

高效课堂教学模式探讨公开课

【课堂小结】：

1、向量知识，向量观点有着广泛的应用 ，本节课主要学习了两方面的应用： 利用平面向量数量积解决夹角问题和平面向量的综合应用（在三角函数中应用）

2、本节课主要学习了化归转化的思想方法

向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系

设计意图：课堂小结由师生共同进行，以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。同时要引导学生学会总结：做完一道题目的总结，学完一课、一章的总结，有总结才有提高，通过：练习—总结—再练习，提高学习效率。

【课堂小测】

A、300

1、(05北京)a1，b2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为（）

2、已知a1，b

000 B、60 C、120 D、150

2，且a(ab)，则向量a与b的夹角是_______.



3、已知向量a(sin,1),b(1,cos)，且22（2）.求ab的最大值 (1).若ab,求

答案：

1、C

2、

4

3、（1）4 ，（2）21

设计意图：通过课堂小测快速反馈，既可以把学生取得的进步变成有形的事实，使之受到鼓励，乐于接受下一个任务，又可以及时发现学生存在的问题，及时矫正乃至调节教学的进度，从而有效地提高课堂教学的效率。

思考题、设向量m(cos,sin)和n(2sin,cos),(,2)82且mn,求cos()的值528

【课后作业，分层练习】

必做： 《课时作业本》第4章第3课时

选做：(2009·江苏)设向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．

(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；

(2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.设计意图：出选做题的目的是注意分层教学和因材施教，为学有余力的学生提供思考空间。

【教学反思】 待写„„

第18篇：平面向量数量积的坐标表示教学反思.doc

《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教学反思

1、本节课先是通过对相关知识的回顾，然后引进与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，进一步探索两个向量数量积的坐标表示。最后通过几个例题加强学生对两个向量数量积的坐标表示的理解及其灵活应用。课堂结构清晰完整流畅。在教学中，知识的回顾，题目的设计都围绕数量积坐标表示展开。数量积公式得出后，启发学生自己动手推导出模、夹角的坐标表示，回顾了公式的同时又培养了学生的推导能力、自主学习能力。在与学生的课堂交流中能倾听学生的想法，及时纠正偏差，激发了学生自主探究的欲望，较好的提升了学生的思维能力，对于学生在探究过程中出现的问题都能认真加以点评，适时指出不足与优点，对于学生的发现与总结都能给于很好的评价与赞扬，让学生收到激励，保持学习的热情。

2、教学设计结构严谨，过渡自然，时间分配合理。知识回顾部分把上节课的数量积、夹角、模、垂直、平行的有关知识进行回顾，每一条知识点的回顾都是本堂课的新课内容。

3、新课引入部分问题设计合理，但提问的字句还需斟酌，要语简意赅，如

22思考2中：对于上述向量i,j，则i,j,i.j分别等于什么？这样的问法觉的还是太繁琐，是否可以改为计算i2,j2,i.j？这样可能更直接一点。

4、公式的得出，在应用之前或者应用之后都应该对公式的结构特征进行归纳总结。学生因为接受新知识，对公式肯定不是很了解，应该要引导学生分析公式特征及应用的注意点。

5、一节课的知识与技能是否落实，难点是否得到突破，是教学者最为关心的话题。课堂习题正是检验教学效果的工具。在习题设置上，除了覆盖重难点外，还应做到由简入深。同时，在教学过程中，通过旧知生成新知的过程，采用问题串的形式引导学生一步步完成自主探究得到生成，是比较有效的教学方式。

6、通过本次公开订，学到了很多东西，争取下一次做得更好，另外还需改进语言表达能力，希望课堂气氛可愉更加活跃。

第19篇：《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》说课稿

一、教材分析

1.本课的地位及作用：平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。

2学生情况分析：在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。所以，本节课采取以学生自主完成为主，教师查漏补缺的教学方法。因此结合中学生的认知结构特点和学生实际。我将本节教学目标确定为：

1、理解掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。理解掌握向量的模、夹角等公式。能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题

2、经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。

教学重点

平面向量数量积的坐标表示及应用

教学难点

探究发现公式

二、教学方法和手段

1教学方法：结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，其核心是“诱导思维，探索研究”，其教学思想是“教师为主导，学生为主体，训练为主线的原则，为此，我通过精心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，鼓励学生自主探索，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。在教学中，我适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，合作交流的意识，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的喜悦。

2教学手段：利用多媒体辅助教学，可以加大一堂课的信息容量，极大提高学生的学习兴趣。

三、学法指导

改善学生的学习方式是高中数学课程追求的基本理念。独立思考，自主探索，动手实践，合作交流等都是学习数学的重要方式，这些方式有助于发挥学生学习主观能动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”的过程。以激发学生的学习兴趣和创新潜能，帮助学生养成独立思考，积极探索的习惯。为了实现这一目标，本节教学让学生主动参与，让学生动手，动口、动脑。通过思考、计算、归纳、推理，鼓励学生多向思维，积极活动，勇于探索。具体体现在：1、通过提出问题，把问题的求解与探究贯穿整堂课，使学生在自主探究中发现了结论，推广了命题，使学生感到成果是自己得到的，增强了成就感，培养了学生学好数学的信心和良好的学习动机。2、通过数与形的充分挖掘，通过对向量平行与垂直条件的坐标表示的类比，培养了学生数形结合的数学思想，教给了学生类比联想的记忆方法。

四、教学程序

本节课分为复习回顾、定理推导、引申推广、例题讲析、练习与小结五部分。

复习回顾部分通过两个问题，复习了与本节内容相关的数量积概念，为本节内容的学习作了必要的铺垫。

定理推导部分通过设问，引出寻求向量的数量积的坐标表示的必要性，引入课题，并引导学生应用前述知识共同推导出数量积的坐标表示。

引申推广部分，让学生自主推导出向量的长度公式，向量垂直条件的坐标表示、夹角公式等三个结论，强化了学生的动手能力和自主探究能力。

例题讲析，通过四道紧扣教材的例题的精讲，突出了结论的应用，也起到了示范作用。

练习及小结：通过练习题验收教学效果，突出训练主线，小结部分画龙点睛，强调本节重点。再结合课后作业，进一步实现本节课的教学目的。同时小结也体现主体性，由教师提出问题学生总结得出。

第20篇：平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计

平面向量数量积的物理背景及其含义

一、教学设计

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。 本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

二、教学目标

1知识与技能：阐明平面向量的数量积及其几何意义.会算一个向量在另一个上投影的概念，运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义.2过程与方法：以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过作图分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。

3情感态度与价值观：由具体的功的概念到向量的数量积，再到共线、垂直时的数量积，使学生学习从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，体会数形结合思想，类比思想，体验法则学习研究的过程，培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯。

三、学情分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点数量积的概念。

四、教学重难点

1、重点：平面向量数量积的定义。

2、难点：平面向量数量积的定义的理解。

五、教学准备

1、实验教具：计算机、黑板、粉笔

2、教学支持资源：制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。

六、教学导图

七、教学过程

（I）创设情境，引入课题（4min）

【问题】：如图所示，一辆小车，在力F的作用下，从A处到B处拉动的位移为S，那么请问力F在这个运动过程中所做的功？ （1）力F所做的功W=

。

（2）请同学们分析公式的特点：W（功）是

量，F（力）是

量，S（位移）是 量，α是 。

( 3 )师生共同探讨矢量乘矢量以及引出向量乘以向量。

【设计意图】设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。

（II）步步探索，形成概念（20min）

1、概念的明晰

已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ ，我们把数量 ︱a︱·︱b︱cosθ 叫做 a与 b的数量积（或内积），记作：a ·b

【学生思考】：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别？ 【问题1】：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？

【问题2】：数量积的几何意义是什么？ 并在此对向量积投影的讲解。

2、研究数量积的物理意义

数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是力与位移的数量积 。

【问题3】：请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。

【设计意图】：这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性，而且也节约了课时。好铺垫。

我设计问题 一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。

4、性质的发现

教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式出现的，为了很好地完成这一探究活动，在完成上述练习后，我不失时机地提出： 【问题4】：比较︱ a·b ︱与︱a ︱×︱b ︱的大小，你有什么结论？ 在学生讨论交流的基础上，教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动。

5、明晰数量积的性质

【设计意图】：体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质.

6、运算律的发现

关于运算律，教材仍然是以探究的形式出现，为此，首先提出问题9 【问题5】：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？ 学生可能会提出以下猜测： 猜测①的正确性是显而易见的。

关于猜测②的正确性，我提示学生思考下面的问题： 猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？ 学生通过讨论不难发现，猜测②是不正确的。

这时教师在肯定猜测③的基础上明晰数量积的运算律：

9、明晰数量积的运算律

10、证明运算律

学生独立证明运算律（2） 师生共同证明运算律（3）

运算律（3）的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课时，这个证明由师生共同完成，我想这也是教材的本意。

【设计意图】：在这个环节中，我仍然是首先为学生创设情景，让学生在类比的基础上进行猜想归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。

（III）课堂练习，巩固提高（15min）

例

1、（师生共同完成）已知︱a︱=6，︱b︱=4, a与b的夹角为60°，求（a+2b）·（a-3b），并思考此运算过程类似于哪种运算？

例

2、（学生独立完成）对任意向量a，b是否有以下结论： （1）( a+b )2= a2+2a ·b +b

2（2）( a+b)·( a-b )=a2—b2 例

3、（师生共同完成）已知︱︱=3，︱︱=4, 且 与不共线，k为何值时，向量+k 与-k互相垂直？并思考：通过本题你有什么收获？

【设计意图】：本节教材共安排了四道例题，我根据学生实际选择了其中的三道，并对例1和例3增加了题后反思。例1是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，我重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。完成计算后，进一步提出问题：此运算过程类似于哪种运算？目的是想让学生在类比多项式乘法的基础上自己猜测提出例2给出的两个公式，再由学生独立完成证明，一方面这并不困难，另一方面培养了学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。例3的主要作用是，在继续巩固性质和运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，教学时重点给学生分析数与形的转化原理。

例

4、为了使学生更好的理解数量积的含义，熟练掌握性质及运算律，并能够应用数量积解决有关问题，再安排如下练习：

1、下列两个命题正确吗？为什么？

①、若≠0，则对任一非零向量，有·≠0． ②、若≠0，·＝·，则＝．

2、已知△ABC中，

=,

=，当·

【设计意图】：安排练习1的主要目的是，使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这一重要运算，

通过练习2使学生学会用数量积表示两个向量的夹角，进一步感受数量积的应用价值。

（IV）课堂小结，教学反思（4min）

1、本节课我们学习的主要内容是什么？

2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？

3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？

4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？

【设计意图】：通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的认识，同时也为下一节做好铺垫，继续激发学生的求知欲。

八、课后练习

1、课本P121习题2.4A组

1、

2、3。

2、拓展与提高：

已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a -5b垂直，a-4b与 7a-2b垂直 求a与b的夹角。

【设计意图】：在这个环节中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因此安排了一组教材中的习题，目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用，为后续学习打好基础。其次，为了能让不同的学生在数学领域得到不同的发展，我又安排了一道有一定难度的问题供学有余力的同学选做。

《向量数量积教案模板.doc》

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