平面向量教学设计（精选多篇）

发布时间：2020-11-28 08:32:47 来源：教学设计收藏本文下载本文手机版

推荐第1篇：第二章平面向量教学设计

第二章平面向量教学设计

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新课标人教版

必修4第二章平面向量

内容：《平面向量》

课型：新授课

第二部分

教学设计

2.1平面向量的概念及其线性运算

授课人：苏仕剑

【学习目标】

、理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；

2、掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；

3、掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义；

4、了解向量线性运算的性质及其几何意义。

【学习要点】

、向量概念

________________________________________________________叫零向量，记作；长度为______的向量叫做单位向量；方向___________________的向量叫做平行向量。

规定：与______向量平行；长度_______且方向_______的向量叫做相等向量；平行向量也叫______向量。

2、向量加法

求两个向量和的运算，叫做向量的加法，向量加法有___________法则与______________法则。

3、向量减法

向量加上的相反向量叫做与的差，记作_________________________，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

4、实数与向量的积

实数与向量的积是一个_______，记作________，其模及方向与____的值密切相关。

5、两向量共线的充要条件

向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得__________。

【典型例题】

例1

在四边形ABcD中，等于

（

）

A、

B、

c、

D、

例2

若平行四边形ABcD的对角线Ac和BD相交于o，且，则、表示向量为

（

）

A、+

B、—

c、—+

D、——

例3

设、是两个不共线的向量，则向量

与向量共线的充要条件是

（

）

A、0

B、

，

c、1

D、2

例4

下列命题中：

（1）=，=则=

（2）||=||是=的必要不充分条件

（3）=的充要条件是

（4）

（

）的充要条件是=

其中真命题的有__________________。

例5

如图5-1-1，以向量

，

为边作平行四边形AoBD，又，

，用、表示、和。

图5-1-1

【课堂练习】

、

（

）

A、

B、

c、

D、

2、“两向量相等”是“两向量共线”的（

）

A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

c、充要条件

D、既不充分也不必要条件

3、已知四边形ABcD是菱形，点P在对角线Ac上（不包括端点A、c），则等于

（

）

A、

B、

c、

D、

4、若||=1，||=2，=且，则向量与的夹角为（

）

A、300

B、600

c、1200

D、1500

【课堂反思】

2.2平面向量的坐标运算

授课人：陈银辉

【学习目标】

、知识与技能：了解平面向量的基本定理及其意义、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

2、能力目标：会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；

3、情感目标：通过对平面向量的基本定理来理解坐标，实现从图形到坐标的转换过程，锻炼学生的转化能力。

【学习过程】

、平面向量基本定理

如果、是同一平面内的两个

的向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、使

，其中不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组

。

2、平面向量的正交分解及坐标表示

把一个向量分解为两个互相

的向量，叫做把向量正交分解。在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴正方向相同的两个

向量、作为基底，对任一向量，有且只有一对实数、使得

，则实数对（，）叫做向量的直角坐标，记作=

，其中、分别叫做在轴、轴上的坐标，叫做向量的

表示。相等向量其坐标

，坐标相同的向量是

向量。

3、平面向量的坐标运算

（1）若=，

=，则

（2）若A，B，则

（3）若=（，），则

4、平面向量共线的坐标表示

若=，=，

则//的充要条件是

5、若，其中，则有：

；

。

【典型例题】

例1

设、分别为与轴、轴正方向相同的两个单位向量，若则向量的坐标是（

）

A、（2，3）

B、（3，2）

c、（—2，—3）

D、（—3，—2）

例2

已知向量

，且//则等于

A、

B、—

c、

D、—

分析

同共线向量的充要条件易得答案。

例3

若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是

A、与—

B、3与2

c、+与—

D、与2

例4

已知当实数取何值时，

+2与2—4平行？

【课堂练习】

、已知=（1，2），=（—2，3）若

且

则____________,_________________。

2、已知点A（，1）、B（0，0）、c（，0），设∠BAc的平分线AE与Bc相交于E，那么有其中等于

A、2

B、

c、—3

D、

3、平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知两点c满足，其中、且+则点c的轨迹方程为

A、

B、

c、

D、

4、已知A（—2，4）、B（3，—1）、c求点m、N的坐标及向量的坐标。

【课堂反思】

2.3平面向量的数量积及其运算

授课人：曾俊杰

【学习目标】

．知识与技能：

A若点3，—4）且，（—

（1）理解向量数量积的定义与性质；

（2）理解一个向量在另一个向量上的投影的定义；

（3）掌握向量数量积的运算律；

（4）理解两个向量的夹角定义；

2．过程与方法：

（1）能用投影的定义求一个向量在另一个向量上的投影；

（2）能区别数乘向量与向量的数量积；

（3）掌握两向量垂直、平行和反向时的数量积；

3．情感、态度与价值观：

（1）培养学生用数形结合的思想理解向量的数量积及它的几何意义；

（2）使学生体会周围事物周期变化的奥秘，从而激发学生学习数学的兴趣；

（3）培养数形结合的数学思想；

【学习过程】

、请写出平面向量的坐标运算公式：

（1）若=，

=，则

（2）若A，B，则

（3）若=（，），则

2、平面向量共线的坐标表示

若=，=，

则//的充要条件是

3、两个非零向量夹角的概念已知非零向量与，作＝，＝，则_________________________叫与的夹角.

4、我们知道，如果一个物体在力F（与水平方向成θ角）的作用下产生位移s，那么力F所做的功w=

5、数量积的概念：

（1）两个非零向量、，过o作=，=，则∠AoB叫做向量与的夹角，显然，夹角

（2）若与的夹角为90，则称与垂直，记作⊥

（3）、是两个非零向量，它们的夹角为，则

叫做与的数量积（或内积），记作•。

即•=||•||•cos

规定•=0，显然，数量积的公式与物理学中力所做功的运算密切相关。

特别提醒：

（1）

（０≤θ≤π）.并规定与任何向量的数量积为0

（2）

两个向量的数量积的性质：

设、为两个非零向量，

)





当与同向时，

=||||；当与反向时，

=||||

特别的

=||2或.

cos=

；

|≤||||

6、“投影”的概念：如图

定义：_____

_______叫做向量b在a方向上的投影

特别提醒：

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|

3、平面向量数量积的运算律

交换律：=______

数乘结合律：=_________=__________

分配律：=_____________

【典型例题】

例1边长为的正三角形ABc中，设，

，则

例2已知△ABc中，，，，ABc的面积，且||=3，||=5，则与的夹角为

例3

已知=（1，2），=（6，—8）则在上的投影为

【课堂练习】

、已知、均为单位向量，它们的夹角为那么=

2、已知单位向量与的夹角为，且，，求及与的夹角。

3、若，，且向量与垂直，则一定有

A、

B、

c、

D、且

4、设是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题

①

②

③

不与垂直

④

其中正确的有（

）

A、①②

B、②③

c、③④

D、②④

5、已知平面上三点A、B、c满足，则

的值等于____

______

【课后反思】

2.4平面向量的应用

授课人：刘晓聪

【学习目标】

一、知识与技能

.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力

2.运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力

二、过程与方法

.通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题

2.通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.[:学科网]

三、情感、态度与价值观

.以学生为主体，通过问题和情境的设置，充分调动和激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力.

2.通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.

【学习过程】

请认真思考后，回答下列问题：

、判断：

（1）若四点共线，则向量（

）

（2）若向量，则四点共线（

）

（3）若，则向量

（

）

（4）只要向量满足，就有

（

）

2、提问：

（1）两个非零向量平行的充要条件是什么？（你能写出几种表达形式）

（2）两个非零向量垂直的充要条件是什么？（你能写出几种表达形式）

【典型例题】

例1

已知⊿ABc中，∠BAc＝60o，AB＝4，Ac＝3，求Bc长．

变式

已知⊿ABc中，∠BAc＝60o，AB＝4，Ac＝3，点D在线段Bc

上，且BD=2Dc求AD长．

例２

如图，已知Rt⊿oAB中，∠AoB＝90o，oA＝3，oB＝2，m在oB上，且om=1，N在oA上，且oN=1，P为Am与BN的交点，求∠mPN．

【课堂练习】

⊿ABc中，AD，BE是中线，AD，BE相交于点G

（1）求证：AG=2GD

（2）若F为AB中点，求证G、F、c三点共线．

推荐第2篇：平面向量概念教学设计

篇1：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．课题：平面向量概念

二、教学目标

1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。

2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣

三．教学类型：新知课

四、教学重点、难点

1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。

五、教学过程

（一）、问题引入

1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？

2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？

3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。

在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。

（二）讲授新课

1、向量的概念

练习1 对于下列各量：

①质量② 速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功⑨体积⑩温度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的几何表示

请表示一个竖直向下、大小为5n的力，和一个水平向左、大小为8n的力（1厘米表示1n）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？

（1）有向线段及有向线段的三要素

（2）向量的模

（4）零向量，记作＿＿＿＿；

（5）单位向量

练习2 边长为6的等边△abc中，＝＿＿，与相等的还有哪些？总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。 2）、用字母表示。

3、相等向量与共线向量

（1）相等向量的定义

（2）共线向量的定义

六．教具：黑板

七．作业

八．教学后记

篇2：平面向量的实际背景及基本概念教学设计

平面向量的实际背景及基本概念教学设计本节课的内容是数学必修4，第二章《平面向量》的引言和第一节平面向量的实际背景及基本概念两部分，所需课时为1课时。

一教材分析

向量是近代数学最重要和最基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，在现实生活中随处可见的位移、速度、力等既有大小又有方向的量是它的物理背景，有向线段是它的几何背景。向量就是从这些实际对象中抽象概括出来的数学概念，经过研究，建立起完整的知识体系之后，向量又作为数学模型，广泛地应用于解决数学、物理学科及实际生活中的问题，因此它在整个高中数学的地位是不言而喻的。

本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用。本节概念课，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是能让学生去体会认识与研究数学新对象的方法和基本思路，进而提高提出问题，解决问题的能

二学情分析

在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。

三目标定位

根据以上的分析，本节课的教学目标定位： 1）、知识目标

⑪ 通过对位移、速度、力等实例的分析，形成平面向量的概念；

⑫ 学会平面向量的表示方法，理解向量集形与数于一身的基本特征；

⑬ 理解零向量、单位向量、相等向量、平行向量的含义。 2）、能力目标培养用联系的观点，类比的方法研究向量；获得研究数学新问题的基本思路，学会概念思维； 3）、情感目标使学生自然的、水到渠成的实现“概念的形成”；让学生积极参与到概念本质特征的概括活动中，享受寓教于乐。

重点：向量概念、向量的几何表示、以及相等向量概念；

难点：让学生感受向量、平行或共线向量等概念形成过程；

四、教学过程概述： 4.1 向量概念的形成

4.1.1 让学生感受引入概念的必要性

引子：章节引言

意图：向量概念不是凭空产生的。用这一简单直观的问题让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容，学生会有亲切感，有助于激发学习兴趣。

问题1 你能否再举出一些既有大小又有方向的量？

意图：激活学生的已有相关经验。

进一步直观演示，加深印象。

追问：生活中有没有只有大小没有方向的量?请举例。

类比数的概念获得向量概念的定义（板书）。 4.1.2 向量的表示方法

问题2 数学中，定义概念后，通常要用符号表示它。怎样把你举例中的向量表示出来呢

意图：让学生先练习力的表示，让错误呈现，激发认知冲突，最后自觉接受用带有箭头的线段（有向线段）来表示向量。（教师引导学生进一步完善）几何表示法：记作a b |a b|为ab的长度(又称模)。

字母表示法：a、b、c??或a、b、c 4.1.3 单位向量、零向量的概念：

问题3用有向线段表示向量，学生演板，提出问题，大家画得线段长度长短不一怎么回事？如何解决这问题？由单位长度引入单位向量

意图：这样过渡学生不会感觉新的概念是从天而降，而是进一步学习的需要

归纳小结：单位向量——长度等于1个单位长度并与a同向的向量叫做a方向上的单位向量．让演板学生回到座位之后利用这个情境提出问题，他位移的大小是什么？归纳小结：零向量——长度（模）为0的向量，记作0 提问：你们认为零向量和单位向量特殊吗？它们的特殊性体现在哪？类比实数集合中的0和1. 4.2 相等向量、平行(共线)向量概念的形成

设计活动：传花游戏，游戏中将呈现通过学生之间传递花朵所产生的位移向量，让他们从大小和方向两个方面展开思考，教师适时介入，强化本质特征、规范概念表达，与学生一起完成概念的定义。

意图：通过游戏调动学生的兴趣和积极性，让学生通过亲身经历去体会相等向量与平行向量的本质特征。归纳：

1、从“方向”角度看，有方向相同或相反的非零向量就是平行向量。

记作：a ∥b ∥ c 任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量。

2、从“长度”角度看，有模相等的向量，︱a︱ =︱ b︱

3、既关注方向有又关注长度有相等向量：记作：a = b a 规定： 0 与任一向量都平行或（共线）。

教师通过动画演示深化上述两个概念

问题4 由相等向量的概念知道，向量完全有它的方向和大小确定。由此，你能说说数学中的向量与物理中的矢量的异同吗？另外，向量的平行、共线与线段的平行、共线有什么区别与联系？

意图：让学生注意把向量概念与物理背景、几何背景明确区分，真正抓住向量的本质特征，完成“数学化”的过程。 4.3 课堂练习：

概念辨析

两个长度相等的向量一定相等．

相等向量的起点必定相同．

平行向量就是共线向量．

若 ab 与 cd 共线，则 a、b、c、d 四点必在同一条直线上．

向量 a 与 b平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反．

教材例题

3、教材第79页，b组第一题(选择此题，可以进一步理解位移概念，又能为后一步的学习做好铺垫) 4.4 课堂小结（引导学生小结）

问题5 欣赏一首关于向量的诗，布置任务能否用拟人的方式把你对向量的认识做个概述呢？

结束语：略

板书设计

5.5明确零向量的意义和作用，不过分纠缠于细节。

首先，规定零向量与任何向量平行是完善概念系统的需要。其次，就像数零的作用在于运算一样，零向量的作用在于运算及其表达的几何意义。因此孤立地讨论零向量与任何向量平行没有多少意义，也不必耗费过多时间。总之，作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后，给中学数学带来了无限生机。这节“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。概念的教学应在概念的发生发展过程中揭示它的本来面目。要让学生参与概念本质特征的概括活动过程，这也是培养学生创新精神和实践能力的必由之路！

三、教学诊断分析

本节是平面向量的第一堂课，属于“概念课”，概念的理解无疑是重点，也是难点。为了帮助学生建立向量的概念，与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。具体教学中，要设计一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识向量的集合，类比直线的基本关系认识向量的基本关系。使学生从中体会到认识一个数学概念的基本思路，而不是停留在某个具体的概念学习上。这也是本堂课的核心目标。由于数学概念的高度抽象性，学生往往要费很多周折才能理解，教师应从学生的认知水平出发，针对学生的理解困难来展开教学，保证学生参与概念本质特征的概括活动，确保学生有自己想明白的机会和时间，这是至关重要的。

本课的教学，我们力求使学生理了解向量概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概念，怎样入手研究一个新的问题。因此，在教学中教师应注意从宏观上为学生勾勒研究框架和总体思路，使学生能“抬头看路”，知道往哪里走，这是起始课的重要任务；微观上，引导学生通过类比，有序地给出向量的定义、讨论向量的表示、定义特殊向量、研究特殊向量的关系。在引导学生展开对向量及其相关概念的学习过程中，应强调“让学生参与到定义概念的活动中来”，不轻易打断学生的思维和活动，恰如其分地“以问题引导学习”，在质疑——反思的过程中深化概念的理解，使概念的理解成为学生自己主动思维的结果。

本课中出现的特殊向量——零向量，很多教师都会在“零向量与任意向量平行上”花太多时间，原因是“这是考试中的一个陷阱”。这其实是对零向量的意义和作用理解不到位的表现：首先，规定零向量与任何向量平行是完善概念系统的需要；其次，就像数零的作用在于运算一样，零向量的作用在于运算及其表达的几何意义。因此孤立地讨论零向量与任何向量平行没有多少意义，也不必耗费过多时间。

四、本课教学特点及预期效果分析

在学生建立向量的概念之初，与数、形的相关概念类比与联系是值得重视的。在学生的已有经验中，与本课内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、单位长度、0和1的特殊性、线段的平行与共线等。因此在具体教学中，我设计了一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识向量的集合，类比直线的基本关系认识向量的基本关系。使学生从中体会到认识一个数学概念的基本思路，而不是停留在某个具体的概念学习上。

在向量的几何表示中，我让学生大胆探索，而不是“全包全揽”，教师引导，学生补充改进，最终明确向量几何表示的正确方法。整个过程全体同学热情参与，自我教育，互帮互学，课堂气氛生动活泼。

当同学们能将向量正确的几何表示时，我又适时地提出问题：大家画出的线段长短不一，怎么解决？由此自然过渡到单位长度上，使得单位向量的引入也就顺理成章了。

为了帮助学生学习相等向量、平行（共线）向量的概念，本课设计了“传花游戏”，通过学生之间传递花朵所产生的位移向量，让学生积极参与，仔细观察，自己概括出概念的本质特征，将课堂气氛推向一个新的高潮。在结束本课之前，为了让同学对向量加深印象，我让学生先欣赏一首关于向量的诗歌，再让学生在课外动笔写出自己对向量的感受。

本节课是从现实世界的常见实例出发，以学生自主探究的教学方式为主。在课堂上，创建了一个以全班学生共同参与的向量游戏平台，让学生在轻松愉悦的课堂环境中，共同参与，共同讨论，共同分析，让学生自然地、水到渠成的完成本节内容的学习。

推荐第3篇：《平面向量》单元教学设计

《平面向量》单元教学设计

武都区两水中学王斌

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。

向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。

一、单元教学目标

本章主要包括平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容。通过本章学习，应引导学生：

1．通过力和力的分析等实例，知道向量的实际背景，会运用平面向量和向量相等的含义，会向量的几何表示。

2．通过实例，会算向量加、减法的运算，并会求其几何意义。

3．通过实例，熟练运用向量数乘的运算，并解释其几何意义，以及两个向量共线的含义。

4．能说出向量的线性运算性质及其几何意义。 5．知道平面向量的基本定理及其意义。 6．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。 7．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。 8．解释用坐标表示的平面向量共线的条件。

9．通过物理中“功”等实例，说明平面向量数量积的含义及其物理意义。 10．体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

11．识记数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

12．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 13．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

二、学习者特征分析

向量是近代数学中重要的和基本的概念之一，它是沟通代数几何与三角的一种工具。向量对学生来说是比较新的内容，学生对它的学习可以说是充满了探求的欲望，应当说能够使大部分学生在此章节的学习中体会到学习的成功乐趣。学生在学习本单元内容之前，已熟知了实数的运算体系，具备了物理知识.这都为学习向量准备好各方面条件.

三、单元教材分析

本章共安排了5个小节及2个选学内容，大约需要12个课时，具体分配如下 2．1平面向量的实际背景及基本概念 2课时 2．2 向量的线性运算 2课时

1 2．3平面向量的基本定理及坐标表示 2课时 2．4平面向量的数量积 2课时 2．5平面向量应用举例 2课时

小结 2课时

本章知识结构如下：

1．第一节包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。教科书首先从位移、力等物理量出发，抽象出既有大小、又有方向的量——向量，并说明向量与数量的区别。然后介绍了向量的几何表示、有向线向量的长度（模）、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等基本概念。

2．第二节有向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义、向量数乘运算及其几何意义等内容。

教科书先讲了向量的加法、加法的几何意义、加法运算律；再用相反向量与向量的加法定义向量的减法，把向量的减法与加法统一起来，并给出向量减法的几何意义；然后通过向量的加法引入了实数与向量的积的定义，给出了实数与向量的积的运算律；最后介绍了两个向量共线的条件和向量线性运算的运算法则。

3．第三节包括平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示。

2平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础。教科书首先通过一个具体的例子给出平面向量基本定理，同时介绍了基底、夹角、两个向量垂直的概念；然后在平面向量基本定理的基础上，给出了平面向量的正交分解及坐标表示，向量加、减、数乘的坐标运算和向量坐标的概念，最后给出平面向量共线的坐标表示。坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁。

4．第四节包括平面向量数量积的物理背景及其含义、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。

教科书从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示。向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。

5．第五节包括平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例。由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用。本节通过几个具体的例子说明了它的应用。

6．为了拓展学生的知识面，使学生了解向量及向量符号的由来，向量的运算（运算律）与几何图形形式的关系，本章安排了两个“阅读与思考”：向量几向量符号的由来，向量的运算（运算律）与图形性质。

四、教学中要注意的几个问题

1．突出向量的物理背景与几何背景

教科书特别注意从丰富的物理背景和几何背景中引入向量概念。在引言中通过日常生活中确定“位置”中的位移概念，说明学习向量知识的意义；在2.1节，通过物理学中的重力、浮力、弹力、速度、加速度等作为实际背景素材，说明它们都是既有大小又有方向的量，由此引出向量的概念；引出向量概念后，教科书又利用有向线段给出了向量的几何背景，并定义了向量的模、单位向量等概念。这样的安排，可以使学生认识到向量在刻画现实问题、物理问题以及数学问题中的作用，使学生建立起理解和运用向量概念的背景支持。

教科书借助几何直观，并通过与数的运算的类比引入向量运算，以加强向量的几何背景。

2．强调向量作为解决现实问题和数学问题的工具作用。

为了强调向量作为刻画力、速度、位移等现实中常见现象的有力的数学工具作用，本章特别注意联系实际。特别是在概念引入中加强与实际的联系。另外，向量也是解决数学问题的好工具，例如，和（差）角的三角函数公式、线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等都可以用向量为工具进行推导；向量作为沟通代数、几何与三角函数的桥梁，是一个很好的数形结合工具，教科书通过“平面几何中的向量方法”进行了介绍，并在第三章用向量方法来推导两角差的余弦公式。这些处理也都是为了体现向量作为基本的、重要的数学工具的地位。

3 3．强调向量法的基本思想，明确向量运算及运算律的核心地位。

向量具有明确的几何背景，向量的运算及运算律具有明显的几何意义，因此涉及长度、夹角的几何问题可以通过向量及其运算得到解决。另外，向量及其运算（运算律）与几何图形的性质紧密相联，向量的运算（包括运算律）可以用图形直观表示，图形的一些性质也可以用向量的运算（运算律）来表示。这样，建立了向量运算（包括运算律）与几何图形之间的关系后，可以使图形的研究推进到有效能算的水平，向量运算（运算律）把向量与几何、代数有机地联系在一起。

几何中的向量方法与解析几何的思想具有一致性，不同的只是用“向量和向量运算”来代替解析几何中的“数和数的运算”。这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、线、面的相应结果。如果把解析几何的方法简单地表述为

[形到数]——[数的运算]——[数到形]，

则向量方法可简单地表述为

[形到向量]——[向量的运算]——[向量和数到形]。

教科书特别强调了向量法的上述基本思想，并根据上述基本思想明确提出了用向量法解决几何问题的“三步曲”。为了使学生体会向量运算及运算律的重要性，教科书注意引导学生在解决具体问题时及时进行归纳，同时还明确使用了“因为有了运算，向量的力量无限；如果没有运算，向量只是示意方向的路标”的提示语。

4．通过与数及其运算的类比，向量法与坐标法的类比，建立相关知识的联系，突出思想性。

向量及其运算与数及其运算既有区别又有联系，在研究的思想方法上可以进行类比。这种类比可以打开学生讨论向量问题的思路，同时还能使向量的学习找到合适的思维固着点。为此，教科书在向量概念的引入，向量的线性运算，向量的数量积运算等内容的展开上，都注意与数及其运算（加、减、乘）进行类比。

5．引导学生用数学模型的观点看待向量内容

在向量概念的教学中，要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情景，例如物理中的力、速度、加速度，力的合成与分解，物体受力做功等，通过这些实例是学生了解向量的物理背景、几何背景，引导学生认识向量作为描述现实问题的数学模型的作用。同时还要通过解决一些实际问题或几何问题，使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法。

6．加强向量与相关知识的联系性，使学生明确研究向量的基本思路

向量既是代数的对象，又是几何的对象。作为代数对象，向量可以运算，而且正是因为有了运算，向量的威力才得到充分的发挥；作为几何对象，向量可以刻画几何元素（点、线、面），利用向量的方向可以与三角函数发生联系，通过向量运算还可以描述几何元素之 4 间的关系（例如直线的垂直、平行等），另外，利用向量的长度可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。教学中，教师应当充分关注到向量的这些特点，引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习本章知识。

五、教学评价

对本单元的教学我主要通过以下几种方式进行：

1、通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价。

2、在学生讨论、交流、协作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。

3、通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。

4、通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。

推荐第4篇：平面向量

平面向量

一、知识梳理：

（1）本章要点梳理：

1.向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，1

特别注意：(ABAC) 表示△ABC的边BC的中线向量.向量减法的几何意义：起点相同适

2用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），||表示A、B两点间的距离；以、为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量+、（或）.2.理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义。与非零向量同向的单位向量a0，叫做的单位向量。而a0都与共线（与反向

的单位向量为-a0.3.两向量所成的角指的是两向量方向所成的角;两向量数量积||||cos,；其中|b|cosa,b可视为向量在向量上的投影.

4.向量运算中特别注意a|a|的应用.研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量运算.另外，有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，有些题目就可以由作图得解.

5.向量的坐标运算是高考中的热点内容，向量的坐标形式实质上是其分解形式xy的“简记”.其中i,j分别表示与x轴、y轴正方向同向的单位向量.

6.利用向量求角时，要注意范围.两向量所成角的范围是[0,].特别注意：0不能等同于,所成角是锐角，因为当,同向时也满足0;同样的道理，0不能等同于,所成角是钝角，因为当a,b反向时也满足0

［例］l是过抛物线y22px(p0)焦点的直线，它与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点，则△ABO是（）A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不确定与P值有关.22

y22pxpp分析：由直线l过焦点F(,0)，设其方程为xmy，联立得：，即：p22xmy2

y1y2p2=.则y2pmyp0，则y1y2p，又x1x22p2p4222223p

2OAOBx1x2y1y20，则AOB一定是钝角.选C.

47.直线l的向量参数方程式：A、P、B三点共线则OP(1t)OAtOB

8.关注向量运算与三角函数综合是高考中的常见题型.［例］已知向量a{2cosx,1},b{cosx,3sin2x},xR.设f(x)ab.

（1）若f(x)13且x[,]，求x的值；（2）若函数y2sin2x的图像按向量3

3c{m,n}(|m|

2)平移后得到函数yf(x)的图像，求实数m,n的值.

2解析：（1）f(x)2cosx3sin2xcos2x13sin2x2sin(2x

6)1，

易得x

4.（2）函数y2sin(2x

6)1是由函数y2sin2x的图像向左平移，再把1

2所得图像向上平移1个单位而得，所以m

二、易错、易混、易忘点梳理： 12,n1.

【易错点1】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用，易产生概念性错误。

例1.下列命题：①()2()2||4 ②()() ③ |²|=||²||④若∥b,b∥c,则∥ ⑤∥，则存在唯一实数λ，使 ⑥若，且≠，则⑦设e1,e2是平面内两向量，则对于平面内任何一向量，都存在唯一一组实数x、y，使xe1ye2成立。⑧若|+|=|－|则²=0。⑨²=0，则=或=。其中真命题的个数为（）

A．1B．2C．3D．3个以上 2解析：①正确。根据向量模的计算aaa判断。②错误，向量的数量积的运算不满足交换律,这是因为根据数量积和数乘的定义(ac)b表示和向量b共线的向量，同理(ab)c表示和向量c共线的向量，显然向量b和向量c不一定是共线向量，故(ab)c(ac)b不一定成立。③错误。应为abab④错误。注意零向量和任意向量平行,非零向量的平行性才具有传递性。⑤错误。应加条件“非零向量a”。⑥错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向量b和向量b在向量c方向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。⑦错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量e1,e2是不共线的向量即一组基底。⑧正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形。故²=0。⑨错误。只需两向量垂

直即可。答案：B 【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知ａ，ｂ，с和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①ａ²ｂ＝ｂ²ａ(交换律)②（λａ）²ｂ＝λ（ａ²ｂ）＝ａ²（λｂ）(数乘结合律)③(ａ＋ｂ)²с＝ａ²с＋ｂ²с(分配律)说明：（1）一般地，(ａ²ｂ)с≠ａ（ｂ²с）（2）有如下常用性质：ａ＝｜ａ｜，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ²с＋ａ²ｄ＋ｂ²с＋ｂ²ｄ，(ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａ²ｂ＋ｂ

【练习】设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（a²b）c－（c²a）b=0②|a|－|b|

【易错点2】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，数形结合的意识不够，忽视隐含条件。

例2.四边形ABCD中，AB＝ａ，BC＝ｂ，CD＝с，DA＝ｄ，且ａ²ｂ＝ｂ²с＝с²ｄ＝ｄ²ａ，试问四边形ABCD是什么图形?

【易错点分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量，易忽视如下两点：（1）在四边形中，AB，BC

，CD，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。

解：四边形ABCD是矩形，这是因为一方面：由ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0得ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），即(ａ＋ｂ)＝（с＋ｄ）即｜ａ｜＋２ａ²ｂ＋｜ｂ｜＝｜с｜＋２с²ｄ＋｜ｄ｜由于ａ²ｂ＝с²ｄ，∴｜ａ｜＋｜ｂ｜＝｜с｜＋｜ｄ｜①同理有｜ａ｜＋｜ｄ｜＝｜с｜＋｜ｂ｜②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD２２２２２22２2２２２２２２２２２２２２

形ABCD是平行四边形.另一方面，由ａ²ｂ＝ｂ²с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ²(2ａ)＝０即ａ²ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC。综上所述，四边形ABCD是矩形.【知识点归类点拔】向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。例如很多重要结论都可用这种思想直观得到：（1）向量形式的平行四边形定理：2（｜a｜+｜b｜）=｜a－b｜+｜222a+b｜2（2）向量形式的三角形不等式：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜(试问：取等号的条件是什么?)等有用的结论。

【练习】（1）点O是ABC所在平面内的一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点O是ABC的（）

（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点

（C）三条中线的交点（D）三条高的交点

（2）ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OHm(OAOBOC)，则实数m =

答案：（1）D（2）m=

1【易错点3】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。 例3.已知ABC中,a5,b8,c7,求BCCA.(答案:-20)

【知识点归类点拔】高中阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如

0,1800,180直线的倾斜角的取值范围是，两向量的夹角的范围是，注意向量的夹角是

否为三角形内角。 

【易错点4】向量数积性质的应用。

例4.已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b垂直，a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角。

解析：本题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想。答案： 60。

【知识点归类点拔】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角度、垂直等解析几何、立体几何、代数等问题，要熟记并灵活应用如下性质：设ａ与ｂ都是非零向量，①ａ与ｂ的数量积的几何意义是向量ａ在向量ｂ方向的单位向量正射影的数量②ａ⊥ｂａ²ｂ＝０③ａ²ａ＝｜ａ｜或｜ａ｜＝aaa④ｃｏｓθ＝２2ab ab

⑤｜ａ²ｂ｜≤｜ａ｜²｜ｂ｜

5【练习】（1）已知向量a(1,2),b(2,45,若(ab)c,则a与c的夹角为（）

2C．120°D．150°答案：C（注意b2a） （2已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则（） (A) a⊥e(B) a⊥(a－e)(C) e⊥(a－e)(D) (a＋e)⊥(a－e)答案：C A．30°B．60°

【易错点5】向量与三角函数求值、运算的交汇 例

5、a(1cos,sin),b(1cos,sin),c(1,0),(0,),(,2)，a与c的夹

角为θ1， b与c的夹角为θ2，且12,求sin的值.

32【易错点分析】此题在解答过程中，学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来，注意在用已知角表示两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误结论。

解析：a(2cos,2sincos)2cos(cos,sin),b(2sin2,2sincos)22222222222sin

2(sin

2,cos

2)(0,),(,2),(0,),(,),故有2222

22cosac2cos,,|a|2cos|b|2sincos112222|a||c|2cos

22sin2

bc2sin,0,因cos22222222|b||c|2sin

2112,，从而sinsin.22226262

【知识点归类点拔】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常常以向量知识为载体，结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综合运用知识解决问题的能力。

【易错点6】向量与解三角形的交汇

→→→→例6.ΔABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA＋4OB＋5OC=0 。

→→→→→→①求数量积，OA²OB ，OB²OC ，OC²OA ；②求ΔABC的面积。

→→→【思维分析】第1由题意可知3OA、4OB、5OC三向量的模，故根据数量积的定义及运算律将一

向量移项平方即可。第2问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。

→→→→→→→→→→→2解析：①∵|OA|=|OB|=|OC|=1由3OA＋4OB＋5OC=0 得：3OA＋4OB=－5OC两边平方得：9OA＋

→→→2→2→→→→→→→4→→→24OA²OB＋16OB=25OC∴OA²OB=0同理：由4OB＋5OC=－3OA求得OB²OC=－由3OA＋5OC=－4OB

5→→3求得OA²OC=－5

1→→1443→→→→②由OA²OB=0,故s0AB= |OA||OB|= 由OB²OC=－得cos∠BOC=－∴sin∠BOC=－ ∴22555

1→→33341→→→由OC²OA=－得cos∠COA=－ ∴sin∠COA= ∴s0AC= |OCs0BC= |OB||OC|sin∠BOC= ，210555

221326→||OA|sin∠COA= 即sABC=s0AB＋s0AC＋s0BC= ＋＋ =521055

【知识点归类点拔】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算，用于表达三角形的内角、面积。

推荐第5篇：平面向量基本定理(教学设计)

平面向量基本定理

教学设计

平面向量基本定理教学设计

一、教材分析

本节课是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任一向量的表示，为今后平面向量的坐标运算打下坚实的基础。所以，本节在本章中起到承上启下的作用。

平面向量基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础。平面向量基本定理提供了一种重要的数学思想—转化思想。

二、教学目标

知识与技能: 理解平面向量基本定理，学会利用平面向量基本定理解决问题，掌握基向量表示平面上的任一向量.过程与方法：通过学习习近平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力.情感态度与价值观：通过学习习近平面向量基本定理，培养学生敢于实践的创新精神，在解决问题中培养学生的应用意识。

教学重点：平面向量基本定理的应用；教学难点：平面向量基本定理的理解.

三、教学教法

1.学情分析: 学生已经学习了向量的基本知识，并且对向量的物理背景有了初步的了解.2.教学方法：采用“问题导学—讨论探究—展示演练”的教学方法，完成教学目标.3.教学手段：有效使用多媒体和视频辅助教学，直观形象.

四、学法指导

1.导学：设置问题情境，激发学生学习的求知欲，引发思考.2.探究：引导学生合作探究，解决问题，注重知识的形成过程.3.应用：在解决问题中培养学生的应用意识与学以致用的能力.

五、教学过程

针对以上情况，结合我校“学本课堂”模式，我设计了如下教学过程，分为六个环节。第一环节：问题导学自主学习

首先是课前预习，预习学案分为问题导学、典例精析、巩固拓展三大部分。通过预习学案，可以帮助学生完成课前预习。设计意图：通过预习学案让学生预习新知识，发现问题，使学习更具针对性，培养学生的自学与探索能力.第二环节：创设情境导入课题

进入新课，引入课题采用问题情境的办法。通过导弹的飞行方向和力的分解两个实例，将问题类比，引入本节问题-向量的分解。为了帮助学生理解，提供了两段直观的视频，直观形象。设计意图：借助实际与物理问题设置情境，引发学生思考与想象，将问题类比，引入本节课题。

第三环节：分组讨论合作探究

提出问题，进入探究阶段。采用分组讨论，合作探究的方法，先让学生回顾知识-向量加法的平行四边形法则。进入小组讨论，共同讨论两个问题。

问题1：向量a与向量e1，e2共起点，向量a是同一平面内任一向量，e1与e2不共线，探究向量a与e1，e2之间的关系.问题2：向量e1与e2是同一平面内不共线的两个向量，向量a是同一平面内任一向量，

探究向量a与e1，e2之间的关系.设计意图：各小组成员讨论交流，合作学习，共同探讨问题，寻求结果，展示结果.第四环节：成果展示归纳总结

小组讨论完毕，由几个小组展示研究成果。结合小组展示成果，借助多媒体展示，由师生共同探究向量的分解。展示过程中，要重点强调平移共起点，借助平行四边形法则解说分解过程，加深学生的直观映像，完成向量的分解。通过向量的分解，由学生小组讨论，共同归纳本节的核心知识—平面向量基本定理。在定理中重点补充强调以下几点说明：（1）基底e1,e2不共线，零向量不能做基底；（2）定理中向量a是任一向量，实数1，2唯一；（3）1e1e2叫做向量a关于基底e1,e2的分解式.第五环节：问题解决巩固训练

引入定理后，应用定理解决学案例题与练习。例题1重在考查基底的概念，引导学生思考向量作为基底的条件，将问题转化为两个向量的共线问题。讲解完例题1之后，通过一个练习，巩固所学。通过两个问题，让学生认识理解基底的概念，把握基底的本质，突出重点——平面向量基本定理的应用。在例题2中继续强化对基底概念的理解，采用分组讨论，合作探究的教学方法，共同探讨解法，并由小组板演解题过程，最后强调解题步骤；此后，给出例2的一个变式题，让学生进一步深刻理解基底，体会基底的重要作用。解决本节难点——平面向量基本定理的理解，通过例题3对平面向量基本定理综合应用，解决三点共线问题。采用先启发引导后学生探究的方法，解决学生的困惑。例题讲解完毕后，对本题结论适当拓展，得到“当t11，点P是AB的中点，OP=（OAOB）”的重要结论。通过探究22本题，可以使学生深化对平面向量基本定理的理解，培养学生综合运用知识的能力.为了加强对定理的应用，在学案中设计了几个巩固练习，在课堂上当场完成，并及时纠错，巩固本节所学。

第六环节：拓展演练反馈检测

为了攻克难点，检测效果，最后设计了几道课后习题进行拓展延伸，培养学生的综合能力。通过这些设计，可以增强教学的针对性，提高教学效果。在本节尾声，让学生回顾本节主要内容，完成小结，并在小结中强调转化的数学思想及方法。最后是布置课后作业及时间分配与板书设计。

六、评价感悟

本节教学设计在“学本课堂”的教学模式下，采用“问题导学—讨论探究—展示演练”的教学方法，引导学生自主学习，发现问题，小组讨论，合作探究，解决问题。在教学过程中，学生处于主体地位，教师充分发挥学生的积极性，力求打造高效课堂。

以平面向量基本定理为主题，从预习知识到探究定理，学生始终参与学习，参与探究，主观性与积极性得到了充分发挥，学习与探求知识的能力得到了极大的提升；应用定理解决问题，培养了学生的应用意识；通过学习定理，让学生体会了转化思想，提高了学习的综合能力。

推荐第6篇：平面向量基本定理(教学设计)

平面向量基本定理

教学设计

教材分析：

分析基本定理在教材中的作用，让学生有目标性地学习．教学目标：

1．通过作图法理解并掌握平面向量基本定理的内容及含义．

2．深刻理解向量的基底表示的意义及作用，会将平面内的任意一个向量用一组基底表示． 2．理解平面上两个向量的夹角的概念及范围，掌握平面内两个向量的位置关系． 3．会用平面向量基本定理解决向量相互表示的问题．教学重难点：

重点：平面向量基本定理的内容，向量基底的意义及应用；难点：平面向量基本定理的应用．

教学方法：CAI课件、图形模拟法、形成性归纳与总结．课时安排：1课时．教学过程： Ⅰ 新课导入

【回顾】：向量数乘运算．（重点回顾几何意义及作图方法）【图片】：

幻灯片1

（展示生活中许多结构与矢量的联系）

【引入】：物理中力的合成与分解．

幻灯片2

（展示物理学中力的合成与分解）

【问题】：力是物理学中的矢量，矢量也就是数学中的向量，那么平面内的任一向量a能否都可以表示成1e12e2的形式呢？

Ⅱ 新课讲授

一、知识点精讲 1．作图分析

幻灯片3 幻灯片4 2．形成结论

幻灯片5 幻灯片6 3．练习

幻灯片7 Ⅲ 课时小结

本节课学习了平面向量的基本定理，注意基本定理的应用与向量的互相表示，这是重点，也是难点，同时还是以后学习向量坐标运算以及空间向量的基础． Ⅳ 课后作业

（两个例题，巩固练习）

（归纳整理向量夹角的定义）

（动态展示向量的合成与分解）

（学生训练）

（归纳整理平面向量基本定理的内容）

T3．课本P102-Ⅴ 教学反思

推荐第7篇：《平面向量基本定理》教学设计

《平面向量基本定理》教学设计

一、内容和内容解析内容：平面向量基本定理。

内容解析：向量不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具。从问题中抽象出向量模型，再通过向量的代数运算获得问题的解决方案或结果，是利用向量解决问题的基本特征。（平面向量的概念、向量的运算、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示是平面向量的主要内容。）平面向量基本定理是向量进行坐标表示，进而将向量的运算（向量的加、减法，向量的数乘、向量的数量积等）转化为坐标的数量运算的重要基础，同时，它还是用基本要素（基底、元）表达和研究事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合）的典型范例，对于人们掌握认识事物的方法，提高研究事物的水平，有着难以替代的重要作用。

二、目标和目标解析

1．理解平面向量的基底的意义与作用，利用平面向量的几何表示，正确地将平面上的向量用基底表示出来。

2．通过不同向量用同一基底表示的探究过程，得出并证明平面向量基本定理。

3．通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念。

4．平面向量基本定理建立了平面上的向量集合与二元有序数组的集合之间的对应关系（这种对应关系建立了非数对象与数（或数组）之间的一种映射），通过这种对应关系，我们可以将向量的运算转化为数的运算，由此达到简化向量的运算，这是数学的一种基本方法。

5．体会用基本要素（元）表示事物，或将事物分解成基本要素（元），由此达到将对事物的研究转化为对基本要素（元）的研究，通过对基本要素的内在联系的研究达到理解并把握事物的思想方法（例如全等）。

三、教学问题诊断分析

1．如何处理共线向量定理与平面向量定理之间的同异点及联系是教学平面向量基本定理时的关键问题，也是理解不同维数的“向量空间”，体会高维空间向低维空间转化的重要机会与途径。因此，教学时应该从共线向量定理的意义与作用入手，探求平面向量用相同向量（基底）统一表示的方法。

2．利用向量加法的平行四边形法则，将平面上任一向量用两个不平行的确定向量（即基底）表示出来是教学中应该关注的另一个关键问题。教学时，让学生听教师讲解是一种处理方法，如果能结合力的分解，启发学生联想到用平行四边形的加法法则进行向量分解，可能会有更大的收获。当然，在进行这个关键问题的教学时，可能会涉及平行投影等知识与方法，可根据不同的学生对象进行取舍。

四、学生学习行为分析

1．学生对向量加、减法及数乘等运算的意义与作用认识不够，容易将向量的运算与数的运算混淆。

2．对于向量的加法、数乘等运算停留在几何直观的理解上，缺乏从代数运算的角度理解向量运算特征的感受，容易将平面向量基本定理的作用仅仅理解为形式上的变换。

3．如果不加启发与引导，学生是不会从“基底”、“元”、“维数”这些角度去理解平面向量基本定理的深刻内涵，也难以认识这个定理在今后用向量方法解决问题中的重要作用。

五、教学支持条件分析

1．学生的认知基础：对平面向量与数量的“同异点及联系”有一个基本认识，会用有向线段表示向量，掌握了向量的加法运算与数乘运算。

2．教学设备：能反映向量加法与数乘运算的计算机软件或图形计算器，尽可能准备实物投影设备。

六、教学过程设计问题1：

任意找一首用简谱谱写的歌曲，你能找到用阿拉伯数字“8”表示的音符吗？为什么？

意图：关注依附于平面向量基本定理上的重要数学思想，让学生明白任何一首曲子都可以用1~7这七个阿拉伯数字作为音符来谱写，为用基底表示向量作铺垫，并由此感受用“元”表达事物的思想。提出这个与数学知识联系不紧密的问题让学生思考的另一个目的，是将将要学习的知识与思想寓于学生感兴趣的问题中，从而激发他们的学习欲望与热情。

师生活动：教师给出一些用简谱谱写的歌曲，提出问题让学生思考，归纳总结出如下结论：任何一首用简谱谱写的曲子都找不出用阿拉伯数字“8”表示的音符，但都可以用1~7这七个阿拉伯数字作为音符谱写出来。

问题2：

两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形之间有什么关系？你是如何得出这个关系的？你能从这个问题中得到一个怎样的结论？

意图：由此，使学生形成三角形的三条边是三角形这个数学对象的三个类似于向量的“基底”的元认知，明确有关三角形（忽略了位置）的问题均可以转化为关于三角形的三条边的问题。希望能将问题1中“事物元分解”的观点迁移到数学对象的认识中来，并由此引出向量的分解与基底表示的探讨。

师生活动：让学生思考讨论，教师帮助学生总结出结论：“如果只考虑形状大小，任何三角形都可由它的边来确定，因此我们可以说边是构成三角形的要素（元），而三角形是三元对象”。任何数学对象都有确定它的基本要素（元），可以通过探究如何用这些要素表示数学对象，达到理解并把握这些数学对象的目的。

问题3：

取一个与数轴方向相同的向量记为a，那么与数轴平行的所有向量与向量a有什么关系？

意图：回顾共线向量定理，体会共线向量的“基底”及用基底表示共线向量的方法，明确平行向量形成“一维空间”，形成对“一元数学对象”的认识，并为探究平面向量基本定理作铺垫。

师生活动：引导学生回顾共线向量定理，教师重新解析共线向量定理的意义与作用。

问题4：

取一个与数轴不平行的向量记为b，那么向量b可以表示怎样的向量？意图：明确任意一个方向上的全体向量均构成“一维向量空间”，为探究选取两个不同方向的向量作平面向量的基底作准备。

师生活动：学生思考问题4与问题3的同异点与联系，教师解析这个问题的意义与作用。

问题5：

对平滑的斜坡上受重力下滑的物体，你能将引起下滑的重力分解成哪几个力？

意图：由重力可以分解为下滑方向的力与垂直斜坡向里的力的和，体会向量的分解，向探究任意向量的分解（即基底表示）过渡。

师生活动：学生说，教师引导并表述结论。

问题6：

取一个与向量a和b都不平行的向量c，那么向量c可以用向量a和b表示出来吗？

意图：得出平面向量基本定理的内容。

师生活动：教师引导，学生独立探究，教师在学生的探究所获得的结论的基础上，总结出平面向量基本定理。

问题7：

利用平面向量基本定理，你能解决下面问题吗？

如图在中, , 与相交于, 求证: .

解析：设向量的终点共线，故有

，则，同时，由三个

。所以，，从而

所以，

。

意图：这个问题是一个相当简单的问题，用相似三角形之间的比例关系就可以解决。这里的目的，是以这个熟悉而且简单的问题，让学生感受平面向量基本定理的重要作用，体会向量的应用，加深对平面向量基本定理的认识。

师生活动：教师启发引导学生思考，给出解决这一问题的严谨过程，给学生一个利用向量解决问题的示范。

教师引导学生总结上述解决问题的方法的步骤，一方面使学生明确这一方法与平面几何方法的差异：由于数量及其运算的引进，使得我们的算法更容易表达和操作了；另一方面为今后学习算法留下案例，引导学生从算法的角度思考并解决问题。

此处要再配一些题目，训练学生以学会用基底表示非基底向量。

问题8：

如果一个问题中没有向量（结合问题7中的平面几何问题考虑），但可以考虑用向量来解决它，你会按怎样的步骤来实现？

意图：加深对平面向量基本定理的理解，将向量方法总结为一个算法。师生活动：学生先思考，让学生发表意见，教师总结出向量方法的算法步骤。

问题9：

你能结合问题

1、问题2与平面向量基本定理，谈谈你的认识吗？意图：进行本节课的小结。

师生活动：学生先谈，教师给出总结：

世界上具有某种共同属性的事物总有决定它的基本要素，如果我们能找出这些要素并用它来表示这一类事物，那么我们就能通过研究这些基本要素来研究这一类事物，这是一种基本方法。平面向量基本定理为我们建立了一个示范，它告诉我们，今后利用向量研究问题，我们关注更多的是基底是什么，如何将有关向量用基底表示出来。当向量用基底表示后，一个向量与其它向量的区别就在于基底前的系数的区别，这使问题中的各种关系在转化为向量间的关系后，又进一步地转化为有序数组之间的关系，从而可以利用数量的运算来研究问题，使问题的解决更容易，更彻底。

七、评价设计：

1．如图所示，D、E、F分别是的重心，请将有什么关系？

的边BC、CA、AB的中点，G是表示出来，并探究

、

之间、、用、2．请用向量的方法，探究三角形内部的其它一些特殊点的性质

推荐第8篇：平面向量教学反思

篇1：从平面向量到空间向量教学反思

淮北实验高级中学李德锋

“空间向量与立体几何”一章是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修2“立体几何初步”的延续，本节是概念教学，概念的展开采用了从平面向量过渡到空间向量的过程，突出了类比思想。进而在了解空间向量概念的基础上，运用空间向量表示直线的方向和平面位置关系的问题，体会向量在研究几何图形中的作用。下面有几点体会：

1.课本开始举的李明从学校到住处的位移，求这个位移用到了三次不在同一个平面内的位移从而进入课题，可引导学生举出更多的实例，墙壁支架上物体所受的力等。让学生体会到生活中很多问题用到空间向量，体会数学来源于实际，提高学生学习兴趣及善于观察的能力。

2.讲授基本概念时，注重类比归纳的方法，从平面向量入手，类比得到空间向量的基本概念，无论是从向量的定义、向量的表示、向量的长度，还是特殊向量（单位向量、相等向量等）、向量与直线等都从平面向量类比到空间向量。这里通过微课的播放让学生进行回顾，过于单调，而微课的呈现也起到了一定的作用。

3.自主学习的时候学生的积极性不是特别高，因为提前给小组布置了相应的任务，有个别小组没有过多关注其他问题，下次不提前告知任务。

4.课堂探究时学生的表现很好，但是对于学生的回答，总结点评不是特别到位。

5.空间向量的基本概念及其性质是后续学习的前提，由于空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算类似，所以，空间向量的教学上要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比、

猜想、归纳、推广的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

篇2：平面向量数量积教学反思

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一、本节课的设想与基本流程：本节课主要是研究向量与向量的内积的问题，也就是向量的数量积。因为之前刚学习了向量的线性运算，所以我就直接从向量的线性运算引入了数量积这一概念，请同学来回答数量积的概念，在此过程中特别强调了夹角的概念，强调要共起点。这是学生容易出问题的地方，因此后面安排的例题就特意考察了这一问题；另外还强调了两个向量的数量积不是一个向量，而是一个数量，这也是它与之前的线性运算的区别；接下来，通过分析平面向量数量积的定义，体会平面向量的数量积的几何意义，从而使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。

二、我的体会：通过本节课的教学，我有以下几点体会：

（1）让学生经历数学知识的形成与应用过程高中数学教学应体现知识的来龙去脉，创设问题情景，建立数学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、结论的形成过程，体会蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的愿望和信心。对于抽象数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，帮助学生克服机械记忆概念的学习方式。

（2）鼓励学生自主探索、自主学习教师是学生学习的引导者、组织者，教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提，教学过程中要发扬民主，要鼓励学生质疑，提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等，要尽可能地让所有学生都能主动参与，提出各自解决问题的方案，并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径。

（3）注重学生数学思维的培养本节通过特殊到一般进行观察归纳、合情推理，探求定义、性质和几何意义。在整个探求过程中，充分利用“旧知识”及“旧知识形成过程”，并利用它探求新知识。这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程。我感觉不足的有：（1）教师应该如何准确的提出问题在教学中，教师提出的问题要具体、准确，而不应该模棱两可。（2）教师如何把握“收” 与“放”的问题何时放手让学生思考，何时教师引导学生，何时教师讲授，这是个值得思考的问题。（3）教师要点拨到位在学生出现问题后，教师要及时点评加以总结，要重视思维的提升，提高学生的数学能力和素质。（4）课堂语言还需要进一步提炼。在教学中，提出的问题，分析引导的话应具体，明确，不能让学生不知道如何回答，当然有些问题我也考虑过该如何问，只是没有找到更合适的提问方法，这方面的能力有待加强。

以上就是本人的教学反思，只有不断地反思，不断地总结才能在今后的教学中取得更好的教学效果，尽快地提高自身的教学水平。

篇3：《从平面向量到空间向量》的教学反思

长安一中任晓龙

本章，是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修

2“立体几何初步”的延续，努力使学生将运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。

一、其教育价值体现在：

空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”

侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。

进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。向量是一个重要的

代数研究对象，引入向量运算，使数学的运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式到向量，运算也从一元到多元。向量又是一个几何对象，本身既有方向，又有长度；是沟通代数与几何的一个桥梁，是一个重要的数学与物理模型，这些也为进一步学习向量和研究向量奠定了一定的基础。

《标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过

程，目的是让学生体会数学的思想方法（类比与归纳），体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题。同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求，是后续学习的前提。

利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系。

新老课程相比，该部分减少了大量的综合证明的内容，重在对于图形的把握，发展空间概念，运用向量方法解决计算问题，这样的调整，将使得学生把精力更多地放在理解数学的细想方法和本质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力，为学生日后的进一步学习，或工作、生活中应用数学，打下更好的基础。

二、教学中应注意的问题

1.作为空间向量的第一课时，应该让学生体会到生活中很多问题用到空间向量，比如课本开始举的李明从学校到住处的位移，求这个位移就

用到了我们空间向量，而且三次位移不在同一个平面上，从而进入课题。2 重要概念的把握，比如“自由向量”这个概念如果能让学生理解透彻，那么很多平面向量的东西平移到空间向量上是很自然的。

平面的法向量及直线的方向向量让学生要注意到直线所在向量的夹角与两异面直线夹角的

不同。

（1）类比、猜想、归纳、推广（让学生经历由平面向空间推广的过程）；

（2）能灵活选择向量法、坐标法与综合法解决立体几何问题。

3.温故知新

空间向量的基本概念及其性质是后续学习的前提，由于空间向量是

平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算

类似，所以，空间向量的教学上要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

推荐第9篇：《平面向量的坐标运算》教学设计

《平面向量的坐标运算》教学设计

【教学目标】

1．理解平面向量的坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量；

2．掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则，并能进行相关运算，进一步培养学生的运算能力；

3．会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；

4．通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力.

【重点难点分析】

本节的重点理解平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，向量平行的充要条件的坐标表示．向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁，向量的坐标表示实际是向量的代数表示，使向量的运算完全代数化，为几何问题的解决又提供了一种方法．

本节的难点是对平面向量坐标表示的理解．向量的坐标表示中，根据平面向量基本定理可选择特殊的基底将向量坐标化．学生理解向量与坐标间对应关系的理解有些困难，由于这里是自由向量，可以规定起点，从而使向量与坐标之间形成一一对应关系，使向量的坐标表示具有完备性．

【教学过程】

1、复习向量的加法和减法，然后把向量放入坐标系中研究。

2、然后给出两点坐标，让学生知道如何求向量的坐标

向量本身的坐标运算B(6.5)A(2,1)AB=终点－起点AB=?

3、让学生理解向量与坐标间对应关系，并分别指出：向量不同坐标之间有什么区别，

向量坐标相同有有什么意义。

4、做对应的练习，使学生掌握如何求向量的坐标。

5、在知道如何求向量的坐标及它的意义后，开始讲解向量间坐标的运算

向量间的坐标运算已知：a(x1,y1),b(x2,y2),则ab(x1x2,y1y2).ab(x1x2,y1y2).a(x1,y1)

6、做对应的练习，使学生掌握向量坐标间的运算。

7、能力提高题。

8、小结。

9、布置作业。

推荐第10篇：平面向量教案

平面向量的综合应用执教人：执教人：易燕子考纲要求： “从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使考纲要求：对数学基础知识的考查达到必要的深度” 。向量以其独特的数形结合和坐标运算，成为衔接代数与几何的最佳纽带，故以向量知识与三角函数、解析几何、数列、不等式等多项内容的交汇作为设计综合性试题考查考生的综合能力，是高考的一个热点，也是重点。教学目标（1）进一步理解平面向量的有关知识；教学目标：（2）了解在平面向量与其他知识交汇点设计试题的几种形式；（3）能综合运用平面向量和相关知识解决问题。教学重点：教学重点：平面向量与其他知识的相互联系。教学难点：教学难点：平面向量与其他知识的相互转化。评述：通过平面向量的运算得出二次不等式，利用恒成立解决。 “ 训练：（2010 北京） a、b 为非零向量， a ⊥ b ”是“函数 f ( x ) = ( xa + b) xb − a ) 为一次 ( 函数”的（） A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件四．与三角知识的交汇例 4．（2009 湖北）已知向量 a = (cos α , sin α ), b = (cos β , sin β ), c = (− 1,0 ) （1）求向量 b + c 的长度的最大值；（2）设 a = r r r r r r r r r r π 4 ，且 a ⊥ (b + c) ，求 cos β 的值. r r r 教学设计：教学设计：一．与集合的交汇例 1.(2009 湖北)已知 P = {a | a = (1, 0) + m(0,1), m ∈ R} ， Q = {b | b = (1,1) + n( −1,1), n ∈ R} 是两个向量集合，则 P I Q = A．〔1，1〕｛｝ ( B.｛〔-1，1〕｝ ) C.｛〔1，0〕｝ r r r r 评述：以平面向量(三角函数)为载体，与三角函数(平面向量)的交叉与综合，是高考命题的一个重要考点，其解法是利用向量的数量积和模的概念等脱去向量的“外衣”，转化为三角函数问题，即可解决。训练：（2009 江苏）设向量 a = (4 cos α ,sin α ), b = (sin β , 4 cos β ), c = (cos β , −4 sin β ) （1）若 a 与 b − 2c 垂直，求 tan(α + β ) 的值；（2）求 | b + c | 的最大值； r r r D.｛〔0，1〕｝ r r r r r uuu uuu uuur uuu uuu uuur r r r uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r | OA |=| OB |=| OC |, NA + NB + NC = 0 ，且 PA • PB = PB • PC = PC • PA, 则点 O，N，P 依次是 ∆ABC 的( ) A.重心外心垂心 C.外心重心垂心 B.重心外心内心 D.外心重心内心变式：若将 Q 集合中的 n 改为 m，结果又如何呢？评述：借助平面向量的坐标运算，把集合的交集运算转化为向量相等，考查了方程思想和等价转化的思想。二．与平面几何的交汇例 2.（2009 宁夏海南）已知 O，N，P 在 ∆ABC 所在平面内，且 r r （3

第11篇：平面向量复习题

平面向量

向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分，是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题，数量为1-2题，均属容易题，但是向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、导数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中，在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用，并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。近年考纲又新增“平面向量在几何中的应用”试题进一步要求我们具备多角度、多方向地分析，去探索、去发现、去研究、去创新，而不是去做大量的模仿式的解题。一个问题解决后，不能匆匆而过，回顾与反思是非常有必要的，以充分发挥每一道题目的价值。除了要重视一题多解外，更要重视一题多变，主动探索：条件和结论换一种说法如何？变换一个条件如何？反过来又会怎么样？等等。只有这样才能做到举一反三，以不变应万变。

一、高考考纲要求

1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．

2．掌握向量的加法与减法．

3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．

4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．

5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．

6．掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式．

二、高考热点分析

在高考试题中，对平面向量的考查主要有三个方面：

其一是主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义，并能正确地进行计算。其二考查向量坐标表示，向量的线性运算。

其三是和其他知识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，考查向量与学科知识间综合运用能力。

数学高考命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交互渗透，在知识网络的交汇点设计试题．由于向量具有代数和几何的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项知识的媒介．因此，平面向量与其他知识的结合特别是与解析几何的交汇、融合仍将是高考命题的一大趋势，同时它仍将是近几年高考的热点内容．

附Ⅰ、平面向量知识结构表

1.考查平面向量的基本概念和运算律

1此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。 1．(北京卷)| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

（）

2．(江西卷)已知向量

A．30°

(1,2),(2,4),||

B．60°

,若()

C．120°

,则与的夹角为

2（）

D．150°

3．(重庆卷)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则

A．

与的夹角为（）

444

4B．arccos C．arccos() D．－arccos()

2555

5

4．(浙江卷)已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则

arccos



（）

A．a⊥e B．a⊥(a－e)



C．e⊥(a－e) D．(a＋e)⊥(a－e)



5 ．(上海卷)在△ABC中，若C90，ACBC4，则BABC 2.考查向量的坐标运算

1．(湖北卷)已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超过5，则k的取值范围是

A．[－4，6]

2．(重庆卷)设向量a=（－1，2），b=（2，－1），则（a·b）（a+b）等于

A．（1，1）

B．（－4，－4）

C．－4

D．（－2，－2）

()

（）

B．[－6，4]

C．[－6，2]

D．[－2，6]

（）



3．(浙江卷)已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是

A．{2，3}

B．{－1，6}

C．{2}

D．{6}

例4．(2005年高考·天津卷·理14)在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则OC=。



5．(全国卷)已知向量OA(k,12),OB(4,5),OC(k,10)，且A、B、C三点共线，则k=.6．(湖北卷)已知向量a7．(广东卷)已知向量a

(2,2),b(5,k).若|ab|不超过5，则k的取值范围是

(2,3),b(x,6),且a//b,则x.

3.平面向量在平面几何中的应用



ABAC

),[0,),则1.O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(|AB||AC|

P的轨迹一定通过△ABC

A．外心

的（） B．内心

C．重心

D．垂心



2．（辽宁卷）已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A,C），则AP等于（）

A．(ABAD),(0,1)

B.(ABBC),(0,

C.(ABAD),(0,1)

D.(ABBC),(0,



3．已知有公共端点的向量a，b不共线，|a|＝1，|b|=2,则与向量a，b的夹角平分线平行的单位向量是.



4．已知直角坐标系内有三个定点A(2,1)、B(0,10)、C(8,0)，若动点P满足：OPOAt(ABAC),tR，

则点P的轨迹方程。

4.平面向量与三角函数、函数等知识的结合

当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上，可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：

①利用向量平行或垂直的充要条件， ②利用向量数量积的公式和性质.1．(江西卷)已知向量(2cos

xxxx

,tan()),(2sin(),tan()),令f(x).224242

4求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间.2．(山东卷)已知向量



m(cos,sin)

和

n

sin,cos,,2



，

且

mn求



cos的值.

28

3．(上海卷)已知函数

f(x)kxb的图象与x,y轴分别相交于点

A、B，

22（,分别是与x,y轴正半

轴同方向的单位向量），函数g(x)

x2x6.f(x)g(x)时，求函数

（1）求k,b的值；（2）当x满足

g(x)

1的最小值.

f(x)

【反思】这类问题主要是以平面向量的模、数量积、夹角等公式和相互知识为纽带，促成与不等式知识的相互迁移，有效地考查平面向量有关知识、不等式的性质、不等式的解法、不等式的应用及综合解题能力。

5.平面向量与解析几何的交汇与融合

由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带。而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点。

平面几何与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型：

1、运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题

运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问

题要简捷的多。

2、运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题

运用向量的数量积，可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系，从而“计算”出所要求的结果。

3、运用平面向量综合知识，探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线的性质。

1．(江西卷)以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA||PB|k，则动点P的轨迹为双曲线；



(),则动点P的轨迹为椭圆； 2

②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若③方程2x

5x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

x2y2x2

1与椭圆y21有相同的焦点.④双曲线

25935

其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）



2．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1),B(1,3)，若点C满足OC0AOB，其中,R，

且

1，则点C的轨迹方程为()

A.C.

3x2y110B.(x1)2(y2)25 2xy0D.x2y50

2．已知平面上一个定点C（－1，0）和一条定直线l：x＝－4，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，



（PQ＋2PC）（PQ－2PC）＝0.

（1）求点P的轨迹方程；



PC的取值范围．（2）求PQ·

第12篇：平面向量结论

向量的有关结论

1.相等向量的模一定相等，模相等的向量不一定是相等向量。

2.相等向量一定是共线向量。

3.零向量的方向是任意的。

4.如果两个向量都等于第三个向量，则这两个向量一定相等。

5.向量常用有向线段来表示，但不能说向量就是有向线段。

6.所有平行向量或共线的有向线段所表示的向量是共线向量。

7.平行于同一向量的两个向量不一定平行。

8.多个首尾相接的向量的和等于以第一个向量的起点为起点，以最后一个向量的终点为终点的向量。

9.向量减法的三角形法则：两个向量的差向量等于将两个向量平移到同一起点后，连接两向量的终点并指向被减向量的向量。

10.向量的三角形不等式ababab（a，b共线时等号成立） 

22abbabcos（其中为a与b的夹角）aa ；cos。11.向量的数量积：a ab

2212.要证明两线段AB=CD，可转化为证明ABCD或ABCD。

13.求向量的模可先求向量模的平方，题目条件中出现向量的模时也常转化为向量的平方。22（模的平方可以实现模与向量数量积的相互转化：aaaax2y2）

14.直线的方向向量u1,k；15.给出OAOB与AB相交,等于已知OAOB过AB的中点;16.给出PMPN0,等于已知P是MN的中点;17.给出APAQBPBQ,等于已知P，Q与AB的中点三点共线;

18.给出以下情形之一：①AB//AC；②存在实数，使ABAC；③若存在实数,，且1，使OCOAOB,等于已知A，B，C三点共线.MAMBAMBMB0,等于已知MBm0,等于19.给出MA,即是直角,给出MAMBm0,等于已知AMB是锐角。已知AMB是钝角, 给出MA20.在平行四边形ABCD中，给出ABADABAD0，等于已知ABCD是菱形;

21.给出ABADABAD，等于已知ABAD；

22222.在ABC中，给出OAOBOC，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的

圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；

三角形三条中线的交点）；23.在ABC中，给出OAOBOC0，等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是OBOBOCOCOA，等于已知O是ABC的垂心（三角24.在ABC中，给出OA

形的垂心是三角形三条高的交点）；ABAC25.在ABC中，给出OPOA()(R)等于已知AP通过ABC的内ABAC

心；26.在ABC中，给出aOAbOBcOC0等于已知O是ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；

第13篇：平面向量教案

平面向量教案

课

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二、复习要求

、向量的概念;

2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;

3、向量运算的运用

三、学习指导

、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。

向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。

2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下:

运算图形语言符号语言坐标语言

加法与减法

记=,=

则=

-==

实数与向量

的乘积

=λ

λ∈R记=

则λ=两个向量

的数量积

·=||||

cos

记=,=

则·=x1x2y1y2

3、运算律

加法:=,=

实数与向量的乘积:λ=λλ;=λμ,λ=

两个向量的数量积:·=·;·=·=λ,·=··

说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如2=

4、重要定理、公式

平面向量基本定理;如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对数数λ1,λ2,满足=λ1λ2,称λ1λλ2为,的线性组合。

根据平面向量基本定理,任一向量与有序数对一一对应,称为在基底{,}下的坐标,当取{,}为单位正交基底{,}时定义为向量的平面直角坐标。

向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A,则=;当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A,B,则=

两个向量平行的充要条件

符号语言:若∥,≠,则=λ

坐标语言为:设=,=,则∥=λ,即,或x1y2-x2y1=0

在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ>0;当与异向时,λ

|λ|=,λ的大小由及的大小确定。因此,当,确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。

两个向量垂直的充要条件

符号语言:⊥·=0

坐标语言:设=,=,则⊥x1x2y1y2=0

线段定比分点公式

如图,设

则定比分点向量式:

定比分点坐标式:设P,P1,P2

则

特例:当λ=1时,就得到中点公式:

实际上,对于起点相同,终点共线三个向量,,,总有=uv,uv=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。

平移公式:

①点平移公式,如果点P按=平移至P\',则

分别称,为旧、新坐标,为平移法则

在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标

②图形平移:设曲线c:y=f按=平移,则平移后曲线c\'对应的解析式为y-k=f

当h,k中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移

利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质

正弦定理,余弦定理

正弦定理:

余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA

b2=c2a2-2cacosB

c2=a2b2-2abcosc

定理变形:cosA=,cosB=,cosc=

正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。

5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的\"程序性\"特点。

四、典型例题

例

1、如图,,为单位向量,与夹角为1200,与的夹角为450,||=5,用,表示。

分析:

以,为邻边,为对角线构造平行四边形

把向量在,方向上进行分解,如图,设=λ,=μ,λ>0,μ>0

则=λμ

∵||=||=1

∴λ=||,μ=||

△oEc中,∠E=600,∠ocE=750,由得:

∴

说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理

例

2、已知△ABc中,A,B,c,Bc边上的高为AD,求点D和向量坐标。

分析:

用解方程组思想

设D,则=

∵=,·=0

∴-6-3=0,即2xy-3=0①

∵=,∥

∴-6=-3,即x-2y1=0②

由①②得:

∴D,=

例

3、求与向量=,-1)和=夹角相等,且模为的向量的坐标。

分析:

用解方程组思想

法一:设=,则·=x-y,·=xy

∵=

∴&nb ∴

即①

又||=

∴x2y2=2②

由①②得或

∴=

法二:从分析形的特征着手

∵||=||=2

·=0

∴△AoB为等腰直角三角形,如图

∵||=,∠Aoc=∠Boc

∴c为AB中点

∴c

说明:数形结合是学好向量的重要思想方法,分析图中的几何性质可以简化计算。

例

4、在△oAB的边oA、oB上分别取点m、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,设线段AN与Bm交于点P,记=,=,用,表示向量。

分析:

∵B、P、m共线

∴记=s

∴①

同理,记

∴=②

∵,不共线

∴由①②得解之得:

∴

说明:从点共线转化为向量共线,进而引入参数是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于s,t的方程。

例

5、已知长方形ABcD,AB=3,Bc=2,E为Bc中点,P为AB上一点

利用向量知识判定点P在什么位置时,∠PED=450;

若∠PED=450,求证:P、D、c、E四点共圆。

分析:

利用坐标系可以确定点P位置

如图,建立平面直角坐标系

则c,D,E

设P

∴=,=

∴

·=3y-1

代入cos450=

解之得,或y=2

∴点P为靠近点A的AB三等分处

当∠PED=450时,由知P

∴=,=

∴·=0

∴∠DPE=900

又∠DcE=900

∴D、P、E、c四点共圆

说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。

同步练习

选择题

、平面内三点A,B,c,若∥,则x的值为:

A、-5B、-1c、1D、5

2、平面上A,B,D,c点满足,连Dc并延长至E,使||=||,则点E坐标为:

A、B、c、D、或

2、点沿向量平移到,则点沿平移到:

3、A、B、c、D、

4、△ABc中,2cosB·sinc=sinA,则此三角形是:

A、直角三角形B、等腰三角形c、等边三角形D、以上均有可能

5、设,,是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:

①-=0

②||-||

③-不与垂直

④·=9||2-4|2中,

真命题是:

A、①②B、②③c、③④D、②④

6、△ABc中,若a4b4c4=2c2,则∠c度数是:

A、600B、450或1350c、1200D、300

7、△oAB中,=,=,=,若=,t∈R,则点P在

A、∠AoB平分线所在直线上B、线段AB中垂线上

c、AB边所在直线上D、AB边的中线上

8、正方形PQRS对角线交点为m,坐标原点o不在正方形内部,且=,=,则=

A、B、c、D、

填空题

9、已知{,|是平面上一个基底,若=λ,=-2λ-,若,共线,则λ=__________。

0、已知||=,||=1,·=-9,则与的夹角是________。

1、设,是两个单位向量,它们夹角为600,

则·=____________。

2、把函数y=cosx图象沿平移,得到函数___________的图象。

解答题

3、设=,=,⊥,∥,试求满足=的的坐

14、若=,-=,求、及与夹角θ的余弦值。

5、已知||=,||=3,和夹角为450,求当向量λ与λ夹角为锐角时,λ的取值范围。

参考答案

1、c

2、B

3、D

4、B

5、D

6、B

7、A

8、

9、

10、

11、

12、y=sinx1

13、

4、=,=,

5、λ且λ≠ 课

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第14篇：平面向量说课稿

平面向量说课稿

我说课的内容是《平面向量的实际背景及基本概念》的教学,所用的教材是人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书数学必修四,教学内容为第74页至76页.

下面我从教材分析, 重点难点突破,教学方法和教学过程设计四个方面来说明我对这节课的教学设想.一教材分析

1地位和作用

向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有着深刻的几何背景,是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后,全等和平行(平移),相似,垂直,勾股定理等就可以转化为向量的加(减)法,数乘向量,数量积运算(运算率),从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数,几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理学科中具有广泛的应用.平面向量的基本概念是在学生了解了物理学中的有关力,位移等矢量的概念的基础上进一步对向量的深入学习.为学习向量的知识体系奠定了知识和方法基础.2教学结构

课本在这一部分内容的教学为一课时,首先从实际例子出发,抽象出向量的概念,并重点说明了向量与数量的区别.然后介绍了向量的几何表示,向量的长度,零向量,单位向量,平行向量,共线向量,相

等向量等基本概念.为使学生更好地掌握这些基本概念,同时深化其认知过程和探究过程.在教学中我将这样安排教学:将本节教学中认知过程的教学内容适当集中,以突出这节课的主题;例题,习题部分主要由学生依照概念自行分析,独立完成.3教学目标

根据本课教材的特点,新大纲对本节课的教学要求,学生身心发展的合理需要,我从三个方面确定了以下教学目标: (1)基础知识目标:理解向量,零向量,单位向量,共线向量,平行向量,相等向量的概念,会用字母表示向量,能读写已知图中的向量.会根据图形判定向量是否平行,共线,相等. (2) 能力训练目标：培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法,培养学生观察问题,分析问题,解决问题的能力。 (3) 情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。

二

重点难点突破

由于本节课是本章内容的第一节课，是学生学习本章的基础.为了本章后面知识的学习，首先必须掌握向量的概念，要抓住向量的本质:大小与方向.所以向量,相等向量的概念,向量的几何表示是这节课的重点.本节课是为高一后半学期学生设计的,尽管此时的学生已经有了一定的学习方法和习惯,但根据以往的教学经验,多数学生对向量的认识还比较单一,仅仅考虑其大小,忽略其方向,这对学生的理解能力要求比较高,所以我认为向量概念也是这节课的难点.而解决这一难点的关键是多用复杂的几何图形中相等的有向线段让学生进

行辨认,加深对向量的理解.

三教学方法

本节课我采用了“启发探究式”的教学方法,根据本课教材的特点和学生的实际情况在教学中突出以下两点: (1)由教材的特点确立类比思维为教学的主线. 从教材内容看平面向量无论从形式还是内容都与物理学中的有向线段,矢量的概念类似.因此在教学中运用类比作为思维的主线进行教学.让学生充分体会数学知识与其他学科之间的联系以及发生与发展的过程.(2)由学生的特点确立自主探索式的学习方法

通常学生对于概念课学起来很枯燥,不感兴趣,因此要考虑学生的情感需要,找一些学生感兴趣的题材来激发学生的学习兴趣,另外,学生都有表现自己的欲望,希望得到老师和其他同学的认可,要多表扬,多肯定来激励他们的学习热情.考虑到学生思维较为活跃,对自主探索式的学习方法也有一定的认识,所以在教学中我通过创设问题情境,启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探究.将学生的独立思考,自主探究,交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程,突出学生的主体作用.四教学过程设计

Ⅰ知识引入阶段---提出学习课题,明确学习目标 (1)创设情境——引入概念

数学学习应该与学生的生活融合起来，从学生的生活经验和已有的

知识背景出发，让他们在生活中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。

由生活中具体的向量的实例引入:大海中船只的航线,中国象棋中”马”,”象”的走法等.这些符合高中学生思维活跃,想象力丰富的特点,有利于激发学生的学习兴趣.(2)观察归纳——形成概念

由实例得出有向线段的概念,有向线段的三个要素:起点,方向,长度.明确知道了有向线段的起点,方向和长度,它的终点就唯一确定.再有目的的进行设计,引导学生概括总结出本课新的知识点：向量的概念及其几何表示。 (3)讨论研究——深化概念

在得到概念后进行归纳,深化,之后向学生提出以下三个问题: ①向量的要素是什么? ②向量之间能否比较大小? ③向量与数量的区别是什么? 同时指出这就是本节课我们要研究和学习的主题. Ⅱ知识探索阶段---探索平面向量的平行向量.相等向量等概念 (1) 总结反思——提高认识

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定0与任一向量平行．长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定零向量与零向量相等．平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要条件.(2) 即时训练—巩固新知

为了使学生达到对知识的深化理解，从而达到巩固提高的效果，我特地设计了一道即时训练题，通过学生的观察尝试，讨论研究，教师引导来巩固新知识。下列命题正确的是( )

A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线

B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

D．有相同起点的两个非零向量不平行 III 知识应用阶段---分析解决问题，归纳解题方法（1）分析解决问题

先引导学生分析解决问题.包括向量的概念,:向量相等的概念.抓住相等向量概念的实质:两个向量只有当它们的模相等,同时方向又相同时,才能称它们相等.进而进行正确的辨认,直至最终解决问题.（2）归纳解题方法

主要引导学生归纳以下两个问题:①零向量的方向是任意的,它只与零向量相等; ②两个向量只要它们的模相等,方向相同就是相等向量.一个向量只要不改变它的大小和方向,是可以任意平行移动的,即向量是自由的.Ⅳ 学习,小结阶段---归纳知识方法,布置课后作业

本阶段通过学习小结进行课堂教学的反馈,组织和指导学生归纳知识,技能,方法的一般规律,为后续学习打好基础.

(1) 知识方法小结在知识层面上我首先引导学生回顾本节课的主要内容,提醒学生要抓住向量的本质:大小与方向,对它们进行类比,加深对每个概念的理解.在方法层面上我将带领学生回顾探索过程中用到的思维方法和数学方法如:类比,数形结合,等价转化等.(2) 布置课后作业

整理课堂笔记,习题2.1第1,2,3题.

第15篇：平面向量基本定理

学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然——苏步青

平面向量基本定理

教材分析：

平面向量基本定理是学习向量的一个非常重要的内容，它是应用平面向量知识解决平面几何问题的一个重要而有效的工具．它可以由数乘向量的几何意义以及向量的矢量的合成与分解导出．同时，平面向量基本定理在几何中又有着及其重要的应用：

一方面，可以利用基本定理将任意一个向量代换成统一的基向量，另一方面，在向量的平面直角坐标系的建立方面更是一个理论基石，从空间来看平面向量基本定理，理，从而提供了线共面与点共面的又一种证明方法——向量法．

有着广泛的应用空间．是学好向量问题的基础，更是利用向

教学目标：

23教学重难点：

让学生在例题中体

增强学生对平面向量基本

定理的应用意识．

教学方法：CAI课件、图形模拟法、形成性归纳与总结．

学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然——苏步青

手，让学生归纳与总结，真正做到训练学生学习、创造、再学习的能力．课时安排：1课时．教学过程： Ⅰ 新课导入

【图片】：以下是生活中的一些钢架结构的建筑物，试说说其结构的特点．

说明：从而说明这种学习是与实际生活紧密联系的．

【情境】

说明：这个合力我们可以用平行四边形法则或三角形法则得到．也就是说一个合力可以沿着两个不同的方向来分解，即一个力可以用FxF1yF2．矢量如此，那么向量呢？



解，那么平面内的任一向量a能否都可以进行合成与分解呢？

说明：提出问题，引入新课，过渡自然． Ⅱ 新课讲授

一、知识点精讲

1．探索发现



【作图】：已知a、b是平面内任意两个向量，求作向量3a2b．

说明：作图配以《几何画板》课件，旨在学习利用“数乘向量”的意义和矢量

2．形成结论

说明：以下两点结论可以由学生归纳得出，同时教师整理板演，将定义、定理标准化．这既检验了学生对所学知识的理解，又训练了学生的分析归纳总结能力．



定义：（两个向量的夹角）设a、b是平面上两个不共线向量，过平面任意一点O，分别作

OB叫做向量a与b的夹角，80．且01亦记作a, b． OAa，OBb，则A



特别地，当0时，a与b同向；



说明：本题是平面向量基本定理的一个应用，其中还要用到平面向量共线定理（数乘向量中

1

学过）．可设AGAD，则BG1BABD，而BEBABC，且B、G、E共线，故



存在实数t，使得BGtBE，再结合平面向量基本定理，取一组基底，将BG和BE都用这个基



学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然——苏步青

2

底来表示，利用向量共线定理即得到．（当然，本题也可以直接设AGGD的形式）

Ⅲ 课时小结

T3．课本P102-Ⅴ 教学反思

第16篇：平面向量线性运算

已知向量共线，求参数的值

三点共线问题

证明三点共线的常见方法有

1.证得两条较短的线段长度之和等于第三条线段的长度

2.利用斜率

3.利用直线方程即由其中两点求出直线方程，再验证第三点在这条直线上

4.利用向量共线的条件

方法4是最优解法

求点或向量的坐标

求两向量的夹角

证明两个向量垂直

第17篇：平面向量的应用

平面向量的应用

平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。下面举例说明。

一、用向量证明平面几何定理

例1.用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。

已知：如图1，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证：∠APB＝90°。

证明：联结OP，设向量OAa，OPb，则OBa且PAOAOPab，

PBOBOPab PAPBb2a2|b|2|a|20

PAPB，即∠APB＝90°。

二、用向量求三角函数值

例2.求值：cos图

1解：如图2，将边长为1的正七边形ABCDEFO放进直角坐标系中，则OA(1，0)，



224466AB(cos，sin)，BC(cos，sin)，CD(cos，sin)，777777 8810101212DE(cos，sin)，EF(cos，sin)，FO(cos，sin)777777246coscos 777

又OAABBCCDDEEFFO0

图

21cos24681012coscoscoscoscos0 777777

86104122cos，coscos，coscos又cos 777777

24612(coscoscos)0777 2461coscoscos7772

三、用向量证明不等式

222例3.证明不等式(a1b1a2b2)2(a1a2)(bb212)

证明：设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，则|a|

与b的夹角为θ，cos

又|cos|

1222则(a1b1a2b2)2(a1a

22)(b1b2) 22a1a2|b|b1b22，2，设aab|a||b|a1b1a2b2aa2122bb2122

当且仅当a、b共线时取等号。

四、用向量解物理题 例4.如图3所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力PA、PB、PC、PD、PE作用于同一点P，求五个力的合力。

解：所求五个力的合力为PAPBPCPDPE，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则POPAPE，由正六边形的性质可知|PO||PA|b，且O点在

PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则PFPBPD，由正六边形的性质可知|PF|3b，且F点在PC的延长线上。

由正六边形的性质还可求得|PC|2b

故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为b2b3b6b，方向与PC的方向

相同。

图3

第18篇：平面向量概念教案

平面向量概念教案

一．课题：平面向量概念

二、教学目标

1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。

2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣

三．教学类型：新知课

四、教学重点、难点

1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。

2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。

五、教学过程

（一）、问题引入

1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？

2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？

3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。

（二）讲授新课

1、向量的概念

练习1 对于下列各量：

①质量 ② 速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 ⑨体积 ⑩温度

其中，是向量的有：②③④⑤

2、向量的几何表示

请表示一个竖直向下、大小为5N的力，和一个水平向左、大小为8N的力（1厘米表示1N）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？

（1）有向线段及有向线段的三要素（2）向量的模

（4）零向量，记作＿＿＿＿；（5）单位向量

练习2 边长为6的等边△ABC中，＝＿＿，与相等的还有哪些？

总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。

2）、用字母表示。

3、相等向量与共线向量（1）相等向量的定义（2）共线向量的定义

六．教具：黑板七．作业八．教学后记

第19篇：第二单元数列、三角函数、平面向量教学设计2

沧源民族中学高三年级数学复习教学设计第六周2011年3月19日星期六

第二单元数列、三角函数、平面向量

第一讲三角函数（6课时）

主备教师肖平聪

一、教学内容及其解析

1、三角函数式的化简与求值：两角和的正弦、余弦、正切；二倍角的正弦、余弦、正切；诱导公式的运用。

2、三角函数的图象与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数图象及其性质。

3、三角形中的三角函数问题：正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的运用。

二、目标及其解析

1、能灵活运用三角函数的有关公式，对三角函数进行变形与化简。

2、理解和掌握三角函数的图像及性质。

3、能用正弦定理、余弦定理解三角形问题。

三、问题诊断分析：

高考中，三角函数主要考查学生的运算能力、灵活运用能力，在客观题中，突出考察基本公式所涉及的运算、三角函数的图像基本性质，尤其是对角的范围及角之间的特殊联系较为注重。解答题中以中等难度题为主，涉及解三角形、向量及简单运算。三角函数部分，公式较多，易混淆，在运用过程中，要观察三角函数中函数名称的差异、角的差异、关系式的差异，确定三角函数变形化简方向。

四教学过程设计

1、三角函数式的化简与求值

问题1两角和的正弦、余弦、正切的公式？

问题2二倍角的正弦、余弦、正切的公式呢？

问题3三角函数的诱导公式呢？

例题（见高考调研二轮重点讲练p30）

变式训练（见高考调研二轮重点讲练p30）

2、三角函数的图象与性质

问题1三角函数的正弦函数、余弦函数、正切函数图象怎么画？

问题2三角函数的正弦函数、余弦函数、正切函数的性质有哪些？

例题（见高考调研二轮重点讲练p31-33）

变式训练（见高考调研二轮重点讲练p31-33）

3、三角形中的三角函数问题

问题1正弦定理、余弦定理是什么？

问题2三角形面积公式怎么用？

例题（见高考调研二轮重点讲练p33）

变式训练（见高考调研二轮重点讲练p33）

五、目标检测：（见二轮复习用书p34）

六、配餐作业：（见二轮复习用书p34-36）热点集训作业和2011届先知专题卷专题.

第20篇：《平面向量加法运算及其几何意义》教学设计

《平面向量加法运算及其几何意义》教学设计

〖教学目标〗

（1）知识与技能：理解掌握向量加法运算，能够运用向量加法三角形法则和平行四边形法则求任意两个向量的和向量；初步尝试用向量方法解决几何问题及实际问题；

（2）过程与方法：经历概念的形式过程，提高数学建设模能力；通过自主探究活动，体验数学发现和创造的过程，提高概括、分析归纳，数学表达等基本数学思维能力；（3）情态与价值：通过师生互动，生生互动的教学活动，形成学生的体验性认识，体会成功的愉悦，提高学习数学的兴趣。形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。

〖教学重点、难点〗

教学重点：理解向量加法的意义，掌握向量加法三角形法则和平行四边形法则；教学难点：向量加法概念的形成过程；

〖教学方法与教学手段〗教学方法：启发探究式教学教学手段：多媒体辅助教学

〖教学过程〗

一、设置情境、尝试探求 1．设置问题情境

今年夏天，我国某些地区洪灾泛滥，某城外有一条东西流向的大河，河两岸高筑堤坝，河宽4km, 水深10km，当时河水流速为4km/h, 有一天，三名巡防队员在巡逻中发现正对岸堤坝有一处决口，情急之下，三人跳上船以8km/h 的速度直向决口处驶去，同学们想一想，如果船不改变方向，他们能否准确、及时到达出事地点？

2、学生自主探究与研讨学生会直观猜测：不能及时准确及时到达（有了猜测就有探式的欲望）

V船

教师引导学生：能否运用你所学的知识进行说明；

V水

学生得出：船的实际速度应是船行驶速度和水的速度的合成。如图

教师小结：速度是一个看矢量，矢量的合成与数量相加不同，要同时考虑方向。提问，根据已有知识你还能举出一些有关矢量合成的例子吗？

3、师生共同探究

学生举例：（1）位移的合成（2）力的合成；（1）如图：某对象从A点经B点到C点，两次位移点的位移结果相同。

，

的结果，与A点直接到C

（2）如图：表示橡皮条在两个力F

1、F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同。

教师：两个既有大小又有方向的量的合成运算，物理上叫做矢量的合成，在数学上叫做向量的加法。

二、形成概念，归纳方法。

向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

1、提问：对于平面上任意两个向量，如何定义它们的加法？同学们任意作出两个向量试一试。

2、学生自主探究学生可能答案：

（1）共起点的两个向量相加，用平行四边形法则；

（2）首尾相接的两个向量相加，模仿位移的合成，作出和向量；（3）任意两个向量相加，先平移到共点，再作出和向量；（4）共线的两个向量相加（同向或反向）

3、交流、研讨、辩析投影同学们的研究成果，引导学生对几种作图方法进行辩析，它们有什么共同和不同之处？如何理解“任意”？和向量的方向和大小有何变化？能否对作图过程进行语言表达。

4、归纳总结

在师生、生生的互动交流中，形成以下共识：

一、向量加法的定义

1、三角形法则：

已知非零向量a、ｂ.在平面内任取一点和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ

，作

=a，

=ｂ，则向量

叫做a与ｂ的

a＋ｂｂ

ｂ

位移合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型

2平行四边形法则

以同一点O为起点的两个已知向量a、ｂ，为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线就是与的和。

力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。对于零向量与任一向量我们规定：

提问：你能从向量加法的几何意义，说明规定的合理性吗？

思考：当在数轴表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？ a a

ｂｂ

a+b

探究：|+|与||+||的大小关系：

当向量与不共线时，|+|

（1）|+|=||+|| （2）|+|=||-||（或|+b|=||-||）

三、实践探索形成能力

1、探究：数的加法满足交换侓和结合侓，即对任意a、b a+b=b+a (a+b)+c= a+(b+c) 任意向量、的加法是否也满足交换侓和结合侓？（1）让学生通过画图探索验证：+=+ （2）提问：你能否验证：

有

(+) +=+ (+)

小结：向量的加法满足交换律：+=+ 向量的加法满足结合律：(+) +=+ (+)

2、练习P93

3、4题

3、例2：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图2.2-12所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h。

（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）（引导学生正确理解题意，把问题化归为向量的加法运算。注意规范学生的解题格式。）

4、巩固作业

（1）P103习题2。2：第２，３，4（1）（2）（3）题（2）选做题：在△ABC中，求证：

四、归纳小结：内化知识

通过本节课的学习，同学们谈谈自己体会最深刻的是什么？

1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；

３、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.

《平面向量教学设计.doc》

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