线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题及答案

线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案

1．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．

(1)求证：BC⊥AD；

2如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC． （1）求证：AB⊥BC；

3.如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB．

(第1题)

（1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点A到平面PCE的距离．

4.

如图2-4-2所示，三棱锥S—ABC中，SB=AB，SC=AC，作AD⊥BC于D，SH⊥AD于H，

求证：SH⊥平面ABC.

5.如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点.

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB=BC，求证：BD⊥平面SAC.

6.证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

D1 C1 A1 B1 D C A B ， 7.如图所示，直三棱柱侧棱，侧面

中，∠ACB=90°，AC=1，

的两条对角线交点为D，

的中点为M.求证：CD⊥平面BDM.

8.在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，

作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．

9.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．

10.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．

(1)求证：平面EDB⊥平面EBC； (2)求二面角E－DB－C的正切值.

11：已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB为圆O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC平面PBC。

12..如图1-10-3所示，过点S引三条不共面的直线，使∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，若截取SA=SB=SC.求证：平面ABC⊥平面BSC

2 a, 13.如图1-10-5所示，在四面体ABCD中，BD= AB=AD=BC=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.

14.如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE=AC=2BD，M是AE的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．

15.如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点．

(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．

16.如图1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1 的中点，AC交BD

平面MBD 于点O，求证：AO1

答案与提示：

1.证明：(1)取BC中点O，连结AO，DO．

∵△ABC，△BCD都是边长为4的正三角形，

∴AO⊥BC，DO⊥BC，且AO∩DO＝O， ∴BC⊥平面AOD．又AD平面AOD， ∴BC⊥AD．

2.【证明】作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC，

又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC，而SA在平面SBC上的射影为SB，∴BC⊥SB，又SA∩SB=S，

∴BC⊥平面SAB．∴BC⊥AB．

3.【证明】PA⊥平面ABCD，AD是PD在底面上的射影，

又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴CD⊥面PAD，∴∠PDA为二面角P—CD—B的平面角，

∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取Rt△PAD斜边PD的中点F，则AF⊥PD，∵AF 面PAD ∴CD⊥AF，

又PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD，取PC的中点G，连GF、AG、EG，则GF ∴GF AE∴四边形AGEF为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC又EG 平面PEC，

∴平面PEC⊥平面PCD． 12CD又AE

12CD， （2）【解】由（1）知AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面PEC，过F作FH⊥PC于H，则FH⊥平面PEC ∴FH为F到平面PEC的距离，即为A到平面PEC的距离．在△PFH与 △PCD中，∠P为公共角，

FHPF而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴CDPC，设

22AD=2，∴PF=2，PC=PDCD8423，

26623∴A到平面PEC的距离为3． ∴FH=2

34.【证明

】

取

SA

的

中

点

E

，

连接EC，EB.∵SB=AB,SC=AC, ∴SA⊥BE,SA⊥CE.又∵CE∩BE=E, ∴SA⊥平面BCE.∵BC平面BCE 5.证明：(1)因为SA=SC，D为AC的中点，

所以SD⊥AC.

连接BD.在Rt△ABC中，有AD=DC=DB，

所以△SDB≌△SDA，

所以∠SDB=∠SDA，

所以SD⊥BD.

又AC∩BD=D，

所以SD⊥平面ABC.

(2)因为AB=BC，D是AC的中点，

所以BD⊥AC.

又由(1)知SD⊥BD，

所以BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，

所以BD⊥平面SAC.6.证明：连结AC

BDAC

AC为A1C在平面AC上的射影

A1C平面BC1D同理可证ACBC11

BDA1C

7.证明：如右图，连接

∵

、，∴

、

，则

.

为等腰三角形.

..

为直角三角形，D为.，

∴

.

又知D为其底边

∵

又

，，∴

的中点，

∴ ，

∴ .∵ ，，的中点，

∴

又

∵ ⊥平面BDM.

、

.即CD⊥DM.

为平面BDM内两条相交直线，

∴ CD 8.证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF． ∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB． 又CFDFF，∴AB平面CDF．

∵CD平面CDF，∴C． D

又CDBE，BEABB，

∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，

∴ AH平面BCD．

9.证明：如图，已知PA=PB=PC=a，

由∠APB=∠APC=60°，△PAC，△PAB为正三角形，

则有：PA=PB=PC=AB=AC=a，

取BC中点为E

直角△BPC中，

，

，

由AB=AC，AE⊥BC，

直角△ABE中，

在△PEA中，

∴

，

，

，

，

， ，

平面ABC⊥平面BPC .10.证明：(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°．同理∠C1EC＝45°．∴DEC90，即DE⊥EC．

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE平面D1DCC1，

∴BC⊥DE．又ECBCC，∴DE⊥平面EBC．∵平面DEB过DE，∴平面DEB⊥平面EBC．

(2)解：如图，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∵面ABCD⊥面D1DCC1，∴EO⊥面ABCD．过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF，∴EF⊥BD．∠EFO为二面角E－DB－C的平面角．利用平面几何知识可得OF＝15，

(第10题)

5又OE＝1，所以，tanEFO＝．

11.（1）【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径

∴BC⊥AC；

又PA⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC． ∵BC 平面PBC，

∴平面PAC⊥平面PBC．

.

12.证明：如图1-10-4所示,取BC的中点D，连接AD，SD.由题意知△ASB与△ASC是等边三角形，则AB=AC， ∴AD⊥BC,SD⊥BC.令SA=a,在△SBC中，SD=

a, 又AD=

=

a, ∴AD2+SD2=SA2,即AD⊥SD.又∵AD⊥BC，∴AD⊥平面SBC.∵AD平面ABC， ∴平面ABC⊥平面SBC.13.证明：取BD的中点E，连接AE，CE.则AE⊥BD,BD⊥CE.在△ABD中，AB=a,BE= BD=

, ∴AE=

,同理,CE=

.在△AEC

中

，

AE=EC=

∴AC2=AE2+EC2，即AE⊥EC.∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面BCD.又∵AE平面ABD， ∴平面ABD⊥平面BCD 14.证明： ((1)取EC的中点F，连接DF．

∵ CE⊥平面ABC，

∴ CE⊥BC．易知DF∥BC，CE⊥DF．

∵ BD∥CE，∴ BD⊥平面ABC．

在Rt△EFD和Rt△DBA中，

∵

，

，

,AC=a,

∴ Rt△EFD≌Rt△DBA．故DE=AD．

(2)取AC的中点N，连接MN、BN，MNCF．

∵ BDCF，∴ MNBD．N平面BDM．

∵ EC⊥平面ABC，∴ EC⊥BN．

又∵ AC⊥BN，∴ BN⊥平面ECA．

15.证明：

又∵ BN平面MNBD，∴平面BDM⊥平面ECA． (3)∵ DM∥BN，BN⊥平面ECA，∴ DM⊥平面ECA．

又∵ DM平面DEA，

∴平面DEA⊥平面ECA． (1)取PD的中点E，连接AE、EN，

则

，

故AMNE为平行四边形，∴ MN∥AE．

∵ AE平面PAD，MN平面PAD，

∴ MN∥平面PAD．

(2)要证MN⊥CD，可证MN⊥AB．

由(1)知，需证AE⊥AB．

∵ PA⊥平面ABCD，

∴ PA⊥AB．又AD⊥AB，

∴ AB⊥平面PAD．

∴ AB⊥AE．即AB⊥MN．

又CD∥AB，∴ MN⊥CD．

(3)由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可．

∵ PA⊥平面ABCD，∴ PA⊥AD．

又∠PDA=45°，E为PD的中点．

∴ AE⊥PD，即MN⊥PD．

又MN⊥CD，

∴ MN⊥平面PCD．

16.证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1平面A1ACC1 ∴DB⊥AO1．

设正方体棱长为a，则AO23a2，MO2324a21．

在Rt△AC11M中，A29221M4a．∵AO1MO2A1M2，A1OOM． ∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

∴

9.4线线线面垂直

线面,面面垂直

线面 线线面面平行垂直方法总结

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