线线,线面垂直:
一.知识点:
1.证明直线与直线的垂直的思考途径:转化为线面垂直;
2.证明直线与平面垂直的思考途径
(1)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
(2)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.逆向思维的运用
二.基础练习
1.“直线l垂直于平面内的无数条直线”是“l⊥”的()
(A)充分条件 (B)必要条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
2.如果一条直线l与平面的一条垂线垂直,那么直线l与平面的位置关
系是()
(A)l (B)l⊥ (C)l∥(D)l或l∥
3.填空题
(1)过直线外一点作直线的垂线有
个;平行线有条;平行平面有个.
(2)过平面外一点作该平面的垂线有个;平行线有条;平行平面有个.
4.直线l与平面内的两条直线都垂直,则直线l与平面的位置关系是
() (A)平行(B)垂直(C)在平面内 (D)无法确定
5.下面各命题中正确的是 ()
(A)直线a,b异面,a,b,则∥;
(B)直线a∥b,a,b,则∥;
(C)直线a⊥b,a⊥,b⊥,则a⊥;
(D)直线a,b,∥,则a,b异面.
6.对于已知直线a,如果直线b同时满足下列三个条件:
①与a是异面直线;②与a所成的角为定值θ;③与a距离为定值d.
那么这样的直线b有 ()
(A)1条(B)2条(C)3条 (D)无数条
7.矩形ABCD所在平面外一点P,且PA⊥平面AC,连PB、PC、PD,E、
F分别是AB、PC的中点
(1)求证:CD⊥PD;
(2)求证:EF∥平面PAD
8.如图BC是Rt⊿ABC的斜边,过A作⊿ABC所在
平面垂线AP,连PB、PC,过A作AD⊥BC于D,连PD,
那么图中直角三角形的个数是()
(A)4个 (B)6个
(C)7个 (D)8个
9.直线a与平面斜交,则在平面内与直线a垂直的直线()(A)没有(B)有一条 (C)有无数条 (D)内所有直线 10.填空题
(1)过长为a的正六边形ABCDEF在平面内,PA⊥,PA=a,则P
到CD的距离为,P到BC的距离为.(2)AC是平面的斜线,且AO=a,
AO与成60º角,OC,AA'⊥于A', ∠A'OC=45º,则A到直线OC的距离
是,∠AOC的余弦值是.
A11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:A1C⊥平面BC1D.
B1
12.如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点,
(I)求证:AC⊥BC1;
(II)求证:AC 1//平面CDB1;
(III)求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值.C13.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面ABC中,
。
CA=CB=1,∠BCA=90,棱AA1=2,M,N分别是 M A1B1,A1A的中点。 A1
(1)求BN的长;
(2)求BA1 ,B1C夹角的余弦值; (3)求证A1B⊥C1MN
A
′D
D1
B1
B
A
线面垂直练习
1.如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC, ∠ABC=90°,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,
求证:(1)BC⊥平面PAB;(2)AE⊥平面PBC;
(3)PC⊥平面AEF.3.在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD正三角形,平面VAD⊥底面ABCD. B(Ⅰ)证明AB⊥平面VAD;
(Ⅱ)求面VAD与面VDB所成的二面角的大小.
10.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB3,
P
AD2,PA2,PD∠PAB60.
证明AD平面PAB;
B
D
面面垂直
一.知识点:证明平面与平面的垂直的思考途径:转化为线面垂直.二.基础练习: 1.填空题:
(1)过平面外一条直线的平面和平面都垂直,则平面的个数可以是.
(2)平面平面,∩=l,点P∈,点Q∈l,那么PQ⊥l是PQ⊥的条件.
(3)平面⊥平面,a,b,且b∥,a⊥b,则a和的位置关系是.
2.如图,P是ABC所在平面外的一点,且PA平面ABC,平面PAC平面PBC.求证BCAC.
3.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB
DAB90,PA底面ABCD,且∥DC,
PA=AD=DC=
AB=1,M是PB的中点。 2
证明:面PAD⊥面PCD; 3.已知四棱锥P—ABCD,底面ABCD是菱形,
DAB60,PD平面ABCD,PD=AD,
点E为AB中点,点F为PD中点.(1)证明平面PED⊥平面PAB;
(2)求二面角P—AB—F的平面角的余弦值.
面面垂直练习
1.如图,四棱锥P-ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形, ∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面积ABCD,PA=3.证明:平面PBE⊥平面PAB;
2.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示,截面为
A1B1C1,BAC90,A1A平面ABC
,A1A,
D为BC中点. ABAC2AC112,
证明:平面A1AD平面BCC1B1;
A1
B
3.在矩形ABCD中,AB=2BC,PQ分别为线段AB,CD中点
C
EP^平面ABCD
(1)求证:AQ平面CEP (2)求证:平面AEQ^平面DEP (3)若EP=AP,求二面角Q-AE-P大小
P A
E
C Q D