第五章 大数定律与中心极限定理
§5.１ 大数定律
在实践中，人们发现事件发生的“频率”具有稳定性。在讨论数学期望时，又看到在大量独立重复试验时，“平均值”也具有稳定性。大数定律正是以严格的数学形式证明了“频率”和“平均值”的稳定性，同时表达了这种稳定性的含义，即“频率”和“平均值”在依概率收敛的意义下逼近某一常数。
一、切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望有下列切比雪夫不等式
,方差
，则对任意正数，证明：（仅对连续性随机变量加以证明，离散型留给同学课下练习） 设，则
或
例1利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望之差大于3倍标准差的概率。
解：由切比雪夫不等式 令
，有 。
例2 设随机变量X的方差为2，试根据切比雪夫不等式估计。
解：由切比雪夫不等式
令，有
二、大数定律
（一）重要概念及性质
1.独立同分布的随机变量列
。 如果对任何是相互独立的，那么称随机变量列
都有共同的分布，则称是相互独立的。此时，若所有的是独立同分布的随机变量列。
2．依概率收敛 设
为随机变量列，若存在随机变量
或则称随机变量列{}依概率收敛于随机变量
，对于任意
，有
，并用下面符号表示：
或
注：依概率收敛与高等数学中的收敛是不同的。
在高等数学中，{，可找到 在概率论中，{意味着对任意给定的
}为确定性变量，若
的，都有
，这是指对任意给定的，而不会有例外。 }依概率收敛于
，
，对所大于
}为非确定性变量（随机变量），{
，当充分大时，事件“
”发生的概率很大，接近于1，但并不排除事件“” 的发生，只不过是它发生的可能性很小而已。
因此，依概率收敛的条件比高等数学中的收敛的条件要弱，具有某种不确定性。
3.大数定律
设{}为一随机变量列，并且
存在，令
，若
则称随机变量列{}服从大数定律。
（二）重要定理
1.（切比雪夫大数定律）
设随机变量列所界；
相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C，则对于对任意的正数。
，有证明：设，则代入切比雪夫不等式即得。
特殊情形：若
具有相同的数学期望
，则上式成为 2.贝努里大数定律 设是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生
。
，则的概率，则对于对任意的正数，有证明：设
令而
代入切比雪夫不等式有 所以由极限的夹逼准则得
3.辛钦大数定律 设
，
从
是相互独立同分布的随机变量序列，且
，则
例3设{}为相互独立且同分布的随机变量序列，并且
，
的概率分布为
试证{}服从大数定律。
证明：因为 由辛钦大数定律可知{例4设{
}服从大数定律。
}为相互独立的随机变量序列，且
试证{}服从大数定律。
，依切比雪夫大数定律 证明：由题意可知 得随机变量序列{
}服从大数定律。
