18．1 勾股定理
（二）
教学时间 第二课时
三维目标
一、知识与技能
1．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法． 2．运用勾股定理解决一些实际问题．
二、过程与方法
1．经历用拼图的方法验证勾股定理，•培养学生的创新能力和解决实际问题的能力． 2．在拼图的过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识．
三、情感态度与价值观
1．利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大贡献，•借助此过程对学生进行爱国主义的教育．
2．经历拼图的过程，并从中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣．
教学重点
经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值．
教学难点 经历用不同的拼图方法证明勾股定理．
教具准备 每个学生准备一张硬纸板;多媒体课件演示．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
活动1 问题：我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式（a+b）（a-b）=a-b；完全平方公式（a±b）=a±2ab+b是非常重要的内容．•谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？
设计意图：
回忆前面的知识，由此得出用拼图的方法推证数学结论非常直观，上节课已经通过数格子的方法大胆猜想出了一个命题：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．但我们不能对所有的直角三角形一一验证，因此需从理论上加以推证，学生也许会从此活动中得到启示，采用类似拼图的方法证明．
师生行为：
学生动手活动，分组操作，然后在组内交流． 22
222 教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助、指导学生完成任务，得出两个公式的几何意义．
在活动1中教师应重点关注：
①学生能否积极主动地参与活动；
②学生能否想到用拼图的方法，通过计算拼图的面积而得出两个公式的几何意义；
③学生能否从这两个公式的几何意义联想到直角三角形的三边关系是否也可以类似证明．
生：这两个公式都可以用多项式乘以多项式的乘法法则推导，如下：
（a+b）（a-b）=a-ab+ab-b=a-b，
所以（a+b）（a-b）=a-b；
（a+b）=（a+b）（a+b）=a+ab+ab+b=a+2ab+b；
（a-b）=（a-b）（a-b）=a-ab-ab+b=a-2ab+b；
所以（a±b）=a±2ab+b．
生：还可以用拼图的方法说明上面的公式成立．例如： 2
222
22
2
22
2
2
2
2
2
22
2
2
2
(1) (2) 图（1）中，阴影部分的面积为a-b，用剪刀将（1）中的长和宽分别为（a-b）和b•的长方形剪下来拼接成图（2）的形式便可得图（2）中阴影部分的面积为（a+b）（a-b）．•而这两部分面积是相等的，因此（a+b）（a-b）=a-b成立．
生：（a+b）=a+2ab+b也可以用拼图的方法，通过计算面积证明，如图: 22
2
2
2
2
2
(3)
我们用两个边长分别为a和b的正方形，两个长和宽分别a和b•的长方形拼成一个边长为（a+b）的正方形，因此这个正方形的面积为（a+b），也可以表示为a+2ab+b，所以可得（a+b）=a+2ab+b．
师：你能类似的方法证明上一节猜想出的命题吗？
二、探索研究
活动2 我们已用数格子的方法发现了直角三角形三边关系，拼一拼，完成下列问题：
（1）在一张纸上画4个与图（4）全等的直角三角形，并把它们剪下来． 22
2222
(4) (5)
（2）用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c•为边长的正方形，你能利用拼图的方法，面积之间的关系说明上节课关于直角三角形三边关系的猜想吗？
（3）有人利用图（4）这4个直角三角形拼出了图（5），•你能用两种方法表示大正方形的面积吗？
大正方形的面积可以表示为：__________，又可以表示为__________．
对比两种表示方法，你得到直角三角形的三边关系了吗？
设计意图：
让学生通过拼图计算面积的方法证明直角三角形的三边关系，培养学生的动手操作能力和创新意识．
师生行为：
学生在独立思考的基础上，以小组为单位交流自己拼图的结果．
教师深入小组参与活动，倾听学生的交流，并帮助、指导学生完成任务，用计算面积的方法比较得出直角三角形的三边关系．
在本次活动中，教师应关注：
①能否通过拼图计算面积的方法得到直角三角形的三边关系． ②学生能否积极主动地参与拼图活动．
生：我也拼出了图（5），而且图（5）用两种方法表示大正方形的面积分别为
（a+b）或4³ 化简得：a+b=c．
由于图（4）的直角三角形是任意的，因此a+b=c，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
生：我拼出了和这个同学不一样的图，如图（6）大正方形的边长是c，•小正方形的边长为a-b，利用这个图形也可以说明勾股定理．•因为大正方形的面积也有两种表示方法，既可以表示为c，又可以表示为
222
22222
11222
ab+c，由此可得（a+b）=4³ab+c． 2212
ab³4+（b-a）．对比两种表示方法可得 2c=212222
ab³4+（b-a）．化简得c=a+b， 2同样得到了直角三角形的三边关系．
(6)
师：这样就通过推理证实了命题1的正确性，•我们把经过证明被确定为正确的命题叫做定理．命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理．
我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它为了弘扬我国古人赵爽的证法，大家从中一定会领略到我国古代数学家的智慧．
活动3 图（6）这个图案和3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的图案一模一样，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽利用弦图证明命题1•（即勾股定理）的基本思路如下，如图（7）．
把边长为a，b的两个正方形连在一起，它的面积为a+b，另一方面这个图形由四个全等的直角三角形和一个正方形组成．把图（7）中左、右两个三角形移到图（9）所示的位置，就会形成一个c为边长的正方形．
因为图（7）与图（9）都是由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等．
因此a+b=c．
上面的证法是我国有资料记载的对勾股定理的最早证法．“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．它是我国古代数学的骄傲．正因如此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．
设计意图：
了解我国古代数学成就，为我国数学未来的发展立志作出贡献，培养学生的爱国主义精神．
师生行为：
在教师的引导下进一步体会我国古代数学家证明勾股定理的聪明、智慧．
师：在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的．在西方，一般认为这个定理是由毕达哥拉斯发现的，所以人们称这个定理为毕达哥拉斯定理．
1940年，国外有人收集了勾股定理的365种证法，编了一本书．其实，•勾股定理的证法不止这些，作者之所以选用了365种，也许他是默默地想让人注意，•勾股定理的证明简直到了每天一种的地步．
生：老师，我在查资料时，还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统有关系，是这样22
222吗？
师：是的．1876年4月1日，美国俄亥俄州共和党议员加菲尔德，颇有兴趣地在《新英格兰教育日志》上发表了提出的一个勾股定理的证明．据他说，这是一种思维体操，并且还调皮地声称，他的这个证明是得到两党议员“一致赞同的”．由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话．
生：能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗？
师：可以，如下图所示，这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形对比一下，有联系．
生：总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半．
师：同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理．
生：上面的图形整体上拼成一个直有梯形．所以它的面积有两种表示方法，既可以表示为112（a+b）²（a+b），又可以表示为ab³2+c．对此两种表示方法可得 22112222（a+b）²（a+b）=ab³2+c．化简，可得a+b=c． 22 师：很好．同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法．
活动4
议一议：
观察上图，用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否满足a+b=c．
2
2
2 设计意图：
前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系，那么锐角三角形或钝角三角形三边是否也满足这一关系呢？学生通过数格子的方法可以得出：如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边a，b，c不满足a+b=c．通过这个结论，学生将对直角三角形的三边的关系有进一步的认识．
师生行为：
学生分小组讨论交流，得出结论：
教师提出问题后，组织讨论，启发，引导．
此活动教师应重点关注：
①能否积极参与数学活动；
②能否进一步体会到直角三角形非常重要的三边关系．
师：上图中的△ABC和△A′B′C′是什么三角形？
生：△ABC，△A′B′C′在小方格纸上，不难看出△ABC中，∠BCA>90°；△A′B′C′中，∠A′B′C′，∠′B′C′A′，∠B′A′C′都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A′B′C′是锐角三角形．
师：△ABC的三边上“长”出三个正方形，•谁为帮我数一个每个正方形含有几个小格子．
生：以b为边长的正方形含有9个小格子，所以这个正方形的面积b=9•个单位面积；以a为边长的正方形中含有8个小格子，所以这个正方形的面积a=8个单位面积，以c为边长的正方形中含有29个小格子，所以这个正方形的面积c=29个单位面积．
a+b=9+7=16个单位面积，c=29个单位面积，所以在钝角三角形ABC中a+b≠c．
师：锐角三角形A′B′C′中，如何呢？
生：以a为边长的正方形含5个小格子，所以a=5个单位面积；以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b=8个单位面积；以c为边长的正方形含9个小格子，所以a=9个单位面积．由此我们可以算出a+b=5+8=13个单位面积．在锐角三角形A′B′C′中，a+b≠c．
师：通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角三角形中，a，b，•c三边才有a+b=c（其中a、b是直角边，c为斜边）这样的关系．
生：老师，我发现在钝角三角形ABC中，虽然a+b≠c，但它们之间也有一种关系a+bc，它们恒成立吗？ 22
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2 师：这位同学很善于思考，的确如此，同学们课后不妨验证一下，你一定会收获不小．
三、课时小结
活动5 你对本节内容有哪些认识？会构造直角三角形，并理解构造原理，深刻理解勾股定理的意义．
设计意图：
这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，从而使小结活动不流于形式而具有实效性，为学生提供更好的空间以梳理自己在本节课中的收获．
小结活动既要注重引导学生体会勾股定理独特的证明方法又要从能力，情感态度方面关注学生对课堂的整体感受．
师生行为：
由学生小组讨论小结．
在活动5中，教师应重点关注：
（1）不同层次的学生对本节知识的认同程序；
（2）学生要从我国古人对数学的钻研精神和聪明才智中得到启示，•树立学好数学的信心．
板书设计
18．1 勾股定理
（二） 1．用拼图法验证勾股定理
（1）
由上图得（a+b）= 即a+b=c； 222
212
ab³4+c 2（2）
由上图可得c= 即a+b=c
2．介绍“赵爽弦图”
活动与探究
如右图，木长二丈，它的一周是3尺，生长在木下的葛藤缠木七周，•上端恰好与木刘，问葛藤长多少？
过程：从表面上看，这道题与勾股定理无关系．但是如果你用一张直角三角形的纸片约一支圆柱形铅笔上缠绕，就会发现；这里的葛藤之长相当于直角三角形的斜边．
结果：根据题意，可得一条直角边（即高）长2丈即20尺，•另一条直角边（即底边）长7³3=21（尺），因此葛藤长设为x尺，则有x=20+21=841=29，所以x=29•尺，即葛藤长为29尺．
备课资料
一、《原本》一书中勾股定理的证明
我们知道，勾股定理的证明方法有五百余种．现存的最古老的证明，载于欧几里得的《原本》一书中，它随《原本》在世界广泛流传而流传，成为二千年来《几何学》教科书中通用证法．
如图，在Rt△ABC各边上向外作正方形ABED，BCGK，CAFH．连结CD，FB．
因为AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠CAD=90°+∠CAB，所以△FAB≌△CAD， 作CL∥AD．•因为S△FAB=
2
22
2222212ab³4+（b-a） 21FA²FH．（FH为△FAB的AF边上的高）． 2而S正方形CAFH=FA²FH．所以S正方形CAFH=2S△FAB．
又因为S△CAD =1AD²DL（DL为AD边上的高），而S长方形ADLM=AD²DL， 2所以S长方形ADLM=2S△CAD；
综上所述，可得S正方形CAFH=S长方形ADLM．
同理可证S正方形BCGK=S长方形BELM，
所以S正方形ABED=S长方形ADLM+S长方形BELM=S正方形CAFH+S正方形BCGK，即AB=AC+BC．
其实，欧几里得《原本》中的证明并不简单，简明的证明要数公元三世纪我国数学家赵爽给出的勾股圆方图．即这节课我们介绍的验证勾股定理的第二种拼图．
二、勾股定理的推广
如果把勾股定理“直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和”中的平方，理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理还可以推广．比如，把由直角三角形三边所构作的三个正方形，推广为以三边为直径的半圆，结论仍然成立，即以斜边为直径的半圆，其面积等于分别以两条直角边为直径所作的半圆的面积之和（如图）．证明如下：
2
2
2
222
c=a+b 444c2a2b2 即（）＝（）＋（）．
222 因为c=a+b．等式两边同乘，得222 所以111cab（）2＝（）2＋（）2． 222222 如果将上图中斜边上的半圆沿斜边翻一个身，成为右图的样子，不难证明“两个阴影部分的面积之和正好等于直角三角形的面积．”
这两个阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙形”．
