曲线运动
【第一部分】知识点分布
1.物体做曲线运动时速度方向的判定。【重点】 2.物体做曲线运动的条件。【难点】
【第二部分】直线运动高频常考知识点总结
一、几个重要理论依据
1．理解曲线运动的概念、特点以及物体做曲线运动的条件，会在平面坐标系内分析运动的合成与分解。
2．通过交流与讨论，经历蜡块速度的研究过程，体会运动的合成所用的方法。 3．经历对曲线运动的探究过程，体验数学在研究物理问题中的重要性。
二、基础知识
1．曲线运动的定义和研究方法
做机械运动的物体如果通过的轨迹线是
，则它的运动是曲线运动，这种情况下无法应用直线坐标系，而应该选择
。
2．曲线运动速度的方向
质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的
。
3．曲线运动的性质
做曲线运动的物体，速度的
时刻在改变，所以曲线运动是
运动。 4．物体做曲线运动的条件
物体所受合外力的方向跟它的速度方向
时，物体做曲线运动。
三、对曲线运动的理解
【思维启动】做曲线运动的物体速度的方向一定变化，这种说法对吗？
问题1：用砂轮磨刀时火星沿切线方向飞出，原因是什么？绳拉小球在光滑水平面上做圆周运动，当绳断后小球将沿什么方向运动？为什么？
问题2：如何确定做曲线运动的物体在某点时速度的方向？
问题3：由于做曲线运动物体的速度方向时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动，那么变速运动一定是曲线运动吗？
针对训练1：关于曲线运动，下列说法正确的是 ( ) A．曲线运动一定是变速运动
B．曲线运动速度的方向不断变化，但速度的大小可以不变 C．曲线运动的速度方向可能不变
D．曲线运动的速度大小和方向一定同时改变
We must not lie down,and cry,God help us
我们不能坐以待毙，等待上帝的救助
四、物体做曲线运动的条件
【思维启动】 力是改变物体运动状态的原因，曲线运动是变速运动，它受到的合外力一定不为零，这种说法对吗？
问题4：在光滑的水平面上具有某一初速度的小球，在不受外力作用时将如何运动？
问题5：在光滑的水平面上具有某一初速度的小球，在运动方向的前方或后方放一条形磁铁，小铁球将如何运动？
问题6：在光滑的水平面上具有某一初速度的小球，在运动方向一侧放一条形磁铁，小铁球将如何运动？
问题7：树上下落的苹果轨迹是直线；而从飞机上投出的炸弹的运动轨迹是曲线。从力学角度分析造成它们的运动轨迹不同的原因是什么？
规律总结：物体做曲线运动的条件：
拓展提升：曲线运动是变速运动，而变速运动又分为匀变速和非匀变速，那么，曲线运动是否可能成为匀变速运动？如果能，请问：在什么条件下曲线运动是匀变速运动？
针对训练2：物体在光滑水平桌面受三个水平恒力（不共线）F
1、F
2、F3的共同作用下做匀速直线运动，若突然撤去外力F1，保持F2和F3不变，则物体的运动情况是
(
) A．必沿着F1的方向做匀加速直线运动 B．必沿着F1的方向做匀减速直线运动 C．不可能做匀速直线运动
D．可能做直线运动，也可能做曲线运动
五、运动的合成与分解
问题8：红蜡块实验中，红蜡块同时参与了哪两个运动？
问题9：怎样描述红蜡块的位置和运动轨迹？
规律总结：请参照红蜡块的运动总结合运动与分运动的关系：
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针对训练3：如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度
(
) A．大小和方向均不变 B．大小不变，方向改变 C．大小改变，方向不变 D．大小和方向均改变
一、速度的分解要从实际情况出发
例1.如图1所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度v0拉水平面上的物体A，当绳与水平方向成θ角时，求物体A的速度。
图1 解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。物体A的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于v1v0；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度θ的值。这样就可以将vA按图示方向进行分解。所以v1及v2实际上就是vA的两个分速度，如图1所示，vv由此可得vA10。
coscos解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。
设船在θ角位置经△t时间向左行驶△x距离，滑轮右侧的绳长缩短△L，如图2所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有Lxcos，Lx两边同除以△t得：cos
tt即收绳速率v0vAcos，因此船的速率为：
vAv0 cos
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图2 总结：“微元法”。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。
解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为F，则对绳子做功的功率为P1Fv0；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F，则绳子对物体做功的功率为P2FvAcos，因为P1P2所以vAv0。 cos评点：①在上述问题中，若不对物体A的运动认真分析，就很容易得出vAv0cos的错误结果；②当物体A向左移动，θ将逐渐变大，vA逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体A却在做变速运动。
总结：解题流程：①选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）；②确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；③确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向；④作出速度分解的示意图，寻找速度关系。
二、拉力为变力，求解做功要正确理解
例2.如图3所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始时人在滑轮的正下方，绳下端A点离滑轮的距离为H。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到B点位置时，人的速度为v，绳与水平面夹角为θ。问在这个过程中，人对重物做了多少功？
图3
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解析：人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动，故无法用WFscos求对重物做的功，需从动能定理的角度来分析求解。 当绳下端由A点移到B点时，重物上升的高度为：
hHH(1sin) HsinsinmgH(1sin)
sin重力做功的数值为：
WG当绳在B点实际水平速度为v时，v可以分解为沿绳斜向下的分速度v1和绕定滑轮逆时针转动的分速度v2，其中沿绳斜向下的分速度v1和重物上升速度的大小是一致的，从图中可看出：
v1vcos
以重物为研究对象，根据动能定理得：
W人WG12mv10 2mgH(1sin)mv2cos2W人
sin2渡河问题
小船在200m宽的河中渡河，水流速度是2m/s，船在静水中的航速是4m/s，求： （1）当小船的船头始终正对岸时，它将在何时、何处到达对岸？ （2）要使小船到达正对岸，应如何行驶？耗时多少？ 两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。
两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。
例1.一条宽度为L的河，水流速度为v水，已知船在静水中速度为v船，那么： （1）怎样渡河时间最短？
（2）若v船v水，怎样渡河位移最小？
（3）若v船v水，怎样渡河船漂下的距离最短？
解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图4所示。设船头斜向上游与河岸成任意角θ。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为v1v船sin，渡河所需要的时间为LLt，可以看出：L、v船一定时，t随sinθ增大而减小；当90时，sin1（最v1v船sin大）。所以，船头与河岸垂直tminL。 v船
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图4 （2）如图5所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与
v河岸成一定的角度θ，所以有v船cosv水，即arccos水。
v船
图5 因为0cos1，所以只有在v船v水时，船才有可能垂直河岸渡河。
（3）若v船v水，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？
如图6所示，设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，
v船当v与圆相切时，α角最大，根据cos
v水
图6
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船头与河岸的夹角应为arccosxmin(v水v船cos)L
v船sinv船v水，船沿河漂下的最短距离为：
此时渡河的最短位移：sLvL水 cosv船误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。 【知识小结】
处理“速度关联类问题”时，必须要明白“分运动”与“合运动”的关系：
（1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v分、s分）互不干扰。
（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。
（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。 功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程，尤其是变力做功中更能体现出其空间积累的过程。所以在处理变力功可采用动能定律、功能原理、图象法、平均法等。
例3.绳子末端速度的分解
如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，某时刻绳与水平方向成α角，则小船的运动性质及此刻小船的速度v为 （
）
vA．小船做变加速运动，v0
cosB．小船做变加速运动，v=v0cosα
vC．小船做匀速直线运动，v0
cosD．小船做匀速直线运动，v=v0cosα
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【经典练习】
1．如图所示，物体A和B质量均为m，分别于轻绳连接跨过定滑轮（不计绳与滑轮之间的摩擦）当用水平力F拉B物体沿水平面向右做匀速直线运动时，下列判断正确的是
(
) A．绳的拉力大于A的重力 B．绳的拉力等于A的重力 C．绳的拉力小于A的重力
D．绳拉力先大于A的重力，后小于A的重力
2．直升机空投物资时，可以停留在空中不动，设投出的物资离开飞机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为4m/s。若飞机停留在离地面100m高处空投物资，由于风的作用，使降落伞和物资在以4m/s速度下落的同时以3m/s风速匀速水平向北运动，求 ： （1）物资在空中运动的时间；
（2）物资下落的实际速度；
（3）物资在下落过程中水平方向移动的距离。
【课后经典练习】
1：如下图是抛出的铅球运动轨迹的示意图（把铅球看成质点）．画出铅球沿这条曲线运动时在A．B．C．D．E各点的速度方向，及铅球在各点的受力方向（空气阻力不计）．
分析与解答:曲线运动中物体在某一点的速度方向是在曲线的这一点的切线方向，答案如下所示，在运动过程中，物体只受重力，方向竖直向下．
思考：
①铅球为什么做曲线运动？②由A至B，铅球速度大小如何变化？C至D呢？
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2：某质点在恒力F作用下，F从A点沿下图中曲线运动到B点，到达B点后，质点受到的力大小仍为F，但方向相反，则它从B点开始的运动轨迹可能是图中的哪条曲线？（
）
A．曲线a
B．直线b
C．曲线c D．三条曲线均有可能
分析与解答：物体在A点的速度方向沿A点的切线方向，物体在恒力F作用下沿曲线AB运动时，F必有垂直速度的分量，即F应指向轨迹弯曲的一侧．物体在B点时的速度沿B点的切线方向，物体在恒力F作用下沿曲线A运动到B时，若撤去此力F，则物体必沿b的方向做匀速直线运动；若使F反向，则运动轨迹应弯向F方向所指的一侧，即沿曲线a运动；若物体受力不变，则沿曲线c运动．
以上分析可知，在曲线运动中，物体的运动轨迹总是弯向合力方向所指的一侧． 正确答案：A 3：下列说法正确的是（
）
A．两匀速直线运动的合运动的轨迹必是直线 B．两匀变速直线运动的合运动的轨迹必是直线
C．一个匀变速直线运动和一个匀速直线运动的合运动的轨迹一定是曲线 D．两个初速度为零的匀变速直线运动的合运动的轨迹一定是直线
解:物体做曲线运动的条件是所受的合外力方向与初速度方向不在一条直线上，而物体所受合外力方向与初速度方向在一条直线上，则做直线运动．物体做匀速直线运动时，合外力为零，两个匀速直线运动合成时，合外力仍为零，物体仍做匀速直线运动，A正确．物体做匀变速直线运动时，受到的力是恒力，两个匀变速直线运动合成时合外力也是恒力，若合外力与合初速度方向不在一条直线上时，合运动的轨迹就是曲线，B错．当两个分运动在一条直线上时，即合力与合初速度在一条直线上，合运动的轨迹仍是一条直线，C错．两个初速度为零的匀变速直线运动合成时，合外力是一恒力，由于合初速度为零，所以一定沿合力方向运动，其轨迹一定是一条直线，D正确．所以选A．D．
例4：某曲线滑梯如图是所示，试标出人从滑梯上滑下时在A．B．C．D各点的速度方向．
选题目的：考查曲线运动速度方向的判断．
解析：曲线运动中速度的方向是时刻改变的，质点在某一点的速度的方向是在曲线的这一点的切线方向．所以，人从滑梯上滑下时，经过A．B．C．D点的速度方向如图所示． 5：关于曲线运动，下列说法正确的是（ ）
A．曲线运动是一种变速运动
B．做曲线运动的物体合外力一定不为零
C．做曲线运动的物体所受的合外力一定是变化的 D．曲线运动不可能是一种匀变速运动
选题目的：考查曲线运动概念的理解．
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解析：当运动物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，物体就做曲线运动，曲线运动中速度的方向是时刻改变的，所以曲线运动是一种变速运动，曲线运动具有加速度，由Fma知合外力不为零，选项A．B正确，决定物体做曲线运动的因素是合外力与速度方向不在同一直线上，而不是恒力或变力．若合外力变化，则是变加速运动，若合外力不变，则是匀变速运动．所以，选项C．D错误
本题正确的答案是A．B 【能力提升】 一．选择题
1．关于曲线运动，下述说法中正确的是（）
A．任何曲线运动都是变速运动
B．任何变速运动都是曲线运动
C．曲线运动经过某点处的速度在该点的切线方向上，因而方向是变化的
D．曲线运动经过某点处的速度方向与加速度方向相同
2．一物体在力F1．F2．F3．„Fn共同作用下做匀速直线运动，若突然撤去F2后，则该物体（）
A．可能做曲线运动
B．不可能继续做直线运动
C．必沿F2方向做匀加速直线运动
D．必沿F2反方向做匀减速直线运动 3．下列关于曲线运动的说法中正确的是（）
A．可以是匀速率运动
B．一定是变速运动
C．可以是匀变速运动
D．加速度可能恒为零 4．下列说法中正确的是（）
A．物体在恒力作用不可能做曲线运动
B．物体在变力作用下有可能做曲线运动
C．做曲线运动的物体，其速度方向与合外力方向不在同一直线上
D．物体在变力作用下不可能做直线运动
5．关于物体做曲线运动的条件，下述说法正确的是（）
A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动
B．物体在变力作用下一定做曲线运动
C．合力的方向与物体速度的方向既不相同．也不相反时，物体一定做曲线运动
D．做曲线运动的物体所受到的力的方向一定是变化的
6．物体受到几个恒定外力的作用而做匀速直线运动，如果撤掉其中一个力，保持其他力不变，它可能做 （）
①匀速直线运动
②匀加速直线运动
③匀减速直线运动
④曲线运动
正确的说法是
A．①②③ B．②③ C．②③④ D．②④
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运动的合成与分解
1：一艘小船在 200m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度是2m／s，小船在静水中的速度是4m／s，求：
①当船头始终正对着对岸时，小船多长时间到达对岸，小船实际运行了多远？ ②如果小船的路径要与河岸垂直，应如何行驶？消耗的时间是多少？ ③如果小船要用最短时间过河，应如何？船行最短时间为多少？
简答：
①在解答本题的时候可由此提问：船头始终正对河岸代表什么含义．（①题的答案：50秒，下游100米）
②路径与河岸垂直——船的实际运动——船的合运动（在两个分运动的中间，并与河岸垂直）（②题的答案：与上游河岸成60°，57.7s）
③分析本题，可以得到求t最小的方法：
1．河宽一定，要想使时间最少应使垂直河岸方向的分速度最大，即正对河岸航行，则tminsv静水．
s水v水ts静v静ts合v合2．或者由t三个式子一一分析．v静一定，s静又有最小值，即河宽，便可以求出渡河最短时间．
（③题的答案：50s）
2：在高处拉低处小船时，通常在河岸上通过滑轮用钢绳拴船，若拉绳的速度为4m／s，当拴船的绳与水平方向成60°时，船的速度是多少？
答案： 8m／s （提示：在分析船的运动时，我们发现船的运动产生了两个运动效果：绳子在不断缩短；而且绳子与河岸的夹角不断减小，所以我们可以将船的运动——实际运动——合运动分解成沿绳子方向的运动和垂直绳子方向所做的圆周运动）
1．船沿水平方向前进——此方向为合运动，求合速度v．
2．小船的运动可以看成为沿绳子缩短方向的运动和垂直绳子方向做圆周运动的合运动．
3：某人站在电动扶梯上不动，扶梯正常运行，人经时间t1由一楼升到二楼，如果自动扶梯不动，人从一楼沿扶梯走到二楼所用的时间为t2，现在扶梯正常运行，人也保持原来的速率沿扶梯向上走，则人从一楼到二楼所用的时间是多少？
选题目的：考查运动的合成理解及应用．
解析：设一层楼的高度为h，扶梯上升速度为v1，人相对扶梯的速度为v2，由题意知
v1ht1 v2ht2
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3．对于竖直上抛物体运动的描述，下面哪几句话是正确的？（）
A．竖直上抛物体的运动可以看做是向上的匀速直线运动和向下的自由落体运动的合成 B．当向上的匀速直线分运动的速度小于自由落体分运动的速度时，合速度方向向下，物体向下运动．当两个分运动的速度大小相等时，合速度为零，物体不再向上运动，达到最高点
C．当向上的匀速分运动的位移还大于自由落体分运动的位移时，合位移向上，物体在抛出点上面．当两个分位移大小相等，合位移为零，物体回到抛出点
D．当向上的匀速分运动的速度小于自由落体分运动的速度时，物体就在抛出点的下面 4．用跨过定滑轮的绳把湖中小船拉靠岸，如图所示，已知拉绳的速度v保持不变，则船速（）
A．保持不变
B．逐渐增大
C．逐渐减小
D．先增大后减小
5．关于运动的合成与分解有以下说法，其中正确的是（）
A．两个直线运动的合位移一定比分位移大
B．运动的合成与分解都遵循平行四边形定则
C．两个分运动总是同时进行着的
D．某个分运动的规律不会因另一个分运动而改变
6．两个互成（0180）角的初速不为零的匀加速直线运动，其合运动可能是（）
A．匀变速曲线运动
B．匀变速直线运动
C．非匀变速曲线运动
D．非匀变速直线运动
7．一船在静水中的速度为6m/s，要横渡流速为8m/s的河，下面说法正确的是（）
A．船不能渡过此河
B．船能行驶到正对岸
C．若河宽60m，过河的最少时间为10s
D．船在最短时间内过河，船对岸的速度为6m/s 8．关于运动的合成，下列说法中正确的是（）
A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度都大
B．合运动的速度可能比每一个分运动的速度都小
C．合运动的时间一定比每一个分运动的时间都长
D．两个分运动的时间一定与它们合运动的时间相等
9．河边有M．N两个码头，一艘轮船的航行速度恒为v1，水流速度恒为v2，若轮船在静水中航行2MN的时间是t，则（）
A．轮船在M．N之间往返一次的时间大于t
B．轮船在M．N之间往返一次的时间小于t
C．若v2越小，往返一次的时间越短
D．若v2越小，往返一次的时间越长
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