9月份全国大学生数学建模竞赛刹车方向预测

发布时间：2020-03-03 06:30:52 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

2012年数学建模方向必备之刹车距离的模型

1.问题提出

司机在驾驶过程中遇到突发事件会紧急刹车，从司机决定刹车到完全停住，汽车行驶的距离称为刹车距离，车速越快，刹车距离越长。请问刹车距离与车速之间具有怎样的数量关系？

2.问题分析

问题要求建立刹车距离与车速之间的数量关系。一方面，车速是刹车距离的主要影响因素，车速越快，刹车距离越长。另一方面，还有许多其他因素会影响刹车距离，包括车型、车重、刹车系统的机械状况、轮胎的类型和状况、路面的类型和情况、天气状况、驾驶员的操作技术和身体状况等。如果所有可能的因素都考虑到，就无法建立起车速与刹车距离之间的数量关系，所以需要对问题提出合理的简化假设，使问题可以仅仅考虑车速对刹车距离的影响，从而建立起刹车距离与车速之间的函数关系。

基本假设: （1）.车型、轮胎的类型、路面的情况都相同；（2）.汽车没有超载；

（3）.刹车系统的机械状况、轮胎状况、天气状况、驾驶员的状况都良好；（4）.汽车都在平直的公路上行驶，在刹车过程中没有转方向。（5）.驾驶员在每一次刹车的反应时间都一样长。

首先，仔细分析刹车的过程，发现刹车经历两个阶段.在第一阶段，司机意识到危险，做出刹车决定，并踩下刹车踏板使刹车系统开始起作用，这一瞬间可以称为“反应时间”，非常短暂，但是对于高速行驶的汽车而言，汽车在这一瞬间行驶的距离却不容忽视。汽车在反应时间里行驶的距离称为“反应距离”。

第二阶段，从刹车踏板被踩下、刹车系统开始起作用，到汽车完全停住，这是汽车的制动过程，汽车在制动过程“行驶”的距离称为制动距离。

根据以上分析，得到刹车距离的初步的数量关系如下：

刹车距离=反应距离+制动距离引入以下符号并说明单位：

v~ 车速（m/s）

d~ 刹车距离（m） d1~ 反应距离（m） k1~ 反应时间（s） d2~ 制动距离（m）

于是用文字表达的数量关系式（2.2.1）可以用数学符号表是为

dd1d2

其次，考虑反应距离的子模型，根据常识，可以假设汽车在反应时间内车速不变，也就是说，在此瞬间汽车做匀速直线运动：

d1k1v

再次，考虑制动过程的子模型，在制动过程，汽车的轮胎滑动摩擦地面，车速从v迅速减慢直到车速变为零，汽车完全停住。即汽车制动力使汽车做减速运动，汽车制动力做功导致汽车动能的损失，引入以下符号：

a汽车制动加速度（m/s2）; F汽车制动力（N）; M汽车质量（kg）.为了建立简单的数学模型，可以假设汽车在制动过程中做匀减速直线运动，加速度a是常数，由牛顿第二定律得：

FMa

根据功能原理，汽车制动力所做的功等于汽车动能的损失，即

Fd2Mv2/2

所以

d2v2/2a

令k21/(2a)，得到制动距离的子模型为：

d2k2v2

最后，由以上各式联立可得，刹车距离的子模型为：

dk1vk2v2

即刹车距离与车速之间为二次函数关系. 提出如下的简化建设：

（1）假设道路、天气和驾驶员等条件相同汽车没有超载，也没有故障；

（2）假设汽车都在平直的公路上行驶，紧急刹车时踏板踩到底在刹车过程中没有转方向。

（3）假设驾驶员的反应时间为常数，汽车在反应时间内做匀速直线运动；

（4）汽车在制动过程中做匀减速直线运动，加速度a是常数，汽车制动力所做的功等于汽车动能的损失；

（5）假设刹车距离等于反应距离加制动距离。

3.模型建立与检验

由美国公路局提供的刹车距离的实际观测数据来进行模型检验。下表中的数据使用英制单位mph(miles per hour,英里/小时)和ft(英尺)，换算率为： 1mph=0.44704m/s,1ft=0.3048m

表1：反应距离和制动距离的实际观测值

车速/mph 反应距离/ft

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 22 27.5 33 38.5 44 49.5 55 60.5 66 71.5 77 82.5 88

制动距离/ft 范围* 18-22 25-31 36-45 47-58 64-80 82-103 105-131 132-165 162-202 196-245 237-295 283-353 334-418

平均值 20 28 40.5 52.5 72 92.5 118 148.5 182 220.5 266 318 376

刹车距离/ft 范围 40-44 52.5-58.5 69-78 85.5-96.5 108-124 131.5-152.5 160-186 192.5-225.5 228-268 267.5-316.5 314-372 365-435 422-506

平均值 42 55.5 73.5 91 116 142 173 209 248 292 343 400.5 464

*范围中包括了美国公路局所做测试中85%的观测结果

由上表数据可以看出，反应距离和车速是成正比的。很明显，这样的数据是基于反应距离的子模型d1k1v的，其中的平均反应时间恰好为k10.75秒，所以没有必要用上表数据来检验反应距离的子模型。

首先，注意到子模型d2k2v2意味着d2与v成二次函数关系，而d2与v2成正比例关系。因此，绘制表2.2中的制动距离数据（包括最小值、最大值和平均值）对v以及v2的散点图， MATLAB程序如下：

【 v=(20:5:80).*0.44707;v2=v.*v; d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048*d2; subplot(2,1,1),plot([v;v;v],d2,\'o-k\',\'MarkerSize\',2), title(\'检验二次函数关系\'),xlabel(\'车速v(m/s)\'), ylabel(\'制动距离的最小值、平均值和最大值（m）\'), 制动距离的最小值、平均值和最大值（m） subplot(2,1,2),plot([v2;v2;v2],d2,\'k-o\',\'MarkerSize\',2), title(\'检验正比例关系\'),xlabel(\'车速的平方v^2(m^2/s^2)\') 】

检验二次函数关系150100500510152025车速v(m/s)检验正比例关系3035401501005000200400600800100012001400车速的平方v2(m2/s2)

图2 由图2得到的直观印象是：制动距离的子模型d2k2v2经得起来自表2.2的数据的检验。但直观的图形检验显然粗糙了一些，不够可靠。下面用最小二乘法，根据表2.2中的车速和制动距离平均值的数据，拟合出制动距离子模型d2k2v2中的系数k2，详细的考察误差。

拟合k2的计算公式为：

k2vidi/vi42i1i11313

（2.2.6）

其中vi和di为表1中第i行的车速和制动距离的平均值，i=1,2,3,„,13.根据上式，在执行完图2.2的绘图程序之后，继续输入并执行以下命令：

k2=sum(v2.*d2(3,:))./sum(v2.*v2) r=d2(3,:)-k2.*v.*v 命令窗口显示的计算结果为： k2 = 0.0827 r = Columns 1 through 9 -0.5131 -1.7923 -2.5261 -4.2384 -4.4909 -5.2647 -5.3406 -4.7187 -4.0085 Columns 10 through 13 -2.6004 0.1151 3.9857 8.8589 所以依据表2.2的数据得到的刹车距离与车速关系的经验公式为：

d0.75v0.0827v2

考察误差，发现当车速不超过65mph(即104.6km/h)时，实际值都略小于理论值，但是车速更快时，实际值都会大于理论值，而且随着车速的增加，误差会越来越大。这就说明制动距离子模型d2k2v2的模型适合较低的车速范围内；当车速更高时，可能由于漏了某些不容忽略的因素，导致模型的解答不是那么的令人满意。

计算k2以及拟合误差的另一种方法是用统计工具箱函数nlinfit计算，由于模型d2k2v2缺少常数项和一次项，所以不能用MATLAB函数polyfit进行多项式拟合。在执行完图2的绘图程序之后，继续输入并执行以下命令，得到的计算结果和第一种方法相同：

f=@(k,x)k.*x.*x; [k2,r]=nlinfit(v,d2(3,:),f,1) 最后，可以在图2的两幅子图分别添加上拟合得到的子模型的理论值的二次曲线和直线，使得刚才的分析更直观，更易理解（见图3）.图3的绘图程序如下：

v=(20:5:80).*0.44707;v2=v.*v; d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048*d2; subplot(2,1,1),plot([v;v;v],d2,\'o-k\',\'MarkerSize\',2), hold on,plot(v,k2.*v2,\'r\'),hold off title(\'检验二次函数关系\'),xlabel(\'车速v(m/s)\'), ylabel(\'制动距离的最小值、平均值和最大值（m）\'), subplot(2,1,2),plot([v2;v2;v2],d2,\'k-o\',\'MarkerSize\',2), hold on,plot(v2,k2.*v2,\'r\'),hold off title(\'检验正比例关系\'),xlabel(\'车速的平方v^2(m^2/s^2)\') 制动距离的最小值、平均值和最大值（m）检验二次函数关系150100500510152025车速v(m/s)检验正比例关系3035401501005000200400600800100012001400车速的平方v2(m2/s2)

图3 5.模型应用

在道路行驶的汽车保持足够安全的前后车距是非常重要的，人们为此提出了五花八门的建议。在美国，有人建议“一车长度准则”，即车速每增加10mph,前后车距应该增加一个车身的长度；也有人建议“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后达到同一标志，而不管车速如何。刚才建立的刹车距离模型可以用来衡量这些建议是否安全。

按照“一车长度准则”，车速每增加10mph,前后车距应该增加一个车身的长度，这表明前后车距与车速成正比例关系。引入一下符号：

D~前后车距（m）; v~车速（m/s）; K1~按照“一车长度准则”,与之间的比例系数（s）.于是“一车长度准则”的数学模型为：

DK1v

考虑家庭用的小型汽车，不妨设一车长度为5m，则

K15m5m1.1185s

10mph4.4704m/s所以上式即为：

D1.1185v

比较两个模型的最终表达式得：

dDv[k2v(K1k1)]

代入k

1、k2及K1的值，计算得到当车速超过4.5m/s时，“一车长度准则”就不够安全了，也就是说，它也只是用于车速很慢的情况。

以下即为把表1的数据和一车长度准则画于同一张图中的MATLAB程序： v=(20:5:80).*0.44707; d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048*d2; k1=0.75;k2=0.082678;K1=1.1185; d1=[v;v;v].*k1;d=d1+d2; plot([0,40],[0,K1*40],\'k\'),hold on plot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),\'r:\') plot([v;v;v],d,\'ok\',\'MarkerSize\',2),hold off title(\'比较刹车距离的实测数据、理论值和一车长度准则\'), legend(\'一车长度准则\',\'刹车距离理论值\',\'刹车距离最小值、平均值和最大值\') xlabel(\'车速v(m/s)\'),ylabel(\'距离（m）\')

比较刹车距离的实测数据、理论值和一车长度准则180一车长度准则160刹车距离理论值刹车距离最小值、平均值和最大值140120距离（m）10080604020005101520车速v(m/s)25303540

以上论文的解释权归属兰州理工大学流体机械液压基地二班：杨自升