初中与高中数学衔接教案

初中与高中数学衔接中的因式分解

高中数学中，式子的恒等变形是非常重要的数学变换，其中因式分解尤为重要。根据需要，在对一些式子整体分解或局部分解是高中数学学习中作为学生必须具备的基本技能，但由于初中阶段新的课程标准中对因式分解，较以往的标准降低了要求，所以刚上高中的学生来说，在学习数学中遇到或多或少的困难。为此，本文根据高中阶段所需要的有关因式分解的要求，将初中阶段所学的因式分解的基础上加以补充和拓宽。

现行的初中教材中，因式分解只介绍两种方法，即“提取公因式法”和“运用公式法”。实际因式分解还有两种方法需要掌握，即“十字相乘法”和“分组分解法”，而这两种方法在高中数学中都有用途，所以本文对因式分解的本质介绍的前提下，重点介绍后两种方法。

一、因式分解的概念

在现行初中教材中的因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的乘积形式。 由概念不难看出，因式分解的本质就是经过恒等变形，将一个多项式化成几个整式的“乘积”的形式。所以过程是恒等变形，结果是化成“乘积”的形式，所以关键是如何进行恒等变形的问题。“提取公因式法”需要的过程是：将多项式每个项中所含的相同“结构”，即公因式提出来；“运用公式法”是从多项式的特殊“结构”，即逆向运用乘法公式的形式，运用公式分解因式。

这里还需要补充高中阶段能用到的适合分解因式的公式还有：

a3b3(ab)(a2abb2)ab(ab)(aabb)

二、十字相乘法

我们来观察 3322

x25x6x2(23)x232x2x3x23x(x2)3(x2)(x2)(x3)

又有在我们学习乘法运算时有：(xa)(xb)x2(ab)xab 因此在分解因式中有x2(ab)xab(xa)(xb) 注意观察上式的系数。

对于一个关于某个字母的二次项系数是1的二次三项式x2pxq，它的常数项可看作两个数，a与b的积，而一次项系数恰是a与b的和，它就可以分解为(x+a)(x+b)，也就是令p=a+b，q=ab时，xpxqx(ab)xab(xa)(xb)，用此方法分解因式关键在于a与b的值的确定。如何确定，看下面的“十字相乘”与分解因式之间的对应关系：

b111aabx2(ab)xab(xa)(xb)

ab

22即二次项系数和常数项分解以后重新相乘再加得到一次项系数，进而可以分解因式。这样的分解因式的方法叫做“十字相乘法”。用此方法分解因式关键在于a与b的值的确定。

所以用“十字相乘法”分解因式的结构必须是“二次三项式”的形式。 例1：分解因式：

（1）x5x6 （2）x4x21 22 1 分析：用十字相乘法分解因式时，首先要找准各项的系数和常数项，然后利用来分系数，使得左边两数乘积为二次项系数，右边两项乘积为常数项，交叉相乘后结果作和，应与一次项系数同，这样就分解出来了。

评注：十字相乘时，要注意二次项系数和常数项分解后的搭配问题，比如：（1）中十字相乘

6112116也可以有其他的方式，，但这种方式只适合于多项式x7x6，而不是6172x5x6。所以对每个二次三项式的分解因式，利用十字项乘法时，需要选择恰当的搭配才能成功。 同步练习： （1）x5x6 （2）x3x2 （3）x3x4 （4）xx12 例2：分解因式

（1）x2x8

（2）(ab)24(ab)3

分析：要想用十字相乘法分解因式，应具备二次三项式的条件，有些多项式可以看作关于某个整体的二次三项式，也可以照上例方法进行因式分解，如（1）可以看作关于x的二次三项式（2）可以看作关于（a+b）的二次三项式。

同步练习： （1）x5x4 （2）xy3xy2 （3）(xy)3(xy)4

例3：分解因式

（1）x23xy2y2

（2）3a2x215a2xy42a2y2

分析：当多项式中出现两个字母时，分解同前，只不过常数项也会出现字母，如（1）可以看作关于x的二次三项式，则y就当作常数处理。（2）应先进行公因式的提取，再分解，记住，提取公因式是分解因式的第一步。

同步练习：

（1）x5xy6y （2）x10xy9y

例4：分解因式：

（1）2x7x3 （2）4xy5xy9y

2 422222422222422222224224分析：当二次项系数不是1时，数的分解不太容易，应不断试一试几种可分的情况，同时注意符号的合理匹配。

同步练习： （1）3xx2

（2）4x417x2y24y4

三、分组分解法

先看一个多项式的分解因式： 2(ab)c(ab)d(ab)(cd)。

这个题目结构非常清楚，有公因式(ab)，所以直接提取即可。但如果待分解因式的多项式是acbcdabd，就不能直接提取公因式了，原因是把待分解的多项式由(ab)c(ab)d变形为比这个更原始的结构acbcdabd，但我们知道两个式子是恒等的。这种情况下，分解因式的过程自然就是：

acbcdabd

(ab)c(ab)d(ab)(cd)。这样分解因式的方法叫做分组分解法，即将多项式适当分组后经过局部分解，化成可以整体分解的结构，最终可以整体分解的方法。不难看出，运用分组分解法分解因式时，关键是分组，如何分组是这种方法运用当中的难点。如何突破这个难点呢？分组的方式一般是多样的，其中首先要考虑能够局部分解，将多项式化成可以整体分解的结构。 例5 分解因式：

（1）a2x2b2y2a2y2b2x2 （2）a2abb4c （3）x22xyy23x3y2

（1）分析：在多项式a2x2b2y2a2y2b2x2中，第一项和第三项有公因式a，而第二项和第四项也有公因式b，这样观察到局部有公因式可提取，即可完成分组这个关键步骤。

评注：这个多项式分组的方式还有一种，即第一项与第四项组合，第二项与第三项组合。如何分组关键就是能否局部分解。由于整体分解时运用的是“提取公因式法”，所以这种分组分解法可叫做“间接提取公因式法”。 （2）分析：在多项式a2abb4c中，前三项是完全平方式，而第四项除了负号也是完全平方形式，这样前三项分成一组，最后一项分成另一组就可以构造平方差的结构。 （2）解： 22222222a22abb24c2(ab)2(2c)2(ab2c)(ab2c)评注：这个多项式的分解因式中，其他分组的方式是不能进行分解因式的，比如前两项组合在一起，后两项组合在一起，虽然都能局部分解，但不能进行整体分解，所以这种分组的方式是失败的。在对多项式的结构没有观察清楚的前提下，分组失败是经常出现的，但只要注意分组的方向，即恒等变形过程中，化成能够在局部分解的前提下，又能整体分解的结构，就能达到分解因式的目的。由于整体分解时运用的是“运用公式法”，所以这种分组分解法可叫做“间接运用公式法”。

22（3）分析：在多项式x2xyy3x3y2中，前三项是完全平方的结构，第四和第

3 五有公因式3，最后一项做为常数项，即可构造十字相乘法的结构。 （2）此题是二元二次多项式的特殊结构（三个二次项构成完全平方式），实际只要是可分解的二元二次多项式，其他结构的分解因式也可以经过局部分解，最后整体分解时也可运用十字相乘法分解，所以第一种方法是有局限性的。由于整体分解时运用的是“十字相乘法”，所以这种分组分解法可叫做“间接十字相乘法”。

同步练习：

（1）abbcadcd （2）x2y22yzz2

(3) x24xy4y23x6y2

*例6 分解因式：x23xy2y22x3y1

分析：根据多项式的结构特点，经过分组和局部分解将它化成关于x的二次三项的结构（或广义的十字相乘的结构），然后运用十字相乘法。

评注：本题除了上述两种方法之外，只要是经过分组和局部分解把多项式化成二次三项的形式，都能利用十字相乘法分解因式。比如：经过分组和局部分解化成关于y的二次三项式的结构(2y3(x1)y(x1))，不难看出，把多项式可以看成关于(x1)的二次三项式的结构等。 同步练习：

（1）x2xy6y23xy2

*例7 分解因式：x4 分析：这个多项式不能直接运用上面所介绍的四种方法分解因式，原因是不属于三种方法的任何一种结构形式。但由于将这个多项式可以看做关于x的二次式：即x44(x2)222，则容易想到配方成：x44(x2)222(x22)24x2，这样就可以分解因式。

评注：另一个角度看，实际是将合并后的多项式还原成原来的结构：

即x4x4x4x4，这样的过程我们可以说成是“填项或拆项分组法”，是“间接分组分解法”的一种。初中阶段，我们更多的是“合并”同类项，但实际数学变形当中，“拆同类项”也是非常重要的，而且不同的是：“合并”的结果是唯一的，但“拆”的形式是无穷多种（如：x222224244221212xx2x2x23x22x2...），所以“拆”的时候要根22据我们需要的结构“拆”得准才可以。

除了“填项或拆项分组法”这种“间接分组分解法”以外，有的多项式首先化简才能分组，这种分解因式的方法也属于“间接分组分解法”，这种方法就叫做“化简分组法”。比如：多项式(axby)(aybx)的分解因式问题。 同步练习: 22a4a2b2b4

四、因式分解方法的系统归类

综上所述，整个高中阶段的分解因式需要我们掌握的方法可归类为：

4 提取公因式法运用公式法十字相乘法间接提取公因式法 分解因式的方法直接分组法间接运用公式法间接十字相乘法分组分解法间接分组分解法填项或拆项分组法化简分组法注意：

1．因式分解的方法多样性是由多项式结构的多样性引起的，即针对不同结构的多项式，采用不同的方法分解因式，所以如何选择恰当的方法关键是观察多项式的结构特征。观察的的顺序为：看是否有公因式看是否公式结构看是否二次三项式看是否可分组，以上都行不同就可考虑利用间接分组分解法。

2．以上所提到的方法之间也是相互联系的，比如：公式法能分解的大都可用十字相乘法，十字相乘法能分解的可用分组拆项的方法转化为可提取公因式的结构等等。

3．除此以外，还有针对一些二次三项式，也可以运用求根法分解因式。即初三学习一元二次方程时，得到的一个公式：ax2bxca(xx1)(xx2)，其中x1,x2是相应的一元二次方程ax2bxc0(a0)两个实根。

第二讲

一元二次方程（组）与一元二次函数

教学目的：

1．会熟练解一元二次方程 2．熟练掌握配方法 教学过程：

一、知识点回顾：

1．一元二次方程的解法常用的有：直接法，配方法，因式分解法和公式法 2．通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法

b24acb2)

配方的公式是：axbxca(x 2a4a23．因式分解法的原理是符号法则：两数相乘有一个为〇则乘积为〇

bb24ac4．公式法的公式是：当b4ac0时，两根分别为x1,2

2ab

2 当b4ac0时，两根相等为x1x2

2a2 5

当b4ac0时，方程无解

二、应用拓展：

例1：用配方法解下列方程：

(1) x2x80

(2) 2x3x

5(3) 2x4x10

例2：用公式法解下列方程．

（1）2x2-4x-1=0

（2）5x+2=3x2

（3）（x-2）（3x-5）=0

（4）4x2-3x+1=0

说明：公式法解题注意点

（1）首先要把方程化为一般形式；

（2）强调确定a、b、c值时，不要把它们的符号弄错；

2（3）先计算b4ac的值，再代入公式

2222例3：用因式分解法解下列方程： (1) 5x4x0

(2)

5．用公式法解下列方程： (1)

扫盲练习

1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（

）．

①3x2+7=0

②ax2+bx+c=0

③（x-2）（x+5）=x2-1

④3x2-2x3x(x3)

(3) (x5)23x15

2x29x80

(2) 3x240

(3) 9x26x10

5=0 x

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）．

A．2，3，-6

B．2，-3，18

C．2，-3，6

D．2，3，6 3．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________ 4．关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？

5．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？

-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 6．配方法巩固练习:对下列式子进行配方

(1)y2x24x5

(2)

yx2x5

(3)yx22x4

(4)y2x24x6

(5)

y5x22x7

6 (6)y2x22x2

(7)31yx23x24(9)y2x22x4

3

(8)

3yx24x5

21yx2x32(12)y1x24x7

3方法总结 (10)

(11)

1y3x2x1

41．方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程

2．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式

3．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项

4．为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的区别，我们称：一元二次方程的解叫做一元二次方程的根 5．配方法操作过程

1.系数化1： 通过提取二次项前面的系数将二次项系数化为1 2.配方：在括号里加上一次项系数一半的平方同时减去该值 3.完全平方：将配好的部分写成完全平方的形式 4.整理：去括号，整理成标准形式

谈大学数学与高中数学教学衔接

论大学高等数学与高中数学的衔接问题

初中数学教学与小学数学教学衔接

高中数学与初中数学的变化

句子排序与衔接教案

初、高中数学教学衔接问卷调查分析

高中数学 《圆与方程》教案

初中升高中衔接

初中数学与小学数学的衔接过渡

小学语文教学与初中的衔接

《初中与高中数学衔接教案.doc》

将本文的Word文档下载到电脑，方便编辑。

推荐度：

点击下载文档