一个个算出2的n次方，发现其首位数变化有一定的规律性。其中首位数为1的频率最大，7和9在2的n次方首位数里出现得较晚。下面对此问题展开讨论。
设2n首位数为a，位数为k（十进制），则令2n=a×10k+C……①（C=a2×10k-1+a3×10k-2……）
由lg2n=n·lg2 lg2
所以2n=10n·……②
则k=[n·lg2]……③
lg2lg2]
将②③代入①得到10n·=a×10[n·+C ，将此式两边同时除以lg2]10[n·得到：
lg2}lg2] 10{n·=a+C/10[n·
lg2]lg2}lg2}又由0≤C/10[n·
由上述推导过程得到的不等式可得，当满足首位数a=1时，0=lg1≤{n·lg2}
当满足首位数a=2时，lg2≤{n·lg2}
当n趋近于无穷时，由于lg2为无理数，区间内的每一点都会出现，故区间长度表示其出现频率。由此可知，出现首位数为1的频率为lg2-lg1=lg2≈0.3
《2的n次方首位数.doc》
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