数字信号处理复习总结

数字信号处理复习要点

数字信号处理主要包括如下几个部分

1、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析

2、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换

3、数字滤波器的设计

一、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析

1、离散时间信号：

1）离散时间信号。时间是离散变量的信号，即独立变量时间被量化了。信号的幅值可以是连续数值，也可以是离散数值。 2）数字信号。时间和幅值都离散化的信号。

（本课程主要讲解的实际上是离散时间信号的处理） 3）离散时间信号可用序列来描述 4）序列的卷积和（线性卷积）

y(n)mx(m)h(nm)x(n)*h(n)

5）几种常用序列

1,n0a)单位抽样序列（也称单位冲激序列）(n),(n)

0,n01,n0b)单位阶跃序列u(n),u(n)

0,n01,0nN1c)矩形序列，RN(n)

0,n其它d)实指数序列,x(n)anu(n)

6）序列的周期性

所有n存在一个最小的正整数N,满足：x(n)x(nN),则称序列x(n)是周期序列，周期为N。(注意：按此定义，模拟信号是周期信号，采用后的离散信号未必是周期的)

7）时域抽样定理：

一个限带模拟信号xa(t)，若其频谱的最高频率为F0，对它进行等间隔抽样而得x(n)，抽样周期为T，或抽样频率为Fs1/T；

只有在抽样频率Fs2F0时，才可由xa(t)准确恢复x(n)。

2、离散时间信号的频域表示（信号的傅立叶变换）

X(j)nx(n)ejn，X(j(2))X(j)

1x(n)X(j)ejnd 2

3、序列的Z变换

X(z)Z[x(n)]nx(n)zn

1）Z变换与傅立叶变换的关系，X(j)X(z)zej

2）Z变换的收敛域

收敛区域要依据序列的性质而定。同时，也只有Z变换的收敛区域确定之后，才能由Z变换唯一地确定序列。

一般来来说，序列的Z变换的收敛域在Z平面上的一环状区域：Rx|z|Rx

x(n)N1nN23）有限长序列：x(n)，0|z|

0其它x(n)N1n右序列：x(n) ，|Z|>Rx-

其它0x(n)nN2左序列：x(n)，

0其它（|z|0时：0≤|Z|

常用序列的Z变换：

Z[(n)]1,|z|01,|z|111z

1Z[anu(n)],|z||a|1az11Z[bnu(n1)],|z||b|1bz1Z[u(n)] 逆变换

x(n)12jn1X(z)zdzx，C：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线 c1）留数定理：x(n)[X(z)zn1在C内极点留数之和] 2）留数辅助定理：x(n)[X(z)zn1在C外极点留数之和] 3）利用部分分式展开：X(z)Z变换求解。

4、离散时间系统：

T[x(n)]y(n) 系统函数：H(j)Y(j)Y(z)，H(z) X(j)X(z)Ak，然后利用定义域及常用序列的

1akz1冲激响应：h(n)T[(n)]

5、线性系统：满足叠加原理的系统。T[ax(n)by(n)]aT[x(n)]bT[y(n)]

6、移不变系统：若T[x(n)]Y(n)，则T[x(nk)]Y(nk)

7、线性移不变系统

可由冲激响应来描述（系统的输出相应是输入与单位冲激响应的线性卷积）

y(n)x(n)*h(n)，Y(j)X(j)H(j)，Y(z)X(z)H(z)

8、系统的频率特性可由其零点及极点确定

X(z)bziMiak0i0NA(1zziM1)Akzk(1zk1i1N(zz)ziMMkz1)(zzk1i1N

k)zN（式中，zk是极点，zi是零点；在极点处，序列x(n)的Z变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点。）

9、稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若|x(n)|，则|y(n)|

线性移不变系统是稳定系统的充要条件：

n|h(n)|

或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位园 |z|=1

10、因果系统：n0时刻的输出y(n0)只由n0时刻之前的输入x(n),nn0决定

线性移不变系统是因果系统的充要条件：h(n)0,n0 或：其系统函数H(z)的收敛域在某园外部：即：|z|>Rx

11、稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。

h(n)0,n0 线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：|h(n)|，

n或：H(z)的极点在单位园内 H(z)的收敛域满足：|z|Rx,Rx1

12、差分方程

线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示（差分方程的初始条件应满足松弛条件）

aynkbxni

kik0i0NM

13、差分方程的解法 1）直接法：递推法 2）经典法

3）由Z变换求解

二、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换

1、周期序列的离散傅立叶级数（DFS）

Xp(k)DFS[xp(n)]xp(n)en0N1j2knNkn xp(n)WNn0N11xp(n)IDFS[Xp(k)]N其中：WN=ej2/N

KON1XPke2jknN1NKON1XPkWNkn

2、有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)

knX(k)DFT[x(n)]{DFS[x(nN)]}RN(k)x(n)WN，0≤k≤N1

n0N11N1kn x(n)IDFT[X(k)]{IDFS[X(kN)]}RN(n)X(k)WN，0≤n≤N1

Nk0应当注意，虽然x(n)和X(k)都是长度为N得有限长序列，但他们分别是由周期序列xp(n)和Xp(k)截取其主周期得到的，本质上是做DFS或IDFS，所以不能忘记它们的隐含周期性。尤其是涉及其位移特性时更要注意。

3、离散傅立叶变换与Z变换的关系 X(k)X(j)|2X(z)|j2k

NkzeN

4、频域抽样定理

对有限长序列x(n)的Z变换X(z)在单位圆上等间隔抽样，抽样点数为N，或抽样间隔为2/N，当N≥M时，才可由X(k)不失真恢复X(j)。

1zN内插公式：X(z)N

5、周期卷积、循环卷积

周期卷积：xp3(n)xp1(m)xp2(nm)

m0N1X(k) k1k01WNzN1循环卷积：x3(n)x1(n)N1x2(n)xp3(n)RN(n)xp1(m)xp2(nm)RN(n)

m0

6、用周期（周期）卷积计算有限长序列的线性卷积

对周期要求：NN1N21（N

1、N2分别为两个序列的长度）

7、基2 FFT算法 1）数据要求：N2M

1 2）计算效率（乘法运算次数：NM，加法计算次数：NM ）（复数运算）

2 （DFT运算：乘法运算次数：N2，加法计算次数：N2）（复数运算）

8、快速卷积（采用FFT计算）

9、分辨率

三、数字滤波器的设计

（一）FIR滤波器的设计

1、特点：可实现严格的线性相位特性、系统是稳定的、因果的、阶数较高

2、实现线性相位的条件 （1）h(n)为实数 （2）h(n)=h(N-1-n) 做一般意义下的FIR滤波器，N是偶数，不适合做高通滤波器 或 h(n)=-h(N-1-n) 对称中心：(N-1)/2 适于做希尔伯特变换器，微分器和正交网络。

3、主要设计方法 1）窗函数法

2）频率抽样设计

频率抽样内插公式设计。 特点：

频率特性可直接控制。

若滤波器是窄带的，则能够简化系统

若无过渡带样本，则起伏较大。改进办法是增加过渡带样本，采用过渡带的自由变量法，通常使用优化方法求解。可得到较好的起伏特性，但是会导致过渡带宽度加大，改进办法是增加抽样点数。

抽样点的获得采取两种办法：I型抽样及II型抽样。

若要满足线性相位特性，则相位要满足一定要求。

（二）IIR滤波器的设计

1、特点

• 阶数少、运算次数及存储单元都较少 • 适合应用于要求相位特性不严格的场合。

• 有现成的模拟滤波器可以利用，设计方法比较成熟。 • 是递归系统，存在稳定性问题。

2、主要设计方法

先设计模拟滤波器，然后转换成数字滤波器。 设计过程：

1）先设计模拟低通滤波器Ha(s)：butterworth滤波器设计法等，有封闭公式利用

2）将模拟原型滤波器变换成数字滤波器 （1） 模拟低通原型先转换成数字低通原型，然后再用变量代换变换成所需的数字滤波器；  模拟低通原型先转换成数字低通原型：HaL(s)HL(z)，主要有冲激不变法、阶跃不变法、双线性变换法等。

 将数字低通原型滤波器通过变量代换变换成所需的数字滤波器。，z1G(Z1) HL(z)HD(Z)

（2） 由模拟原型变成所需型式的模拟滤波器，然后再把它转换成数字滤波器；

 将模拟低通原型滤波器通过变量代换变换成所需的模拟滤波器。HaL(s)HaD(S1)，sF(S1)

 模拟滤波器转换成数字数字滤波器：HaD(s)HD(z)，主要有冲激不变法、阶跃不变法、双线性变换法等

（3） 由模拟原型直接转换成所需的数字滤波器

直接建立变换公式：HaL(s)HD(z)，sG(z1)

3、模拟数字转换法 （1）冲激不变法

H(z)ZL1[Ha(s)]|tnT

单阶极点情况

NAkAk\'skT\' H(z)，， Ha(s)AApekkk11pzssk1k1kkN

（2）阶跃不变法

H(z)z1ZL1[Ha(s)/s]|tnT z

冲激不变法和阶跃不变法的特点： • 有混叠失真

• 只适于限带滤波器

• 不适合高通或带阻数字滤波器的设计

1z1（3）双线性变换法 sC 11z常数C的计算：1）Cccot(c2) 2）C=2/T 特点：

(i) 稳定性不变 （ii）无混叠

（iii）频率非线性变换，会产生畸变，设计时，频率要做预畸变处理

4、直接法设计IIR数字滤波器 • z平面的简单零极点法

（三）滤波器的网络结构

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