第7讲
平均数
一组数的和除以这组数的个数,称为这组数的平均数。
例
1、5个连续自然数的中间一个数是45,这5个数的和是多少?
分析5个连续自然数的第3个数是45,第2个(44)与第4个(46)相加是两个45,第1个(43)与第5个(47)相加是两个45。
解
和是
45×5=225
随堂练习1 计算56+57+58+59+60+61+62+63+64 一般地,奇数个连续自然数的和等于中间一项乘以项数。 换句话说,奇数个连续自然数的平均数就是中间的那个数。 高斯求和方法的实质就是
和=平均数×项数
偶数个连续自然数的平均数不是整数,我们现在尚未学到。所以先将第一项加最后一项,第二项加倒数第二项……直至中间两项相加,这些和都相等。而个数是项数的一半,所以偶数个连续自然数的和等于中间两项的和(也即首末两项的和)乘以项数除以2.
例
2、8个连续自然数的和是108,写出这8个数。
分析
因为中间两个数相加再乘以4(=8÷2)等于108,所以中间两项的和可以求出来。
解 中间两项的和是108÷(8÷2)=27 又
27=13+14 所以中间两项是
13、14.这8个数是
10、
11、
12、
13、
14、
15、
16、17.(由13往前数4个数到10,由14往后数4个数到17) 答:这8个连续的自然数是
10、
11、
12、
13、
14、
15、
16、17. 随堂练习2 6个连续自然数的和是273,这6个数中的第一个数是多少?
例
3、求出以下28个数的平均数:
12、
13、
13、
14、
15、
16、
16、
16、
17、
18、
19、20、
21、
22、
23、
24、
25、
26、
27、
28、
29、30、
31、
32、
33、
34、
35、35.分析与解
这28个数的和是(12+13+14+……+35)+13+16+16+35 求出和再除以28就得到平均数,但比较麻烦。如果注意到25个连续自然数
11、
12、13,……,35的平均数是23(中间一项),那么就比较容易。
因为 13+16+16+35 =(11+2)+(23+12)+(23-7)+(23-7) =11+23+23+23 所以原来的和就是11+12+13+……+35+23+23+23, 原来28个数的平均数正好是23.
随堂练习3 求28个数:
12、
13、
14、
14、
14、
15、
16、
17、
17、
18、
19、20、
21、
22、
23、
24、
25、
26、
27、
28、
29、30、
31、
32、
33、
34、
35、35的平均数。
例
4、求数列
1、
2、
4、
5、
7、8,……,
46、
47、
49、50、
52、53 (1) 的规律,并求这组数的和与平均数。
分析 数列的奇数项数的项组成等差数列(公差是3)
1、
4、7,……,
49、52.(2) 数列的偶数项数的项组成等差数列(公差也是3)
2、
5、8,……,50、53.(3)
分别求出数列(2)(3)的和,再相加,可以得出所求的和,再得出平均数。但更为简单的办法是直接运用高斯的思想。注意: 1+53=2+52=4+50=……=25+29=26+28 (4) 解 1与53的平均数是27,也就是1+53可以换成2个27相加。 同样,2+52,4+50,……,26+28都可以换成27+27.因此(1)的和是27×36=972.从例4可以看出,如果一组数可以分成许多小组,各小组的平均数都相等,那么这个相等的数就是这组数的平均数(例4中,每个小组2个数的和是54,每个小组的平均数是27)。
随堂练习4 寻找数列4,2,5,8,6,14,7,20,……,12,50,13,56的规律,并求这数列的和。
练习题:
(1) 求1至100内能被4整除余1的所有数的和。
(2) 求1至100内既是3的倍数又是5的倍数的所有数的和。
(3) 有10只盒子,44只乒乓球。把这44只乒乓球放到盒子中,每个盒子中至少要放一个球,能不能使每个盒中的球数都不相同?
(4) 影剧院共有25排座位,第一排有20个座位,以后每排比前一排多2个座位,问:影剧院共有多少个座位?
(5) 时钟在每个整点时敲这钟点数,每半点钟时敲1下,问:一昼夜该时钟总共敲多少下? (6) 求所有三位数的和。
(7) 求1至100(包括100在内)的所有5的倍数的和。
(8) 50把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,试多少次就足够了?
(9) 已知数列:2,5,3,3,7,2,5,3,3,7,2,5,3,3,7,……。这个数列的第30项是哪个数?到第25项止,这些数的和是多少?
(10) 24个连续自然数12―35,再添上一个35,一个13,两个16.这28个数的平均值是多少?