推荐第1篇：平面向量教案
平面向量的综合应用 执教人： 执教人：易燕子 考纲要求： “从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使 考纲要求： 对数学基础知识的考查达到必要的深度” 。向量以其独特的数形结合和坐标运算， 成为衔接代数与几何的最佳纽带，故以向量知识与三角函数、解析几何、数列、不等式等多项内容的交汇作为设计综合性试题考查考生的综合能力，是高考的一 个热点，也是重点。 教学目标 （1）进一步理解平面向量的有关知识； 教学目标： （2）了解在平面向量与其他知识交汇点设计试题的几种形式； （3）能综合运用平面向量和相关知识解决问题。 教学重点： 教学重点：平面向量与其他知识的相互联系。 教学难点： 教学难点：平面向量与其他知识的相互转化。 评述：通过平面向量的运算得出二次不等式，利用恒成立解决。 “ 训练： （2010 北京） a、b 为非零向量， a ⊥ b ”是“函数 f ( x ) = ( xa + b) xb − a ) 为一次 ( 函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 四．与三角知识的交汇 例 4． （2009 湖北）已知向量 a = (cos α , sin α ), b = (cos β , sin β ), c = (− 1,0 ) （1）求向量 b + c 的长度的最大值； （2）设 a = r r r r r r r r r r π 4 ，且 a ⊥ (b + c) ，求 cos β 的值. r r r 教学设计： 教学设计： 一．与集合的交汇 例 1.(2009 湖北)已知 P = {a | a = (1, 0) + m(0,1), m ∈ R} ， Q = {b | b = (1,1) + n( −1,1), n ∈ R} 是两个向量集合，则 P I Q = A．〔1，1〕 ｛ ｝ ( B.｛ 〔-1，1〕 ｝ ) C.｛ 〔1，0〕 ｝ r r r r 评述：以平面向量(三角函数)为载体，与三角函数(平面向量)的交叉与综合，是高考命题的一个 重要考点，其解法是利用向量的数量积和模的概念等脱去向量的“外衣”，转化为三角函数问 题，即可解决。 训练： （2009 江苏）设向量 a = (4 cos α ,sin α ), b = (sin β , 4 cos β ), c = (cos β , −4 sin β ) （1）若 a 与 b − 2c 垂直，求 tan(α + β ) 的值； （2）求 | b + c | 的最大值； r r r D.｛ 〔0，1〕 ｝ r r r r r uuu uuu uuur uuu uuu uuur r r r uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r | OA |=| OB |=| OC |, NA + NB + NC = 0 ，且 PA • PB = PB • PC = PC • PA, 则点 O，N，P 依 次是 ∆ABC 的( ) A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心 变式：若将 Q 集合中的 n 改为 m，结果又如何呢？ 评述：借助平面向量的坐标运算，把集合的交集运算转化为向量相等，考查了方程思想和等价 转化的思想。 二．与平面几何的交汇 例 2.（2009 宁夏海南）已知 O，N，P 在 ∆ABC 所在平面内，且 r r （3
推荐第2篇：向量概念教案
向 量
教学目的：
1．理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义； 2．理解向量的几何表示，会用字母表示向量；
3．了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行(共线)、相等的关系； 4．通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力．
教学重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示． 教学难点：向量概念的理解． 教学过程：
一、设置情境，引入新课：
现实生活中有一些量既有大小又有方向。 答：比如：力、速度、加速度等有大小也有方向． 举例：在物理中表示推小木箱的力的办法。 我们把既有大小又有方向的量叫做向量．这就是我们今天要学习的平面向量的第一小节：向量(板书课题)．
二、新课：
1．向量的概念：
既有大小又有方向的量叫向量．例：力、速度、加速度等． 2．向量的表示方法：
(1) 几何表示法：点和射线(数学中通常用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量)．
有向线段——具有一定方向的线段． 有向线段的三要素：起点、方向、长度．
符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段记作 ( )． (2) 字母表示法： 可表示为 ( )． 例 小船由A地向西北方向航行15n mail(海里)到达B地，小船的位移如何表示？ 用1cm表示5n mail(海里)，如图．
3．向量的模：向量 的大小——长度称为向量的模． 记作：| |，模是可以比较大小的． 注意： 数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；例如：温度、距离。
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小． 4．两个特殊的向量：
(1) 零向量——长度为零的向量，表示为：（ ） (2) 单位向量——长度等于1个单位长度的向量． 5．向量间的关系：
(1)平行向量——方向相同或相反的非零向量(如图)，
记作：（ ）．规定：（ ）与任一向量平行． 长度相等且方向相同的向量．
记作：（ ）．规定：（ ） 注意：1°零向量与零向量相等． 2°任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．
问：如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点O，这时各向量的终点之间有什么关系？这时它们是不是平行向量？
答：各向量的终点都在同一条直线上，是平行向量．
(3) 共线向量——由此，我们把平行向量又叫做共线向量．
6．例题分析：
例1 有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量；单位向量大小相等；单位向量不一定相等．
例2 判断下列命题真假或给出问题的答案： (1)平行向量的方向一定相同． (2) 不相等的向量一定不平行．
(3) 与零向量相等的向量是什么向量？ (4) 与任何向量都平行的向量是什么向量？ (5) 两个非零向量相等的充要条件是什么？
解：(1) 根据定义：平行向量可以方向相反，故命题(1)为假；
(2)平行向量没有长、短要求，故命题(2)为假；
(3) 只有零向量；
(4) 零向量；
(5) 模相等且方向相同
说明：零向量是向量，只不过它的起、终点重合．依定义、其长度为零． 例3 判断：若 // ，且 // ，则 // ．
证明：向量平行的传递性要成立，就需“过渡”向量 不为零向量． ①两个向量均不为零时，∵ // ，∴ 与 同向或反向． 又∵ // ，∴ 与 同向或反向， ∴ 与 同向或反向，∴ // ． ②若 与 中有一个为零，则另一个无论为零还是不为零，均有 // ．
三、小结：
1．描述一个向量有两个指标：模、方向．
2．平行概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否真的不在一条直线上无关． 3．向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性．
四、巩固练习：
1．等腰梯形ABCD中，对角线 AC与BD相交于点P，点E、F分别在两腰AD、BC上，EF过P且EF // AB，则下列等式正确的是( D ) A． B．
C．
D．
2．物理学中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共线向量． (答：相等，相反)
五、课后作业：教材中练习及习题
推荐第3篇：平面向量教案
平面向量教案
课
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二、复习要求
、向量的概念;
2、向量的线性运算:即向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积等的定义,运算律;
3、向量运算的运用
三、学习指导
、向量是数形结合的典范。向量的几何表示法--有向线段表示法是运用几何性质解决向量问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时甚至更简捷。
向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或平行四边形;②实数与向量乘积的几何意义--共线;③定比分点基本图形--起点相同的三个向量终点共线等。
2、向量的三种线性运算及运算的三种形式。
向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结果是向量,两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式:图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下:
运算图形语言符号语言坐标语言
加法与减法
=
-=
记=,=
则=
-==
实数与向量
的乘积
=λ
λ∈R记=
则λ=两个向量
的数量积
·=||||
cos
记=,=
则·=x1x2y1y2
3、运算律
加法:=,=
实数与向量的乘积:λ=λλ;=λμ,λ=
两个向量的数量积:·=·;·=·=λ,·=··
说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如2=
4、重要定理、公式
平面向量基本定理;如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任一向量,有且只有一对数数λ1,λ2,满足=λ1λ2,称λ1λλ2为,的线性组合。
根据平面向量基本定理,任一向量与有序数对一一对应,称为在基底{,}下的坐标,当取{,}为单位正交基底{,}时定义为向量的平面直角坐标。
向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若A,则=;当向量起点不在原点时,向量坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A,B,则=
两个向量平行的充要条件
符号语言:若∥,≠,则=λ
坐标语言为:设=,=,则∥=λ,即,或x1y2-x2y1=0
在这里,实数λ是唯一存在的,当与同向时,λ>0;当与异向时,λ
|λ|=,λ的大小由及的大小确定。因此,当,确定时,λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。
两个向量垂直的充要条件
符号语言:⊥·=0
坐标语言:设=,=,则⊥x1x2y1y2=0
线段定比分点公式
如图,设
则定比分点向量式:
定比分点坐标式:设P,P1,P2
则
特例:当λ=1时,就得到中点公式:
,
实际上,对于起点相同,终点共线三个向量,,,总有=uv,uv=1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且系数和为1。
平移公式:
①点平移公式,如果点P按=平移至P\',则
分别称,为旧、新坐标,为平移法则
在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标
②图形平移:设曲线c:y=f按=平移,则平移后曲线c\'对应的解析式为y-k=f
当h,k中有一个为零时,就是前面已经研究过的左右及上下移
利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质
正弦定理,余弦定理
正弦定理:
余弦定理:a2=b2c2-2cbcosA
b2=c2a2-2cacosB
c2=a2b2-2abcosc
定理变形:cosA=,cosB=,cosc=
正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本,理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。
5、向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的\"程序性\"特点。
四、典型例题
例
1、如图,,为单位向量,与夹角为1200,与的夹角为450,||=5,用,表示。
分析:
以,为邻边,为对角线构造平行四边形
把向量在,方向上进行分解,如图,设=λ,=μ,λ>0,μ>0
则=λμ
∵||=||=1
∴λ=||,μ=||
△oEc中,∠E=600,∠ocE=750,由得:
∴
∴
说明:用若干个向量的线性组合表示一个向量,是向量中的基本而又重要的问题,通常通过构造平行四边形来处理
例
2、已知△ABc中,A,B,c,Bc边上的高为AD,求点D和向量坐标。
分析:
用解方程组思想
设D,则=
∵=,·=0
∴-6-3=0,即2xy-3=0①
∵=,∥
∴-6=-3,即x-2y1=0②
由①②得:
∴D,=
例
3、求与向量=,-1)和=夹角相等,且模为的向量的坐标。
分析:
用解方程组思想
法一:设=,则·=x-y,·=xy
∵=
∴&nb ∴
即①
又||=
∴x2y2=2②
由①②得或
∴=
法二:从分析形的特征着手
∵||=||=2
·=0
∴△AoB为等腰直角三角形,如图
∵||=,∠Aoc=∠Boc
∴c为AB中点
∴c
说明:数形结合是学好向量的重要思想方法,分析图中的几何性质可以简化计算。
例
4、在△oAB的边oA、oB上分别取点m、N,使||∶||=1∶3,||∶||=1∶4,设线段AN与Bm交于点P,记=,=,用,表示向量。
分析:
∵B、P、m共线
∴记=s
∴①
同理,记
∴=②
∵,不共线
∴由①②得解之得:
∴
说明:从点共线转化为向量共线,进而引入参数是常用技巧之一。平面向量基本定理是向量重要定理之一,利用该定理唯一性的性质得到关于s,t的方程。
例
5、已知长方形ABcD,AB=3,Bc=2,E为Bc中点,P为AB上一点
利用向量知识判定点P在什么位置时,∠PED=450;
若∠PED=450,求证:P、D、c、E四点共圆。
分析:
利用坐标系可以确定点P位置
如图,建立平面直角坐标系
则c,D,E
设P
∴=,=
∴
·=3y-1
代入cos450=
解之得,或y=2
∴点P为靠近点A的AB三等分处
当∠PED=450时,由知P
∴=,=
∴·=0
∴∠DPE=900
又∠DcE=900
∴D、P、E、c四点共圆
说明:利用向量处理几何问题一步要骤为:①建立平面直角坐标系;②设点的坐标;③求出有关向量的坐标;④利用向量的运算计算结果;⑤得到结论。
同步练习
选择题
、平面内三点A,B,c,若∥,则x的值为:
A、-5B、-1c、1D、5
2、平面上A,B,D,c点满足,连Dc并延长至E,使||=||,则点E坐标为:
A、B、c、D、或
2、点沿向量平移到,则点沿平移到:
3、A、B、c、D、
4、△ABc中,2cosB·sinc=sinA,则此三角形是:
A、直角三角形B、等腰三角形c、等边三角形D、以上均有可能
5、设,,是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:
①-=0
②||-||
③-不与垂直
④·=9||2-4|2中,
真命题是:
A、①②B、②③c、③④D、②④
6、△ABc中,若a4b4c4=2c2,则∠c度数是:
A、600B、450或1350c、1200D、300
7、△oAB中,=,=,=,若=,t∈R,则点P在
A、∠AoB平分线所在直线上B、线段AB中垂线上
c、AB边所在直线上D、AB边的中线上
8、正方形PQRS对角线交点为m,坐标原点o不在正方形内部,且=,=,则=
A、B、c、D、
填空题
9、已知{,|是平面上一个基底,若=λ,=-2λ-,若,共线,则λ=__________。
0、已知||=,||=1,·=-9,则与的夹角是________。
1、设,是两个单位向量,它们夹角为600,
则·=____________。
2、把函数y=cosx图象沿平移,得到函数___________的图象。
解答题
3、设=,=,⊥,∥,试求满足=的的坐
14、若=,-=,求、及与夹角θ的余弦值。
5、已知||=,||=3,和夹角为450,求当向量λ与λ夹角为锐角时,λ的取值范围。
参考答案
1、c
2、B
3、D
4、B
5、D
6、B
7、A
8、
9、
10、
11、
12、y=sinx1
13、
4、=,=,
5、λ且λ≠ 课
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A
推荐第4篇：平面向量概念教案
平面向量概念教案
一．课题：平面向量概念
二、教学目标
1、使学生了解向量的物理实际背景，理解平面向量的一些基本概念，能正确进行平面向量的几何表示。
2、让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。
3、通过本节的学习，让学生感受向量的概念方法源于现实世界，从而激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣
三．教学类型：新知课
四、教学重点、难点
1、重点：向量及其几何表示，相等向量、平行向量的概念。
2、难点：向量的概念及对平行向量的理解。
五、教学过程
（一）、问题引入
1、在物理中，位移与距离是同一个概念吗？为什么？
2、在物理中，我们学到位移是既有大小、又有方向的量，你还能举出一些这样的量吗？
3、在物理中，像这种既有大小、又有方向的量叫做矢量。在数学中，我们把这种既有大小、又有方向的量叫做向量。而把那些只有大小，没有方向的量叫数量。
（二）讲授新课
1、向量的概念
练习1 对于下列各量：
①质量 ② 速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程 ⑦密度 ⑧功 ⑨体积 ⑩温度
其中，是向量的有：②③④⑤
2、向量的几何表示
请表示一个竖直向下、大小为5N的力，和一个水平向左、大小为8N的力（1厘米表示1N）。思考一下物理学科中是如何表示力这一向量的？
（1）有向线段及有向线段的三要素 （2）向量的模
（4）零向量，记作＿＿＿＿； （5）单位向量
练习2 边长为6的等边△ABC中， ＝＿＿，与 相等的还有哪些？
总结向量的表示方法： 1）、用有向线段表示。
2）、用字母表示。
3、相等向量与共线向量 （1）相等向量的定义 （2）共线向量的定义
六．教具：黑板 七．作业 八．教学后记
推荐第5篇：《向量的概念》教案
科目：数学
时间：4月15日 上午第二节 班级：财会 教师： 内容：《向量的概念》
教学目的：1.使学生理解向量的概念。2.会用数学方法表示向量。 本课的重点和难点：向量概念的理解和表示方法。 教学过程：
引入：让我们来做一道选择题：3+4=（ ）
A．7
B.5
C.3.5
D.1
大家来选一选
今天以前，我们的答案毫不犹豫是A，但过了今天，这个题目的正确答案是：A，B，C，D，都有可能！要想知道为什么，让我们来学习新的一章---《平面向量》。
一．认识向量：
让我们看一些生活中的关于“量”的例子：
1．我买了2斤土豆
2．向前走100米，有个超市
3．今天气温25°c
4．报告船长，现在船速10km/h,方向北偏东35° 5．哎，离下课还有44分钟
6。甲用200牛顿的力向前推车 如果把这些量分为两类，怎么分？
1.3.5：这些只有大小，没有方向的量---我们称为“数量”，质量，时间，温度等等，请同学们举例。
2.4.6：这些不仅有大小，还有方向的量---我们称为“向量”，位移，速度，力等。
比如；位移，在物理学中指物体起点运动到终点，如甲从A点运动到B点，有大小，有方向：速度，汽车向西行驶，速度大小70km/h，有大小，有方向。但这两种向量与力不同，力要有作用点，作用点不同，效果不同，是不自由的，而位移与速度没有作用点，是自由的，称为自由向量。
二．向量的描述：
1． 文字描述：印刷中，向量用小写黑体英文字母描述，如向量a,b,c..
手写体中，用带箭头的小写字母表示，如向量a, b, c
但我们不能老是说向量a大小为5个单位，方向向北，太麻烦，所以我们引入图形描述。
2． 图形描述：问：如何用最简单直观的方法描述一个向量呢？
场景：逛街时突然很急，看到牌子：WC
很显然，这种用带箭头线段的指示方法最简单直观。受到启发，我们将它做一下改进，使用有向线段这个数学工具来描述向量。
有向线段：有方向的线段。方向：表示向量的方向；
线段的长度：表示向量的大小； 起点：向量起点；终点：向量终点。
举例：一个人由位置A位移：北偏东45°，3个单位，到达B位置。
可以用有向线段AB来表示，如下:
练习：课本214页，练习1
比例尺：在研究实际问题时，为了方便，用以表示一个基准单位。
有向线段可以很完美的描述向量，以至于我们常常把有向线段也称为向量。今后我们在数学中提到的“向量”时，也通常就是指一个有向线段。所以向量也可以用有向线段的起止点加上箭头来表示。如：向量AB，向量CD。。 三．向量的相关概念：
1.相等向量：我们研究的向量都是自由向量，只有大小和方向两个要素，所以
只要两个向量方向相同，长度相等，就是相等向量或说同一向量。 例：请大家判断，下面那组是相同向量，两个向量AB和CD是同一向量，即AB=CD=a，而AB和BA却是两个不同向量，因为方向不同。
以刚才WC为例：无论方向和长度（距离）哪一个搞错了，你都解决不了问题！ 练：课本214页7题
2．向量的模：如果用有向线段AB表示向量a，则AB的长度叫a的长（或模），
记作：
|a|
零向量：模为0的向量，记作0
。 零向量的方向不确定。
例：原地不动，即产生了一个零向量。
3．位置向量：这是向量的方法在生活中的一个应用，我们常会用一个已知点作为
参考来表示另一个不熟悉的位置时。例如，我们想知道天津的位置，可以说，“天津位于北京东偏南50°，114km”，那可以用o表示北京，A表示天津，这时向量OA，叫做A相对于O的位置向量。如下：
总结：这节课我们学习了向量的基础知识，认识了向量，向量也是量，也有可以进行运算，下次课我们学习向量的加减法，就可以解决开头我们提出的问题了。
推荐第6篇：空间向量求空间角.教案
空间向量求空间角
教学知能目标：1．理解空间向量求解空间角的一般方法；
2．能用空间向量解决空间角问题。
教学情感目标：培养学生探究新知的精神，培养学生数形结合的能力，化归的能力。 教学重点：理解空间向量求解空间角的一般方法，并能利用空间向量解决空间角问题。 教学难点：线面角，面面角的化归。
一、复习引入：
1 ．在三棱锥PABC中，PAAB,ABAC,ACPA,
则面ABC的法向量是什么？面PBC PAPBPC2，的法向量又怎么求？
2 ．空间向量的数量积运算公式是什么？
二、新课探究：
四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是的边长为1的正方形，侧棱垂直底面，AB1,AA14,E,F,G分
A1D1C1PACBZ别是CC1,AC,BB1的中点。
问题1：求异面直线B1F,D1E所成角的余弦值.
探究：如何用空间向量求异面直线所成的角？
AB1EGDFBCY设l1与l2是两异面直线，a,b分别为l
1、l2的方向向量，它们所成角为， l
1、l2所成的角为，则θ与相等或
Xab互补，则coscos
ab
αab
问题2：求直线AC与平面AGF所成角的余弦值； 1
探究：如何用空间向量求直线与平面所成的角？
如图，设l为平面的斜线，lA，a,为l的方
Ban向向量， n为平面的法向量，它们所成角为θ， l与
平面所成的角为，则sincosanan
问题3：求二面角AAG1F的平面角的余弦值。
探究：如何用空间向量求二面角？
平面与相交于直线l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，n1,n2 = ，则二面角l为或.设二面角的大小为，则coscosn1nn
21n2
φαACαn1An2φβlOB
三、巩固提高：
已知四棱锥SABCD的底面ABCD是边长为（1）当时SA2a时，求异面直线a的正方形，
（2）当SA2a时AB和SC所成角的余弦值；求直线BD和平面SCD所成角的余弦值；（3）
ZSSA的值为多少时，二面角BSCD的大AB小为120? 当
四、小结：
ADYBXCab1．求异面直线所成的角时，一定要注意(0,90]，从而有coscos
ab2．求直线与平面所成的角时，一定要注意它和a,n之间的关系，从而有ansincos
an3．求二面角时一定要注意它和m,n之间的关系，从而有
mncoscos
，同时还要观察图形确定二面角的范围。
mn
五、作业：选修2-1，习题3.2A组1,2,4,6
推荐第7篇：平面向量基本定理教案
§2.3.1平面向量基本定理教学设计
教学目的：
（1）了解平面向量基本定理；
（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.授课类型：新授课 教学过程：
一、复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa|=|λ||a|；
（2）λ>0时λa与a方向相同；λ
2．运算定律
结合律：λ(μa)=(λμ)a ；
分配律：(λ+μ)a=λa+μa， λ(a+b)=λa+λb
3.向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa.
二、讲解新课：
1．提出问题：由平行四边形想到：
（1）是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ （2）对于平面上两个不共线向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？
2．设e1，e2是不共线向量，a是平面内任一向量，
e1 a
MC
N B e2
O OA=e1 ，OM=λ
1e2； OB=e2 ，ON=λe2
21OC=a=OM+ON=λ
e1+λe2，
2平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对
于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2.探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量
3、两个非零向量的夹角：
如图所示，已知两个非零向量a,b，在平面上任取一点O，作OAaO ,Bb，
则AOB0叫做向量a与b的夹角，
ba BAO θbθ bAOB aa【说明】（1）研究两个非零向量的夹角时，必须先将这两个向量的起点移至同一个点；但是当两个向量的终点重合时，表示向量的这两条线段所成的0,范围内的角也等于这两个向量之间的夹角。 （2）只有非零向量之间才存在夹角；
（3）如果∠AOB=0°a与b同向；
（4）如果∠AOB=90°，我们就说向量a与b垂直，记作：ab；
（5）如果∠AOB=180°a与b反向。
三、讲解范例：
例1 已知向量e1，e2 求作向量2.5e1+3e2.
作法：见教材
四、课堂练习：
1.设e
1、e2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e
1、e2一定平行
e2e1B.e
1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若e
1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e
1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量e
1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2
五、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合．
六、课后作业：课本：101页1,2 板书设计：略
推荐第8篇：平面向量的概念教案
平面向量基本概念
【教学目标】
知识目标：
（1）了解向量的概念；
（2）理解平面向量的含义、向量的几何表示，向量的模.能力目标：
（1）能将生活中的一些简单问题抽象为向量问题；
（2）理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的含义，能在图形中辨认相等向量和共线向量.（3）从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点.（4）通过相关问题的解决，培养计算技能和数学思维能力 情感目标：
（1）经历利用有向线段研究向量的过程，发展“数形结合”的思维习惯． （2）经历合作学习的过程，树立团队合作意识． 【教学重点】
向量、相等向量、共线向量的含义及向量的几何表示.【教学难点】
向量的含义.【教学过程】
（一）情境创设
1.南辕北辙——战国时，有个北方人要到南方的楚国去.他从太行山脚下出发，乘着马车一直往北走去.有人提醒他：“到楚国应该朝南走，你怎能往北呢?”他却说：“不要紧，我有一匹好马！”
结果 原因
2.如图1，在同一时刻，老鼠由A向西北方向的C处逃窜，猫由B向正东方向的D处追去，猫能否抓到老鼠？
结果 原因 思考：上述情景中，描绘了物理学中的那些量？ 咱们还认识类似于上面的量，你能举出来吗？ 这些量的共同特征是什么？
（二）概念形成
观察：如图2中的三个量有什么区别？
1.向量的概念——既有大小又有方向的量叫向量.2.向量的表示方法
思考:物理学中如何画物体所受的力? (1) 几何表示法：常用一条有向线段表示向量.符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段，
记作AB.(注意起终点顺序).(2) 字母表示法：可表示AB为a.练习.如图4，小船由A地向西北方向航行15海里到达 B地，小船的位移如何表示？（用1cm表示5海里）
（三）理性提升 3.向量的模
向量AB的大小——向量AB长度称为向量的模.记作：|AB|.强调：数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有大小，方向，不能比较大小，模是实数，可以比较大小的.4.两个特殊的向量 (1) 零向量——长度为零的向量，记作0.(2) 单位向量——长度等于1个单位长度的向量． 5.向量间的关系
观察如图5，你认为向量之间有那些关系？
(1)平行向量——方向相同或相反的非零向量，记作a∥b∥c.规定： 0与任一向量平行.(2)相等向量——长度相等且方向相同的向量， 记作ab.规定：00.注意： 1°零向量与零向量相等．
2°任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．
思考：如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点O，这时各向量的终点之间有什么关系？这时它们是不是平行向量？
(3)共线向量——平行向量又叫做共线向量．
（四）拓展应用
例1.下列命题中，正确的是( ) A．|a|=|b|a=b
B．|a|=|b|且a∥ba=b C． a=ba∥b
D．a∥0|a|=0 例2.如图6，设O是正六边形ABCDEF的中心，
分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量.思考：
(1)与向量OA长度相等的向量有多少个？ (2)是否有与向量OA长度相等，方向相反的向量？ (3)与向量OA共线的向量有哪些？
例3.如图7，在45的方格图中，有一个向量AB， 分别以图中的格点为起点和终点作向量.(1) 与向量AB相等的向量有多少个？
(2) 与向量AB长度相等的向量有多少个？ 练习巩固：P77.1～4
（五）归纳小结
1.描述一个向量有两个指标——模、方向.2.平行向量不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量，与长度无关.3.共线向量是指平行向量,与是否真的画在同一条直线上无关.
2 4.向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性.
推荐第9篇：《平面向量基本定理》教案
一、教学目标：
1.知识与技能：
了解平面向量基本定理及其意义, 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示；能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示。
2.过程与方法：
让学生经历平面向量基本定理的探索与发现的形成过程,体会由特殊到一般和数形结合的数学思想，初步掌握应用平面向量基本定理分解向量的方法，培养学生分析问题与解决问题的能力。
3.情感、态度和价值观
通过对平面向量基本定理的学习,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性,增强学生向量的应用意识,并培养学生合作交流的意识及积极探索勇于发现的学习品质.二、教学重点：平面向量基本定理.
三、教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.四、教学方法：探究发现、讲练结合
五、授课类型：新授课
六、教 具：电子白板、黑板和课件
七、教学过程：
（一）情境引课，板书课题
由导弹的发射情境，引出物理中矢量的分解，进而探究我们数学中的向量是不是也可以沿两个不同方向的向量进行分解呢？
（二）复习铺路，渐进新课
在共线向量定理的复习中，自然地、渐进地融入到平面向量基本定理的师生互动合作的探究与发现中去，感受着从特殊到一般、分类讨论和数形结合的数学思想碰撞的火花，体验着学习的快乐。
（三）归纳总结，形成定理
让学生在发现学习的过程中归纳总结出平面向量基本定理，并给出基底的定义。
（四）反思定理，解读要点
反思平面向量基本定理的实质即向量分解，思考基底的不共线、不惟一和非零性及实数对
的存在性和唯一性。
（五）跟踪练习，反馈测试
及时跟踪练习，反馈测试定理的理解程度。
（六）讲练结合，巩固理解
即讲即练定理的应用，讲练结合，进一步巩固理解平面向量基本定理。
（七）夹角概念，顺势得出
不共线向量的不同方向的位置关系怎么表示，夹角概念顺势得出。然后数形结合，讲清本质：夹角共起点。再结合例题巩固加深。
（八）课堂小结，画龙点睛
回顾本节的学习过程，小结学习要点及数学思想方法，老师的“教 ”与学生的“学”浑然一体，一气呵成。
（九）作业布置，回味思考。
布置课后作业，检验教学效果。回味思考，更加理解定理的实质。
七、板书设计：
1.平面向量基本定理：如果
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数
，使
.
2.基底：
(1) 不共线向量
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底：不共线，不唯一，非零
(3) 基底给定，分解形式唯一，实数对
存在且唯一；
(4) 基底不同，分解形式不唯一，实数对
可同可异。
例1 例2
3.夹角
：
（1）两向量共起点；
（2）夹角范围：
例3
4.小结
5.作业
推荐第10篇：《平面向量的加法教案》
《平面向量的加法》教案
课题名称：平面向量的加法
教材版本：苏教版《中职数学基础模块*下册》 年 级： 高一
撰写教师： 徐艳
一、理解课程要求
教材分析：
(1)地位和作用
《平面向量的加法》是苏教版《中职数学基础模块*下册》第七章平面向量第二节平面向量的加法﹑减法和数乘向量的第1课时，主要内容为向量加法的三角形法则和运算律.向量的加法是向量线性运算中最基本的一种运算，既是对平面向量这一章第一节向量概念的巩固和应用，也是向量运算的起始课,为后继学习向量的减法运算及其几何意义﹑向量的数乘运算及其几何意义奠定了基础；其中三角形法则适用于求任意多个向量的和，在空间向量和立体几何中有很普遍的应用.因此，本节学习起着承上启下的作用.（2）教学内容及教材处理
教材是从两岸直航前后飞机发生的位移作为问题情境引入，让学生结合对平面向量概念的理解感受不同方式的位移对结果的影响，初步体会向量相加的概念，引发思考，引出新知.同时让学生知道数学源于生活并能解决生活中实际问题，更容易激发学习兴趣和激情. 教学目标： （1） 知识目标
① 理解向量加法的含义,学会用代数符号表示两个向量的和向量； ② 掌握向量加法的三角形法则，学会求作两个向量的和；
1 ③ 掌握向量加法的交换律和结合律，学会运用它们进行向量运算.（2） 能力目标
① 经历向量加法的概念﹑三角形法则的建构过程；
② 通过探究、思考、交流、解决问题等方式锻炼培养学生的逻辑思维能力、运算能力.(3) 情感目标
努力运用多种形象、直观和生动的教学方法，通过深入浅出的教学，让学生主动学习数学，体验学习数学的乐趣和成功，使学生产生“我努力，我能行”的乐观心态.
二、分析学生背景
(1)认知分析:学生在上节课中学习了向量的定义及表示，相等向量，平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础.(2)能力分析:学生已经具备了一定的归纳、猜想能力，主要培养学生分析问题和处理问题的能力.
(3)情感分析:职高学生的数学基础相对较差，好在11综计1班学生对数学学习尚有一定兴趣，与教师沟通较好，故此应因势利导，引导学生积极参与探究，指导学生合作互动，讨论交流.教法学法：在教学时，主要运用问题情境教学法﹑启发式教学法和多媒体辅助教学法.在学法上，引导学生采用以“小组合作﹑自主探究以及练习法.
三、选择媒体资源
媒体资源1 名 称： 两岸直航视频
媒体格式： avr 媒体资源2 名 称： 《爱的直航》 媒体格式： MP3
四、教学过程
一﹑创设情境
书本P39探究（给学生放映两岸直航视频）
★ 设计理念与意图:通过实际生活事件引入课题,提出数学问题，激发学生的兴趣,引发学生的探究欲望,为探究新知作铺垫.二﹑探求新知
1.向量加法定义：求两个向量和的运算.2.求作两个向量的和向量：
a b B a b abC A (1)在平面内任取一点A;作法： (2)作ABa,BCb;(3)则向量AC=ab.3.例题 书本P40
例2 用三角形法则作共线向量的和向量.设计意图：帮助学生突破难点，即理解三角形法则.4.练习： 书本P41练习1,2 设计意图：让学生分组练习，进一步加深对三角形法则的理解，巩固所学知识.5.加法运算律
(1)交换律：ab=b+a
(2)结合律：(ab）+c=a(bc)
练习:书本P41页练习3 设计意图：让学生运用加法交换律和结合律进行向量运算.思考：
如果平面内有n个向量依次首尾连接组成一条封闭折线，那么这n个向量的和是什么？
C例
A
三、课堂小结（学生归纳总结）
ABBCCA0B
1、向量加法的三角形法则：首尾相接，首尾连.
2、向量运算律：交换律和结合律.给学生放映歌曲《爱的直航》
四、课后作业 练习册相应练习
4 设计意图：帮助学生及时巩固所学知识.
五、教学反思
这节课是向量运算的起始课，既复习了前面所学的知识，又为后面学习向量的减法及数乘运算奠定了基础，起着承上启下的作用.本节课主要引导学生探究向量加法的三角形法则和运算律，学生对不共线向量的和向量作法掌握很好，但是对与共线的向量，部分学生有些糊涂，认为三角形法则要构成三角形，没有理解其实质，需关注.同时，一部分学生书写向量不知加箭头，需反复强调.
第11篇：平面向量复习课教案
平面向量复习课
一．考试要求：
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。 二．知识梳理
1．向量的概念：
向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。
2．向量的基本运算 （1） 向量的加减运算
几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。 坐标运算：设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则a+b=(x1+x2,y1+y2 ) a-b=(x1-x2,y1-y2)
(2)平面向量的数量积 ： ab=abcos
设a =(x1,y1), b =(x2,y2)则ab=x1x2+y1y2 （3）两个向量平行的充要条件 ∥ 若 =(x1,y1), =(x2,y2)，则 ∥ 3．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥
=λ
x1y2-x2y1=0
· =0 设 =(x1,y1)， =(x2,y2)，则 ⊥ x1x2+y1y2=0 三．教学过程
（一）基础知识训练
1.下列命题正确的是 （ ）
(A)单位向量都相等 (B)任一向量与它的相反向量不相等 (C)平行向量不一定是共线向量 (D)模为0的向量与任意向量共线 2.已知正六边形ABCDEF中，若ABa， FAb，则BC（ ）
(A)12(ab) (B)12(ab) (C) ab (D)12ab
3.已知向量e10,R，ae1e2,b=2e1若向量a与b共线，则下列关系一定成立是 （ ）
(A)0 (B) e20 (C)e1∥e2 (D)e1∥e2或0 4.若向量a(1,x)，b(x,2)共线且方向相同，x=__________。
（二）．典例分析
例1：（1）设a与b为非零向量，下列命题：
①若a与b平行，则a与b向量的方向相同或相反；
②若ABa,CDb, a与b共线，则A、B、C、D四点必在一条直线上；
a③若a与b共线，则abab；④若a与b反向，则ab
b其中正确命题的个数有 （A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（2）下列结论正确的是 （ ）
（A）abab （B）abab （C）若(ab)c(ca)b0
（D）若a与b都是非零向量，则ab的充要条件为abab
错解：（1）有学生认为①②③④全正确，答案为4；也有学生认为①或④是错的，答案为2或3；（2）A或B或C。
分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆，致使选择错误。
第（1）小题中，正确的应该是①④，答案为2。共线向量（a与b共
线）的充要条件中所存在的常数可看作为向量b作伸缩变换成为另一个向量a所作的伸缩量；若a，b为非零向量，则共线的a与b满足a与b同向时bbaa，a与b反向时aa。
bb第（2）小题中，正确答案为（D）。学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支D同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法，并进行正确互化。
例2 设a、b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R) 解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
∴ 2=2λ且 k=-λ
∴ k=-1 例3 梯形ABCD，且|AB|=2|DC|,M、N分别为DC、AB中点。 AB=a AD=b 用a，b来标DC、BC、MN。 解：DC= 12AB=12a BC=BD+DC=(AD-AB)+DC =b-a+ a=b- a
2211MN=DN-DM=12a-b-a= a-b 4411例4 |a|=10 b=(3,-4)且a∥b求a
22解：设a=(x,y)则 x+y=100 （1）
由a∥b得 -4x-3y=0 （2）
解（1）（2）得 x=6 y=-8 。或 x=-6 y=8 ∴ a=(6,-8)或(-6,8) 四． 归纳小结
1． 向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形中发现向量间的关系。
2． 对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚，特别注意零向量与任何向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。
五．作业：
1、下列命题正确的是（ ）
A．若|a|0，则a0 B．若|a||b|，则ab或ab
C．若a||b，则|a||b| D．若a0，则a0
2、已知平行四边形ABCD的三个顶点A(2,1)、B(1,3)、C(3,4)，则顶点D的坐标为（ ）
A．(1,2) B．(2,2) C．(2,1) D．(2,2)
3、设|a|m(m0)，与a反向的单位向量是b0，则a用b0表示为
A．amb0 B．amb0 C．a1mb01m D．ab0
4、D、E、F分别为ABC的边BC、CA、AB上的中点，且BCa，CAb，下列命题中正确命题的个数是（ ） ①AD12ab；②BEa12b；③CF12a12b；
④ADBECF0。
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、化简：CEACDEAD=__________。
aba3,b(1,2)
6、已知向量，且，则a的坐标_____________。
2
27、若a1,b2,aba0，则a与b的夹角为______________。
8、已知向量a3e12e2,b4e1e2,其中e1(1,0),e2(0,1) 求 （1）ab;ab的值； （2）a与b的夹角。
9、如果向量a与b，c的夹角都是60，而bc，且|a||b||c|1，求(a2c)(bc)的值。
PQBC
10、如图，设O为ABC内一点，PQ∥BC，且OBbt，OAa ，，OCc，试用a，b，c表示OP,OQ．
答案
基础知识训练：D，C，D，2
达标练习： D，B，B，D， 5，0； 6，（655655，—
355），（—，355）
102217，450， 8，(1)ab=10, ab=52 (2) =arccos9,-1 10,OP=(1-t)a+tb, OQ=(1-t)a+tb
第12篇：向量公式
向量概念总结
向量概念
1三、向量的表示方法
1、字母表示法：如a、AB；
2、几何表示法：用一条______________表示向量；
3、坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA的始点为坐标原点，
终点坐标为A（
x，y），则向量OA坐标记为（x，y）
四、两个向量的夹角
1、定义：已知两个_______向量a与b，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角。
2、范围：0180，a与b同向时，夹角_______；a与b反向时，夹角_______
3、向量垂直：如果向量a与b的夹角是_______时，则a与b垂直，记为_______
五、平面向量基本定理及坐标表示
1、定理：如果e
1、e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意
向量a，_______一对实数
1、2，使a=___________，其中，___________叫做表示
这一平面所有向量的一组基底。
2、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个_______的向量，叫做把向量正交分解。
3、平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与X轴、Y轴方向相同的两
个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数对X，Y，
使axiyj，把有序实数对_______叫做向量a的坐标，记作a=_______，其中_____
叫做a在X轴上的坐标，其中_____叫做a在Y轴上的坐标。即axiyja=
（x，y）
六、平面向量的坐标运算：
1、向量坐标求法：已知Ax1,y1，Bx2,y2，则ABx2x1,y2y1，即一个向量的坐
向量概念
2标等于该向量_______的坐标减去_______的坐标。
2、向量坐标加法、减法、数乘运算：设ax1,y1，bx2,y2
加法：a+b=x1x2,y1y2减法：a-b=x1x2,y1y2
数乘： ax1,y1x1,y1
3、平面向量共线与垂直的表示：设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则
xy
a与b共线（或ab）ab11x1y2x2y10
x2y
2abab0x1x2y1y20
七、平面向量数量积
1、已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，把数量_______叫做a与b的数量积（或内积），记作a。b，即a。b=_______，并规定零向量与任一向量的数量积为_______
注：两个非零向量a和b的数量积是一个数量，不是向量，其值为两向量的模与它们
夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦决定。
00000
当0,90ab0；当90ab0当90,180ab0；
数量积是内积，用ab表示，不能用ab或ab表示
2、一向量在另一向量方向上投影
定义： _______（_______）叫做a在b的方向上（b在a的方向上）的投影。如图OAa，
BOBbcos OBb，过作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则
1图
201
图
3图1
11
OB1bcos叫做向量b在a的方向上
当为锐角时，如图1，它是_______；当为钝角时，如图2，它是_______；
向量概念3
当为直角时，如图3，它是_______；
当=00时，它是_______；当=1800时，它是_______；
ab的几何意义：数量积ab等于a的长度a与______________的乘积
3、平面向量数量积的重要性质：
设a、b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则 e。a=
a。e=_______
当a与b同向时，ab=_______；当a与b反向时，ab=_______； 2
2特别是a。a=aa
abab=_______
a
abab|cos|
4、平面向量数量积的运算律
交换律：a+b=_______数乘结合律：ab______________=______________
22
2分配律：（a+b）c=______________aba2abb
22
ababababc
222abc2ab2ac2bc
八、向量的应用：
1证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件
xy
a与b共线（或ab）ab11x1y2x2y10
x2y
2
2、证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：abab0x1x2y1y20
ab
、求夹角的问题，利用夹角公式cos
ab
4、求线段的长度，可以利用向量的线性运算，向量的模
若ax,y，
则a若Ax1,y1,Bx2,y2，则
AB
ab
5、如图所示，在ABC中，D是BC边上有中点（AD是ABC的BC边上中线），则
1
有ADABAC
向量概念4
第13篇：空间向量
空间向量
空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．
立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。
以下用向量法求解的简单常识：
1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同）
2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、
B、C共面．
3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量 （k∈R）．
4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量 ．
5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 ，求： 的问题．
6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： ．
7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标．首先该图形能建坐标系---如果能建 (三维垂直特征)----则先要会求面的法向量
求面的法向量的方法是
1。尽量在空中找到与面垂直的向量
2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） (待定系数法)
然后因为法向量垂直于面-----所以n垂直于面内两相交直线,可列出两个方程
两个方程，三个未知数, 然后根据计算方便
取z（或x或y）等于一个数 ,然后就求出面的一个法向量了 。
会求法向量后：
1。二面角的求法就是求出两个平面的法向量
可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积 ：cos=|n·n1|/|n|
如过在两面的同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交，那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角如果只能看到其中一个的箭头和另一个的箭尾相交，那么上面两向量的夹角就是所求
2。点到平面的距离就是求出该面的法向量 在平面上任取(除被求点在该平面的射影外）一点，求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1
点到平面的距离就是法向量与n1的数量积的绝对值除以法向量的模即得所求
设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α,β的法向量分别为μ,ν 则
线线平行 l∥m a∥b a=kb；
线面平行 l∥α a⊥μ a·μ=0；
面面平行 α∥β μ∥ν μ=kν
线线垂直 l⊥m a⊥b a·b=0；
线面垂直 l⊥α a∥μ a=kμ；
面面垂直 α⊥β μ⊥ν μ·ν=0
第14篇：5.1 向量
1.向量的定义
既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示.AB表示从点A到B的向量(即A为起点，B为终点的向量)，
3、下列四个命题：①若｜｜=0,则=0；②若｜｜=｜｜,则=或=-；③若与是平行向量，则｜｜=｜｜；④若=，则-=正确命题个数是()
2.向量的模 所谓向量的大小，就是向量的长度(或称模)，记作｜｜或者｜｜.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.
3.零向量与单位向量：长度为0的向量称为零向量，用0表示.0向量的方向是不定的，或者说任何方向都是向量的方向，因此向量有两个特征：一长度为0；二是方向不定.长度为1的向量称为单位向量.
4.平行向量、共线向量
共线的两向量也可以称为平行向量.例如与也是一对平行向量.
由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.
例如，若四边形ABCD是平行四边形，则向量与是一组共线向量；向量与也是一组共线向量.
5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量与向量相等，记作=.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
1、给出下列3个命题：(1)单位向量都相等；(2)单位向量都共线；(3)共线的单位向量必相等.其中真命题的个数是()
A.0B.1C.2D.
32、下列命题中，正确的是()
A.｜｜=｜｜=B.｜｜＞｜｜＞ C.=｜｜∥｜｜D.｜｜=0=0
A.1B.2C.3D.4 4.四边形ABCD中，若向量与是共线向量，则四边形ABCD() A.是平行四边形B.是梯形 C.是平行四边形或梯形D.不是平行四边形，也不是梯形
第15篇：向量题
向量精选题
2.1 2.22.
31，.O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足 OBOCopAP,(0,)2则P点的轨迹所在直线一定通过
的（） ABC
A外心B内心C重心D垂心
2，O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满足
ABACopOA([0,)ABAC
则P点的轨迹所在直线一定通过
的（） ABC
A外心B内心C重心D垂心
3.O在⊿ABC内部，且OAOB2OC0,则⊿ABC的面积与⊿AOC的面积之比为
（）
A．3B。4C。5D。6
4.平行四边形OACB中，BD=1
3BC,OD与BA相交于E，求证：BE1
4BA
5.（2008·广东理，8）
如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O，E是线段OD的中点，AE的
延长线与CD交于点F，若ACa,BDb,则AF=（）
11121121A 。abB。abC。abD。ab42332433
如图所示,∵E是OD的中点,
11∴
OE4BD4b1
又∵△ABE∽△FDE,
∴ AEBE3.3
∴AEF =3 D EF∴ AE= AF.EE ,14在△AOE中,AE=
OE2AO41∴AF= AEab333 11ab2
4答案B 16.若a,b是两个不共线的非零向量,a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，a+b）三向量的终点在同一条直线上？
7.已知：任意四边形ABCD中，、F分别是AD、BC的中点，求证：E F1E (ABDC).证明方法一如图所示，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
EAED0,FBFC0,
又ABBFFEEA0,
EFABBFEA①
同理 EF EDDCCF②
由①+②得， 2 EFABDC(EAED)(BFCF)ABDC.
1
( ABD EFC).2
8.已知⊿ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足PAPBPC0,若实数满足
ACABAP,则的值为（）
A．2B。3
2C。3D。6
9.设向量OA绕点O逆时针旋转得向量OB,且2OAOB(7,9)，则向量2
OB
设OA=(x,y),则OB=(-y,x)(由图形知)
2OA+OB=(2x-y,2y+x)=(7,9)
解得：x=23/5,y=11/5
OB=(-11/5,23/5)
2.4平面向量的数量积
1。求证：直径上的圆周角是直角（教参102页）
证明：设
AOa,OBb,则AB=a+b，OCa,BCab,ab，因为22ABBC(ab)(ab)ab=0，
所以，ABBC,由此得ABC900
2.AD,BE,CF是⊿ABC的三条高，（教参102页） 求证：AD,BE,CF相交于一点。
第16篇：空间向量
直线、平面、简单几何体空间向量及其运算
【知识归纳】
1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量
2．空间向量的运算空间向量的加法、减法与数乘向量运算：
OBOAABab;BAOAOBab;OPa(R)
运算律：（1）加法交换律：abba
（2）加法结合律：(ab)ca(bc)
（3）数乘分配律：(ab)ab
3．平面向量共线定理
方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线
上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，
使b＝λa
4．共线向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向
量．a平行于b记作a//b．
向量a、b共线（或a//b），则a、b的有向线段所在的直线可能重合，也可能平行．
5．共线向量定理：
空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P 在直
线l上的充要条件是：
存在实数t满足等式OPOAta．其中向量a叫做直线l的方向向量。
6．空间直线的向量参数表示式：
OPOAta或OPOAt(OBOA)(1t)OAtOB， 1OP(OAOB) 中点公式：
27．向量与平面平行：已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a//．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
- 1 -
8．共面向量定理：
如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使pxayb 推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是
存在有序实数对x,y，使MPxMAyMB①
或 对空间任一点O，有OPOMxMAyMB ②
或 OPxOAyOBzOM,(xyz1)③
上面①式叫做平面MAB的向量表达式
9．空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使pxaybzc
若三向量a,b,c不共面，我们把{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使OPxOAyOBzOC
10．空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量a,b，在空间任取一点O，作OAa,OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a,b；且规定0a,b，显然有a,bb,a；若a,b
与b互相垂直，记作：ab2，则称a
11．向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a|12．向量的数量积：已知向量a,b，则|a||b|cosa,b叫做a,b的数量积，记作ab，即ab|a||b|cosa,b．
已知向量ABa和轴l，e是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影 AB的长度
|AB||AB|cosae,a|．e
13．空间向量数量积的性质：
2（1）ae|a|cosa,e．（2）abab0．（3）|a|aa．
14．空间向量数量积运算律：
（1）(a)b(ab)a(b)．（2）abba（交换律）．
（3）a(bc)abac（分配律）
【典型例题】
例1 证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得OA=xOB+yOC +zOD
解：依题意知，B、C、D三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面对空间任一点O，存在实数x
1、y1，使得OA=OB+x1BC +y1BD=OB+x1（OC－OB）+y1（OD－OB）=（1－x1－y1）OB+x1OC+y1OD，取x=1－x1－y
1、y=x
1、z=y1，则有OA=xOB+yOC+zOD，且x+y+z=
1例2在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离。
解：如下图，因为∠ACD=90°，
所以AC·CD =0
同理，BA·AC=0
因为AB与CD成60°角，
所以〈BA，CD〉=60°或120°
因为BD=BA＋AC＋CD，
所以BD2=BA2＋AC2＋CD2＋2BA·AC＋2BA·CD
＋2AC·CD=BA2＋AC2＋CD2＋2BA·CD
=3＋2×1×1×cos〈BA，CD〉=2或2，
所以｜BD｜=2或2，即B、D间的距离为2或
2例3 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，求证：
（1）BD1⊥平面ACB1；（2）BE=
证明：（1）我们先证明BD1⊥AC1ED12
∵BD1 = BC+ CD+DD1，AC = AB+BC，
∴BD1·AC=（BC +CD +DD1）·（AB+BC）
=BC·BC+ CD·AB=BC·BC－AB·AB
=|BC|2－|AB|2=1－1=0
∴BD1⊥AC同理可证BD1⊥AB1，于是BD1⊥平面ACB
1（2）设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，
则BM=
∴BM11BD= B1D1，即2BM=B1D122B1D1, 四点B,B1,D1,M共面，
所以，D1B与平面ACB1之交点E，就是D1B与MB1的交点
由2BM=B1D1知，EMB∽EB1D1 ，D1E∶EB=2∶1∴BE=
例4 如图，点A是△ABD所在平面外一点，G是△BCD的重心，
求证： AG1ED1 21(ABACAD)
3证明：∵AGACCG
2111CG[CBCD)](CBCD)(CAABCAAD) 3233
11AGAC(2CAABAD)(ABACAD) 33
例5 下列命题中不正确的命题个数是
① 若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB+BC+ CD+DA=0；
② |a|－|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件
③ 若a、b共线，则a与b所在直线平行
④ 对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中x、y、z∈R），则P、A、B、C四点共面（）
A．1B．2C．3D．
4解：易知只有①是正确的，对于④，若O平面ABC，则OA、OB、OC不共面，由空间向量基本定理知，P可为空间任一点，所以P、A、B、C四点不一定共面
答案：C
【小结】
1、若表示向量a1，a2，…，an的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形，则a1＋a2＋a3＋…＋an=0
2、应用向量知识解决几何问题时，一方面要选择恰当的基向量，另一方面要熟练地进行向量运算
3、空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量线性表示，这三个向量也称为一个基底
在证明两个向量平行、垂直或求其夹角时，往往把它们用同一个基底来表示，从而实现解题的目的
4、要用向量法解题，所涉及判断位置或长度或所成角的向量，一般应能用关系明确的向量表示，或较容易用坐标表示，否则应考虑用其它方法来解
【练习】
1、在以下四个式子中正确的有
①a+b·c，②a·（b·c），③a（b·c），④|a·b|=|a||b|
A1个B2个C3个D0个
2、设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是
A{a+b，b－a，a}
C{a+b，b－a，c}B{a+b，b－a，b} D{a+b+c，a+b，c}
3、在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，向量AB、AD、BD是
A．有相同起点的向量
C．共面向量B．等长的向量 D．不共面向量
ac
4、平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A1D1 =b，A1A =，1B1 =，A则下列式子中与B1M相等的是
11a+ b+c2
211C．a－b+c22A．－11a+ b+c 2211D．﹣a－b+c 22B．
5、O、A、B、C为空间四个点，又OA、OB、OC为空间的一个基底，则
A O、A、B、C四点共面，但不共线B O、A、B、C四点不共线
CO、A、B、C四点中任意三点不共线 DO、A、B、C四点不共面
6、已知四边形ABCD中，AB=a－2c，CD=5a+6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则EF=_____________
7、已知a+3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉=_______
8、在空间四边形ABCD中，求证：AB·CD+AC·DB +AD·BC=0
【答案】
1-5：ACCAD
6、3a+3b－5c
7、60°
8、证法一：把AB拆成AC+CB后重组， AB·DB+AD·CD+AC·BC
=（AC +CB）·DB+AD·CD+AC·BC =AC·DB+AD·CD+CB·CD+AC·BC =AC·（CD+DB）+CB·（CD+DA） =AC·CB+CB·CA
= CB·（AC+CA）=CB·0=0
证法二：设a=DA，b= DB，c=DC，则 AB·DB+AD·CD+AC·BC
b+（－a）·=（b－a）·（－c）+（c－a）·（c－b）
c+a·c+c·c+a·b－a·b－a·b=0 =－b·
第17篇：平面向量
平面向量
一、知识梳理：
（1）本章要点梳理：
1.向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，1
特别注意：(ABAC) 表示△ABC的边BC的中线向量.向量减法的几何意义：起点相同适
2用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），||表示A、B两点间的距离；以、为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量+、（或）.2.理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义。 与非零向量同向的单位向量a0，叫做的单位向量。而a0都与共线（与反向
的单位向量为-a0.3.两向量所成的角指的是两向量方向所成的角;两向量数量积||||cos,；其中|b|cosa,b可视为向量在向量上的投影.
4.向量运算中特别注意a|a|的应用.研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量运算.另外，有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，有些题目就可以由作图得解.
5.向量的坐标运算是高考中的热点内容，向量的坐标形式实质上是其分解形式xy的“简记”.其中i,j分别表示与x轴、y轴正方向同向的单位向量.
6.利用向量求角时，要注意范围.两向量所成角的范围是[0,].特别注意：0不能等同于,所成角是锐角，因为当,同向时也满足0;同样的道理，0不能等同于,所成角是钝角，因为当a,b反向时也满足0
［例］l是过抛物线y22px(p0)焦点的直线，它与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点，则△ABO是（）A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不确定与P值有关.22
y22pxpp分析：由直线l过焦点F(,0)，设其方程为xmy，联立得：，即：p22xmy2
y1y2p2=.则y2pmyp0，则y1y2p，又x1x22p2p4222223p
2OAOBx1x2y1y20，则AOB一定是钝角.选C.
47.直线l的向量参数方程式：A、P、B三点共线 则OP(1t)OAtOB
8.关注向量运算与三角函数综合是高考中的常见题型.［例］已知向量a{2cosx,1},b{cosx,3sin2x},xR.设f(x)ab.
（1）若f(x)13且x[,]，求x的值； （2）若函数y2sin2x的图像按向量3
3c{m,n}(|m|
2)平移后得到函数yf(x)的图像，求实数m,n的值.
2解析：（1）f(x)2cosx3sin2xcos2x13sin2x2sin(2x
6)1，
易得x
4.（2）函数y2sin(2x
6)1是由函数y2sin2x的图像向左平移，再把1
2所得图像向上平移1个单位而得，所以m
二、易错、易混、易忘点梳理： 12,n1.
【易错点1】涉及向量的有关概念、运算律的理解与应用，易产生概念性错误。
例1.下列命题：①()2()2||4 ②()() ③ |²|=||²||④若∥b,b∥c,则∥ ⑤∥，则存在唯一实数λ，使 ⑥若，且≠，则⑦设e1,e2是平面内两向量，则对于平面内任何一向量，都存在唯一一组实数x、y，使xe1ye2成立。⑧若|+|=|－|则²=0。⑨²=0，则=或=。其中真命题的个数为（）
A．1B．2C．3D．3个以上 2解析：①正确。根据向量模的计算aaa判断。②错误，向量的数量积的运算不满足交换律,这是因为根据数量积和数乘的定义(ac)b表示和向量b共线的向量，同理(ab)c表示和向量c共线的向量，显然向量b和向量c不一定是共线向量，故(ab)c(ac)b不一定成立。③错误。应为abab④错误。注意零向量和任意向量平行,非零向量的平行性才具有传递性。⑤错误。应加条件“非零向量a”。⑥错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向量b和向量b在向量c方向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。⑦错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量e1,e2是不共线的向量即一组基底。⑧正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形。故²=0。⑨错误。只需两向量垂
直即可。答案：B 【知识点归类点拔】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答，要明确向量的运算和实数的运算的相同和不同之处。一般地已知ａ，ｂ，с和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①ａ²ｂ＝ｂ²ａ(交换律)②（λａ）²ｂ＝λ（ａ²ｂ）＝ａ²（λｂ）(数乘结合律)③(ａ＋ｂ)²с＝ａ²с＋ｂ²с(分配律)说明：（1）一般地，(ａ²ｂ)с≠ａ（ｂ²с）（2）有如下常用性质：ａ＝｜ａ｜，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ²с＋ａ²ｄ＋ｂ²с＋ｂ²ｄ，(ａ＋ｂ)＝ａ＋２ａ²ｂ＋ｂ
【练习】设a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（a²b）c－（c²a）b=0②|a|－|b|
【易错点2】利用向量的加法、减法、数量积等运算的几何意义解题时，数形结合的意识不够，忽视隐含条件。
例2.四边形ABCD中，AB＝ａ，BC＝ｂ，CD＝с，DA＝ｄ，且ａ²ｂ＝ｂ²с＝с²ｄ＝ｄ²ａ，试问四边形ABCD是什么图形?
【易错点分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量，易忽视如下两点：（1）在四边形中，AB，BC
，CD，DA是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系。
解：四边形ABCD是矩形，这是因为一方面：由ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0得ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），即(ａ＋ｂ)＝（с＋ｄ）即｜ａ｜＋２ａ²ｂ＋｜ｂ｜＝｜с｜＋２с²ｄ＋｜ｄ｜由于ａ²ｂ＝с²ｄ，∴｜ａ｜＋｜ｂ｜＝｜с｜＋｜ｄ｜①同理有｜ａ｜＋｜ｄ｜＝｜с｜＋｜ｂ｜②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD２２２２２22２2２２２２２２２２２２２２
形ABCD是平行四边形.另一方面，由ａ²ｂ＝ｂ²с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ²(2ａ)＝０即ａ²ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC。综上所述，四边形ABCD是矩形.【知识点归类点拔】向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。例如很多重要结论都可用这种思想直观得到：（1）向量形式的平行四边形定理：2（｜a｜+｜b｜）=｜a－b｜+｜222a+b｜2（2）向量形式的三角形不等式：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜(试问：取等号的条件是什么?)等有用的结论。
【练习】（1）点O是ABC所在平面内的一点，满足OAOBOBOCOCOA，则点O是ABC的（）
（A）三个内角的角平分线的交点（B）三条边的垂直平分线的交点
（C）三条中线的交点（D）三条高的交点
（2）ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OHm(OAOBOC)，则实数m =
答案：（1）D（2）m=
1【易错点3】忽视向量积定义中对两向量夹角的定义。 例3.已知ABC中,a5,b8,c7,求BCCA.(答案:-20)
【知识点归类点拔】高中阶段涉及角的概念不少,在学习过程中要明确它们的概念及取值范围,如
0,1800,180直线的倾斜角的取值范围是，两向量的夹角的范围是，注意向量的夹角是
否为三角形内角。
【易错点4】向量数积性质的应用。
例4.已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角。
解析：本题应依据两向量夹角公式树立整体求解的思想。答案： 60。
【知识点归类点拔】利用向量的数量积的重要性质结合向量的坐标运算可解决涉及长度、角度、垂直等解析几何、立体几何、代数等问题，要熟记并灵活应用如下性质：设ａ与ｂ都是非零向量，①ａ与ｂ的数量积的几何意义是向量ａ在向量ｂ方向的单位向量正射影的数量②ａ⊥ｂａ²ｂ＝０③ａ²ａ＝｜ａ｜或｜ａ｜＝aaa④ｃｏｓθ＝２2ab ab
⑤｜ａ²ｂ｜≤｜ａ｜²｜ｂ｜
5【练习】（1）已知向量a(1,2),b(2,45,若(ab)c,则a与c的夹角为（）
2C．120°D．150°答案：C（注意b2a） （2已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则（） (A) a⊥e(B) a⊥(a－e)(C) e⊥(a－e)(D) (a＋e)⊥(a－e)答案：C A．30°B．60°
【易错点5】向量与三角函数求值、运算的交汇 例
5、a(1cos,sin),b(1cos,sin),c(1,0),(0,),(,2)，a与c的夹
角为θ1， b与c的夹角为θ2，且12,求sin的值.
32【易错点分析】此题在解答过程中，学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来，注意在用已知角表示两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误结论。
解析：a(2cos,2sincos)2cos(cos,sin),b(2sin2,2sincos)22222222222sin
2(sin
2,cos
2)(0,),(,2),(0,),(,),故有2222
22cosac2cos,,|a|2cos|b|2sincos112222|a||c|2cos
22sin2
bc2sin,0,因cos22222222|b||c|2sin
2112,，从而sinsin.22226262
【知识点归类点拔】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是新课程新增内容，具体代数与几何形式的双重身份。它是新旧知识的一个重要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁，因此，向量与三角的交汇是当今高考命题的必然趋势。高考对三角的考查常常以向量知识为载体，结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综合运用知识解决问题的能力。
【易错点6】向量与解三角形的交汇
→→→→例6.ΔABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3OA＋4OB＋5OC=0 。
→→→→→→①求数量积，OA²OB ，OB²OC ，OC²OA ；②求ΔABC的面积。
→→→【思维分析】第1由题意可知3OA、4OB、5OC三向量的模，故根据数量积的定义及运算律将一
向量移项平方即可。第2问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。
→→→→→→→→→→→2解析：①∵|OA|=|OB|=|OC|=1由3OA＋4OB＋5OC=0 得：3OA＋4OB=－5OC两边平方得：9OA＋
→→→2→2→→→→→→→4→→→24OA²OB＋16OB=25OC∴OA²OB=0同理：由4OB＋5OC=－3OA求得OB²OC=－ 由3OA＋5OC=－4OB
5→→3求得OA²OC=－5
1→→1443→→→→②由OA²OB=0,故s0AB= |OA||OB|= 由OB²OC=－ 得cos∠BOC=－∴sin∠BOC=－ ∴22555
1→→33341→→→由OC²OA=－ 得cos∠COA=－ ∴sin∠COA= ∴s0AC= |OCs0BC= |OB||OC|sin∠BOC= ，210555
221326→||OA|sin∠COA= 即sABC=s0AB＋s0AC＋s0BC= ＋ ＋ =521055
【知识点归类点拔】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算，用于表达三角形的内角、面积。
第18篇：活用向量
活用向量，巧解立体几何
发布时间： 2014-3-26 8:51:24
今天给学生上了这样一节课，感觉效果很不错，通过这节课的学习，让学生认识到空间向量的神奇与美妙，立体几何中的线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、以及线线角线面角、二面角比较复杂的问题都可以利用空间向量只是来解决。空间向量另辟蹊经，降低难度，它的引入是的立体几何这块难啃的大骨头变得轻而易举。现将这节课发布与大家分享，具体设计请看附件，请大家批评指正，提出宝贵意见，谢谢！
第19篇：向量093
正弦定理、余弦定理（3）
教学目的：
1.进一步熟悉正、余弦定理内容；
2.能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；
3.能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；
4.能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式.
教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求.
教学过程：
一、复习引入： abc2R 正弦定理：sinAsinBsinC
b2c2a2
余弦定理：abc2bccosA,cosA 2bc222
c2a2b2
bca2cacosB,cosB2ca222
a2b2c2
cab2abcosC，cosC 2ab222
二、例题：
例1已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且sinA2ab，求 的值.sinB3b
例2 在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=m:n:p,且a+b+c=S.求a
例3已知△ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列.
求证：sinA＋sinC＝2sinB
例4 在四边形ABCD中，BC=a,DC=2a,四个角A、B、C、D的度数的比为3:7:4:10,求AB的长.例5求sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°的值.
例6在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长. 例7 在△ABC中，BC=a, AC=b,a, b是方程x223x20的两个根，且
2cos(A+B)=1
求（1）角C的度数（2）AB的长度（3）△ABC的面积
三、作业《优化设计》P91 强化训练 1~10.
第20篇：向量096
正弦定理、余弦定理（6）
教学目的：能够熟练地利用正、余弦定理解有关三角形的问题和证明三角形中的三角恒等式.教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向
教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系.
教学过程：
一、复习引入： abc2R 正弦定理：sinAsinBsinC
b2c2a2
余弦定理：abc2bccosA,cosA 2bc222
c2a2b2
bca2cacosB,cosB2ca222
a2b2c2
cab2abcosC，cosC 2ab222
二、讲解范例：
ACcot3.22
例2 在△ABC中，若2cosA+cosB+cosC=2，求证三边b、a、c成等差数列.例1在△ABC中，已知它的三边a、b、c成等比数列，试证明cot
例3 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a2b22001c2,试求cotC的cotAcotB
值.
1a+2b-2c+3=0,○2求△ABC中最大角的度数.例4 已知在△ABC中，a2-a-2b-2c=0,○
例5 在△ABC中，求证：
ABtgab abtg2
例6 在△ABC中，求证：
abccosABABsin,ab;CC csincos22
三、作业 《绿色通道》六十九 1~17七十1~18.
