一.空间向量的基本概念、运算、定理
1.空间向量的基本概念
由于我们所讲的向量可以自由移动，是自由向量，因此对于一个向量、两个向量都是共面的，他们的基本概念与平面向量完全一样。包括：向量的定义、向量的表示方法、向量的模、零向量、单位向量、向量的平行与共线、相等向量与相反向量等等
2.空间向量的加法、减法与数乘运算
两个空间向量的加法、减法与数乘运算法则及其运算律都与平面向量的知识相同。但空间不共面的三个向量的和应该满足“平行六面体”法则。
即：平行六面体ABCD-A＇B＇C＇D
＇中，
3.空间向量的数量积
空间两个向量的数量积与平面两个向量的数量积的概念及法则都是一致的。
定义
：
性质与运算律：
①
4.空间向量中的基本定理
共线向量定理：对于
作用：证明直线与直线平行。
推论：P、A、B
三点共线的充要条件：
实数。
作用：证明三点共线。
共面向量定理（平面向量的基本定理）：两个向量的充要条件是存在实数对x、y
使
作用：证明直线与平面平行。
推论：P、A、B、C四点共面的充要条件：
x、y、z为实数，且x+y+z=1。
作用：证明四点共面。
空间向量的基本定理：如果三个向量
不共面，那么对于空间任意向量，存在一，其中O为任意一点，。不共线，向量共面，其中O为任意一点，t为任意空间向
量;
②;
③;
④;
⑤的夹角（起点重合），规
定。
个唯一的有序实数组x、y、z
使做空间的一组基底。
作用：空间向量坐标表示的理论依据。
二.空间向量的坐标运算
1.空间直角坐标系。、
、
叫做基向量，叫
我们在平面直角坐标系的基础上增加一个与平面垂直的方向，构成右手直角坐标系，即：伸出右手使拇指、食指、中指两两垂直，拇指、食指、中指分别指向x、y、z轴的正方向，空间任意一点可用一组有序实数确定，即：A（x，y，z）。
2.向量的直角坐标运算
．
二、空间向量的加减与数乘运算
（1）空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与
平面向量的运算一样：
（2）、空间向量的加、减与数乘运算律：
=（指向被减向量），
加法交换律：
加法结合律：
数乘分配律：
注：空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向
量，
即：
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，
即：
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．
三、共线向量与共面向量
1、共线向量定理：对空间任意两个向量
（1） 推论：
如图所示，如果l为经过已知点A
且平行于已知向量 的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t
，满足等式
量)．直线l上的点和实数t是一一对应关系.（2）空间直线的向量参数方程：
在l
上取 则(
其中 是直线l的方向向,
存在唯一实数 ；因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；
特别地，当
点）
时，得线段AB中点坐标公式： （其中P是AB中
2、共面向量定理：如果两个向
量
, 使
.不共线，则向
量 与向
量 共
面
推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在唯一的有序实数对x、y
，使
；
进而对空间任一定点O，有
实数对(x,y)是唯一的，①式叫做平面MAB的向量表达式.四、空间向量基本定理
、若
其中
2、将上述唯一分解定理换成以任一点O为起点：O、A、B、C不共面，则对空间任意一点P，存在唯一的三个有序实数x,y,z∈R
，使
五、两个空间向量的数量积
、向量
2、向量的数量积的性质：
(1)
(2)
(3)
性质(2)可证明线线垂直；
性质(3)可用来求线段长.3、向量的数量积满足如下运算律：
（1
）
（2
）
（3
）（交换律）（分配律） 。为单位向量)
的数量积：
不共面，则对任意向量 称空间的一个基底， , 存在唯一x,y,z∈R
，使①，在平面MAB内，点P对应的 都叫基向量。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.性质(1)可用来求角；
