推荐第1篇：《切线的判定》教学设计
《切线的判定》教学设计
惠农区回民学校 于玲
一、内容和内容解析 1.内容
新人教版教材九年级上册第24章第97页《直线和圆的位置关系》的第二课时《切线的判定》。 2.内容解析
切线的判定的教学在平面几何乃至整个中学数学教学中都占有重要地位和作用。除了在证明和计算中有着广泛的应用外，它也是研究三角形内切圆的作法，切线长定理以及后面研究正多边形与圆的关系的基础，所以它是《圆》这一章的重要内容，也可以说是本章的核心。它在圆的学习中起着承上启下的作用，在整个初中几何学习中起着桥梁和纽带的作用，是几何学习中必不可少的知识和工具。切线的判定揭示了直线和圆的半径的特殊位置关系，即过半径外端并与这条半径垂直。切线判定定理的探究过程体现了由一般到特殊的研究方法。
结合教学实际及《课程标准》要求，我对教材内容略作了调整。当探究出判定后，为了提高学生将所学的知识应用于实际，特增加了例1和例2，让学生总结出“证明一条直线是圆的切线时，常常添加辅助线的两种方法”，帮助学生进一步深化理解切线的判定定理，达到学以致用。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：切线的判定。
二、目标和目标解析 1.目标
（1）理解切线的判定定理。
（2）会用切线的判定定理解决简单的问题。
（3）通过判定定理的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力。 （4）通过学生自己实践发现定理，培养学生学习的主动性和积极性。 2.目标解析
达成目标（1）的标志是：能够理解切线判定定理中的两个要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径。
达成目标（2）的标志是：能运用切线的判定定理解决简单的问题，明确运用定理时常用的添加辅助线的方法。
达成目标（3）和（4）的标志是：学生通过动手操作发现并能用语言陈述切线的判定定理，用符号语言书写证明过程。
三、教学问题诊断分析
学生已经掌握了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角的知识，与圆有关的性质等。具有初步的逻辑推理能力和基本的作图能力等。学习本节课内容之前学习过直线和圆相切的定义及“圆心到直线的距离等于半径时直线与圆相切”，但是不容易理解切线的判定定理。因此，要结合教科书的问题进行说明 “垂直于半径”表示出了圆心到直线的距离d，“经过半径外端”说明距离d等于半径，判定定理是为了便于应用而对直线和圆相切的定义改写得到的一种形式。除了要求学生能够较灵活地运用有关知识解题外，还要求学生掌握一些解题技巧，在培养学生的逻辑思维能力和综合运用知识解决问题的能力方面也有重要作用。
部分学生仍然对几何证明题感到束手无策，具体表现在：一些证明题学生会证的，却不会书写或书写不完整；知道步骤的原因和结论，但讲不出定理的内容或具体运用的是哪条定理；在面对几何证明题时凭感觉，完全就不知道从何入手，缺乏分析思考问题的能力。或者在几何图形中找不出定理所对应的基本图形。具体表现在不熟悉图形与定理之间的联系，思考时把定理和图形完全分割开来。
基于以上分析，本节课的教学难点是：切线的判定定理和定理的运用中，辅助线的添加方法。
四、教法与学法分析：
教法上：我主要采用以学案为载体的“五步三要素”教学模式（五步三要素的教学模式是课堂教学中的五个步骤和三个要素。五个步骤即自主学习、小展示、大展示、整理提升、当堂反馈；三个要素即自主、交流、验评。），充分发挥学生的主观能动性。本课注重直观，注重动手，注重探索能力的培养，并且九年级学生经过两年多的学习，已经积累了动手操作，探究问题的经验，也具备了这种探究问题及合作交流的能力。因此，根据本节课的内容和学生的认知水平，以学生自主学习为主，引导学生自主探究，教师赋予合理的评价，激发学生的学习兴趣，调动学生课堂积极性。
学法上：为了充分体现《课程标准》的要求，培养学生的动手实践能力，逻辑推理能力，探索新知的能力，要充分体现学生的主体地位。为此，在本课的学习过程中学生主要使用探究式的学习方法。根据平面几何的特点，尽量让学生在动口说、动脑想、动手操作中获得更多的参与机会，从中学会分析、解决问题的方法。本节是定理的教学，我认为要指导学生做好如下两方面的工作：
（1）学习定理一定要注重对基本图形的把握，理解和灵活运用定理是证题的基础，这正是学生感到困难的地方。从几何定理的特征出发，要解决这个难题，就要下功夫把定理内容和相应的基本图形建立起联系，使定理在头脑中灵活展现出来。
（2）常见的辅助线一定要了解，本节添加辅助线的关键在于“已知条件中是否明确了直线和圆的公共点。”如果无公共点就作垂线证d=r，有公共点的话，连半径证垂直，即“有点连线证垂直，无点做垂线证d=r。”
五、教学过程
（一）知识链接
1．直线与圆的三种位置关系是 。
2．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么 （1）直线l和圆O相交 有 个公共点。 （2）直线l和圆O相切 有 个公共点。 （3）直线l和圆O相离 有 个公共点。 切线的判定方法：
（1）定义法：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。 （2）数量法（d=r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。 【设计意图】检测学生旧知的应用能力，为下一步学习铺垫。
（二）探索新知 1.自主学习
（1）阅读课本第97页内容，完成思考中的小题。 （2）根据上述切线的两个判定方法画一画
（3）归纳：切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 命题改写：如果一条直线经过圆的半径的外端且与这条半径垂直，
那么这条直线是圆的切线。
符号表示：∵ OA是半径，OA⊥ l 于A ∴ l是⊙O的切线。
【设计意图】培养学生归纳及语言表达能力；使学生准确掌握定理的内涵及外延；使学生树立几何学习应当关注：文字语言、图形语言、符号语言。 2.小测试
(1)新知辨识
①过半径的外端的直线是圆的切线。( ) ①②②与半径垂直的的直线是圆的切线。( ) ③过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线。( ) ④过直径一端且垂直于这直径的直线是圆的切线。（ ）
【再次强调】用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可: ①直线经过半径的外端； ②直线与这条半径垂直。
【设计意图】巩固概念，让学生说理由，巩固对定理两个条件的认识，使学生掌握概念的本质，特别是树立切线的判定定理的基本图形，为下一环节的简单证明作铺垫。
（三）强化新知
例1：已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB， CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。 思路：做辅助线，连接OC,证明OC⊥AB。
例2：已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。
思路：做辅助线，过点O作OE⊥AC于点E。
想一想：例1与例2的证法有什么不同?
（1）如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：有交点，连半径,证垂直。
（2）如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直 线的垂线段,再证垂线段长等于半径长。简记为：无交点，作垂直,证半径。
【设计意图】规范学生对定理的使用，引导学生认真审题，培养学生添加辅助线的能力。
（四）小结
1.判定圆的切线有哪些方法？
(1)定义：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。 (2)数量（d = r）：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。 (3)定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2.证明圆的切线时常用的辅助线有哪些？
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到半径,再证所作半径
与这直线垂直。简记为：有交点，连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再
证垂线段长等于半径长。简记为：无交点 作垂直,证半径。 【设计意图】小结不仅仅是总结知识，更是数学方法的小结，是 高层次的自我认识过程，帮助学生自行建构知识体系，形成学习能力。
（五）目标检测
1.已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4）则⊙A与x 轴 的位置关系____ _,⊙A与y 轴的位置关系是____ 。
2.如图, A、B是⊙O上的两点,AC是过A点的一条直线,如果∠AOB=120°,那么当∠CAB的度数等于______时,AC才能成为⊙O的切线。
3.已知：如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC =∠A.请问BC是⊙O的切线吗？为什么？
4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E,求证:PE是⊙O的切线。
5.如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，过点D作射线DE，使∠ADE=30°。
求证：DE是⊙O的切线。
【设计意图】检验学生知识掌握的情况，分层次的检测，使所有的学生都体验成功的喜悦，
（六）板书设计
24.2.2切线的判定
1.判定定理 例1 例2 文字语言 符号语言 图形语言 2.辅助线作法
（1）有交点，连半径，证垂直。 （2）无交点，作垂直，证半径。
【设计意图】学生对知识点的掌握清晰明了，两个例题既规范学生的解题格式，又加强学生对辅助线的作法的理解。
（七）教学效果预测
在这节课中，让学生在动手操作的合作探索过程中，发现并验证得定理，从而获得新知，让学生动手操作活跃了课堂气氛，调动了学生学习的积极性。在这节课设计中，学生能够充分的参与到课堂中来，从被动的接受学习转向主动的探究和发现学习，从而对定理的探究掌握的比较好，但对定理的应用过程中，仍有部分学生对几何证明题的书写过程存在一定的困难，这也是今后要强化的重点。综合考量，能够达到本节课的教学目标，收到较好的教学效果。
推荐第2篇：圆的切线的判定教学设计
35.4 圆的切线的判定
一、教材分析：
切线的判定是九年制义务教育课本数学九年级第二学期第三十五章“圆”中的内容之一，是在学完直线和圆三种位置关系概念的基础上进一步研究直线和圆相切的特性，是“圆”这一章的重点之一，是今后学习解析几何等知识．．学习圆的切线长和切线长定理等知识的基础。由于本章所研究的问题往往是直线形与曲线形交织在一起，解决问题常需要综合运用代数、几何、三角等多方面知识。
二、教学目标：
（1）掌握切线的判定定理.使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念；
（2）应用切线的判定定理证明直线是圆的切线，初步掌握圆的切线证明问题中辅助线的添加方法，应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题能力；
（3）培养学生动手操作能力.观察、探索、分析、总结、推理论证等能力. （4） 通过直观教具的演示和指导学生动手操作的过程，激发学生学习几何的积极性.三、教学重点、难点
1.重点：切线的判定定理.内心的性质
2.难点：圆的切线证明问题中，辅助线的添加方法
四、教学方法：动手操作 观察归纳. 教具：圆模型 圆规 三角板 多媒体
五、教学过程设计
五、教学过程：
（一）课前复习（5分钟）
回答下列问题：（投影显示）
1.直线和圆有哪三种位置关系？这三种位置关系是如何定义？如何判定的？
2.什么叫做圆的切线？根据这个定义我们可以怎样来判定一条直线是不是一个圆的切线？
（要求学生举手回答，教师用教具演示） 设计目的|：为探究圆的切线的判定方法做铺垫
二）引如课题（1分钟）： 我们可以用切线的定义来判定一条直线是不是一个圆的切线，但有时使用起来很不方便，为此，我们还要学习切线的判定定理.三）提出问题、分析发现
归纳结论（教师引导）（8分钟） 1.切线判定定理的导出
师： 上节课讲了“圆心到一条直线的距离等于该圆的半径，则该直线就是一条切线”.下面请同学们按我口述的上书步骤作图（一同学到黑板上作）：
先画⊙O，在⊙O上任取一点A，边结OA，过A点作⊙O的切线L. 请学生回顾作图过程，切线L是如何作出来的？它满足哪些条件？
（ 引导学生总结出）：①经过关径外端，②垂直于这条半径.（设计意图：培养学生动手操作和观察归纳能力、及组织语言能力）
师； 如果一条直线满足以上两个条件，它就是一条切线，这就是本节要讲的“切线的判定定理”.（板书定理）
、切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2、对定理的理解：
（引导学生理解）：①经过半径外端；②垂直于这条半径．
请学生思考：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．
图(1)中直线了l经过半径外端，但不与半径垂直；图(2)（3）中直线l与半径垂直，但不经过半径外端．
从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．
接着提出问题：若把定理中的“半径”改为“直径”可以吗？答案是肯定的.提问：判定一条直线是圆的切线，我们有多少种方法呢？
（学生讨论后，师生小结以下三种方法）（师板书）：
①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线. ②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. ③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
（三）应用定理，强化训练\'（6分钟）
例1：已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.
已知：直线AB是⊙O的切线. 分析：已知直线AB和⊙O有一个公共点C，
要证AB是⊙O的切线，只需连结这个公共点 C和圆心O，得到半径OC，再证这条半径和直
线AB垂直即可. 例2：已知：⊙O的直径长6cm，OA=OB=5cm，AB=8cm.
求证：AB与⊙O相切.
分析：题目中不明确直线和圆有公共点，故证
明相切，宣用方法2，因此只要证点O到直线AB 的距离等于半径即可，从而想到作辅助线OC⊥
AB于C.
（说明：以上两题有师生共同分析，学生独立写出解题过程，两生板演，师
生共同订正强化解题过程）
师问：根据以上例题总结一下，证明直线与圆相切时，怎样做辅助线呢？
（ 经学生讨论后得出：）
①已明确直线和圆有公共点，辅助线的作法是连结圆心和公共点，即得“半径”，再证“直线与半径垂直”. ②不明确直线和圆有公共点，辅助线的作法是过圆心作直线的垂线，再证“圆心到直线的距离等于半径”.注意：当题目中不明确直线和圆有公共点时，不能将圆上任意一点当作公共点而连结出半径.（目的：发现总结规律，提高解题技巧方法）
四、课堂练习：（10分钟）． 1判断下列命题是否正确．
(1)经过半径外端的直线是圆的切线．
(2)垂直于半径的直线是圆的切线．
(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．
(4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线．
(5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切． （采取学生抢答的形式进行，并要求说明理由），
2、已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，
OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．
3、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切．
学生归纳：（1）证明切线的两个常见方法（①连半径证垂直；②作垂直证半径．）；
（2）“连结”过切点的半径，产生垂直的位置关系．
4、已知：AB是半⊙O直径，CD⊥AB于D，EC是切线，E为切点
求证：CE=CF
（以上例题让学生自主分析、论证，教师指导书写规范，观察学生推理的严密性和学生共同存在的问题，及时解决．）
（目的：使学生初步会应用切线的判定定理，对定理加深理解）
五、做一做：（7分钟）
提出问题：你能否在△ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆？想一想，怎样画?
2、分析、研究问题： 提出以下几个问题进行讨论：
①作圆的关键是什么?
②假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件? ③这样的点I应在什么位置?
④圆心I确定后半径如何找．
A层学生自己用直尺圆规准确作图，并叙述作法；B层学生在老师指导下完成． （让学生动脑筋、想办法，使学生认识作三角形内切圆的实际意义）．
3、总结三角形内切圆的概念和内心性质
六、当堂检测4分钟
七、布置作业（8分钟）
八、板书设计
35.4圆的切线的判定
切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （①经过半径外端；②垂直于这条半径．）
常用辅助线：①连半径证垂直；②作垂直证半径．）；
三角形内切圆：和三角性各边都相切的圆
内心：角平分线的交点
九、：教后反思：
本节课时间较紧容量较大，尤其三角形内切圆讲解不充分，有大部同学做内切圆较困难，教学时，应充分备课，合理分配时间，同时应重点指导学生如何对几何题进行解答，从哪里入手，怎样想，怎样写，怎样正确书写解题格式。样让学生养成良好的解题习惯。要注重体现学生在自己动手操作中发现问题，归纳出问题的结论，分类思想和华贵思想，教师要注意方法指导，并针对学生出现的典型问题进行强化训练。
推荐第3篇：圆周角、切线的判定教学设计
圆周角、切线的判定
一、学习目标
1．学习了解圆周角的概念，掌握同圆或等圆中，圆周角和圆心角、弧、弦（包括弦心距）之间的对应
关系．
2．了解直线和圆的位置关系，掌握圆的切线的判定方法和性质定理，并能解决有关的证明和计算
二、教学重点和难点
1．重点是圆周角和圆心角的关系；圆的切线的判定和性质．
2．难点是用分类思想讨论圆周角和圆心角的关系．
三、教学内容解析
（一）知识梳理
在前面学习的基础上，进一步理解同弧所对圆周角和圆心角的对应关系，在分析图形的结构时，充分利用“弧”找角，体会曲线型图形的优势．
要注意培养类比的思维方法．体会除了从图形上定义直线和圆的位置关系之外，从数量关系上也可以反映直线和圆的三种位置关系的特征．应该认识到它们反映的本质相同． 1．圆周角的概念：
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
2．圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
3．圆周角定理的推论：
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
4．定理分析
圆周角定理提示了在同一个圆中，同一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系．根据定理的推论（1），同弧或等弧所对的圆周角相等，说明了分析问题时可以借助于“圆弧”证明两个角相等（如图1，∠A和∠A′两个圆周角都对着同一条弧的∠A′的位置）．
，它们相等）．另一方面，可以将已知的圆周角（如图1中的∠A）沿圆周转移到圆中所需要的位置（如图1中
图
1 图2 1
利用圆周角定理推论（2），在解决有关圆的问题中，只要已知中给出直径条件，可自圆上任意一点分别连结直径的两个端点，从而构造直角（如图2所示），反过来，利用已知一个圆周角为直角，可以构造圆的直径．
推论（3）给出了直角三角形的一个判定方法．从圆的高度重新认识一些三角形的知识，这既是认识的深化，又是方法的更新．
5．圆的切线
（1）当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．这里“有唯一公共点”是有一个且只有一个公共点．
（2）按此定义判定直线和圆相切并不容易，可以据此分析得到“如果设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么直线与⊙O相切
”．
（3）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
如图，
定理的题设是：一条直线满足：（1）过半径OA的外端点A；（2）垂直于半径OA；
结论是：这条直线是圆的切线（直线切圆O于点A）．
6．切线的判定方法
（1）和圆只有一公共点的直线是圆的切线；
（2）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线；
判定切线有三种方法，证题中常用后两种方法，且往往需要添加辅助线．
7．添加辅助线的方法
（1）如果已知直线经过圆上一点，那么连结这点和圆心得到半径再证所作半径与这条直线垂直．即“连半径，证垂直”．
（2）如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径，即“作垂直，证半径”．
（二）例题分析
1．如图所示，AB为⊙O的直径，动点P在⊙O的下半圆，定点Q在⊙O的上半圆，设∠POA=x°，∠PQB=y°，当P点在下半圆移动时，试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
解：（方法一）∵AB为⊙O的直径，∠AOP=x°
∴∠POB=
又
，
．
，
（）．
（方法二）如图所示，连结AQ，
，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠AQB=90°，
，
（）．
小结：在分析有关圆周角的问题时，往往通过同弧或等弧找到圆周角、圆心角之间的关系．当出现直径这个条件时，注意直径所对的圆周角是直角；如果没有直径所对的圆周角，这时往往需要添加辅助线，构造直径所对的圆周角．
想一想：若动点P与定点Q在⊙O上位于直径AB的同侧时，仍设∠POA=x°，∠PQB=y°，这时y与x之间又会有怎样的函数关系呢？
3 2．已知，如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径．
解：（方法一）如图，作⊙O的直径AC′，连结C′B，
则∠AC′B=∠C=60°．
∵AC′是⊙O的直径，
∴∠ABC′=90°
．
即⊙O的直径为．
于D．
（方法二）如图所示，连接OA，作
可以根据垂径定理，解出，从而得出直径为．
小结：构造直角三角形是常用的求线段长的方法．在圆中，可以构造垂径定理的基本图形，即由半径、半弦和弦心距构成的直角三角形；也可以构造直径所对的圆周角这一基本图形．
4
3．如图，△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，且∠DCB=∠A，求证：CD是⊙O的切线．
证明：
（方法一）作直径CE，连结BE，则∠CBE=90°，
∴∠E+∠OCB=90°．
∵∠A=∠E，∠DCB=∠A，
∴∠DCB+∠OCB=90°，
∴CD⊥半径OC于C，
∴CD是⊙O的切线．
（方法二）此题也可采用圆周角定理证明
如图，连接OC、OB，
设∠A=∠DCB=x，则∠BOC=2x．
∵OB=OC，
∴∠OCB+∠DCB=90°
∴CD⊥半径OC于C，
∴CD是⊙O的切线．
5
4．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE⊥AC于E．
求证：DE是⊙O的切线．
又已知DE⊥AE，所以需证：OD∥AC．
证明：（方法一）连结OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC． 又∵DE⊥AC，
∴DE⊥半径OD于D， ∴DE是⊙O的切线．
分析：要证DE是⊙O切线，且已知公共点D，所以连结OD，只需证OD⊥DE即可，
（方法二）连结OD、AD，
∵AB是⊙O直径，
∴AD⊥BC．
∵AB=AC，
∴BD=CD．
又∵OB=OA，
∴OD∥AC ．
又∵DE⊥AC，
∴DE⊥半径OD于D，
∴DE是⊙O的切线．
5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，交AB于D，E为BC中点．
求证：DE是⊙O切线．
分析：已知圆和直线的公共点D，因此要证明DE是⊙O切线，只需连接OD，并且证明∠ODE=∠OCB=90°．
证明：（方法一）连结OD、OE．
∵OA=OC，E为BC中点，
∴OE∥AB，
∴∠DOE=∠ADO，∠COE=∠A．
∵OA=OD， ∴∠A=∠ADO， ∴∠DOE=∠COE． ∵OD=OC，OE=OE， ∴△DOE≌△COE， ∴∠ODE=∠OCE． ∵∠ACB=90°， ∴∠ODE=90°，
∴DE⊥半径OD于D， ∴DE是⊙O的切线． （方法二）连结OD、CD． ∵AC是⊙O直径， ∴CD⊥AB ． ∵E为BC中点，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD．
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD，
∴∠ODE=∠OCE=90°，
∴DE⊥半径OD于D，
∴DE是⊙O的切线．
6．如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE
7 为半径作⊙P ．
求证：⊙P与OB相切．
分析：因为不知道圆和直线是否有公共点，所以要证OB是⊙P的切线，需要作PF⊥OB于F，再证PF=PE即可．
证明：作PF⊥OB于F，
∵OP平分∠AOB，且PE⊥OA，
∴PF=PE，即PF为⊙P的半径，
∴OB是⊙P的切线．
推荐第4篇：正弦线、余弦线、正切线教学设计
正弦线、余弦线、正切线教学设计
（高二年级数学集体备课）
教学内容：人教版，高中数学必修4p15-17,1.2.1任意角的三角函数--正弦线、余弦线、正切线
一、教学目标
(一)知识目标
1、有向线段的概念。
2、正弦线、余弦线、正切线的概念。
3、用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值。(二)能力目标
1.理解并掌握有向线段的概念。
2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用正弦线、余弦线、正切线表示出来。
(三)德育目标
通过三角函数值的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间.
二、教学重点、难点
重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值
难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值
三、教学分析
学生已经学过学习任意角的三角函数, 本节利用单位圆上的线段定义三角函数的正弦线、余弦线、正切线。三角函数的正弦线、余弦线、正切线在研究三角函数中的数形结合思想中起着非常重要的作用。
利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来。所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质。激发学生对三角函数研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境。
教学过程：
一、复习
师：角α的正弦、余弦、正切在各象限的函数值符号分别如何？
生：可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y符号，余弦值的正负取决于P点的横坐标x的符号，而正切值的正负取决于x和y是否同号。
一全正，二正弦，三正切，四余弦
二、新课推进
1、引入：前面我们研究了三角函数值在各象限内的符号，学习了将任意角的三角函数化成0º到360º角的三角函数值的一组公式，
我们知道角是一个图形概念，表示角的大小是一个数量概念（弧度数）。作为角的函数——三角函数值是一个数量概念（比值），能否用几何方式来表示三角函数值呢？
由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数值我们都是用比值（数）来表示的，代数表示法。今天我们再来学习角α的正弦、余弦、正切函数值的另一种表示方法——几何表示法
知识探究
（一）：有向线段
2、有向线段（板书） 师：顾名思义，有方向的线段（即规定了起点与终点的线段）叫做有向线段，有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。
那么如何建立有向线段与数的对应关系呢？这需要借助坐标轴。平行于坐标轴的线段可以规定两种方向。
如图2，线段AB可以规定从点A（起点）到点B（终点）的方向，或从点B（起点）到点A（终点）的方向。
当线段的方向与坐标轴的正方向一致时，就规定这条线段是正的；当线段的方向与坐标轴的正方向相反时，就规定这条线段是负的。
如图中AB=3（长度单位）（A为起点，B为终点），BA=-3（长度单位）（B为起点，A为终点），类似地有CD=-4（长度单位），DC=4（长度单位）。
知识探究
（二）：角α的正弦线、余弦线 （板书）
3、正弦线和余弦线
师问题：我们学过任意角的三角函数，在平面直角坐标系下，利用单位圆对角α的正弦、余弦、正切是如何定义的？
生：如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),r=op=1。那么: (1)yy sinyMPr1， xxy叫做α的正弦α,即sinα=y； cos,记作xsinOMr1 2
yyyMPr1(2)xxcosxOMr1
x叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x；
yyy
(3)tan,叫做α的正切,记作tanα,即tanα=(x≠0)。
xxx（同学可能答不上来，教师给出更明确的提示。） sin
所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y符号，余弦值的正负取决于P点的横坐标x的符号，而正切值的正负取决于x和y是否同号。
由此看出，角α与单位圆的交点P（x，y）的纵坐标恰是角α的正弦值，但sinα是可正、可负、可为零的实数。
思考1：能不能找一条有向线段表示sinα？
生：找一条有向线段跟y一致就行了，y是正的，线段方向向上，y是负的，线段方向向下，然后让线段的长度为｜y｜。（同学可能答不上来，教师给出更明确的提示。）
师：理论上很对，到底选择哪条线段呢？我们不妨分象限来看看。 如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则 sinα=y ，cosα=x 都是正数，你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？
|MP|ysin|OM|xcosyAT=tanx,x≠0.
（图3中的线段随教学过程逐渐添加。）其余三个象限角分别进行。
生：如果α是第二象限角，sinα=y是正数，也得找一条正的线段。因为α的终边在x轴上方，与第一象限一样，作PM垂直x轴于M，MP=sinα。
师：第
一、二象限角的正弦值几何表示都是MP，那么第
三、四象限呢？注意此时sinα是负值。
生：这时角α的终边在x轴下方，P到x轴的距离是｜y｜=-y。所以还是作PM垂直x轴于M，MP方向向下，长度等于-y，所以sinα=-y。
师：归纳起来，无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于｜y｜。所以有MP=y=sinα。同样方式得余弦线。
称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线。正弦线是角α的正弦值的几何形式。余弦线是角α的余弦值的几何形式。
（1）正弦线——有向线段MP （2）余弦线——有向线段OM 师：对轴上角这个结论还成立吗？ （学生经过思考，答案肯定。）
图3 （图3中的线段随教学过程逐渐添加。）其余三个象限角分别进行。
生：如果α是第二象限角，sinα=y是正数，也得找一条正的线段。因为α的终边在x轴上方，与第一象限一样，作PM垂直x轴于M，MP=sinα。
师：第
一、二象限角的正弦值几何表示都是MP，那么第
三、四象限呢？注意此时sinα是负值。
生：这时角α的终边在x轴下方，P到x轴的距离是｜y｜=-y。所以还是作PM垂直x轴于M，MP方向向下，长度等于-y，所以sinα=-y。
师：归纳起来，无论α是第几象限角，过α的终边与单位圆的交点P作x轴的垂线，交x轴于M，有向线段MP的符号与点P的纵坐标y的符号一致，长度等于｜y｜。所以有MP=y=sinα。同样方式得余弦线。
称有向线段MP，OM分别为角α的正弦线和余弦线。正弦线是角α的正弦值的几何形式。余弦线是角α的余弦值的几何形式。
（1）正弦线——有向线段MP （2）余弦线——有向线段OM 师：对轴上角这个结论还成立吗？ （学生经过思考，答案肯定。） 知识探究
（三）：角α的正切线 （3）正切线——有向线段AT 师：那么哪条有向线段叫正切线呢？不妨先找某一个象限角的正切线。 生：设α是第一象限角，α的终边与过A的圆的切线交于点T，T的横坐标是1，纵坐标设为y′，有向线段AT=y′，AT可以叫做正切线。（同学可能答不上来，教师给出更明确的提示。）
师：的确像刚才同学们说的，正切线确实是单位圆的切线的一部分。注意正切值不是每个角都有。
师：刚才讨论的是四个象限的象限角的正弦线、余弦线、正切线，轴上角有正弦线、余弦线、正切线吗？
生：当角α终边在x轴上时，P和M重合, 正弦线退缩成了一个点，正弦值为0；T和A重合，正切线退缩成了一个点，正切值为0；当角α终边在y轴上时， M和O重合, 余弦线退缩成了一个点，余弦值为0；α的终边与其反向延长线和过A的切线平行，没有交点，正切线不存在。
我们把角α与单位圆有关的三条正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。
归纳：
师：现在我们归纳一下任意角α的正弦线、余弦线、正切线的作法。其步骤是：
（1）作直角坐标系和角的终边，并在单位圆中找出角α的终边，设α的终边与单位圆的交点为P（x，y）。
（2）过P点作PM⊥x轴，垂足为M，则有向线段MP叫做角α的正弦线，OM叫做角α的余弦线。
（3）设单位圆与x轴正半轴的交点为A，过A（1，0）点作x轴的垂线AT，使AT与α的终边或其反向延长线交于T点，那么有向线段AT叫做角α的正切线。
利用三角函数线，我们可以解决一些简单的有关三角函数的问题，如准确求得角α的各个三角函数值，求三角函数的定义域、值域，准确画出各三角函数的图象等。
3、三角函数线的应用（观看课件）
例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
54（1） （2）
65练习：课本第17页：第2题的（1）、（3）题。
三、小结及作业
三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现．我们应掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关三角函数的问题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要正确。
作业：
1、课本第17页：第2题的（4）题。第3题。
2、预习下节：1.2.2同角三角函数的基本关系
推荐第5篇：圆的切线习题课教学设计
圆的切线习题课教学设计
五里镇四合九年制学校 张玉峰
学习目的：
1、熟练应用切线的判定定理和性质定理
2、熟悉常规图形的位置关系及数量关系 学习过程：
一、知识准备：
1、切线判定定理（符号语言表示）
2、切线性质定理（符号语言表示）
二、常规图形
例
1、如图，线段AB经过圆心O,交⊙O于点A、C，∠BAD＝∠B＝30， 边BD交圆于点D，求证：BD是⊙O的切线。
分析图形特征：
1、6个三角形，其中等边三角形是
为等腰三角形是 ；直角三角形是 全等三角形有 。
2、边角特征：①∠BAD＝∠B＝30 ②AD＝BD ③BC=OC=OA=OD=r，等价AB＝3 BC＝3 r ④ BD是⊙O的切线 变式1 如图，已知∠BAD＝30，AD＝BD，（1）求证：BD是⊙O的切线， （2）若OA＝2，求BD、BC的长。
变式2 如图，已知∠BAD＝30，BC＝OC，（1）求证；BD是⊙O的切线；（2）求∠B度数
变式3：如图，已知∠B＝30，BC＝OC（1）求证；BD是⊙O的切线；（2）求∠BAD度数
o
oo
o
o
变式4：已知AD＝BD，BC＝OC，求证；BD是⊙O的切线
变式5：已知BD是⊙O的切线，∠B＝30，（1）求∠A的度数（2）求证：BC＝OC
变式6：BD是⊙O的切线，探索∠BAD与∠B的数量关系。
中考真题体验：
1、（06厦门市）如图，AC为⊙O直径，B为AC延长线上的一点，BD交⊙O于点D，∠BAD=∠B=30°（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）请问：BC与BA有什么数量关系？ 写出这个关系式，并说明理由．
o
2、(2007年韶关市中考) 如图，AB是半⊙O的直径，弦AC与AB成30°的角，AC=CD.（1）求证：CD是半⊙O的切线；（2）若OA=2，求AC的长.
推荐第6篇：《切线判定》教学反思
《切线判定》教学反思
《切线的判定》是人教版教材九年级上册第24章——直线与圆的位置关系的第二节内容，本节内容是中考的必考内容，在全国各省市的中考命题中也都具有举足轻重的地位，同时也是高中学习《切线方程》的基础。本节课的重点是：切线的判定定理.难点是：圆的切线证明问题中，辅助线的添加方法.本节课我的教学是按：温故知新——创设情景——探究新知——学以致用——学后反思，5个教学环节展开。
温故知新环节通过问题串的形式展开：1直线与圆有几种位置关系？（相交，相切，相离）你能举出日常生活中的实例吗？，2回忆每种位置关系的2种判定方法。（①定义法，即交点法。从直观图形中来判断。②数量法即圆心与直线的距离d=圆的半径r）3课前检测，从而进一步巩固两种方法的转化运用，为本节课快速探究切线的判定定理以及外端点不明确只能用数量法证明圆的切线做铺垫。
创设情景环节主要通过让学生欣赏2个图片，使学生初步感受“圆的外端点”的概念。（①下雨天，快速转动雨伞时飞出的水珠。②在砂轮上打磨工件时飞出的火星）为探究新知概括切线判定埋下伏笔。
探究新知环节主要通过动手“做一做”（画一个⊙O及半径OA，画一条直线ι经过⊙O的半径OA的外端点A，且垂直于这条半径OA.）“想一想”（这条直线与圆有几个交点？L是⊙O的切线吗？为什么？由此你会画圆的切线吗？）“说一说”（你能用文字语言概述切线的判定定理吗？）来完成。学以致用环节主要通过例题和针对练习展开；学后反思主要让学生谈谈本节课的收获，以及还有哪些疑问?顺利收尾。 本节课教学亮点有以下几点：
1、温故知新环节复习针对性强，为总结切线的3种判定方法作了良好的铺垫作用。
2情景创设恰到好处。一方面使学生初步感受“圆的外端点”概念，另一方面感受外端点的圆的切线，这为接下来探究“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”作了很好的直观感知作用，为顺利探究“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”作了很好的铺垫作用。
3探究新知环节通过“画一画”“想一想”“说一说”激发了学生学习几何的积极性.也是新课程改革所倡导。有效地培养了学生通过操作发现规律，概括规律的能力。
4重点突出，难点突破得当。本节课的重点是“切线的判定定理”，而要很好的掌握定理，正确运用定理，首先必须要掌握定理使用的两个条件“经过半径的外端点”及“与这条半径垂直的直线”。只有在外端点明确的情况下，再证该半径与直线垂直。为此我首先强调定理的使用条件再告诉学生，外端点明确的语句常识“①点A在圆上（点A是外端点）②直径AB（点A、点B是外端点）③ ⊙O半径OA，OB等（点A、点B是外端点）④弦AB，CD等（点A、B、C、D是外端点）⑤直线AB交⊙O与点C （点C是外端点）”这样学生在读题的过程就会领会是否能用切线的判定定理来证明一条直线是否是圆的切线。本节课的难点有两点：①判断一条直线是缘的切线到底是用判定定理证还是用圆心到直线的距离等于圆的半径来证。②如何作辅助线。为了突破这两个难点，我主要设计了这两种类型的例题及针对练习，让学生在思考动脑证明的过程中感受①外端点明确，连半径，证垂直.②外端点不明确，作垂直，证半径。这样选哪种方法，如何作辅助线，做好辅助线后怎么证，学生就一清二楚了。
5“一题多证”培养了学生发散思维能力。
不足的地方：
1在让学生一题多证在实物投影仪上展示过程中，由于将幻灯片上的图形未画在黑板上，导致学生的证题过程无法与图形相联系，从而不能准确判断学生证题的规范性。
2、受时间影响，拓展提高环节未能得以落实。
3本节课教师讲的时间还嫌多，如果将知识的生成过程也让学生自己去引导、去发现会更好。
总之，从总体来说本节课达到了预期的教学效果，是一节较为成功的常规课，在今后的教学中，还要继续学习，继续试验“餐桌式”教学模式下的高效教学，进一步提高教学水平提高教学质量。
推荐第7篇：【教学论文】圆的切线教学设计 如何学好圆的切线
圆的切线教学设计
如何学好圆的切线?
圆的切线是圆这一章的重点内容之一，它的判定定理、性质定理及其推论，是学习其他有关圆的知识的理论基础，是进行圆内线段相等、角相等、弦相等、弦平行、线段成比例的证明与计算的主要依据.因此，要想学好圆的知识，学好圆的切线是关键.
要想学好这部分知识，同学们应注意以下几个问题.
一、正确理解切线的含义
切线的研究是从直线与圆的三种位置关系开始的，从而引出了切线的定义：直线与圆有唯一的公共点时，叫做直线与圆相切.这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.这一定义告诉我们，圆的切线是直线，它和圆有唯一的公共点，也就是有且只有一个公共点，与有一个公共点的含义不同.需要注意的是，如果直线和圆有一个公共点，那么直线和圆相切，这种说法是错误的.
二、正确理解切线的定义、判定定理和性质定理的内在联系
判定一条直线是否是圆的切线，常用的方法有如下三种.
（1）运用切线的定义：若直线与圆有唯一的公共点，则这条直线就是圆的切线.
（2）运用圆心到直线的距离：若圆心到直线的距离等于半径，则这条直线就是圆的切线.
（3）运用切线的判定定理：经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线就是圆的切线.
这三种判定方法，实质上均可用图1来表示.显然，三种判定方法是等价的，只是研究角度不同而已.解题时，可根据题目的不同特点，选择适当的判定方法.
切线的判定定理中，经过半径外端和垂直于该半径这两个条件缺一不可，否则结论就不成立.如图2，直线AB经过半径外端，但不垂直于该半径，所以直线AB不是该圆的切线.如图3，直线AB与CD都垂直于半径，但都没有经过该半径的外端，所以直线AB与CD都不是该圆的切线.
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.这一定理有两个推论.为了便于理解记忆，我们进行归纳整理.如果一条直线：
①垂直于切线；②过切点；③过圆心.由①和③可以推出②，这就是切线的性质定理的推论1；由①和②可以推出③，这就是切线的性质定理的推论2.
综上所述，切线的主要性质可以归纳如下：
（1）切线和圆只有一个交点；
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
其中，（1）是切线的定义；（2）是切线的判定定理的逆命题；（3）、（4）、（5）是切线的性质定理及推论.
注意：切线的判定定理和性质定理是互逆的，它们有着截然不同的用途.切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切需要推出一些结论的时候使用.
三、熟练掌握处理切线问题时所要添加的辅助线
在应用切线的判定定理和性质定理解题时，常常需要添加适当的辅助线，不少同学对此感到困惑.事实上，处理切线问题时辅助线的添加，还是有规律可循的，即“有点连圆心，无点作垂线”.
1.已知一直线是某圆的切线时，切点的位置也确定，这时可以连结圆心和切点，得到半径，则有半径垂直于切线.
例1如图4，AB是⊙O的直径，DC是切线，D为切点，OC∥AD.求证：BC是⊙O的切线.
分析：观察图形可知，要证明BC是⊙O的切线，只需证明∠ABC=90°.连结OD，利用全等三角形即可获证.
证明：连结OD.
因为DC是⊙O的切线，D为切点，
所以∠CDO=90°.
因为OC∥AD，
所以∠OAD=∠BOC，∠ODA=∠COD.
又因为OA=OD，
所以∠OAD=∠ODA，
所以∠BOC=∠COD.
又因为OC为公共边，OB=OD，
所以△OBC≌△ODC，
所以∠OBC=∠ODC=90°，
故BC是⊙O的切线.
说明：本题是切线的判定定理和性质定理的综合运用，显然，连结过切点的半径是求证的关键.
2.要证明一直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点，则可以作出这一点的半径，再证明直线垂直于这条半径；如果直线与圆的交点没有确定，则可以经过圆心作出直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径即可.
例2如图5，在△ABC中，CD是AB边上的高，CD=1/2AB，E、F分别是AC、BC的中点.求证：以EF为直径的⊙O与AB相切.
分析：欲证AB与⊙O相切，只需过圆心O作OG⊥AB于G，再证OG之长等于⊙O的半径即可.
证明：过圆心O作OG⊥AB于G.
因为E、F分别是AC、BC的中点，
所以EF∥AB，EF=1/2AB.
设EF与CD交于点H，则H也是CD的中点.
又因为CD=1/2AB，
所以HD=1/4AB，
所以EF=2HD.
因为CD是AB边上的高，OG⊥AB，EF∥AB，
所以四边形OGDH是矩形，
所以OG=HD，
所以OG=1/2EF，
故以EF为直径的⊙O与AB相切.
说明：用切线的判定定理证明直线与圆相切时，首先找到圆心到直线的距离，然后推出这个距离等于该圆的半径.
四、正确理解“直线切于圆”和“圆切于直线”
把“直线切于圆”和“圆切于直线”理解为相互的是可以的，但在画图中却有个先后顺序问题：“圆切于直线”是以直线为已知，而后画一个圆与这条直线相切，做法是：先画一条直线l，在直线上选定一点A（也可以是已知点），过点A作l的垂线AB，在AB上取半径AC=r，以C为圆心，r为半径的圆必与直线l相切，如图6.“直线切于圆”是以圆为已知，而后画直线与圆相切，做法是：先画一个
⊙O，在圆上选定一点A（也可以是已知点），作半径OA，过点A作半径OA的垂线l必与⊙O相切，如图7.
五、会过圆外一点向圆引切线
如何从圆外一点向圆引切线？
我们不妨先做个假设：过⊙O外一点A的切线AB已经画好，B为切点，连结OB，则OB⊥AB，显然△AOB是一个直角三角形，其中AO是定长（点A为已知，AO的距离已经确定），即△AOB是一个斜边确定的直角三角形；它的直角顶点在⊙O上，并且就是切点.
于是，就可以AO为直径画⊙D与⊙O相交，得到点B、C，点B、C就是我们要找的直角三角形的直角顶点，也就是切点.连结AB、AC，它们就是要求作的两条切线了.显然，过圆外一点引圆的切线有两条，如图8.至于为什么AB、AC就是⊙O的切线，理由是：因为OA是⊙D的直径，所以∠ABO=90°，即AB⊥OB；又因为AB过⊙O半径OB的外端，所以AB切⊙O于点B.同理可证AC切⊙O于点C.
推荐第8篇：圆的切线的判定与性质教学设计
黄麓镇中心学校2013-2014学年度第一学期九年级数学教案
24.2.2.2切线的判定和性质教学设计
备课人：杨智刚
时间：2013年11月18日
【教学目标】
一、知识与技能：1.理解切线的判定定理和性质定理，并能灵活运用。
2.会过圆上一点画圆的切线。
二、过程与方法：以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据，探究切线的判定定理和性质定理，领会知识的延续性，层次性。
三、情感态度与价值观：让学生感受到实际生活中存在的相切关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型。
【教学重点】探索切线的判定定理和性质定理，并运用。 【教学难点】探索切线的判定方法。 【教学方法】自主探索，合作交流 【教学准备】尺规 【教学过程】
一、导语：通过上节课的学习，我们知道，直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。而相切最特殊，这节课我们专门来研究切线。
师生行为：教师联系近期所学知识，提出问题，引起学生思考，为探究本节课定理作铺垫。
二、探究新知
（一）切线的判定定理
1.推导定理：根据“直线l和⊙O相切d=r”，如图所示,因为d=r直线l和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线l的距离，即垂直，并由d=r就可得到l经过半径r的外端，即半径OA的端点A，可得切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
分析：
1、垂直于一条半径的直线有几条？
2、经过半径的外端可以做出半径的几条垂线？
3、去掉定理中的“经过半径的外端”会怎样？去掉“垂直于半径”呢？
师生行为：学生画一个圆，半径OA，过半径外端点A的切线l，然后将“d=r直线l和⊙O相切”尝试改写为切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
设计意图：过学生亲自动手画图，进行探究，得出结论。
思考1：根据上面的判定定理，要证明一条直线是⊙O的切线，需要满足什么条件？ 总结：①这条直线与⊙O有公共点；②过这点的半径垂直于这条直线。
思考2：现在可以用几种方法证明一条直线是圆的切线？
① 圆只有一个公共点的直线是圆的切线 ②到圆心的距离等于半径的直线是圆 的切线 ③上面的判定定理.师生行为：教师引导学生汇总切线的几种判定方法
思考3：已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？
2.定理应用
①完成课本例1 黄麓镇中心学校2013-2014学年度第一学期九年级数学教案
分析：已知点C是直线AB和圆的公共点，只要证明OC⊥AB即可，所以需要连接OC，作出半径。
知道一条直线经过圆上某一点，则连接这点和圆心，证明该直线与所作半径垂直即可 .
②如图，O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，以OD为半径作⊙O.求证：⊙O与AC相切
分析：题中没有给出直线AC与⊙O的公共点，过点O作直线AC的垂线OE，证明垂线段OE等于半径OD即可。不知道直线和圆有无公共点，则过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段等于半径，从而证明直线是圆的切线.
③.如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？
分析：（1）根据切线的判定定理可知，要使直线AB与⊙C相切，那么这条半径应垂直于直线AB，并且C点到垂足的距离等于半径，所以只要求出如图所示的CD即可．
（2）用d和r的关系进行判定，或借助图形进行判定．
师生行为：学生独立思考，然后小组交流，教师及时引导点拨画出辅助线，并规范解题步骤。学生审题，由本节课知识思考解决方法。结合题目特点，选择合适的判定方法和性质解决问题，感知作辅助线的必要性。
（二）切线的性质定理 1.阅读课本96页思考
2.如图，CD是切线，A是切点，连结AO与⊙ O交于B，那么AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此，∠BAC=∠BAD=90°因此，可得切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径．
3.切线的性质归纳： ①切线和圆只有一个公共点。
②切线和圆心的距离等于圆的半径。 ③上面的性质定理。
④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。 ⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
（三）综合应用拓展
如图，AB为⊙O直径,C是⊙O上一点,D在AB的延长线上,∠ DCB=∠A． （1） CD与⊙O相
（2） 切吗？若相切，请证明，若不相切，请说明 理由． （2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
师生行为：学生阅读课本内容，尝试说明为什么圆的 切线垂直于过切点的半径。 教师引导学生汇总切线的性质，全面深化 理解切线的性质。
学生尝试综合应用切线的判定和性质，解决问题。学生进行练习，教师巡回检查，指导学生写出解答过程，体会方法。
设计意图：综合应用切线的判定和性质解题，培养学生的分析能力和解题能力让学生通过练习进一理
解，培养学生的应用意识和能力。 黄麓镇中心学校2013-2014学年度第一学期九年级数学教案
三、课堂训练：完成课本96页练习
四、小结归纳
1.切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．
3.常见作辅助线方法
师生行为：让学生尝试归纳，总结，发言，体会，反思，教师点评汇总。
设计意图：归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯。
课后反思
推荐第9篇：切线的判定教学反思
切线的判定教学反思
本节课以“361生本高效课堂模式”的理念出发，通过学生自我活动、教师适当引导得到数学结论作为教学重点，呈现学生真实的思维过程为教学宗旨，进行教学设计，目的在于让学生对知识有一个本质的、有效的理解。反思本节课，有以下几个成功与不足之处： 本节课做得成功之处有以下几点：
一、提出问题，注重联系
在新课引入上，打破以往单纯复习旧知的惯例，而是抓住新旧知识之间的联系，提出“目标性”问题，创设了问题情境，既抓住了学生的注意力，为学习新知做好了铺垫，又使教学从“定义”过渡到“判定定理”，显得自然合理。
二、动手实践，主体参与
本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导，学生为主体的教学原则。
三、合理设计课堂结构和问题
新课程理念提倡“把课堂还给学生，让课堂充满活力”，让学生真正“动起来”，我认为“动”不应当是表面的、外在的，而应当使学生的思维处于活跃状态，积极思考问题，这种内在的、深层的动，才是数学课堂需要的动。动得有序，动而不乱。课堂教学要的不是热闹场面，而是对问题的深入研究和思考。因此，根据这节课的教学内容，我设计了三个活动：
（一）、在动手操作发现判定定理的过程中，经历动脑思考、归纳、总结的过程。得到“经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”的结论。
（二）、分析结论。应用好命题的前提是理解好命题。为了能让学生更好的理解命题我设置了三个问题，并且通过画图举反例帮助学生理解，利用文字、几何语言的相互转化熟悉定理的使用条件。
（三）、应用命题。根据活动二的结论，我设计了两个不同类型的例题，得到证明一条直线是圆的切线的两个思路“连半径，证垂直和作垂直，证半径”。因为有活动二做铺垫，所以例题解决的很顺利。
、注意培养学生的解题能力。根据学生的数学学习情况和明年就面临中考的现实，教学中我注意引导学生认真分析每个已知条件，由每个条件可以得到哪些信息，结合要证明的结论及信息之间的联系，分析哪些信息有用，哪些没用。再理清思路，然后整理出来。
六、注意多种评价手段的运用。教学中面向大多数学生，并且给予及时的鼓励和评价。一个会心的微笑、学生的掌声、真诚的语言…让学生时刻感觉到被认可，从而更有动力投入到下面的学习中。
不足之处：
1、在具体的教学中没有很好的体现教学设计，过多的干涉学生的思考，导致学生对问题的思考不充分。
2、课堂上师生的互动还不够充分，只是小组讨论、个别提问和全班齐答的形式。针对各个环节不同的教学目标，应该采用学生板演、小组展示、互改纠错等多种形式激发学生的积极性和参与性，体现学生主体地位。
3、在变式训练中，没有把握好时间，灵活分组完成练习，使得练习时间稍显仓促。
4、在举“切线在生活中的实例”时，仅仅是以语言表达的方式进行，没有把所举例子制作成幻灯片，给学生美的享受
推荐第10篇：切线的判定教学的反思
本课例以“教师为引导，学生为主体”的理念出发，通过学生自我活动、教师适当引导得到数学结论作为教学重点，呈现学生真实的思维过程为教学宗旨，进行教学设计，目的在于让学生对知识有一个本质的、有效的理解。反思本节课，有以下几个成功与不足之处：
成功之处：
一、提出问题，注重联系
在新课引入上，打破以往单纯复习旧知的惯例，而是抓住新旧知识之间的联系，提出“目标性”问题，创设了问题情境，既抓住了学生的注意力，为学习新知做好了铺垫，又使教学从“定义”过渡到“判定定理”，显得自然合理。
二、动手实践，主体参与
本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导，学生为主体的教学原则。
三、合理设计课堂结构和问题
新课程理念提倡“把课堂还给学生，让课堂充满活力”，让学生真正“动起来”，我认为“动”不应当是表面的、外在的，而应当使学生的思维处于活跃状态，积极思考问题，这种内在的、深层的动，才是数学课堂需要的动。动得有序，动而不乱。课堂教学要的不是热闹场面，而是对问题的深入研究和思考。因此，根据这节课的教学内容，我设计了三个活动：(一)、在动手操作发现判定定理的过程中，经历动脑思考、归纳、总结的过程。得到“经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”的结论。(二)、分析结论。应用好命题的前提是理解好命题。为了能让学生更好的理解命题我设置了三个问题，并且通过画图举反例帮助学生理解，利用文字、几何语言的相互转化熟悉定理的使用条件。(三)、应用命题。根据活动二的结论，我设计了两个不同类型的例题，得到证明一条直线是圆的切线的两个思路“连半径，证垂直和作垂直，证半径”。
第11篇：圆的切线教学反思
圆的切线教学反思
我在教《九年级数学》下册“圆的切线”复习课时，是这样设计的：首先在黑板上画一个圆，要求学生：“在现有的图形中从添加一条切线、两条切线、三条切线„„，画出图形并说出相关的结论思考”；在独立完成的基础上小组内讨论汇总，不同组之间相互交流；然后有某组同学代表本组讲解本组的收获，其他小组补充；这样经过全体学生的共同努力，与切线有关的所有知识点都囊获其中。接着我让学生展开想象的翅膀，“用你的智慧和以前的学习经验，自己设计与切线有关的题目（可以是课本中或你做过的题目的变式）”；仍然让学生小组合作交流，然后板演讲解。结果让我大吃一惊，学生的设计有易有难，有选择、填空，还有解答探索。整堂课课堂气氛异常活跃，学生踊跃发言，积极参与，争先恐后，高潮迭起。并且我把课堂全部还给了学生，给了他们充分的展示自己的时间和空间，体现了“一切为了每一位学生的发展”新课程理念。真正是“给学生一次机会，学生一定会还你一个惊喜”。在教学中还存在以下的遗憾与不足：时间安排不合理，前面基础知识复习的时间过长，有点“前松后紧”；忽略了学习困难生的学习参与，没有有意“关爱、照顾”；教师的“导学”与“补漏”还做的不足；课堂小结处理匆忙，没有达到回扣目标，“画龙点睛”的作用。再教学本节课时，充分发挥课前准备的时间，缩短基础知识复习的时间，为后面的学生自主探究提供更多的时间保障；要面向全体，关爱学习困难生，给他们一定的时间，使他们享受到学习的快乐；做好课堂总结，起到其概括回扣作用。相信用我的爱心，用我的智慧，用我的探索，用我的耕耘，给学生更多的探索学习的时间和空间，一定能优化我们的课堂，让课堂焕发活力，让学生找到自信，使学生愿学数学，学好数学，收获丰硕的数学成果。
数学教研组：陈登群
二0一三年三月十日
第12篇：圆的切线的判定教学反思
《圆的切线的判定》教学反思
在讲《圆的切线的判定》一节内容时：教学过程我设置了三大环节。【1】回顾复习。【2】情境引入。【3】授新。好：首先咱们分别来看一下各个环节：
1、回顾复习：1）直线和圆的位置关系有哪些？怎样判断直线和圆的位置关系？你认为在这些位置关系中，那种关系式最特殊的？2）圆的切线有什么性质？
2、情景导入：生活中你看到哪些现象是直线和圆相切的位置关系的？（学生回答，教师补充）如：下雨天，转动雨伞，雨伞上的水滴会沿着什么方向飞出？车轮和笔直的公路等。
3、新授课：活动一：在练习本上画一个圆O,做一个半径OA,做一条直线L,使L经过点A且垂直于OA。这样的直线能画几条？这条直线和圆是什么位置关系？为什么？你得到了什么结论？
活动二：分析定理。这个定理有什么用？要证明一条直线是圆的切线，需要几个条件？分别是什么？画图说明，总结两种思路。（1）连半径，证垂直。（2）做垂直，证半径。 活动三：圆的切线的判定的应用。 总结→练习→布置作业 设计理念：基于学生的实际情况，根据学校的教研活动的主题：
整节课在设计时都是以此为出发点，让学生在动手、动脑中，发现问题，解决问题。在动手、动脑中观察、思考、验证、归纳、总结。
反思：
一、合理设计课堂结构和问题。新课程理念及新基础教育理念都提倡“把课堂还给学生，让课堂充满生命活力”，让学生真正“动起来”，我认为“动”不应当是表面的、外在的，而应当使学生的思维处于活跃状态，积极思考问题，这种内在的、深层的动，才是数学课堂需要的动。动得有序，动而不乱。课堂教学要的不是热闹场面，而是对问题的深入研究和思考。因此，根据这节课的教学内容，我设计了三个活动：
（一）、在动手画图的过程中，经历动脑思考、归纳、总结的过程。得到“经过半径外端且垂直于这条直径的直线是圆的切线”的结论。
（二）、分析结论。应用好命题的前提是理解好命题。为了能让学生更好的理解命题我设置了三个问题，并且画图帮助学生理解分析。得到证明一条直线是圆的切线的两个思路“连半径，证垂直和做垂直，证半径”。
（三）、应用命题。根据活动二的两个结论，我设计了两个不同类型的例题。因为有活动二做铺垫，所以例题解决的很顺利。
二、注意培养学生的解题能力。根据学生的数学学习情况和明年就面临中考的现实，教学中我注意引导学生认真分析每个已知条件，由每个条件可以得到哪些信息，结合要证明的结论及信息之间的联系，分析哪些信息有用，哪些没用。再理清思路，然后整理出来。
三、注意多种评价手段的运用。教学中面向大多数学生，并且给予及时的鼓励和评价。一个会心的微笑、学生的掌声、翘起的拇指、真诚的语言…让学生及时感觉到被认可，他就更有动力投入到下面的学习中。 不足：
1、课堂上师生的互动还不够充分，只是小组讨论、个别提问和全班齐答的形式。针对各个环节不同的教学目标，让学生板演、小组展示、互改纠错等多种形式激发学生的积极性和参与性，体现学生主体地位。所谓教无定法，一切以为教学服务为大前提，向学生展示并传递学习的快乐，无所畏惧，灵活变通。平时要多读多看有关的资讯，多开动脑筋，让课堂“活”起来、“有效”起来、“优质”起来！
2、教师应做到能让学生说的要让学生说，能让学生动手的要让学生动手，能让学生完成的要让学生完成，把课堂还给学生，让学生各自都有展示自我的机会。做到课堂上学生起主导作用，教学要面向全体，做到人人都有收获。真正做到把课堂还给学生。
3，
再教学本节课时，充分发挥课前准备的时间，缩短基础知识复习的时间，为后面的学生自主探究提供更多的时间保障；要面向全体，关爱学习困难生，给他们一定的时间，使他们享受到学习的快乐；做好课堂总结，起到其概括回扣作用。相信用我的爱心，用我的智慧，用我的探索，用我的耕耘，给学生更多的探索学习的时间和空间，一定能优化我们的课堂，让课堂焕发活力，让学生找到自信，使学生愿学数学，学好数学，收获丰硕的数学成果。
第13篇：《圆的切线的判定和性质》教学设计与反思
《圆的切线的判定和性质》教学设计与反思
学习目标：理解切线的判定定理和性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．
重（难）点预见重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目： 学习流程
一、揭示目标
二、自学指导 1.复习下列内容
1、直线与圆的位置关系有几种？分别是那些关系？直线与圆的位置关系的判断方法有哪几种?
2、直线与圆相切有哪几种判断方法？
3、思考作图：已知：点A为⊙o上的一点，如和过点A作⊙o的切线呢？ 交流总结：根据直线要想与圆相切必须d=r,所以连接OA过A点作OA的垂线 从作图中可以得出：
经过_________________并且___________与这条半径的的直线是圆的切线 思考：如图所示，它的数学语言该怎样表示呢？
4、思考探索；如图，直线l与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径， 直线l与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？ 小结：
（1）圆的切线 （ ） 过切点的半径。
（2）一条直线若满足①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的（ ）两条，就必然满足第三条。
5、例题精析：
例
1、（教材103页例1）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB,求证直线AB是⊙O的切线。
oACB
例2.如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，判断⊙D与OA的位置关系， 并证明你的结论。（无点作垂线证半径）
方法小结：如何证明一条直线是圆的切线
四、当堂检测
1、下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线．
B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线; C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线; D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
2、已知:如图,A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B在圆上,且AB=BC, ∠A=30.求证:直线AB是⊙O的切线.
C O A
OEBDAC 1
3.：如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。
五、归纳总结
六、作业布置 教学反思
反思：
一、合理设计课堂结构和问题。新课程理念及新基础教育理念都提倡“把课堂还给学生，让课堂充满生命活力”，让学生真正“动起来”，我认为“动”不应当是表面的、外在的，而应当使学生的思维处于活跃状态，积极思考问题，这种内在的、深层的动，才是数学课堂需要的动。动得有序，动而不乱。课堂教学要的不是热闹场面，而是对问题的深入研究和思考。因此，根据这节课的教学内容，我设计了三个活动：
（一）、在动手画图的过程中，经历动脑思考、归纳、总结的过程。得到“经过半径外端且垂直于这条直径的直线是圆的切线”的结论。
（二）、分析结论。应用好命题的前提是理解好命题。为了能让学生更好的理解命题我设置了三个问题，并且画图帮助学生理解分析。得到证明一条直线是圆的切线的两个思路“连半径，证垂直和做垂直，证半径”。
（三）、应用命题。根据活动二的两个结论，我设计了两个不同类型的例题。因为有活动二做铺垫，所以例题解决的很顺利。
二、注意培养学生的解题能力。根据学生的数学学习情况和明年就面临中考的现实，教学中我注意引导学生分析认真分析每个已知条件，由每个条件可以得到哪些信息，结合要证明的结论及信息之间的联系，分析哪些信息有用，哪些没用。再理清思路，然后整理出来。
三、注意多种评价手段的运用。教学中面向大多数学生，并且给予及时的鼓励和评价。一个会心的微笑、学生的掌声、翘起的拇指、真诚的语言…让学生及时感觉到被认可，他就更有动力投入到下面的学习中。
第14篇：九上数学《切线的判定和性质(教学设计)》
第7课时《切线的判定和性质》
【知识与技能】
能判定一条直线是否为一条切线，会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题.【过程与方法】
经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成学生既能自主探究，又能合作探究的良好学习习惯.【情感态度】
体验切线在实际生活中的应用，感受数学就在我们身边，感受证明过程的严谨性及结论的正确性.【教学重点】
切线的判定定理及性质定理的探究和运用.【教学难点】
切线的判定定理和性质的应用.
一、情境导入，初步认识
情境1 下雨天，小孩子总喜欢转动雨伞，你发现雨伞的水珠顺着伞面的边缘飞出，水珠是顺着什么方向飞出的？
情境2 用机器打磨铁制零件时，铁屑是沿什么方向飞出的？ 情境3用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形成一个圆，突然这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球会顺着什么方向飞出吗？
【教学说明】通过观察生活中的实例，使学生初步感知直线与圆相切的情景，深化学生思想中的数学模型.
二、思考探究，获取新知 1.切线的判定定理
思考1 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A，作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？
分析：∵直线l⊥OA，而点A是⊙O的半径OA的外端点.∴直线l与⊙O只有一个交点，并且圆心O到直线l的距离是垂线段OA，即是⊙O的半径.∴直线l与⊙O相切.【归纳总结】
切线的判定定理：经过半径的外端（点）并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【教学说明】结合切线的定义以及“如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆相切”，引导学生得出结论.在切线的判定定理中，“经过外端”和“垂直于半径”两者缺一不可.试一试 （1）已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？（只能作一条直线）
（2）下图中的直线是圆的切线吗？（都不是圆的切线）
2.切线的性质定理
思考2 已知直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？为什么？（学生讨论，由学生代表回答）
教师点评：由于l是⊙O的切线，点A为切点，∴圆心O到l的距离等于半径，所以OA就是圆心O到直线l的距离.∴OA⊥直线l.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.符号语言：∵直线l是⊙O的切线，切点为A.∴OA⊥直线l.【教学说明】这个问题在引导学生分析时，直接证明比较困难，我们可以运用反证法.假设OA与l不垂直，过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短的性质，有OM＜OA，这说明圆心O到直线l的距离小于半径OA，直线l与⊙O就相交了，而这与直线l与⊙O相切矛盾.因此，OA垂直于直线l.
三、典例精析，掌握新知
例1 教材98页例1.（要证明一条直线是圆的切线，必须符合两个条件，即“经过半径外端”和“垂直于这条半径”.引导学生分析.例2 （1）如图（1），AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A是切点，∠PAB=30°，求∠AOB.（2）如图（2），AB是⊙O的直径，DC切⊙O于点C，连接CA、CB，AB=12，∠ACD=30°，求AC的长.
解：（1）∵△OAB为等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA.又∵PA是⊙O的切线，∴由切线的性质可知：PA⊥OA，∴∠OAP=90°，∴∠OAB=∠OAP-∠BAP=90°-30°=60°，
∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×60°=60°.（2）连接OC，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，而∠ACD=30°，.∴∠OCA=60°，
∴△OAC是等边三角形，AC=OA=r=1/2×AB=1/2×12=6.【教学说明】例1是对切线的判定定理的应用，要使学生掌握用这个定理来证明切线的关键（紧扣两点）.例2是利用切线的性质解题.在解决与圆有关的切线的问题时，常见辅助线有：（1）已知直线是圆的切线时，通常连接过切点的半径，则这条半径垂直于切线.（2）要证明一条直线是圆的切线：①若直线过圆上某一点，则连接这点和圆心得到辅助半径，再证这条半径与直线垂直.即：已知公共点，连半径证垂直.②若直线与圆的公共点不确定，则过圆心作直线的垂线段，证明这条垂线段长等于圆的半径长.即：未知公共点，作垂线证半径.这种题型后面会给出练习.
四、运用新知，深化理解 1.完成教材第98页练习
1、2.2.如图，已知PA是∠BAC的平分线，AB是⊙O的切线，切点为E，求证：AC是⊙O的切线.
【教学说明】教材上的练习
1、2由学生自主完成，加深对切线的判定及性质的理解掌握；第2题是对切线的性质与判定的综合应用，教师可先让学生独立思考，再加以提示.最后，师生共同完成解题.【答案】1.（1）∵AT=AB，∴∠B=∠T=45°，∴∠A=180°-∠B-∠T=90°.又∵AB是⊙O的直径，∴AT是⊙O的切线.（2）l1∥l2，理由如下：∵AB是⊙O的直径，且l
1、l2是⊙O的切线，∴l1⊥AB，l2⊥AB，∴l1∥l2.2.过O点作OF⊥AC于点F，连接OE.则OE⊥AE.∴∠OEA=∠OFA=90°，又∵PA是∠BAC的平分线，∴∠OAE=∠OAF，∵AO=AO，∴△OAF≌△OAE，∴OF=OE.又∵OE是半径，∴OF也为半径长.∴AC是⊙O的切线.
五、师生互动，课堂小结
1.让学生回顾本堂课的两个知识点.2.试着让学生自己总结切线的证明方法，然后相互交流.【教学说明】在这一环节，教师要尽可能地让学生自主总结与交流，然后适当地予以点评和补充.
1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.2.完成练习册中本课时 练习的“课后作业”部分.
本节课从常见的生活情况入手，引入切线的概念，能激发学生的求知欲，接着又得出切线的判定方法及过圆上一点作已知圆的切线，又从另一侧面利用反证法，证明了切线的性质定理，这样，既证明了定理又复习了反证法.
第15篇：六 圆的切线的判定教学反思
《圆的切线的判定》教学反思
尤海兰
设计理念：基于学生的实际情况，根据学校的教研活动的主题：整节课在设计以学生合作学习为出发点，让学生在动手、动脑中发现问题，解决问题，六 圆的切线的判定教学反思。并体会数学课的快乐。
反思：
一、合理设计课堂结构和问题。新课程理念及新基础教育理念都提倡“把课堂还给学生，让课堂充满生命活力”，让学生真正“动起来”，我认为“动”不应当是表面的、外在的，而应当使学生的思维处于活跃状态，积极思考问题，这种内在的、深层的动，才是数学课堂需要的动。动得有序，动而不乱。课堂教学要的不是热闹场面，而是对问题的深入研究和思考。因此，根据这节课的教学内容，我设计了三个活动：
（一）、在动手画图的过程中，经历动脑思考、归纳、总结的过程。得到“经过半径外端且垂直于这条直径的直线是圆的切线”的结论。
（二）、分析结论，教学反思《六 圆的切线的判定教学反思》。 应用好命题的前提是理解好命题。为了能让学生更好的理解命题我设置了三个问题，并且画图帮助学生理解分析。通过小组合作学习得到证明一条直线是圆的切线的两个思路“连半径，证垂直和做垂直，证半径”。
（三）、应用命题。根据活动二的两个结论，我设计了两个不同类型的例题。因为有活动二做铺垫，所以例题解决的很顺利。
二、注意培养学生的解题能力。根据学生的数学学习情况和明年就面临中考的现实，教学中我注意引导学生认真分析每个已知条件，由每个条件可以得到哪些信息，结合要证明的结论及信息之间的联系，分析哪些信息有用，哪些没用。再理清思路，然后整理出来。
三、注意多种评价手段的运用。教学中面向大多数学生，并且给予及时的鼓励。一个会心的微笑、学生的掌声、翘起的拇指、真诚的语言…让学生及时感觉到被认可，他就更有动力投入到学习中。
不足：
1、课堂上师生的互动还不够充分，只是小组讨论、个别提问和全班齐答的形式。针对各个环节不同的教学目标，让学生板演、小组展示、互改纠错等多种形式激发学生的积极性和参与性，体现学生主体地位。所谓教无定法，一切以为教学服务为大前提，向学生展示并传递学习的快乐，无所畏惧，灵活变通。平时要多读多看有关的资讯，多开动脑筋，让课堂“活”起来、“有效”起来、“优质”起来！
2、教师的激情不足。教师在教学中的“导”不仅是“导学”在情绪上也有对学生的引导作用，教师要用自己的情绪来感染学生，让学生精神抖擞的来学习。这也是我在今后的课堂上要注意的问题。
第16篇：证明切线的方法
证明切线的方法
证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进行分析。
（1）圆和直线的唯一公共点已知，方法是：连半
径，证垂直（比较常用）。
（2）圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂
直，证半径。
例如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O
在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。DE是圆O的切线吗？
分析：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直。
DE是切线。
证明：连接OD。
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，
∴∠B＝∠C。
又∵OB＝OD，
∴∠B＝∠1。
∴∠1＝∠C。
而DE⊥AC，
∴∠C＋∠2＝90°。
∴∠1＋∠2＝90°。
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。
∴DE是圆O的切线。
AB
第17篇：弦切线定理[推荐]
弦切线定理
线的判定和性质
切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线几何语言：∵l ⊥OA，点A在⊙O上
∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）
切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点半径
几何语言：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A
∴l ⊥OA（切线性质定理）
推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线长定理
定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
几何语言：∵直线PB、PD切⊙O于A、C两点
∴PA=PC，∠APO=∠CPO（切线长定理）
弦切角
弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
几何语言：∵∠BCN所夹的是 ，∠A所对的是
∴∠BCN=∠A
推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言：∵∠BCN所夹的是 ，∠ACM所对的是 ， =∴∠BCN=∠ACM
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
弦切角概念：顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：
（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；
（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；
（3）角的另一边和圆
第18篇：二次曲线的切线方程
摘要：依据高等数学知识，本文谈论了利用公式法求二次曲线上一点处的切线方程的一般方法及具体操作要领。
关键词：猜想；证明；应用；算法
在高中数学中，求二次曲线的切线方程是一类重要题型。该题型分为两种：一种是求经过曲线上一点处的切线方程；另一种是求经过曲线外一点的切线方程。下面，笔者将结合高等数学的相关知识探索出一个公式，并运用该公式求解第一种问题，同时给出解决该问题的一般算法步骤。
一、猜想公式
这就是所求的切线方程。
小结：相比教材上的常规解法，利用本文中的公式法，求经过二次曲线上一点处的切线方程，其方法简洁明快，而且还与切线的斜率是否存在丝毫无关。
这就是所求的切线方程。
小结：对于含有 项的二次曲线，利用本文中的公式法，求经过二次曲线上一点处的切线方程，方法过程简便、快捷，与常规解题方法相比，更具优越性。
四、算法步骤
3.化简：对替换后的式子进行化简； 4.作答：明确地做出结论。
总而言之，通过对以上四种方法的归纳总结，我们可以很容易地看到解决此类数学问题时应掌握的方法技巧。因此，笔者呼吁广大数学教师在自己的教学中应积极地探索一些巧妙的解题规律，从而培养自己多角度思维的能力。
作者简介：费谏章，陕西省高中数学特级教师。有十余篇教育教学论文先后在省、市级教育专业刊物上公开发表。 作者单位：陕西省石泉中学
第19篇：切线不等式的应用
利用不等式“xR,exx1”解决高考压轴题
呼和浩特市第二中学
郎砺志
“xR,exx1”这一结论频繁地出现在与导数相关的各种教辅材料中，可以说学生很熟悉这个不等式的结论和证明过程，但是大多数人可能仅仅把它当成是一道练习题，殊不知，就是这样一个看似不起眼的结论，却撑起了近5年高考理科数学导数试题（压轴题）的半边天，所以本文的主要内容就是：分析近几年高考导数试题，诱发新的解题线索，提供高效而实用的解题方案，最后给出2013年全国理科数学新课标卷第21题的一种新解法。 命题1.xR,exx1.可以从两个角度证明这个命题的正确性。 角度1.构造函数
证明：设f(x)exx1,xR，则f(x)ex1
令f(x)ex1=0，解得x0，
则当x(,0)时，f(x)0，f(x)单调递减； 则当x(0,)时，f(x)0，f(x)单调递增；
于是由单调性可知，f(x)minf(x)极小=f(0)0 ，即xR,exx1。 角度2.数形结合
在同一坐标平面内作出两个函数f(x)e,g(x)x1的图象，如下图所示，
证完！
由上图可知，这个不等式实际上反映的是曲线f(x)e和其图象上的点(0,1)处的切线图形的高低关系。
xx于是这里得到，
定理.xR,exx1，当且仅当x0时取等号。
由上面的定理可以立即得到， 推论1.x[0,),e1xx12x 2xx证明：让我们换一套思路证明它，
tR,et1，则 xR,edt(1x)dt，
00tt根据牛顿-莱布尼茨公式可得e1xx12x，证完！ 2这里要点明，这个结论实际上在高等数学中是显然的，根据函数的幂级数展开可得，
x2x31e1x1xx2,x[0,).。
2!3!2x推论2.xR,lnxx1，当且仅当x1时取等号。
证明：由定理可得，xR,ex1x，两边同时取以e为底的对数得， lnxx1，当且仅当x1时取等号。
推论3.x[1,),lnx11(x).2x证明：t[1,),lntt1，则x[1,),化简可得推论3.接下来就是高考试题的分析。
题1（2010年全国理科数学Ⅱ卷第22题节选） 设函数f(x)1e.xx1lntdt(t1)dt，
1xx。 x1x证明：欲证 当x1时，f(x)，只须证明：
x111ex1 ，即
x11ex，也即
x1求证：当x1时，f(x)exx1，得证。
题2.(2013年辽宁理科数学卷第21题节选) 已知函数f(x)(1x)e2x.求证：当x[0,1]时，f(x)1.1x证明：事实上，等价于证明e2x(x1)2，也即
exx1.题3.(2010年理科数学新课标卷第21题节选) 设函数f(x)ex1xax2，
当x0时，f(x)0.求实数a的取值范围。 解：由推论1可知，a111满足条件，于是当a时均满足条件，事实上，当a时，222故当x(0,ln(2a))时，f(x)ex2a0,f(x)ex12ax,f(x)ex2a，此时函数f(x)单调递减，有f(x)f(0)0,从而函数f(x)单调递减，所以f(x)f(0)0，这和题目条件矛盾，综上，a1。 2这里顺便指出，利用这道题的结论可以轻松断定2012年辽宁理科数学高考第12题的A选项是错误的，从而我们也能感受到高考试题的延续性。 题4.（2011年湖北省理科数学卷第21题节选） 设ak,bk(k1,2,3,,n)均为正数，证明：
若a1b1a2b2anbnb1b2bn, 则a11a22an证明：欲证a11a22anbbbnbbbn1。
bbb1，只须证ln(a11a22ann)ln10，
即b1lna1b2lna2bnlnan0 ① 事实上，根据题意即推论2可知，
lnakak1,k1,2,3,,n，带到①式左边可得，
b1lna1b2lna2bnlnanb1(a11)b2(a21)bn(an1)
=(b1a1b2a2bnan)(b1b2bn)0,证完。
题5.（2010年湖北省理科数学卷21题节选） 求证：1111n ln(n1)23n2(n1)证明：由推论3知：x[1,),lnx11(x)； 且 2x11当x1,lnx(x)；
2xk1k11k111,(k1,2,3,n), 有ln() 令xkk2kk1111[(1)(1)]2kk1111()2kk1
于是有，ln(k1)lnk111(),k1,2,3,n.2kk1将这n个同向不等式相加并整理即可得：
1证完。 111n ln(n1)23n2(n1)下面给出2013年全国新课标卷第21题的一种新解法。 题6.已知函数f(x)eln(xm) 当m2时，f(x)0.证明：很明显，f(x)eln(x2)，若记g(x)elnx(2)，则只须证明
xxxg(x)exln(x2)0即可，事实上，由推论2，ln(x2)x1知， g(x)ex(x1)，设h(x)ex(x1)，由定理可知h(x)0成立，但上述等号无法同时取得，综上，利用“>”的传递性可得，当m2时，f(x)0.证完！ 上面的各个例题告诉我们，不等式“xR,ex1”及其推论在高考试卷中的应用是广泛而重要的，能灵活地运用这些结论对快速高效地解决高考导数大题意义深远，另外，通过分析高考试题，我们也可以得到一个结论：看似纷繁芜杂的导数试题中其实蕴含着永恒的规律，遵循本文给出的解题线索，你一定能拥有针对性极强的解题意识，在高考压轴题的海洋中遨游。
x
第20篇：切线系统第一期研究
切线系统研究
技术分析的理论基础之一就是“股价是沿着趋势移动的”，要顺势而为，而不逆势而动。而切线理论就是帮助投资者识别大趋势的方法。
切线理论的内容
支撑线和压力线
趋势线和轨道线
黄金分割线和百分比线
扇形线、速度线、甘氏线
支撑线和压力线
（一）支撑线和压力线的含义
支撑线又称为抵抗线，起着阻止股价继续下跌或暂时阻止股价继续下跌作用的价格就是支撑线所在的位置。当股价跌到某个价位附近时，股价停止下跌，甚至有可能还有回升，这是因为多方在此占强势所造成的。
压力线又称为阻力线，起着阻止或暂时阻止股价继续上升作用的价位就是压力线所在的位置。当股价上涨到某价位附近时，股价会停止上涨，甚至回落，这是因为空方在此占强势所造成的。
（二）支撑线和压力线的理论依据
在某一价位之所以形成对股价运动的支撑和压力，主要是由投资者的筹码分布、持有成本以及投资者的心理因素所决定，其中投资者的心理因素占主导作用。
（三）支撑线与压力线相互转化
支撑和压力的角色不是一成不变的，是可以转化的，条件是它被有效的足够强大的股价变动突破。一条支撑线如果被跌破，那么这支撑线将成为压力线；同理，一条压力线被突破，这一压力线将成为支撑线。
支撑和压力的相互转化的重要依据是被突破，怎样才算被突破呢？
1、距离标准。穿过支撑和压力线越远，突破的结论越正确，越值得相信。经验数是5%左右和一些整数的价位。跌破这些数字，往往应是改变看法的开始。
2、收盘价标准
3、成交量标准
4、时间标准
（四）支撑线和压力线的确认
一般来说，一条支撑线或压力线的确认从三个方面考虑：
1、股价在这个区域停留时间的长短；
2、股价在这个区域伴随的成交量大小；
3、支撑或压力区域距离现在越近。
持续的时间越长，伴随的成交量越大，离现在越近，则这个支撑和压力区域对当前的影响就越大，反之就越小。
趋势线
（一）趋势线的含义
趋势线是描述价格的趋势的直线，由趋势线的方向可以明确地看出股价的趋势。上升趋势线起支撑作用，下降趋势线起压力作用。但需注意没有永远有效的趋势线。
（二）趋势线的画法
在上升趋势中，将两个上升的低点连成一条直线，就得到上升趋势线。 在下降趋势中，将两个下降的高点连成一条直线，就得到下降趋势线。
（三）趋势线的确认
第一，必须确实有趋势存在。
第二，画出直线后，还应得到第三个点的验证才能确认这条趋势线是有效的。 第三，所画出的直线被触及的次数越多，其作为趋势线的有效性越被得到确认，用它进行预测越准确有效。
第四，这条直线延续的时间越长，这条直线越具有有效性。
（四）趋势线的突破
1) 收盘价原则。收盘价突破趋势比最高价和最低价突破趋势线更有效、更重要。
2) 距离标准。穿越趋势线越远，突破越有效。一般是用突破的幅度，如3%、5%、10%等考察。
3) 时间标准。穿越趋势线后，在趋势线的另一方停留的时间越长，突破越有效。
4) 成交量标准。
轨道线
（一）轨道线的画法
轨道线又称通道线或管道线，是基于趋势线的一种分析方法。
在得到了趋势线后，通过第一个峰或谷可以作出这条趋势线的平行线，两条平行线组成一轨道，这就是常说的上升和下降轨道。
（二）轨道线的作用
1) 限制股价的变动范围。一个轨道一旦得到确认，那么价格将在这个通道里变
动。轨道线被触及的次数越多，延续的时间越长其被认可程度和其重要性就越高。
2) 突破轨道线是趋势加速的开始。即原来的趋势线的斜率将会增加，趋势线的
方向将会更加陡峭。
3) 趋势转向的警报。如果在一次波动中未触及到轨道线，离得很远就开始掉头，
这往往是趋势将要改变的信号。它说明，市场已经没有力量继续维持原有的上升和下降的规模了。
黄金分割线
黄金分割线的理论依据是斐波那契数列，即：
1、
1、
2、
3、
5、
8、
13、21„„
这里面涉及到0.382，0.618，1.382，1.618这些重要的黄金比率。
黄金分割线画法
第一步，记住0.382，0.618，1.382，1.618这四个数字，股价极为容易在这四个数产生的黄金分割线处产生支撑和压力。
第二步，找到一个点。这个点是上升行情结束，调头向下的最高点，或者是下降行情结束，调头向上的最低点。只要确认一个趋势已经结束或暂时结束，则这个趋势的转折点就可以作为进行黄金分割的点。这个点一经选定，我们就可以按照0.382，0.618，1.382，1.618这些比率画出黄金分割线了。
百分比线
百分比线考虑问题的出发点是人们的心理因素和一些整数的分界点。
当股价持续向上，涨到一定程度，肯定会遇到压力，遇到压力后，就要向下回撤，回撤的位置很重要。百分比数一共10个，分别是1/
8、2/
8、3/
8、4/
8、5/
8、6/
8、7/
8、8/
8、1/
3、2/3，其中最重要的是1/
2、1/
3、2/3。
在很大程度上，回撤到1/
2、1/3和2/3的位置是人们的一种心理倾向。如果没有回落到以下，就好像没有回落够似的；如果已经回落了，人们自然会认为已经回落够了，因为传统的定胜负的方法是三打二胜利，就是常说的二分法。
对于下降行情中的向上反弹，百分比线同样也适用。其方法与上升情况完全相同。
百分比线所针对的对象是趋势中途出现的反向运动。因此，在使用百分比线之前，必须假设，当前市场波动是原来趋势的回落和反弹，而不是趋势的反转。如果趋势发生了反转，则使用百分比线将为投资者带来灾难。
扇形线
扇形原理简单地叙述为：如果所画的三条趋势线都被突破，则趋势将反转。 扇形原理的三次突破原则
在下降趋势中，先以两个高点画出一条下降趋势线后，如果价格向上回升，突破了刚画的下降趋势线，则以新出现的高点与原来的第一个高点相连接，再画出第二条下降趋势线。如果第二条趋势线又被向上突破，则同前面一样，用新的高点，与最初的高点相连接，画出第三条下降趋势线。这第三条下降趋势线如果又被突破，则趋势将真正反转。
对于上升趋势也是如此，只是方向正好相反。
速度线
同扇形线考虑的问题一样，速度线也是用以判断趋势是否将要反转的。不过，
速度线给出的是固定的直线，而扇形线中的直线是随着股价的变动而变动的。
另外，速度线又具有一些百分比线的思想。它是将每个上升或下降的幅度分成三等分进行处理，所以速度线又称为三分法。
速度线最为重要的功能是判断一个趋势是被暂时突破还是长久突破（转势）。 速度线的基本思想
在上升趋势的调整之中，如果向下折返的程度突破了位于上方0.67的速度线，则股价将试探下方的0.33速度线。如果速度线被突破，则股价将一泻而下，预示这一轮上升的结束，也就是转势。
在下降趋势的调整中，理论同样使用，不过结论相反。
速度线的画法
首先，找到一个上升或下降过程的最高点和最低点，然后，将高点和低点的垂直距离三等分。
第二步是连接高点（在下降趋势中）与0.33分界点和0.67分界点，或低点（在上升趋势中）与0.33和0.67分界点，得到两条直线。这两条直线就是速度线。
甘氏线
甘氏线分上升甘氏线和下降甘氏线两种，是由William D．Gann创立的一套独特的理论。甘氏线是Gann将百分比原理和几何角度原理结合起来的产物。
甘氏线从一个点出发，依一定的角度，向后画出的多条直线，所以甘氏线又称为角度线。（应该就是我们之前学习江恩理论的角度线了）
每条甘氏线线都有支撑和压力的功能，但甘氏认为在9条角度线中最重要的是45度线（1×1线）、26.25度线（1×2线）和63.75度线（2×1线）。这三条直线分别对应百分比线中的50％，62.5％和37.5％百分比线。其中，又以45度线最重要，代表着市场的一种动态平衡态势。
其余的角度虽然在股价的波动中也能起一些支撑和压力作用，但重要性都不大，都很容易被突破。
切线系统的缺陷及运用注意问题
1) 切线方法为我们提供了很多价格移动可能存在的支撑线和压力线。但是，切
线都有突破和不突破两种可能，由于要等到价格已经离开了很远的时候才能够肯定突破成功和突破失败，因此存在一定的滞后性。
2) 主观因素占主导作用。在切线的画法中，涉及到的高低点、区域范围、比率
舍取的选择等等，人为的主观因素占有很大的比重，若是选择不当，对整套技术理论的应用都会有误导。
3) 跟所有的技术分析一样，都存在骗线的可能性。
4) 跟所有的技术分析一样，都没有考虑个股的股性问题，忽视了个股基本面的
考虑。所以运用时，一定要配和个股的基本面和其他的一些技术指标综合分析。
