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切线长定理教学设计
新民中学：钱贻烈
教材分析
“切线长定理”是人教版九年级数学上册第二十四章“圆”的第二节的内容，本节内容安排六个课时，本课时是本节内容的第五课时，本课设计主要是在切线的基础上，明确切线长的定义，通过学生动手操作，逻辑证明来明确切线长定理，引出三角形的内切圆，通过与三角形的内切圆有关的练习巩固切线长定理。
学情分析
学生的基础参差不齐，基础薄弱，因而要加强动手操作探究知识来源的教学，让学生学知识学到“知其然并知其所以然”，不仅“知其所以然”，还要学以致用。
教学目标
一、知识与技能：
1.了解切线长的概念．
2.理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．
3.复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．
二、数学思考：
1.通过操作、观察两条切线长，发展学生的合情推理能力和演绎推理能力。
2.学生经历知识的形成与运用过程，培养学生的数学语言概括、表达能力。
三、解决问题
1.学生探索切线长定理过程中，学会用数形结合思想解决问题。
2.学生运用切线长定理解题，提高运用知识和技能解决问题的能力。
四.情感、态度与价值观 培养学生主动参与探索知识来源，获得数学知识的良好学习习惯，从而提高学生学习数学的积极性。
教学重点和难点
1．重点：切线长定理及其运用．
2.难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．
教学过程
一、复习引入 活动1：切线的识别方法
二、探索新知 活动2：过圆外的一点作圆的切线，可以作出几条切线？
1.观察图形中的切线，哪一部分是切线长，明确切线长的定义 2.布置动手操作：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，连结PO，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
引导学生观察 从上面的操作几何我们可以得到PA=PB，∠OPA=∠OPB．：
活动3：
下面，我们给予逻辑证明．
如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线． 求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB． 证明：略
因此，我们得到切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 学生动手操作发现两条切线长PA与PB，的数量关系，∠APO与∠BPO有什么关系？并分组讨论 在老师的引导下学生对上述过程总结，得出切线长定理 在老师的引导下学生观察PA与PB，DA、CB与DC有什么关系, 学生通过动手操作，让他们经历一个自主探究的过程，从而激发学生的学习兴趣，发现切线长定理。 证明定理是为了培养学生的数学思维能力，“知其然并知其所以然”。 例题的补充让学生充分的理解切线长定理的运用，培养学生的解决问题的能力 活动4： .例题1：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C。（1）写出图中所有的垂直关系（2）写出图中与∠OAC相等的角（3）写出图中所有的全等三角形（4）写出图中所有的等腰三角形（5）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长.
三、归纳认识，明确切线长定理与三角形内切圆的关系
活动5： 结合切线长定理与所画得三角形的角平分线有什么关系呢？ 从而引出： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．
例题
1、内心的应用；
课本100页例题： 例题2：如图，△ABC的内切圆⊙O，与BC、CA、AB切点为D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，AC=13cm，求AF、BD、CE的长． 三角形的内切圆的定义学生不难理解，而例题中求AF、BD、CE的长，学生可能会无从下手．因此让学生分组讨论解题思路，并由部分学生说出解题思路。 学生通过画图，结合切线长定理，明确三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点，再通过例题巩固切线长定理的运用，加强解决问题的能力。
四、练习巩固
活动6： 1.课本100页第
1、2题 ．
五、小结本课
这节课我们学到了哪些知识？你能说说吗？
六.作业：课本101页第
3、6题 学生尝试，提高升华 学生回忆、交流完成。 通过练习，强化学生主动参与、合作交流的意 识，从中获取知识，并会举一反三。教师通过练习，及时发现问题，评价教学效果 强化本节知识点
板书设计 1.切线长的定义 2.切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 如图：因为PA、PB是⊙O的两条切线． 所以PA=PB，∠OPA=∠OPB． 3.三角形的内切圆： 三角形的内心：
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切线长定理————教学设计
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．
难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．如120页练习题中第3题，它不仅应用切线长定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来．
2、教法建议
本节内容需要一个课时．
（1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结；
（2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学． 教学目标
1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；
2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．
教学重点:
切线长定理是教学重点
教学难点:
切线长定理的灵活运用是教学难点
教学过程设计:
（一）观察、猜想、证明，形成定理
1、切线长的概念．
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．
引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
2、观察
利用电脑变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系．
3、猜想
引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB． PA＝PB．
4、证明猜想，形成定理．
猜想是否正确。需要证明．
组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB．
想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？
∠OPA＝∠OPB(如图)等．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
5、归纳：
把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质
6、切线长定理的基本图形研究
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AP于C
(1)写出图中所有的垂直关系；
(2)写出图中所有的全等三角形；
(3)写出图中所有的相似三角形；
(4)写出图中所有的等腰三角形．
说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．
（二）应用、归纳、反思
例
1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，
A和B是切点，BC是直径．
求证：AC∥OP．
分析：从条件想，由P是⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A，B是切点可得PA＝PB，∠APO＝∠BPO，又由条件BC是直径，可得OB＝OC，由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等．于是想到可能作辅助线AB.
从结论想，要证AC∥OP，如果连结AB交OP于O，转化为证CA⊥AB，OP ⊥AB，或从OD为△ABC的中位线来考虑．也可考虑通过平行线的判定定理来证，可获得多种证法．
证法一．如图．连结AB．
PA，PB分别切⊙O于A，B
∴PA＝PB∠APO＝∠BPO
∴ OP ⊥AB
又∵BC为⊙O直径
∴AC⊥AB
∴AC∥OP (学生板书)
证法二．连结AB，交OP于D
PA，PB分别切⊙O于A、B
∴PA＝PB∠APO＝∠BPO
∴AD＝BD
又∵BO=DO
∴OD是△ABC的中位线
∴AC∥OP
证法三．连结AB，设OP与AB弧交于点E
PA，PB分别切⊙O于A、B
∴PA＝PB
∴ OP ⊥AB
∴ =
∴∠C＝∠POB
∴AC∥OP
反思：教师引导学生比较以上证法，激发学生的学习兴趣，培养学生灵活应用知识的能力．
例
2、圆的外切四边形的两组对边的和相等．
（分析和解题略）
反思：（1）例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记住结论．（2）圆内接四边形的性质：对角互补．
P120练习：
练习1 填空
如图,已知⊙O的半径为3厘米，PO＝6厘米，PA，PB分别切⊙O于A，B，则PA＝_______，∠APB＝________
练习2 已知：在△ABC中，BC＝14厘米，AC＝9厘米，AB＝13厘米，它的内切圆分别和BC，AC，AB切于点D，E，F，求AF，AD和CE的长．
分析：设各切线长AF，BD和CE分别为x厘米，y厘米，z厘米．后列出关于x , y，z的方程组，解方程组便可求出结果．
（解略）
反思：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外，还要用到解方程组的知识，是一道综合性较强的计算题．通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力．
（三）小结
1、提出问题学生归纳
（1）这节课学习的具体内容；
（2）学习用的数学思想方法；
（3）应注意哪些概念之间的区别?
2、归纳基本图形的结论
3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法．
（四）作业
教材P131习题7．4A组1．(1)，2，3，4．B组1题． 探究活动
图中找错
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《切线长定理》评课稿
舒 兰 十 二
曹雪松
中
李艳萍老师的《切线长定理》这一课体现了“阳光课堂” 的理念。所谓“阳光课堂”，它的核心理念是“积极向上、优质高效、和谐愉悦、整体提升”； “阳光课堂”的内涵：培养学生高尚健全的思想品格，自信乐观的人生态度，积极进取的阳光心态；提高学生自主学习、自我管理的能力，以达到知识与方法的优质高效；营造和谐愉悦的课堂氛围，创设轻松快乐的学习环境；整体提升学生的综合素养和教师的专业品质，全面推进教育内涵的发展。李艳萍老师此次的阳光教学行动，采用“问题导学”的教学模式，即学前准备——自主学习——合作探究——归纳提升——达标测评。
一、课前学案的充分“预设”与课堂的自由“生成”相呼应。本节课中李老师课前以学案的形式预设问题：分别让学生画圆的一条切线，两条切线，三条切线、四条切线。以开放的形式为学生创造广泛的思考空间，同时赋予学生充分的思考时间。优秀的学生可以画出多种位置的切线发展他们思维的广泛性，学困生也可以在复习切线判定的基础上顺利完成，激发他们研究的兴趣。这样，不仅节省了课上时间，也兼顾到所有学生的发展，为课堂自由“生成”切线长的概念做好了铺垫。由于，课前学生亲自动手画出圆的切线，不仅增强了学生直观体验，更易于学生体会并发现切线和切线长的区别，完成基础目标的教学。
二、充分体现新课标中自主学习、合作探究的精神。
新课标中积极倡导自主、合作、探究的学习方式。以激发学生的学习兴趣、好奇心和求知欲。本节课中设置了三个探究问题主线： 问题一：观察从圆外一点画出圆的两条切线的图形，小组交流讨论你的发现和结论，加以验证，并向大家展示你的成果。此环节让学生经历观察、猜想、验证、最后归纳得出切线长定理，使学生的直观操作与逻辑推理有机的整合到一起，让学生在探究的过程中体验数学活动充满着探索性和创造性，感受证明的必要性，证明过程的严谨性以及结论的确定性。学生在总结出切线长定理的同时，又通过观察图形发现了圆心和这一点的连线为圆的对称轴，利用对称性还可的到更多的边等、角等、弧等的结论。然后，通过动态演示强化切线长定理这一核心知识。可以看出设置探究性的问题，可以树立学生已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在一定条件下可以转化的思想，使学生学会把未知转化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题的思考方法。本环节教师通过学生探究、学生讲解、学生总结、归纳总结得出本节课的核心知识“切线长定理”，又通过动态演示强化核心知识。最后通过习题、生活中的实例让学生应用核心知识，树立学生的应用意识。这样多种形式、多种角度强化核心知识，更易学生接受。 这一环节结束后，教师再次创设问题二：观察圆的三条切线组成
三角形的图形，此环节让学生根据题设和已有的切线长定理，经过观察推理学生水到渠成的得出三角形的内切圆的相关概念。问题二的引入自然流畅，层层递进不仅符合学生认知规律，也激发了学生进一步研究的兴趣，达成本节课知识目标的教学。最后，通过在三角形铁皮上裁下一个最大的圆的实际问题的探究，帮助学生从实际中发现数学问题，运用所学知识解决实际问题，提高他们数学的应用意识和解决问题的能力。 前两个问题的研究使本节课的探究达到高潮，为了给学生形成完整的知识体系，教师又引入了问题三：观察圆的四条切线形成四边形的图形。学生通过在图形中识别切线长定理的基本图形，总结的出圆外切四边形的性质，学生再次应用本节核心知识发现新的结论。这样教学，教师不只是让学生“见到树木，也看到了他们所在的森林”。三个问题的探究都是让学生根据题设和已有的知识，经过观察、推理得出结论，这些对激发学生的学习兴趣，活跃学生的思维，对发展学生的思维能力有好处。 总之，教师只有在课堂教学中巧设问题，就可激发学生的自主学习的兴趣，让学生主动参与到问题探究活动中，交流分享、质疑解惑，让他们体会合作探究的乐趣。每个环节都经历了生本对话、生生对话、师生对话、归纳提升。体现阳光课堂理念，课堂上学生活动是“明线”，教师的教学是“暗线”，体现“学生主体”教学观。
三、运用多媒体教学，增强学生的直观感觉，增大教学容量。本节课教师采用多媒体辅助教学，尤其是动态演示，使学生一目了然，不仅给学生以直观的印象，同时也扩大了课堂的容量，使学生获得更多的信息。
四、归纳提升环节即谈收获又谈疑惑，即整合知识，又给学生留下思考的空间。例如学生提出：
1、筷子问题中的切线长定理。
2、过圆外一点用尺规做圆的切线的方法。
3、圆外切五边形的性质。
课堂教学不仅是传授知识的主阵地，同时培养学生思维，进行学生思维外延。
几点建议：
一、精心设计课堂语言，评价学生要及时到位。
评价的目的是全面考察学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生的全面发展，评价也是教师反思和改进教学的有利手段。对学生数学学习的评价，既要关注学生知识与技能的理解和掌握，更要关注他们情感与态度的形成和发展，对于学生回答问题不完整的地方或出错的地方，教师可采用“你们的看法和他相同吗？”“好像不完整谁还有补充？”“大家比较谁的说法更有理？发表你的见解”等形式激发学生相互质疑解疑。这样既关注学生数学学习的结果，更关注他们在学习过程中的变化和发展。 评价的手段和形式应多样化，要将过程评价与结果评价相结合，定性与定量相结合，充分关注学生的个性差异，发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心和自信心。例如学生到黑板上做题出错了，当别人给他改对之后，教师可以让做错的同学给大家一些经验提醒；也可以在课堂小结环节教师总结知识后，让学生通过说出自己错误的体验升华本节知识。例如，在课堂练习时，如果有学生独立说出答案，并说出理由，是否会更好的帮助老师发现学生个性问题，兼顾全体学生的发展。总之，数学教师的功底，关键在于能否抓住学生回答问题的点滴，对学生进行指导。引导学生在他原有的认知的基础上提高一个层次，这样的教学才是真正的数学教学。这是我们所有数学教师在平时教学中要体会的。
二、备课认真，但更要重视细节。
1、板书切线长定义时“切线长：从圆外一点到切点之间的线段的长度。”不太严谨。应该写为“切线长定义：从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和切点之间线段得长度叫做切线长。”
2、教师课堂语言“告诉我你的思想？”是否换成“告诉我你的想法？”更合适些。这也提示我们数学教师需要锤炼课堂语言。
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切线长定理
教学目标
1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；
2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．
教学重点:
切线长定理是教学重点
教学难点:
切线长定理的灵活运用是教学难点
教学过程设计:
（一）观察、猜想、证明，形成定理
1、切线长的概念．
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．
引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
2、观察
利用电脑变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系．
3、猜想
引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB． PA＝PB．
4、证明猜想，形成定理．
猜想是否正确。需要证明．
组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB．
想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？
∠OPA＝∠OPB(如图)等．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
5、归纳：
把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质
6、切线长定理的基本图形研究
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AP于C
(1)写出图中所有的垂直关系；
(2)写出图中所有的全等三角形；
(3)写出图中所有的相似三角形；
(4)写出图中所有的等腰三角形．
说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．
（二）应用、归纳、反思
例
1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，
A和B是切点，BC是直径．
求证：AC∥OP．
分析：从条件想，由P是⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A，B是切点可得PA＝PB，∠APO＝∠BPO，又由条件BC是直径，可得OB＝OC，由此联想到与直径有关的定理“垂径定理”和“直径所对的圆周角是直角”等．于是想到可能作辅助线AB.
从结论想，要证AC∥OP，如果连结AB交OP于O，转化为证CA⊥AB，OP ⊥AB，或从OD为△ABC的中位线来考虑．也可考虑通过平行线的判定定理来证，可获得多种证法．
证法一．如图．连结AB．
PA，PB分别切⊙O于A，B
∴PA＝PB∠APO＝∠BPO
∴ OP ⊥AB
又∵BC为⊙O直径
∴AC⊥AB
∴AC∥OP (学生板书)
证法二．连结AB，交OP于D
PA，PB分别切⊙O于A、B
∴PA＝PB∠APO＝∠BPO
∴AD＝BD
又∵BO=DO
∴OD是△ABC的中位线
∴AC∥OP
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切线长定理
一、教材说明：
这是人教版九年级上册第二十四章圆中直线与圆位置关系的《切线长定理》的教学设计。
二、教材分析：
1、在教材中的地位和作用
直线和圆是生活中最常见的几何图形，它的有关性质被广泛应用，尤其对于切线长定理，它体现了圆的轴对称性，为证明线段相等、角相等、弧相等和垂直关系等提供了一个基本图形和理论依据，为解决与圆有关的计算问题做好了铺垫，具有承上启下的作用。
2、教学目标：
（1）知识目标：了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计算。 （2）技能目标：经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，培养学生推理能力和阐述自己的观点的能力。
（3）情感目标：引发学生对数学的好奇心与求知欲，在数学学习活动中获得成功的体验，并培养学生良好的学习习惯和严谨的思维品质。
3、教学重点：理解切线长定理
4、教学难点：应用切线长定理解决问题
三、教法分析：
根据本节课的教学目标和内容及九年级学生基本形成逻辑思维的能力，利用形象直观的图片，在教学上采用直观演示、猜想论证。启发式教学，引起学生的求知欲，激发学生思维活动。
让学生经历观察、画图、猜想、论证以及讨论、分析、演示相结合的教学方法，在帮助学生通过自己动手实验，分析归纳，从实践中获取知识，并通过讨论来加深对知识的理解。
四、学法分析：
通过前一段时间的学习，学生对点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系以及圆的基本性质有了一个大概的了解，尤其是通过垂径定理、（圆心角、弧、弦、弦心距）定理、圆周角定理、切线的判定定理、切线的性质定理等定理的学习和应用，学生的推理和证明能力已经得到一定的锻炼。因此，本课定理的证明学生不会感到困难，但定理的应用，尤其是复杂的应用，学生将会感到一定的困难。
学法指导：
观察猜想、合作交流、总结归纳。
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五、教学过程：
（一） 旧知联想：
《数学课程标准》中指出，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上，通过对旧知的回忆，明确概念，加深理解。 温故知新篇：提出问题：
1、直线和圆有几种位置关系，分别是什么？
2、什么叫直线与圆相切？
3、切线的性质定理内容是什么？
4、过圆上一点作圆的切线，能作几条？过圆外一点作圆的切线能作几条？
以提问的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识产生设疑，把学生带入下一环节——— 发现问题，探求新知
探究应用篇：
（二）新知探究：观察、猜想、度量、证明，形成定理 设计活动
一、
过圆外一点画出圆的切线，①切线PA能否度量？为什么？
②切线上点P到切点A的距离能否度量？
引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，可以度量。
设计意图在于让学生区别切线和切线长是两个不同的概念。 导出切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
利用课件来展示点P 的位置的变化，观察图形的特征、猜想 各量之间的关系． 设计活动
二、
学生动手操作：先画再折画直线OP，沿OP对折，两半圆能否重合？如果重合，设与A重合点为B，连接PB， 直线PB是否是⊙O切线？
观察、猜想图中PA和PB是否相等？∠APO和∠BPO相等吗？如何验证你的结论？
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设计意图：让学生自主探索，归纳经验的基础上获得，教学中应展现的思维形成过程。 证明猜想，形成定理．
证明关键是作出辅助线OA，OB，利用三角形全等证明PA＝PB．∠OPA＝∠OPB
归纳总结：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 用符号语言表示定理：
∵PA、PB分别是⊙O的切线，点A、B分别为切点 ∴PA=PB，∠APO=∠BPO.设计意图：数学概念、定理要明确其内涵和外延（条件、结论、应用范围等），通过对定理的阐述，使学生的认知结构得到优化，知识体系得到完善，使学生的数学理解突破思维的难点。
活动
三、切线长定理的基本图形研究（小组合作交流）
若连接AB，有AD=BD等．想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？
对于这个题目，引导学生积极思考，大胆思维，与学生一起探究新知识，及时总结、归纳出切线长定理，体现了圆的轴对称性，为我们证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了一个基本图形和理论依据，从而使学生思维层次飞跃一个新的台阶。 应用新知：
例1：已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，CD是⊙O的切线，切于点E，PA=10，
（1）求PCD的周长；（2）∠P=500，F是优弧AB上一点，求∠AFB的度数和∠COD的度数。
巩固练习；
1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，PO交⊙O于E点 （1）若PB=12，PO=13，则AO=____
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（2）若PO=10，AO=5， 则PB=____ （3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____ （4）若PA=4，PE=2，则AO=____.
2、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB于C、D两点。
（1）若PA=12，则△PCD周长为____ （2）若△PCD周长=10，则PA=____ （3）若∠APB=30°,则∠AOB=_____，M是⊙O上一动点，则∠AMB=____
设计意图：1道例题及巩固练习题由浅入深、由易到难、各有侧重，体现新课标提出的让不同的学生在数学上得到不同发展的教学理念。这一环节总的设计意图是反馈教学，内化知识。
归纳、小结、反思：总结归纳不应该仅仅是知识的简单罗列，而应该是优化认知结构，完善知识体系的一种有效手段，为充分发挥学生的主题作用，从学习的知识、方法、体验是那个方面进行归纳。 作业延展：
设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的一个延伸。
六、教学反思：
在整节课中对本课的重点能组织学生自主观察、猜想、证明，并深入分析切线长定理的基本图形，对重要的结论进行总结。切线长定理的基本图形研究环节学生能充分利用已有的知识和新授内容结合，把切线长定理和圆的对称性紧密接合，体现了本节课知识点的基础性和应用的价值。在例题的选择中注重了角度计算，长度计算和在具体情境中能准确地找出并运用切线长定理来分析问题，解决问题。
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育才中学
孙军喜
本节课是直线与圆的位置关系中的第三课时，是直线与圆的位置关系中的重点内容。是在学习了切线的性质和判定的基础上继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识。体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。
在教学过程中，我通过复习切线的性质与判定定理引出问题：过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？ 进而让学生开始动手操作自己画图并探究，过圆外的一点所能够引的两条切线长有何关系，在学生利用并结合圆的轴对称有了一定的感性认识的基础上，丢出问题可否从理论上进行证明，引导学生从具体的情景和实践操作中找出条件，并挖掘出基本图形，尝试寻找解决问题的关键和方法。个人认为对本课的重点学习内容，能组织学生自主观察探究证明并能提炼基本图形，对重要的结论及时总结。为了更好的贯彻落实本课的重难点我设计了几组填空题，用这个简单的题型力争多角度的呈现相关知识点。从课堂的效果来看学生对基本图形的提炼、基本结论的掌握还是比较到位。另外，通过设置一定的变式解答题目，拓展学生的发散思维及创新能力，激发学生的兴趣，真正体验成功的快乐。
通过本节课，使我更进一步的认识到教师在教学过程中不能闭门造车，以自己的固有知识与过往教学经验来权衡学生，更应该注重学生的实际水平与认知能力，在今后的练习中更加注重双基，设置适当的难度与梯度。
推荐第7篇：切线长定理教学反思
切线长定理教学反思
初三数学
本节课是直线与圆的位置关系中的第三课时，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识。体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。
在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣。首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现条件，解决问题。通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中，使学生体会数学发展的过程。
在本节课中主要关注的是
⑴在变化的图形中能否提炼出基本图形；学生是否能够明确问题并能积极寻找解决问题的关键和方法。
⑵学生在活动中发表个人见解的勇气，面对错误有无承认的勇气，这是打破思维定势的关键。
⑶是否对系统知识点真正理解和灵活运用；对于问题的提出与思考，学生是否对探索线段和角的数量关系有兴趣。
在本节课教学中，对本课的重点学习内容能组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结。尤其是切线长的基本图形研究环节，学生能充分利用已有的知识和新课内容结合，把切线长定理和圆的对称性紧密结合，体现了本节课知识点的工具性。
在练习题中，通过不同的思路和观察角度可以明显地得到不同的解法，而且其繁简程度一目了然。通过设置题目，帮助学生从具体的图形中提炼有效图形。在学习有困难的情况下，采用互助式学习，培养协作精神。另外通过设置变式题目，发展学生的发散思维及创新能力，激发学习兴趣，真正体验成功的快乐。开展互评、师评、让学生学会理解、学会表达。通过激励评价，让学生初步品尝获得成功的快乐，激起学生的学习热情，提高学生学好数学的自信心。
通过本节课，使我充分地认识到在教学中教师不能最后从自己的知识水平和以往的教学实践来实行，更应该注重学生的实际知识水平和能力状况。在今后的练习课中要更加注重难度的梯度和适当铺垫。学生只有对发生在最近发展区内的教学内容效果是最显著的，如果梯度过大，就失去了脚手架的作用。
推荐第8篇：切线长定理教案
《切线长定理》
1、教材分析
重点、难点分析
重点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．
难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．不仅应用切线长定理，还用到方程的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来．
2、教法建议
本节内容需要一个课时．
（1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结；
（2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学． 教学目标
1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；
2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度． 教学重点:
切线长定理是教学重点 教学难点:
切线长定理的灵活运用是教学难点 教学过程设计:
（一）观察、猜想、证明，形成定理
1、切线长的概念．
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．
引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；
切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
2、猜想:引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB． PA＝PB．
3、证明猜想，形成定理．
猜想是否正确。需要证明．
组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB．
想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？
∠OPA＝∠OPB(如图)，连接AB，有AD=BD等．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
4、切线长定理的基本图形研究（小组合作交流）
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AB于C
要求：就你所知晓的几何知识，写出你认为正确的结论，小组交流，看哪个小组的结论最多，用最简短的话语证明你的结论是正确的。
（二）应用、归纳、反思
例
1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，PA=10，∠P=500，F是优弧AB上一点。
求：（1）∠AFB的度数；
（2）如图，若CD是⊙O的切线，切于点E，求⊿PCD的周长和∠COD的度数。
学生组织解题过程，在草稿纸上完成。
反思：教师引导学生分析过程，激发学生的学习兴趣，培养学生善于观察图形，从中找出相应知识点，从而实现新旧知识衔接的能力．
例
2、圆的外切四边形的两组对边的和相等． (学生运用所学的知识，对图形进行分析易得)
（分析和解题略）
反思：（1）例2事实上是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记住结论．（2）
圆内接四边形的性质：对角互补．运用对比的方法让学生获得记忆的方法。
2．课堂训练：
如图：⊙O是以正方形ABCD一边BC为直径的圆，过A作AF与⊙O相切于点E，交CD于F，若AB=4，求S⊿ADF
（三）小结
1、提出问题学生归纳
（1）这节课学习的具体内容；
（2）学习用的数学思想方法；
（3）应注意哪些概念之间的区别?
2、归纳基本图形的结论
3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法．
（四）布置作业
教学反思：
在整节课中对本课的重点学习内容能组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结。尤其是切线长定理的基本图形研究环节学生能充分利用已有的知识和新授内容结合，把切线长定理和圆的对称性紧密接合，体现了本节课知识点的工具性。在例题的选择中注重了角度计算，长度计算和在具体情境中能准确地找出并运用切线长定理来分析问题，解决问题。
在提高题的选择上，我的本意是能在平时教学中让学生接触中考题型，提供一题多解的证明思路，激发学生的学习兴趣，但从学生的接受程度来看，显然是有点偏难了。通过本节课使我充分地认识到：教学不能只从教师的知识水平和以往的教学实践来施行，更应该注重学生的实际知识水平和能力状况。就构建主义的理论而言，学生只有对发生在最近发展区内的教学内容效果是最显著的，如果梯度过大就失去了“脚手架”的作用了。
推荐第9篇：切线长定理说课稿
切线长定理说课稿
24.2 第3课时）
教者：张鹏波
班级：九年级（1）班 （直线与圆的位置关系
切线长定理说课稿
一、说教材
1、本节内容、地位和作用：本课是人教版新课标实验教科书八下第十九章是直线与圆位置关系中的第三课时，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础之上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识。体现了图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。在习题和内切圆的计算中体现了把复杂问题转化为简单问题后解决问题，从而滲透转化思想和方程思想，提高应用意识。
切线长定理的探究，通过设计先翻折图形再思考的环节加入了实践操作活动，使学生提高探究的兴趣，应用了“实验几何——论证几何”的探究方法，并初步建立了由动手操作抽象出数学条件进而解决问题的意识。让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确的追求过程中，使学生体验数学发展的过程。它也是为证明线段，角相等，弧相等，垂直关系等提供了理论依据。
2、教学目标：
知识与技能：（1）掌握切线长定理，并会利用它进行有关的计算和证明。
（2）了解三解形的内切圆和三角形内心的概念，及内心的性质。
过程与方法：在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，采取动手实践、在师的引导下探索的学习方式来教学。
情感态度价值观：（1）通过对例题的分析，培养学生数形结合的思想。 （2）通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度。
3、教学重点、难点： 重点：掌握切线长定理 难点：切线长定理的灵活应用。
二、说教法、学法：
1、教学方法：根据本节课的教学目标、教材内容以及初三学生基本形成逻辑思维的能力，在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结；从自己的实践中获取知识，并通过讨论来加深对知识的理解.
2、学法指导： 新课改的精神在于以学生的发展为本，把学习的主动权还给学生，倡导积极主动，勇于探索的学习方法，因此，本节课主要采取动手实践、在师的引导下探索的学习方式，通过让学生猜想、论证、应用，建构起自己的知识结构，使学生成为学习的主人.
三、教具：圆规、三角板、多媒体。
四、教学过程：
第一个环节：复习引入。复习旧知识引导学生回答，为切线长定理引入埋下伏笔；并通过猜想激发学生的学习兴趣。
第二个环节：探究新知。探究一首先让学生利用图形的轴对称性得出答案，其次及时引入切线长定义并让学生说明与切线的区别与联系；再次由师引导学生归纳切线长定理，并用数学语言表述后证明，目的是让学生透彻理解定义与定理；最后通过思考题拓展切线长定理，为证明线段，角相等，弧相等，垂直关系等提供了理论依据；对基本图形的深刻研究和认识是学习几何的关键，它是灵活应用知识的基础，所以很有必要设计这一活动。探究二提出问题：一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？先由师引导学生探究截圆的做法，其次师及时引入三角形内切圆及三角形内心的定义；后由学生归纳三角形内心的性质。
第三个环节：范例讲解。由师引导学生从条件想，由切线长定理可得AF=AE,BF=BD,CE=CD,若设AF=X，则可求未知量。分析题意后由学生说明解答过程。
第四个环节：课堂练习。两个练习题都有两位，第一位简单，第二位稍难，为了关注学生的差异，分层次练习，使每位同学都能感受到有所收获。
第五个环节：课堂小结。采取提问的形式由学生来小结本节的内容。 第六个环节：布置作业。作业题型全面但量稍多，为了巩固所学知识。 第七个环节：教学反思。 在本节课的教学过程中，老师只是起到一个组织者，引导者，合作者的作用，所有结论由学生通过动手实验、自主探索、合作交流发现.学生在实验交流过程中动脑、动口、动手，培养良好的数学思维品质,充分感受到数学创造的乐趣，但遗憾的是课没有按时讲完，问题可能就出在推定理时过细浪费了时间，或者可能把三角形的内切圆那知识点再用一课时讲，这样也能使学生有时间巩固切线长定理，且能按时完成教学任务。
推荐第10篇：切线长定理说课稿
切线长定理说课稿
杨翠
我从教材分析、教学方法与教材处理、教学程序三个方面，对本课的设计进行说明：
1、教材分析
（1） 教材的地位和作用
本节课要研究切线长定理，是在学生已学过直线图形以及有关圆的定义、切线的判定和性质后进行的。它既是前面知识的应用，也是后面学习的基础，同时在证明线段相等、角相等、线段成比例有重要作用。 （2） 教学目标
根据学生已有的认知基础及课本的教材的地位和作用，依据教学大纲，确定本课的教学目标为：
1） 使学生能在图形中识别切线长； 2） 会推导切线长定理；
3） 掌握切线长定理，并会利用它解决相关的计算和证明。 （3） 教学重点和难点
本节内容起着承上启下的作用，是今后计算和证明的重要依据，并有广泛的应用。因此本节重点是切线长定理及应用。因为学到此处的几何已经综合性很强，培养学生综合分析问题的能力则是本节课的难点。
2、教学方法及教材处理
鉴于教材及初三学生基本形成逻辑思维能力的特点，我选用启发式教学方法，在演示、观察、练习等师生共同活动中，启发学生，让每个学生都动手、动口、动脑积极思考，进行创造性的学习。
3、教学程序 （1） 画图引入
点学生上黑板画图。在圆内、圆上、圆外一点能作圆的几条切线？学生通过亲手绘制，不仅加深了对上节课的切线的画法问题的理解，而且身临其境地感受切线的定义。从而引出切线长的概念，并将切线与切线长两个定义加以比较，加深对切线长概念的理解。 （2） 参与发现
通过与学生讲解切线长定义，让学生在参与、合作中有一个猜想，再进一步提出更有挑战性的问题，能否用数学的方法加以证明。问题的解决，使学生既能解决新的问题，同时应用到全等、切线的性质等知识，同时三条辅助线中，两条运用切线性质添加、一条构造全等。证明后用较规范的语言归纳并不断完善。 （3） 应用新知加深理解
通过前面的学习学生们已经对切线长定理有了较深刻的了解。为了加深学生对定理的认识并培养学生的应用意识学习例
1、例2。例1让学生自己独立完成，加深对切线长定理的理解，老师进行点评，对于例2，由师生共同分析完成，交进行示范板书。 （4） 巩固与提高
此训练题分为二个层次，目的在于巩固新学的定理，并将所学的定理应用到旧的知识体系中，使学生的知识体系得到补充和完善。 （5） 归纳与小结
通过小结，使知识成为系统帮助学生全面理解，掌握所学的知识。
第11篇：切线长定理教案
《切线长定理》教案
学习目标
1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；
2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．
教学重点:
切线长定理
教学难点:
切线长定理的灵活运用
教学过程:
（一）
1、切线长的概念．
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．
引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
2、观察
利用PPT来展示P 的位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系．
3、猜想
引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB． PA＝PB．
4、证明猜想，形成定理．
猜想是否正确。需要证明．
组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB．
想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？
∠OPA＝∠OPB(如图)，连接AB，有AD=BD等．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
5、归纳：
把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质
6、切线长定理的基本图形研究（小组合作交流）
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AB于C
要求：就你所知晓的几何知识，写出你认为正确的结论，小组交流，看哪个小组的结论最多，用最简短的话语证明你的结论是正确的。
说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．
（二）应用、归纳、反思
分析：（1）中可以看出∠AFB是⊙O的圆周角，因此只要求出其对应的弧所对的圆心角的度数就可以了，于是连接OA，OB，运用切线的性质，有OA⊥PA，OB⊥PB。由四边形的内角和解决问题。
（2）添加的切线要与今天我们学习的切线长定理的基本图形结合起来，找出基本图形，运用定理，就可以解决周长，同时知道OC，OD是相应的角平分线，那么∠COD的度数出来了。
学生组织解题过程，在草稿纸上完成。
反思：教师引导学生分析过程，激发学生的学习兴趣，培养学生善于观察图形，从中找出相应知识点，从而实现新旧知识衔接的能力．
提高练习：
如图，在⊿ABC中，∠C=900, AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，求⊙O的半径。
方法
（一）
分析：从已知条件和图形中我们能很快地找出切线长定理的基本图形来。 要求：同学们在图中标出相等关系的线段，注意构成等量关系的因素是什么。 设⊙O与AB相切于F，与AC相切于E，⊙O的半径为r。连接OE，OF，由AC=8，AB=10，AP=2
有CP=BC，从而∠BPC=450 ，OP=2r， 由勾股定理知道：BP=62，所以OB=622r 由切线长定理知道：AF=AE=2+r， 所以BF=10－(2+r)=8－r
在直角三角形OBF中有（622r）2=r2+ （8－r）
2解得r=1 方法
（二）
分析：从另外一个角度看问题：用三角形的面积可以重新构建数量关系，建立等式。
要求：注意本方法中的辅助线的添加。
设⊙O与AB相切于F，与AC相切于E，⊙O的半径为r。连接OE，OF，OA。
⊿ABP的面积=⊿AOP的面积+⊿ABO的面积
111有OEAPABOFAPBC 2221
1即有r(210)62，所以r=1 22反思：在本题的解法中，同学们可以看出，通过不同的分析思路和观察的角度可以明显地得到不同的解法，而且其繁简程度一目了然。然而由于本题综合性较强，学生在学习的过程中被动接受的可能性大，在今后的练习设计中要更加注重难度的梯度和适当的铺垫。
2．课堂训练：
如图：⊙O是以正方形ABCD一边BC为直径的圆，过A作AF与⊙O相切于点E，交CD于F，若AB=4，求S⊿ADF
（三）小结
1、提出问题学生归纳
（1）这节课学习的具体内容；
（2）学习用的数学思想方法；
（3）应注意哪些概念之间的区别?
2、归纳基本图形的结论
3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法．
（四）布置作业
教学反思：
在整节课中对本课的重点学习内容能组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结。尤其是切线长定理的基本图形研究环节学生能充分利用已有的知识和新授内容结合，把切线长定理和圆的对称性紧密接合，体现了本节课知识点的工具性。在例题的选择中注重了角度计算，长度计算和在具体情境中能准确地找出并运用切线长定理来分析问题，解决问题。
在提高题的选择上，我的本意是能在平时教学中让学生接触中考题型，提供一题多解的证明思路，激发学生的学习兴趣，但从学生的接受程度来看，显然是有点偏难了。通过本节课使我充分地认识到：教学不能只从教师的知识水平和以往的教学实践来施行，更应该注重学生的实际知识水平和能力状况。就构建主义的理论而言，学生只有对发生在最近发展区内的教学内容效果是最显著的，如果梯度过大就失去了“脚手架”的作用了。
第12篇：切线长定理 教案设计
1、教材分析(1)知识结构(2)重点、难点分析重点：及其应用.因再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点.难点：与有关的证明和计算问题.如120页练习题中第3题，它不仅应用，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来.2、教法建议本节内容需要一个课时.(1)在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析的基本图形;对重要的结论及时总结;(2)在教学中，以观察猜想证明剖析应用归纳为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学.教学目标1.理解切线长的概念，掌握;2.通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想.3.通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度.教学重点:是教学重点教学难点 :的灵活运用是教学难点教学过程 设计:(一)观察、猜想、证明，形成定理
1、切线长的概念.如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长.引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量;切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.2、观察利用电脑变动点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系.
3、猜想引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB.PA=PB.4、证明猜想，形成定理.猜想是否正确。需要证明.组织学生分析证明方法.关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA=PB.想一想：根据图形，你还可以得到什么结论?OPA=OPB(如图)等.：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
5、归纳：把前面所学的切线的5条性质与一起归纳切线的性质
6、的基本图形研究如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点.直线OP交⊙O于点D，E，交AP于C(1)写出图中所有的垂直关系;(2)写出图中所有的全等三角形;(3)写出图中所有的相似三角形;(4)写出图中所有的等腰三角形.说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础.(二)应用、归纳、反思例
1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径.求证：AC∥OP.分析：从条件想，由P是⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A，B是切点可得PA=PB，APO=BPO，又由条件BC是直径，可得OB=OC，由此联想到与直径有关的定理垂径定理和直径所对的圆周角是直角等.于是想到可能作辅助线AB.从结论想，要证AC∥OP，如果连结AB交OP于O，转化为证CAAB，OP AB，或从OD为△ABC的中位线来考虑.也可考虑通过平行线的判定定理来证，可获得多种证法.证法一.如图.连结AB.PA，PB分别切⊙O于A，BPA=PBAPO=BPOOP AB又∵BC为⊙O直径ACABAC∥OP (学生板书)证法二.连结AB，交OP于DPA，PB分别切⊙O于A、BPA=PBAPO=BPOAD=BD又∵BO=DOOD是△ABC的中位线AC∥OP证法三.连结AB，设OP与AB弧交于点EPA，PB分别切⊙O于A、BPA=PBOP AB=POBAC∥OP反思：教师引导学生比较以上证法，激发学生的学习兴趣，培养学生灵活应用知识的能力.例
2、圆的外切四边形的两组对边的和相等.(分析和解题略)反思：(1)例3事实上是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记住结论.(2)圆内接四边形的性质：对角互补.P120练习：练习1 填空如图,已知⊙O的半径为3厘米，PO=6厘米，PA，PB分别切⊙O于A，B，则PA=_______，APB=________练习2 已知：在△ABC中，BC=14厘米，AC=9厘米，AB=13厘米，它的内切圆分别和BC，AC，AB切于点D，E，F，求AF，AD和CE的长.分析：设各切线长AF，BD和CE分别为x厘米，y厘米，z厘米.后列出关于x , y，z的方程组，解方程组便可求出结果.(解略)反思：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和之外，还要用到解方程组的知识，是一道综合性较强的计算题.通过对本题的研究培养学生的综合应用知识的能力.(三)小结
1、提出问题学生归纳(1)这节课学习的具体内容;(2)学习用的数学思想方法;(3)应注意哪些概念之间的区别?
2、归纳基本图形的结论
3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法.(四)作业教材P131习题7.4A组1.(1)，2，3，4.B组1题.探究活动图中找错你能找出(图1)与(图2)的错误所在吗?在图2中，P1A为⊙O1和⊙O3的切线、P1B为⊙O1和⊙O2的切线、P2C为⊙O2和⊙O3的切线.提示：在图1中，连结PC、PD，则PC、PD都是圆的直径，从圆上一点只能作一条直径，所以此图是一张错图，点O应在圆上.在图2中，设P1A=P1B=a，P2B=P2C=b，P3A=P3C=c，则有a=P1A=P1P3+P3A=P1P3+ c ①c=P3C=P2P3+P3A=P2P3+ b ②a=P1B=P1P2+P2B=P1P2+ b ③将②代人①式得a =P1P3+(P2P3+ b)=P1P3+P2P3+ b，a-b=P1P3+P2P3由③得a-b=P1P2得P1P2=P2P3+ P1P3P
1、P 2、P3应重合，故图2是错误的。
第13篇：切线长定理教案
导思
《切线长定理的教学设计》
旅顺实验中学
裴俊杰
一，教材说明：
这是人教版九年级几何第三册第七章第十节10《切线长定理》的教学设计。 二．教材分析：
直线和圆是生活中最常见的几何图形，它的有关性质被广泛应用，尤其对于切线的性质-----切线长定理，它体现了园的轴对称性，为我们证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了一个基本图形和理论依据，为解决与圆有关的数量问题打下了铺垫，具有承上启下的作用。 三．学生分析：
通过前一段时间的学习，学生对点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系以及圆的基本性质有了一个大概的了解，尤其是通过垂径定理、四者关系（圆心角、弧、弦、弦心距）定理、圆周角定理、切线的判定定理、切线的性质定理等定理的学习和应用，学生的各种能力已经得到一定的锻炼。因此，本课定理的证明学生不会感到困难，但定理的应用，尤其是复杂的应用，学生将会感到一定的困难。 四．设计理念
课改的重要任务之一是改变过去“教师教”为“学生学”。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。因此在本课中，我在教学设计时让学生争做数学学习的主人，引导他们积极参与教学活动，体会数学规律，提高解决问题的能力。
五．教学目标：
知识目标：1．理解切线长的概念。
2．掌握切线长定理及其应用。
能力目标：培养学生识图能力和逻辑思维能力。
情感目标：激发学生学习兴趣，培养探索精神和创新能力。
德育目标：渗透事物之间相互转化的思想，培养学生良好的学习习惯和严谨的思维品质。
六．重点：切线长定理的应用。
七．难点：切线长定理的灵活应用。 八．关键：切线长定理的理解。
九．教学方法：观察、探究、讨论、概括等多种方法。 十．教学过程：
（一） 复习：
《数学课程标准》中指出，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上，通过对旧知的回忆，明确概念，加深理解。 出示问题：
１．直线和圆有几种位置关系，分别是什么？
２．什么交直线与圆相切？
３．切线的性质定理内容是什么？
（二）引入：
数学学习应是教师引导学生通过观察、实践获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。一节课若引入得当，有利于激发学生的学习兴趣，获得积极的情感体验。，
采取直接设疑式引入，让学生动手作图。 出示题目：已知：⊙O外一点P 问：过点P向⊙O作切线能做几条？
通过前面的复习，学生很容易作出。
（三）新授：
1．教师首先定义切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长（板书）。
2．结合引例赋予数值出示练习： 已知⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为6厘米，经过点P有⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长。
学生独立思考，寻求解决问题的方法。通过此题，不仅加深了学生对切线长概念的理解，而且通过本题继续追问“两条切线长有什么关系？”（相等），再把数值撤掉，问“结论还成立吗？”， 从而引导学生通过观察、猜想、验证，独立思考再小组讨论形式加以证明，得出切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角（板书）。
3．出示练习：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点。直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系； （2）写出图中所有的全等三角形。 （3）还可以得出那些结论？
对于这个题目，我引导学生积极思考，大胆思维，与学生一起探究新知识，及时总结、归纳出切线长定理，体现了圆的轴对称性，为我们证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了一个基本图形和理论依据，从而使学生思想层次飞跃一个新的台阶。
4．出示例1：
已知：如图，P是⊙O外一点，PA、PB 是⊙O的两条切线，A、B是切点，BC是直径。
求证：AC∥OP
分析：利用切线长定理及等腰三角形的性质即可证明，也可利用学过的其他知识进行证明。帮助学生分析不同证法的优劣，一题多证（板书）。学生独立思考，寻求解决问题的方法，然后教师再引导学生对不同解法进行讨论、评价、探索解决问题的新途径。 5．出示例2 ：圆的外切四边形的两组对边的和相等
分析：引导学生分析命题的题设和结论，帮助学生写出已知、求证、画出图形。然后由学生独立思考，分析证明的思路，并完成证明过程，若有困难再讨论。
出示变式问题：圆外切平行四边形是__________ 圆外切矩形是___________ 通过变式问题加深对例2的理解与应用。
6．出示练习，已知：在△ABC中，BC=14cm,AC=9cm,AB=13cm,它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F， 求：AF、BD和CE的长。
分析：此题目的在于加强学生对切线长定理应用、计算，列方程组，然后求解，对学生渗透方程的思想。
7．总结归纳，拓展提高。
本课小结采取学生总结，教师点拨方法完成。这样不仅使学生在知识上有所提高，也能对所学知识有一个全面认识。
8．布置作业：
1.书131页
3、4题
2.寻找生活中切线长定理应用的实例,并编题、解题。
设计这一环节的目的是巩固、加深课堂所学知识，使学生能理解、掌握和运用切线长定理。 十一．信息与反馈：
本节课在设计上能从学生已有知识出发，引导学生主动的探索新知识，形成良好的学习氛围，学习效果非常的好。
但是本节课让我感到遗憾的一点是，切线长定理能否从学生比较熟悉的实际事例引入，这样更能激发学生的学习主动性，提高学习趣。
第14篇：切线长定理教案
《切线长定理》教学设计
1、教材分析
重点、难点分析
重点：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，因此它是本节的重点．
难点：与切线长定理有关的证明和计算问题．不仅应用切线长定理，还用到方程的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来．
2、教法建议
本节内容需要一个课时．
（1）在教学中，组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结；
（2）在教学中，以“观察——猜想——证明——剖析——应用——归纳”为主线，开展在教师组织下，以学生为主体，活动式教学． 教学目标
1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；
2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．
教学重点:
切线长定理是教学重点
教学难点:
切线长定理的灵活运用是教学难点 教学过程设计:
（一）观察、猜想、证明，形成定理
1、切线长的概念．
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．
引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
2、观察
利用PPT来展示P 的位置的变化，观察图形的特征和各量之间的关系．
3、猜想
引导学生直观判断，猜想图中PA是否等于PB． PA＝PB．
4、证明猜想，形成定理．
猜想是否正确。需要证明．
组织学生分析证明方法．关键是作出辅助线OA，OB，要证明PA＝PB．
想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？
∠OPA＝∠OPB(如图)，连接AB，有AD=BD等．
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
5、归纳：
把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一起归纳切线的性质
6、切线长定理的基本图形研究（小组合作交流）
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AB于C
要求：就你所知晓的几何知识，写出你认为正确的结论，小组交流，看哪个小组的结论最多，用最简短的话语证明你的结论是正确的。
说明：对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．
（二）应用、归纳、反思
例
1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，PA=10，∠P=500，F是优弧AB上一点。求：（1）∠AFB的度数；
（2）如图，若CD是⊙O的切线，切于点E，求⊿PCD的周长和∠COD的度数。 分析：（1）中可以看出∠AFB是⊙O的圆周角，因此只要求出其对应的弧所对的圆心角的度数就可以了，于是连接OA，OB，运用切线的性质，有OA⊥PA，OB⊥PB。由四边形的内角和解决问题。
（2）添加的切线要与今天我们学习的切线长定理的基本图形结合起来，找出基本图形，运用定理，就可以解决周长，同时知道OC，OD是相应的角平分线，那么∠COD的度数出来了。 学生组织解题过程，在草稿纸上完成。
反思：教师引导学生分析过程，激发学生的学习兴趣，培养学生善于观察图形，从中找出相应知识点，从而实现新旧知识衔接的能力．
例
2、圆的外切四边形的两组对边的和相等． (学生运用所学的知识，对图形进行分析易得)
（分析和解题略）
反思：（1）例2事实上是圆外切四边形的一个重要性质，请学生记住结论．（2）圆内接四边形的性质：对角互补．运用对比的方法让学生获得记忆的方法。
提高练习：
如图，在⊿ABC中，∠C=900, AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，求⊙O的半径。 方法
（一）
分析：从已知条件和图形中我们能很快地找出切线长定理的基本图形来。
要求：同学们在图中标出相等关系的线段，注意构成等量关系的因素是什么。
设⊙O与AB相切于F，与AC相切于E，⊙O的半径为r。连接OE，OF，由AC=8，AB=10，AP=2 有CP=BC，从而∠BPC=450 ，OP=r， 由勾股定理知道：BP=，所以OB= 由切线长定理知道：AF=AE=2+r， 所以BF=10－(2+r)=8－r 在直角三角形OBF中有（）2=r2+ （8－r）2 解得r=1 方法
（二）
分析：从另外一个角度看问题：用三角形的面积可以重新构建数量关系，建立等式。 要求：注意本方法中的辅助线的添加。
设⊙O与AB相切于F，与AC相切于E，⊙O的半径为r。连接OE，OF，OA。 ⊿ABP的面积=⊿AOP的面积+⊿ABO的面积 有
即有，所以r=1 反思：在本题的解法中，同学们可以看出，通过不同的分析思路和观察的角度可以明显地得到不同的解法，而且其繁简程度一目了然。然而由于本题综合性较强，学生在学习的过程中被动接受的可能性大，在今后的练习设计中要更加注重难度的梯度和适当的铺垫。 2．课堂训练： 如图：⊙O是以正方形ABCD一边BC为直径的圆，过A作AF与⊙O相切于点E，交CD于F，若AB=4，求S⊿ADF
（三）小结
1、提出问题学生归纳
（1）这节课学习的具体内容；
（2）学习用的数学思想方法；
（3）应注意哪些概念之间的区别?
2、归纳基本图形的结论
3、学习了用代数方法解决几何问题的思想方法．
（四）布置作业
教学反思：
在整节课中对本课的重点学习内容能组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结。尤其是切线长定理的基本图形研究环节学生能充分利用已有的知识和新授内容结合，把切线长定理和圆的对称性紧密接合，体现了本节课知识点的工具性。在例题的选择中注重了角度计算，长度计算和在具体情境中能准确地找出并运用切线长定理来分析问题，解决问题。
第15篇：切线长定理教案
切线长定理教案
教学目标：
1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。
2、在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何题。
教学重点：理解切线长定理。
教学难点：灵活应用切线长定理解决问题。 教学过程：
一、复习引入：
1．切线的判定定理和性质定理．
2．过圆上一点可作圆的几条切线？过圆外一点呢？过圆内一点呢？
二、合作探究
1、切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理
（1）操作：纸上一个⊙O，PA是⊙O的切线，•连结PO，•沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为B。 OB是⊙O 的半径吗？PB是⊙O的切线吗？猜一猜PA与PB的关系？∠APO与∠BPO呢？
从上面的操作及圆的对称性可得：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角． （2）几何证明．
如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠APO=∠BPO．
证明：
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
3、三角形的内切圆
思考：如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的铁片，并且使圆的面积尽可能大呢？
三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
三角形的内心：三角形内切圆的圆心即三角形三条角平分线的交点叫做——
（1）图中共有几对相等的线段
（2）若AF=
4、BD=
5、CE=9，则△ABC周长为____
例 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F, 且AB=9cm BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长。若S△ABC=1810,求⊙O的半径。
三、巩固练习
1、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。PO交⊙O于E点 （1）若PB=12，PO=13，则AO=____ （2）若PO=10，AO=6， 则PB=____ （3）若PA=4，AO=3，则PO=____；PE=_____.（4）若PA=4，PE=2，则AO=____.
2、如图2，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点，CD切⊙O于E交PA、PB于C、D两点。
（1）若PA=12，则△PCD周长为____。 （2）若△PCD周长=10，则PA=____。 （3）若∠APB=30°,则∠AOB=_____，M是⊙O上一动点，则∠AMB=____
3、如图Rt△ABC的内切圆分别与AB、AC、BC、相切于点E、D、F，且∠ACB=90°，AC=
3、BC=4，求⊙O的半径。
4、如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=
6、BC=8，O为BC上一点，以O为圆心，OC为半径作圆与AB切于D点，求⊙O的半径。
5、如图，⊙O与△ADE各边所在直线都相切，切点分别为M、P、N，且DE⊥AE，AE=8，AD=10，求⊙O的半径
6、如图，AB是⊙O的直径，AE、BF切⊙O于A、B，EF切⊙O于C. 求证：OE⊥OF
7、如图，⊙O的直径AB=12cm，AM、BN是切线，DC切⊙O于E，交AM于D，BN于C，设AD=x，BC=y．
（1）求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？
（2）若x、y是方程2t2-30t+m=0的两根，求x，y的值．
（3）求△COD的面积．
四、小结归纳
1．圆的切线长概念和定理
2．三角形的内切圆及内心的概念
五、作业设计
交•
第16篇：切线长定理的说课稿
切线长定理的说课稿
今天我说课的内容是:义务教教育课程标准实验教科书人教版九年级数学上 册《与圆有关的位置关系——切线长定理》。
下面我从教材分析,教学方法与教材处理,教学程序三个方面,对本课的设计进行说明:
一、教材分析:
1、教材的地位及作用. 本节课要研究切线长定理,是在学生已学过直线形图形以及有关圆的定义,切线的判定和性质后进行的.它既是前面知识的应用,也是后面学习的基础,同时在证明线段相等,角相等,线段成比例有重要的作用.
二、教学目标
根据学生已有的认知基础及课本的教材的地位作用,依据教学大纲,确定本科的教学目标为: 1)使学生能在图形中识别切线长; 2)会推导切线长定理; 3)掌握切线长定理,并会利用它解决相关的计算和证明; 4)培养学生综合运用知识能力,提高分析问题,解决问题的能力
三、教学重点与难点
本节内容起着承上启下的作用,是今后计算和证明的重要依据,并有广泛的应用.因此本节重点是切线长定理及应用.因为学到此处的几何已经综合性很强,培养学生综合分析问题的能力则是本节课的难点。
四、教学方法及教材处理
鉴于教材及初三学生基本形成逻辑思维能力的特点,以及形象直观的教具能辅助思维的进一步形成.我选用启发式教学方法,充分运用直观教具,在实验、演示、操作、观察、练习等师生共同活动中,启发学生,让每个学生都动手,动口,动脑积极思考,进行创造性的学习。教学中充分利用运动变化,呈现切线长定理中,隐含的内涵,使学生深刻体会基本图形变化的奥妙,使复杂问题简单化,化难为易,提高学生综合分析问题的能力,同时提高学生学习数学的兴趣。
五、教学程序
1、画图引入
布置学生听题目要求画图.过圆内,圆外,圆上一点都能作几条切线 学生通过亲手绘制,不仅加深了对上节课的切线的画法问题的理解,而且身临其境地感受切线的定义。再通过用示物投影展示不同角度的画法基本上同学对切线长的认识达到一定的高度,为下一步发现切线长定理作出坚实的铺垫。
2、参与发现
让每个同学亲自动手量量自己图中两条切线长的数量关系。同学们会在参与,合作中拥有一个猜想。再进一步提出更剧挑战性的问题,能否用数学的方法加以证明。问题的解决,使学生既能解决新的问题,同时应用到全等,切线的性质等知识,同时三条辅助线中,两条运用切线性质添加,一条构造全等,这些都是初中阶段很重要的辅助线的添加,需要平时教学中不断深化的部分。证明后,用较规范的语言归纳,并不断完善。此定理是学生亲自发现的,经历了数学家发现定理的过程,不仅激发了学生的学习兴趣,加深了对新定理的理解,同时培养了学生的创新精神和实践能力。自然的引入,和新知识生长点准确把握,降低了新旧知识衔接的跨度,使学生从不知不觉中,切入到本节课的重点.达到最佳的教育教学效果。
3、剖析与深入
前面已经说过:综合分析问题的能力是本节课的难点,也是初中阶段的教学难点 。但这个难点的克服就需要长期和平时的教学中应该注意,尤其是学习完一个新的定理后应认真剖析和挖掘内隐的很多东西,针对本节课是图形中直线形和曲线形间的转换,以及这个定理在今后的证明线段相等,角相等等问题上的重要作用,必须一一剖析清楚,才能达到长期提高学生的综合分析问题的能力的目的。
4、应用与发展
通过前面的学习学生们已经对切线长定理有了较深刻的了解.为了加深学生对定理的认识并培养学生的应用意识学习例1,例2,由师生共同分析完成,并进行示范板书。
在设计中注意例题与引入的呼应,注重理论联系实际,运用电脑的动态演示分析问题,有利于培养学生应用所学,解决新问题的思维习惯。
5、巩固与提高
此套训练题分三个层次:直接运用新定理计算问题;新定理与以前知识的结合计算题目;运用新定理的有关证明题目。
目的在于巩固新学的定理,并把新定理融于旧的知识体系中,修改旧的知识体系,使学生知识体系得到补充和完善,使所学真正落到实处。
6、归纳与小结
估计学生的基本能掌握定理,达到教学目标,利用提问的形式师生共同进行小结。1)本课学习了切线长定理是什么 他们在今后的证明和计算中能解决哪些问题 应掌握哪些基本的图形。2)定理证明中添加了三条辅助线是如何想出来的 如何作的 有何作用。3)让学生再次感受综合分析问题能力培养。
通过小结,使知识成为系统帮助学生全面的理解,掌握所学的知识。
第17篇：切线长定理教学反思王焕
《切线长定理》教后反思
本节课是《直线与圆的位置关系》中的第三课时，是直线与圆位置关系中重点内容，是在学习了切线的性质和判定的基础上，继续对切线的性质的研究，是在垂径定理之后对圆的对称性又一次的认识。在了解切线性质的基础上，本节进一步研究了切线长定理，完善了圆的对称性的研究，获得了圆的运算的又一工具和新的方法，为我们证明线段或角相等提供了有力的理论依据，同学们应灵活运用，连接圆心和切点是我们解决切线长定理相关问题时常用的辅助线。 在教学过程中，我通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣。首先由我提出要求，按照教材的思路，引导学生动手操作，探究发现结论然后进行严格的逻辑推理。学生操作并思考回答问题，我在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现条件，解决问题。通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得出本节的重点内容。 在本节课中主要关注的应该是：是否对系统知识点真正理解和灵活运用；对于问题的提出与思考，学生是否对探索线段和角的数量关系有兴趣。在本节课教学中，对本课的重点学习内容能组织学生自主观察、猜想、证明，并深刻剖析切线长定理的基本图形；对重要的结论及时总结。尤其是切线长的基本图形研究环节，学生能充分利用已有的知识和新课内容结合，把切线长定理和圆的对称性紧密结合，体现了本节课知识点的工具性。
在练习题中，通过不同的思路和观察角度可以明显地得到不同的解法，而且其繁简程度一目了然。通过设置题目，帮助学生从具体的图形中提炼有效图形。另外通过设置变式题目，发展学生的发散思维及创新能力，激发学习兴趣，真正体验成功的快乐。 通过本节课，使我充分地认识到在教学中教师不能最后从自己的知识水平和以往的教学实践来实行，更应该注重学生的实际知识水平和能力状况。在今后的练习课中要更加注重难度的梯度和适当铺垫。在教学过程中，教师应把让学生探究发现知识放在首位，真正实现学生的主体地位，同时学生在探究中感受到了学习数学的乐趣，能在长期坚持的过程中有助于提高学生的教学素养，这是我们每一位老师都应该追求的。
第18篇：切线的性质、切线长定理作业
家长签名：
学之导教育中心作业
———————————————————————————————学生: 卢慧欣
授课时间:_____年级: 初三
教师: 廖
1．直线和圆_________时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做____________．
直线和圆_________时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做____________，这个公共点
叫做_________．
直线和圆____________时，叫做直线和圆相离． 2．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d， _________ 直线l和圆O相离； _________ 直线l和圆O相切； _________ 直线l和圆O相交．
3．圆的切线的性质定理是__________________________________________． 4．圆的切线的判定定理是__________________________________________．
5．如图，P是∠AOB的角平分线OC上一点．PE⊥OA于E．以P点为圆心，PE长为半径作⊙P．
求证：⊙P与OB相切．
6．已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．
求证：直线EF是半圆O的切线．
7．已知：如图，PA切⊙O于A点，PO交⊙O于B点．PA=15cm，PB=9cm．求⊙O的半径长．
8．经过圆外一点可以做圆的______条切线，_______________________叫做这点到圆的切线长． 9．如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠OPA=∠OPB．
A
PO
Bwww.daodoc.com
10.从圆外一点可以引圆的______条切线，它们的____________相等．这一点和____________ 平分____________ ．
11．已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB．
12．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，•已知PA=7cm，则△PCD的周长等于_________．
A D
OP
CB
13．已知：如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作大圆的弦AB切小圆于C点，大圆的弦AD切小圆于E点．求证：(1)AB=AD； (2)DE=BC．
14．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．
(1)若∠P=40°，求∠COD； (2)若PA=10cm，求△PCD的周长．
第19篇：圆切线长定理及弦切角练习题
切线长定理及弦切角练习题
（一）填空
1．已知：如图7－143，直线BC切⊙O于B点，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____．
2．已知：如图7－144，直线DC与⊙O相切于点C，AB为⊙O直径，AD⊥DC于D，∠DAC=28°侧∠CAB=____ ．
3．已知：直线AB与圆O切于B点，割线ACD与⊙O交于C和D
4．已知：如图7－145，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于B和C两点，∠P=15°，∠ABC=47°，则∠C= ____．
5．已知：如图7－146，三角形ABC的∠C=90°，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，那么∠B=____．
6．已知：如图 7－147，△ABC内接于⊙O，DC切⊙O于C点，∠1=∠2，则△ABC为____ 三角形．
7．已知：如图7－148，圆O为△ABC外接圆，AB为直径，DC切⊙O于C点，∠A=36°，那么∠ACD=____．
（二）选择
8．已知：△ABC内接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，过A点作⊙O的切线交BC的延长线于P，则∠APB等于
[ ] A．62.5°；B．55°；C．50°；D．40°．
9．已知：如图 7－149，PA，PB切⊙O于A，B两点，AC为直径，则图中与∠PAB相等的角的个数为
[ ]
A．1 个；B．2个；C．4个；D．5个．
10．已知如图7－150，四边形ABCD为圆内接四边形，AB是直径，MN切⊙O于C点，∠BCM=38°，那么∠ABC的度数是
[ ]
A．38°；B．52°；C．68°；D．42°．
11．已知如图7－151，PA切⊙O于点A，PCB交⊙O于C，B两点，且 PCB过点 O，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是
[ ]
A．1个；B．2个；C．3个；D．4个．
（三）计算
12．已知：如图7－152，PT与⊙O切于C，AB为直径，∠BAC=60°，AD为⊙O一弦．求∠ADC与∠PCA的度数．
13．已知：如图7－153，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，C，PD平分∠APC．求∠ADP的度数．
14．已知：如图7－154，⊙O的半径OA⊥OB，过A点的直线交OB于P，交⊙O于Q，过Q引⊙O的切线交OB延长线于C，且PQ=QC．求∠A的度数．
15．已知：如图7－155，⊙O内接四边形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB为⊙O直径．求∠ADC的度数．
16．已知：如图7－156，PA，PC切⊙O于A，C两点，B点
17．已知：如图 7－157，AC为⊙O的弦，PA切⊙O于点A，PC过O点与⊙O交于B，∠C=33°．求∠P的度数．
18．已知：如图7－158，四边形ABCD内接于⊙O，EF切⊙O
19．已知 BA是⊙O的弦，TA切⊙O于点A，∠BAT= 100°，点M在圆周上但与A，B不重合，求∠AMB的度数．
20．已知：如图7－159，PA切圆于A，BC为圆直径，∠BAD=∠P，PA=15cm，PB=5cm．求 BD的长．
21．已知：如图7－160，AC是⊙O直径，PA⊥AC于A，PB切⊙O于B，BE⊥AC于E．若AE=6cm，EC=2cm，求BD的长．
22．已知：如图7－161所示，P为⊙O外一点，PA切⊙O于A，从PA中点M引⊙O割线MNB，∠PNA=138°．求∠PBA的度数．
23．已知：如图7－162，DC切⊙O于C，DA交⊙O于P和B两点，AC交⊙O于Q，PQ为⊙O直径交BC于E，∠BAC=17°，∠D=45°．求∠PQC与∠PEC的度数．
24．已知：如图 7－163，QA切⊙O于点A，QB交⊙O于B
25．已知：如图7－164，QA切⊙O于A，QB交⊙O于B和C
26．已知：在图7－165中，PA切⊙O于A，AD平分∠BAC，PE平分∠APB，AD=4cm，PA=6cm．求EP的长．
27．已知；如图7－166，PA为△ABC外接圆的切线，A 为切点，DE∥AC， PE=PD．AB=7cm，AD=2cm．求DE的长．
28．已知：如图 7－167，BC是⊙O的直径，DA切⊙O于A，DA=DE．求∠BAE的度数．
29．已知：如图 7－168，AB为⊙O直径，CD切⊙O于CAE∠CD于E，交BC于F，AF=BF．求∠A的度数．
30．已知：如图7－169，PA，PB分别切⊙O于A，B，PCD为割线交⊙O于C，D．若 AC=3cm，AD=5cm，BC= 2cm，求DB的长．
31．已知：如图7－170，ABCD的顶点A，D，C在圆O上，AB的延长线与⊙O交于M，CB的延长线与⊙O交于点N，PD切⊙O于D，∠ADP=35°，∠ADC=108°．求∠M的度数．
32．已知：如图7－171，PQ为⊙O直径，DC切⊙O于C，DP交⊙O于B，交CQ延长线于A，∠D=45°，∠PEC=39°．求∠A的度数．
33．已知：如图 7－172，△ABC内接于⊙O，EA切⊙O于A，过B作BD∥AE交AC延长线于D．若AC=4cm，CD= 3cm，求AB的长．
34．已知：如图7－173，△ABC内接于圆，FB切圆于B，CF⊥BF于F交圆于 E，∠1=∠2．求∠1的度数．
35．已知：如图7－174，PC为⊙O直径，MN切⊙O于A，PB⊥MN于B．若PC=5cm，PA=2cm．求PB的长．
36．已知：如图7－175，AD为⊙O直径，CBE，CD分别切⊙
37．已知：如图7－176，圆内接四边形ABCD的AB边经过圆心，AD，BC的延长线相交于E，过C点的切线CF⊥AE于F．求证：
（1）△ABE为等腰三角形；
（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的长．
38．已知：如图7－177，AB，AC切⊙O于B，C，OA交⊙O于F，E，交BC于D．
（1）求证：E为△ABC内心；
（2）若∠BAC=60°，AB=a，求OB与OD的长．
（四）证明
39．已知：在△ABC中，∠C=90°，以C为圆心作圆切AB边于F点，AD，BC分别与⊙C切于D，E两点．求证：AD∥BE．
40．已知：PA，PB与⊙O分别切于A，B两点，延长OB到C，
41．已知：⊙O与∠A的两边分别相切于D，E．在线段AD，AE（或在它们的延长线）上各取一点B，C，使DB=EC．求证：OA⊥BC．
⊥EC于H，AO交BC于D．求证：
BC·AH=AD·CE．
*43．已知：如图7－178，MN切⊙O于A，弦BC交OA于E，过C点引BC的垂线交MN于D．求：AB∥DE．
44．已知：如图7－179，OA是⊙O半径，B是OA延长线上一点，BC切⊙O于C，CD⊥OA于D．求证：CA平分∠BCD．
45．已知：如图7－180，BC是⊙O直径，EF切⊙O于A点，AD⊥BC于D．求证：AB平分∠DAE，AC平分∠DAF．
46．已知：如图7－181，在△ABC中，AB=AC，∠C= 2∠A，以 AB为弦的圆 O与 BC切干点 B，与 AC交于 D点．求证：AD=DB=BC．
47．已知：如图7－182，过△ADG的顶点A作直线与DG的延长线相交于C，过G作△ADG的外接圆的切线二等分线段AC于E．求证：AG=DG·CG．
48．已知：如图7－183，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，PCD为割线．求证：AC·BD=BC·AD．
BC=BA，连结AC交圆于点E．求证：四边形ABDE是平行四边形．
50．已知：如图7－185，∠1=∠2，⊙O过A，D两点且交AB，AC于E，F，BC切⊙O于D．求证：EF∥BC．
51．已知：如图7－186，AB是半圆直径，EC切半圆于点C，BE⊥CE交AC于F．求证：AB=BF．
52．已知：如图7－187，AB为半圆直径，PA⊥AB，PC切半圆于C点，CD⊥AB于D交PB于M．求证：CM=MD．
（五）作图
53．求作以已知线段AB为弦，所含圆周角为已知锐角∠α（见图7－188）的弧（不写作法，写出已知、求作，答出所求）．
54．求作一个以α为一边，所对角为∠α，此边上高为h的三角形．
55．求作一个以a为一边，m为此边上中线，所对角为∠α的三角形（不写作法，答出所求）．
切线长定理及弦切角练习题(答案)
（一）填空
1．36° 2．28° 3．50° 4．32° 5．22° 6．等腰 7．54°
（二）选择
8．C 9．D 10．B 11．C
（三）计算 12．30°，30°．
13．45°．提示：连接AB交PD于E．只需证明∠ADE=∠AED，证明时利用三角形外角定理及弦切角定理．
14．30°．提示：因为PQ=QC，所以∠QCP=∠QPC．连接OQ，则知∠POQ与∠QCP互余．又∠OAQ=∠OQA与∠QPC互余，所以∠POQ=∠OAQ=∠OQA．而它们的和为90°（因为∠AOC=90°）．所以∠OAQ=30°
16．67.5°．提示：解法一 连接AC，则∠PAC=∠PCA．又∠P=45°，所以∠PAC=∠PCA=67.5°．从而∠B=∠PAC=67.5°．
解法二 连接OA，OC，则∠AOC=180°－∠P=135°，所以
17．24°．提示：连接OA，则∠POA=66°．
18．60°．提示：连接BD，则∠ADB=40°，∠DBC=20°．设∠ABD=∠BDC（因为AB//CD）=x°，则因∠B+∠D=180°，所以2x°+60°=180°，x°=60°，从而∠ADE=∠ABD=60°．
19．100°或80°．提示： M可在弦AB对的两弧的每一个上．
从而
22．42°．提示：∠ABM=∠NAM．于是显然△ABM∽△NAM，
NMP，所以△PMB∽△NMP，从而∠PBM=∠NPM．再由∠ABM=∠NAM，就有 ∠PBA=∠PBM+∠NAM=∠NPM+∠NAM =180°－∠PNA=42°．
23．28°，39°．提示：连接PC．
24．41°．提示：求出∠QAC和∠ACB的度数． 25．100°．
以DB=9．因为2DP=2×9，由此得DP=9．又DP＞0，所以DP=3，从而，DE=2×3=6（cm）． 2
228．45°．提示：连接AC．由于DA=DE，所以∠ABE+∠BAE=∠AED=∠EAD=∠CAD+∠CAE，但∠ABE=∠CAD，所以∠BAE=∠CAE．由于∠BAE+∠CAE=90°，所以∠BAE=45°．
29．60°．提示：解法一 连接AC，则AC⊥BC．又AF⊥CE，所以∠ACE=∠F．又DC切⊙O于C，所以∠ACE=∠B．所以∠F=∠B．因为AF=BF，所以∠BAF=∠B=∠F．所以∠BAF=60°．
31．37°．提示：连接AC，则∠M=∠ACN=∠CAD． 32．17°．提示：连接PC，则∠QPC+∠PBC=90°． 45°=∠D=（∠BPQ+∠QPC）∠DCP =（∠BPQ+∠QPC）－∠PBC =[∠BPQ+（90°－∠PBC）]－∠PBC． 所以
2∠PBC－∠BPQ=45°．
又
∠PBC+∠BPQ=39°，
从而∠PBC=28°，∠BPQ=11°．于是∠A=∠PBC－∠BPQ=17°．
1）
2）
（（
34．30°．提示：连接BE，由∠1=∠2，可推出∠EBF=∠ECB=∠EBC，而这三个角的和为90°，所以每个角为30°．
36．60°．提示：连接OB，则OB⊥CE，从而∠C=∠BOE= 60°．
37．（1）提示：连接OC，则∠E=∠OCB=∠OBC=∠CDE，所以△ABE为等腰三角形．
38．（1）提示：连接BE．只需证明∠ABE=∠DBE．
（四）证明
39．提示：AC，BC各平分∠A，∠B．设法证出∠A+∠B=180°． 40．提示：连接OP，设法证出∠BPC=∠BPO．
42．提示：在△BCE和△DAH中，∠BCE=∠DAH（它们都与∠DCH互补）．又A，D，C，H共圆，所以∠CEB=∠ACB=∠AHD，从而△BCE∽△DAH．这就得所要证明的比例式．
43．提示：连接AC．先证明A，E，C，D四点共圆．由此得∠ADE=（∠ACE=）∠MAB，所以AB//DE．
44．提示：证法一 延长AO交⊙O于点E，连接EC，则∠BCA=∠E，且∠ACD=∠E．所以∠BCA=∠ACD．
证法二 连接OA，则∠BCA与∠OCA互余；又∠ACD与∠OAC互余，而∠OCA=∠OAC，所以∠BCA=∠ACD．
46．提示：由已知得∠A=36°，∠B=∠C=72°，∠DBC=∠A=36°，所以∠ABD=36°，从而AD=BD．又∠C=∠CDB=72°，所以BD=BC．
47．提示：过A作CD的平行线交BC于H，则AH=CG．然后证
AG=DG·AH=DG·CG．
2
49．提示：因为BC=BA，所以∠A=（∠C=）∠D；又∠CED=∠DBF（BF是AB的延长线），所以它们的补角∠DEA=∠ABD．从而四边形ABDE是平行四边形．
50．提示：连接DE，则∠BDE=∠1=∠2=∠FED．所以EF//BC．
51．提示：连接BC，则∠ACB=90°=∠FCB．因为CE⊥BE，所以∠F=∠ECB．因为EC切半圆于C，所以∠ECB=∠A，所以∠A=∠F，因此AB=BF．
52．提示：连接AC，BC并延长BC交AP延长线于点N．首先
所以CM=MD．
第20篇：高效课堂切线长教学设计
《切线长定理》教学设计
教材分析：切线长定理及其应用．因切线长定理再次体现了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了理论依据，它属于工具知识，经常应用，与切线长定理有关的证明和计算问题．不仅应用切线长定理，还用到方程的知识，是代数与几何的综合题，学生往往不能很好的把知识连贯起来．
教学目标：
1．理解切线长的概念，掌握切线长定理；
2．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培养数形结合的思想．
3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．
教学重点和难点
重点: 切线长定理是教学重点。 难点:
切线长定理的灵活运用。 教学过程设计:
（一）自主学习目标： 1，了解切线长的定义。
2，探究切线长的性质，运用切线长的性质解决问题。
3．通过对定理的猜想和证明，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，树立科学的学习态度．
（二） 自主合作探究问题：
1， 经过圆外一点能做出圆的切线吗？能做出几条？
2，在你所做的图形中有相等关系吗？还有其他关系吗？如何证明？
3，通过探究你发现了哪些结论？
（三）自学检测
1、判断：
(1),过任意一点总可以作圆的两条切线（
） (2)、从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。（
）
2、解答题：
( 1)、如图所示，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA， PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为多少？
(2)、如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线．求证：PA=PB，∠
AOBwww.daodoc.comPOPA=∠OPB．
(3)、.若连接AB于PO交于点E,图中相等的线段有
，相等的角有
，相等的弧有
，互相垂直的线段
（五）归纳小结，反思提高
通过本节课的学习，你有哪些收获？
学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法．
(六)、作业布置
