二项式定理(第一课时)
一、教学目标: 1.知识技能:
(1)理解二项式定理的推导-------分步乘法计数原理的使用 (2)掌握二项式定理极其简单应用 2.过程与方法
培养学生观察、分析、归纳猜想的能力,以及化归的意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式
二、教学重点、难点
重点:二项式定理的发现、理解和初步应用及通项公式 难点:展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别
三、教学方法:师生互动,讲练结合
四、教 具:多媒体、电子白板
五、教学过程
(一)创设问题情境:
今天是星期二,8天后是星期几?82天后是星期几?8100天后是星期几呢? 前面两个问题全班所有学生都能回答出来,最后一个问题大家都很迷惑,觉得很复杂,今天我们学习的这节课就是告诉我们如何快速准确知道答案,并且我们不用查日历就能知道未来任何一天是星期几。解决这一问题我们应用的就是二项式定理。
(二)引出问题:二项式定理研究的是(ab)n的展开式。
我们知道(ab)2a22abb2, 那么:(ab)3=? (ab)4=?
(ab)100=?
更进一步:(ab)n=? (1)对(ab)2展开式的分析: (ab)2(ab)(ab) 展开后其项的形式为:a2,ab,b2
00考虑b,每个都不取b的情况有1种,即c2 ,则a2前的系数为c2 1恰有1个取b的情况有c12种,则ab前的系数为c2 22恰有2个取b的情况有c2 种,则b2前的系数为c2 0222所以 (ab)2a22abb2c2ac12abc2b
(2)探究1:推导(ab)3的展开式
(ab)3(ab)(ab)(ab)
1 ① 项:
a3
a2b
ab2
b3
013② 系数:C3
C3
C32
C3 0312233③ 展开式(ab)3c3ac3abc3ab2c3b
(3)探究2:仿照上述过程,推导(ab)4的展开式
0432223344(ab)4c4ac14abc4abc4abc4b 0312233与(ab)3c3ac3abc3ab2c3b
0222和(ab)2c2ac12abc2b
一起比较猜想:
0nn12n22knkknn(ab)ncnac1abcab...cab...cnnnnb(nN)
但这种归纳猜想是不完全归纳。
(4)探究3:请分析(ab)n的展开过程,证明猜想
...
ab
...
b ②系数:C
C
...
C
...
C ①项:
an
an1b
0n1nnkknknnn0nn12n22knkknn③展开式:(ab)ncnac1bcnab...cnab...cnb(nN) na(三)二项式定理的分析
0nn12n22knkknn(ab)ncnac1bcnab...cnab...cnb(nN) na①项数:共有n1项;
②次数:各项的次数都是n;
k③二项式系数:Cn(k0,1,2,...n)
knkk④ 二项展开式的通项:Tk1Cnab,(k0,1,2,...n)
(四)课堂练习1.写出(1x)n得展开式.2.写出(ab)n得展开式.
(五)例题 例1.求(2x1x)6得展开式.
2 (1)强调:对于形式较复杂的二项式,应先化简再展开.(2)针对(2x1x)6得展开式,提出下列问题
思考1:展开式的第二项的系数是多少?
思考2:展开式的第二项的二项式系数是多少? 思考3:你能否直接求出展开式的第二项? 思考4:你能否直接求出展开式的常数项? 引出例2 例2 (1)求(12x)7的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数
1
(2)x的展开式中x3的系数
x
(六)小结
(七)作业(提前板书) 1.P374,5题
2.思考:8100天后星期几?
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