推荐第1篇：函数单调性
函数单调性概念教学的三个关键点 ──兼谈《函数单调性》的教学设计
北京教育学院宣武分院 彭 林
函数单调性是学生进入高中后较早接触到的一个完全形式化的抽象定义，对于仍然处于经验型逻辑思维发展阶段的高一学生来讲，有较大的学习难度。一直以来，这节课也都是老师教学的难点。最近，在我区“青年教师评优课”上，听了多名教师对这节课不同风格的课堂教学，通过对他们教学案例的研究和思考，笔者认为，在函数单调性概念的教学中，关键是把握住如下三个关键点。
关键点1。学生 学习函数单调性的认知基础是什么？
在这个内容之前，已经教学过一次函数、二次函数、反比例函数等简单函数，函数的变量定义和映射定义，以及函数的表示。对函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念，也已经形成初步认识。接踵而来的任务是对函数应该继续研究什么。在数学研究中，建立一个数学概念的意义就是揭示它的本质特征，即共同属性或不变属性。对各种函数模型而言，就是研究它们所描述的运动关系的变化规律，也就是这些运动关系在变化之中的共同属性或不变属性，即“变中不变”的性质。按照这种科学研究的思维方式，使得当前来讨论函数的一些性质，就成为顺理成章的、必要的和有意义的数学活动。至于在多种函数性质中，选择这个时机来讨论函数的单调性而不是其他性质，是因为函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质。
就中小学生与单调性相关的经历而言，学生认识函数单调性可以分为四个阶段： 第一阶段，经验感知阶段（小学阶段），知道一个量随另一个量的变化而变化的具体情境，如“随着年龄的增长，我的个子越来越高”，“我认识的字越多，我的知识就越多”等。
第二阶段，形象描述阶段（初中阶段），能用抽象的语言描述一个量随另一个量变化的趋势，如“y随着x的增大而减少”。
第三阶段，抽象概括阶段（高中必修1），能进行脱离具体和直观对象的抽象化、符号化的概括，并通过具体函数，初步体会单调性在研究函数变化中的作用。
第四阶段，认识提升阶段（高中选修系列
1、2），要求学生能初步认识导数与单调性的联系。
基于上述认识，函数单调性教学的引入应该从学生的已有认知出发，建立在学生初中已学的一次函数、二次函数以及反比例函数的基础上，即从学生熟悉的常见函数的图象出发，直观感知函数的单调性，完成对函数单调性定义的第一次认识.。
让学生分别作出函数数值有什么变化规律？
的图象，并且观察自变量变化时，函在学生画图的基础上，引导学生观察图象，获得信息：第一个图象从左向右逐渐上升，y随x的增大而增大；第二个图象从左向右逐渐下降，y随x的增大而减小.然后让学生明确，对于自变量变化时，函数值具有这两种变化规律的函数，我们分别称为增函数和减函数.第三个函数图象的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的．
在此基础上，教师引导学生用自己的语言描述增函数的定义： 如果函数在某个区间上的图象从左向右逐渐上升，或者如果函数
在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增函数．
关键点2。为什么要用数学的符号语言定义函数的单调性概念？
对于函数单调性概念的教学而言，有一个很重要的问题，即为什么要进一步形式化。学生在初中已经接触过一次函数、反比例函数、二次函数，对函数的增减性已有初步的认识：随x增大y增大是增函数，随x增大y 减小是减函数。这个观念对他们而言是易于接受的，很形象，他们会觉得这样的定义很好，为什么还要费神去进行符号化呢？如果教师能通过教学设计，让学生感受到进一步符号化、形式化的必要性，造成认知冲突，则学生研究的兴趣就会大大提高，主动性也会更强。其实，数学概念就是一系列常识不断精微化的结果，之所以要进一步形式化，完全是数学精确性、严密性的要求，因为只有达到这种符号化、形式化的程度，才可以进行准确的计算，进行推理论证。
所以，在教学中提出类似如下的问题是非常必要的：
右图是函数函数吗？
的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减
对于这个问题，学生的困难是难以确定分界点的确切位置．通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究,使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性，从而将函数的单调性研究从研究函数图象过渡到研究函数的解析式.关键点3：如何用形式化的语言定义函数的单调性？
从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造成了数学的难懂、难教、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律：在需要和可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象，即数学的思考方式。恰当运用图形语言、自然语言和符号化的形式语言，并进行三者之间必要的转化，可以说，这是学习数学的基本思考方式。而函数单调性这一内容正是体现数学基本思考方式的一个良好载体，教学中应该充分关注到这一点。长此以往，便可使学生在学习知识的同时，学到比知识更重要的东西—学会如何思考？如何进行数学的思考？
一般说，对函数单调性的建构有两个重要过程，一是建构函数单调性的意义，二是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述。对函数单调性的意义，学生通过对若干函数图象的观察并不难认识，因此，前一过程的建构学习相对比较容易进行。后一过程的进行则有相当的难度，其难就难在用数学的符合语言来描述函数单调性的定义时，如何才能最大限度地通过学生自己的思维活动来完成。这其中有两个难点：
（1）“x增大”如何用符号表示；同样，“f(x)增大”如何用符号表示。 （2）“‘随着’x增大，函数f(x)‘也’增大”，如何用符号表示。
用数学符号描述这两种数学意义的最大要害之处，在于要用数学的符号来描述动态的数学对象。
在初中数学中，除了学习函数的初级概念，用y=f(x)表示函数y随着自变量x的变化而变化时，接触到一点动态数学对象的数学符号表示以外，绝大多数都是用数学符号表示静态的数学对象。因此，从用静态的数学符号描述静态的数学对象，到用静态的符号语言刻画动态数学对象，在思维能力层次上存在重大差异，对刚刚由初中进入高中学习的学生而言，无疑是一个很大的挑战！
因此，在教学中可以提出如下问题2： 如何从解析式的角度说明
在
上为增函数？
这个问题是形成函数单调性概念的关键。在教学中，教师可以组织学生先分组探究，然后全班交流，相互补充，并及时对学生的发言进行反馈、评价，对普遍出现的问题组织学生讨论，在辨析中达成共识.对于问题2，学生错误的回答主要有两种：
①在给定区间内取两个数，例如1和2，因为函数．
,所以
在
上为增②可以用0，1，2，3，4，5验证： 在
所以函数上是增函数。
对于这两种错误，教师要引导学生进一步展开思考。例如，指出回答②试图用自然数列来验证结论，而且引入了不等式表示不等关系，但是，只是对有限几个自然数验证不行，只有当所有的比较结果都是一样的：自变量大时，函数值也大，才可以证明它是增函数，那么怎么办？如果有的学生提出：引入非负实数a，只要证明
就可以了，这就把验证的范围由有限扩大到了无限。教师应适时指出这种验证也有局限性，然后再让学生思考怎样做才能实现“任意性”就有坚实的基础了。也就是，从给定的区间内任意取两个自变量,然后求差比较函数值的大小，从而得到正确的回答: 任意取在
,有为增函数．
,即，所以这种回答既揭示了单调性的本质，也让学生领悟到两点：(1)两自变量的取值具有任意性；(2)求差比较它们函数值的大小。至此，学生对函数单调性有了理性的认识.在前面研究的基础上，引导学生归纳、抽象出函数单调性的定义，使学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的认知过程。
教学中，教师引导学生用严格的数学符号语言归纳、抽象增函数的定义，并让学生类比得到减函数的定义.然后指导学生认真阅读教材中有关单调性的概念,对定义中关键的地方进行强调.同时设计了一组判断题：
判断题：
①②若函数③若函数满足f(2)
在[2,3]上为增函数.
．
和(2,3)上均为增函数，则函数在(1,3)上为增函数．④因为函数减函数.在上都是减函数，所以在上是通过对判断题的讨论，强调三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．
从而加深学生对定义的理解
北京4中常规备课
【教学目标】
1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明．
【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】
一、创设情境，引入课题 课前布置任务：
(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？
预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (2)在某时刻的温度；
(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.
在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．
问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．
归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．
二、归纳探索，形成概念
对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知
问题1：
分别作出函数数值有什么变化规律？
的图象，并且观察自变量变化时，函
预案：(1)函数
在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数
在整个定义域内 y随x的增大而减小．
(2)函数在
上 y随x的增大而增大，在
上y随x的增大而减小．
(3)函数 在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．
引导学生进行分类描述 (增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．
问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案：如果函数
在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数
在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们在该区间上为增函数；如果函数说函数在该区间上为减函数．
教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识． 【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．探究规律，理性认识
问题1：下图是函数和减函数吗？
的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数
学生的困难是难以确定分界点的确切位置．
通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．
〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性． 问题2：如何从解析式的角度说明
在
为增函数？
22预案： (1) 在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1
(2) 仿(1)，取很多组验证均满足，所以(3) 任取，所以
在,因为
为增函数．
在
为增函数．
在
,即对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．
【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念
问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?
师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义． (1)板书定义 (2)巩固概念 判断题：
①．
②若函数
③若函数 在区间
和(2,3)上均为增函数，则函数
在区间(1,3)上为增函
．
④因为函数在区间上是减函数.
上都是减函数，所以在
通过判断题，强调三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．
思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.
三、掌握证法，适当延展
例 证明函数
在上是增函数．
1．分析解决问题
针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．
证明：任取
,
设元
求差
变形
,
断号
∴
∴
即
∴函数
2．归纳解题步骤
在上是增函数．
定论
引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．
练习：证明函数
问题：要证明函数
在区间
上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对
在
上是增函数．
任意的 ，且有可以吗? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在
〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．
四、归纳小结，提高认识
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．
1．小结
(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性． (2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论． (3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2．作业
书面作业：课本第60页习题2.3 第4，5，6题． 课后探究： (1) 证明：函数
在区间
上是增函数的充要条件是对任意的上是增函数．
，且
有．
(2) 研究函数
的单调性，并结合描点法画出函数的草图．
《函数的单调性》教学设计说明
一、教学内容的分析
函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据． 对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．
二、教学目标的确定
根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．
三、教学过程的设计
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施： （1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．
（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．
（3）考虑到我校学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔．
推荐第2篇：高一数学函数的单调性教案
函数的单调性
教学目标
1．使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性． 2．通过函数单调性概念的教学，培养学生分析问题、认识问题的能力．通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力．
3．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育．
教学重点与难点
教学重点：函数单调性的概念． 教学难点：函数单调性的判定．
教学过程设计
一、引入新课
师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？
（用投影幻灯给出两组函数的图象．） 第一组：
第二组：
生：第一组函数，函数值y随x的增大而增大；第二组函数，函数值y随x的增大而减小．
师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对．他（她）答得很好，这正是两组函数的主要区别．当x变大时，第一组函数的函数值都变大，而第二组函数的函数值都变小．虽然在每一组函数中，函数值变大或变小的方式并不相同，但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时，就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容．
（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意．）
二、对概念的分析
（板书课题：函数的单调性）
师：请同学们打开课本第51页，请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍．
（学生朗读．）
师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？
生：我认为是一致的．定义中的“当增大而增大；“当
时，都有
时，都有
”描述了y随x的
”描述了y随x的增大而减少．
”和“
或师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！
（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣．） 师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数图象，体会这种魅力．
和
的
（指图说明．） 师：图中因此而图中因此对于区间[a，b]上的任意
，
，当
时，都有
，
的单调增区间；
，
的单调减区间． 在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数对于区间[a，b]上的任意
，
，当
时，都有在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）
师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应„„ （不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．） 生：较大的函数值的函数． 师：那么减函数呢？
生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数． （学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．） 师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？
（学生思索．）
学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力．
（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．）
生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．
师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？
生：不能．因为此时函数值是一个数．
师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？
生：不能．比如二次函数而我们不能说
，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因是增函数或是减函数．
的图像，从“形”上感知．） （在学生回答问题时，教师板演函数师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．
师：还有没有其他的关键词语？
生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语． 师：你答的很对．能解释一下为什么吗？ （学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．） 师：“属于”是什么意思？ 生：就是说两个自变量生：可以．
师：那么“任意”和“都有”又如何理解？
生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要，就必须都小于
，或
都大于
．
，
必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．
师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？
师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？ （让学生思考片刻．） 生：可以构造一个反例．考察函数，定，显然
，而
，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值，
，有
，若由此判是[-2，2]上的减函数，那就错了． 师：那么如何来说明“都有”呢？ 生：在[-2，2]上，当，这时就不能说
，
时，有
；当
，时，有，在[-2，2]上是增函数或减函数．
师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量，，根据它们的函数值
和
的大小来判定函数的增减性．
（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．）
师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．
（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力．）
三、概念的应用
例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？
（用投影幻灯给出图象．）
生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．
生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？ 师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，b]上单调（增或减），且[]（增或减）．反之不然．
例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．
师：从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．
（指出用定义证明的必要性．）
师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．
（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较和的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．） 师：对于和
我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果
，
]
[a，b]，则f（x）在[
，a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．
生：（板演）设，
是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当
，
所以f（x）是增函数．
师：他的证明思路是清楚的．一开始设设
，
是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并
时，
（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看，这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么
＜0，没有用到开始的假设“
”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以，从而
＜0，即
．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．
这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以
小．
（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．）
调函数吗？并用定义证明你的结论．
师：你的结论是什么呢？
上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数． 生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），，显然有
，而不是
显然成立，而
，
，因此它不是定义域内的减函数．
生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．
域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．
上是减函数．
（教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示： （1）分式问题化简方法一般是通分． （2）要说明三个代数式的符号：k，
，
．
要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变．
对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视．）
四、课堂小结
师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？ （请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．）
生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤．
五、作业
1．课本P53练习第1，2，3，4题．
数．
．（*）
+b＞0．由此可知（*）式小于0，即
．
课堂教学设计说明
函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理．
另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用．
还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助．另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫．
推荐第3篇：单调性证明不等式
单调性证明不等式
x证明e≥x＋1.
xx证：记K(x)＝e－x－1，则K′(x)＝e－1，当x∈(0，1)时，K′(x)＞0，因此K(x)
在[0，1]上是增函数，故K(x)≥K(0)＝0.
1所以f(x)≤1]． 1＋x
证明(1＋x)e≥(1－x)e.
－xxx－x证：记h(x)＝(1＋x)e－(1－x)e，则h′(x)＝x(e－e)，当x∈(0，1)时，h′(x)
＞0，因此h(x)在[0，1]上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0.
所以f(x)≥1－x，x∈[0，1]．
x21．B12，B14[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝e－ln(x＋m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.
1x21．解：(1)f′(x)＝e.x＋m
由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.
1xx于是f(x)＝e－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝e.x＋1
1x函数f′(x)＝e－在(－1，＋∞)单调递增， x＋1
且f′(0)＝0，因此当x∈(－1，0)时，
f′(x)0.
所以f(x)在(－1，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(2)证明：当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)>0.
1x当m＝2时，函数f′(x)＝e－在(－2，＋∞)单调递增．又f′(－1)0，x＋2
故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1，0)．
当x∈(－2，x0)时，f′(x)0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．
由f′(x0)＝0得
1ex0＝ln(x0＋2)＝－x0， x0＋2
1（x0＋1）故f(x)≥f(x0)＋x0＝>0.x0＋2x0＋2
综上，当m≤2时，f(x)>0.
2－xx
推荐第4篇：函数的单调性
函数的单调性说课稿(市级一等奖) 函数单调性说课稿 《函数的单调性》说课稿(市级一等奖) 旬阳县神河中学 詹进根
我说课的课题是《普通高中课程标准实验教科书 必修1》第二章第三节——函数的单调性。我将根据新课标的理念和高一学生的认知特点设计本节课的教学。我从下面三个方面阐述我对这节课的理解和教学设计。
一、教材分析
1、教材内容
本节课是北师大版(必修一)第二章函数第三节——函数的单调性，本节课内容教材主要学习函数的单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。
2、教材的地位和作用
函数是本章的核心概念，也是中学数学中的基本概念，函数贯穿整个高中数学课程。在历年的考题中常考，函数的思想也是我们学习数学中的重要思想。在这一节中利用函数图象研究函数性质的数形结合思想将贯穿于整个高中数学教学。
函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性、对称性、有界性。而我们今天学习的内容就是函数基本性质中的一种——单调性。函数的单调性是用代数方法研究函数图象局部变化趋势的。函数的单调性是学生初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识，是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范性的作用，对解决各种数学问题有着广泛作用。此外在比较数的大小、极限、导数以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。 通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题。通过上述活动，加深对函数本质的认识。更主要本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。
根据函数单调性在整个教材内容中的地位和作用，并结合学生的认知水平，本节课教学应实现如下教学目标。
3、教学目标
知识与技能:理解函数单调性和单调函数的意义;会判断和证明简单函数的单调性。
过程与方法:培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力;体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想。
情感态度与价值观:领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣。
4(教学的重点和难点 教学重点: 函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性; 1 函数单调性说课稿 教学难点: 根据定义证明函数的单调性和利用函数图像证明单调性。
二、教法与学法 1(教学方法 本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，本节课主要采用“创设情景、问题探究、合作交流、归纳总结、联系巩固”的教学方式，这样既增加了教师与学生、学生与学生之间的交流，又能激发学生的求知欲，调动学生积极性，使他们思路更加开阔，思维更加敏捷。
2(教学手段
教学中使用多媒体辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。
3(学法
高一学生知识上已经掌握了一次函数、二次函数、反比例函数的图象和基本性质等内容，但对知识的理解和方法的掌握上不完备，反应在解题中就是思维不严密，过程不完整;能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，但知识整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强，所以应从下面两方面来提高学生的水平。
(1)让学生利用图形直观感受; (2)让学生“设问、尝试、归纳、总结、运用”，重视学生的主动参与，注重信息反馈，通过引导学生多思、多说、多练，使认识得到深化。
三、教学过程
本节课的教学过程包括:创设情境，引入课题;归纳探索，形成概念;巩固提高，深化概念;归纳小结，提高认识.具体过程如下: (一)创设情境，引入课题
我们知道，函数是刻画事物变化的工具。在2003年抗击非典型肺炎时，卫生部门对疫情进行了通报。如下图是北京从4月21日到5月19日期间每日新增病例的变化统计图。
思考如何用数学语言刻画疫情变化, [设计意图]:通过实际生活中的例子让学生对图像的上升和下降有一个初步感性认识，为下一步对概念的理性认识作好铺垫。同时通过多媒体展示，能够提高学生的兴趣，增强直观性，拉近数学与实际的距离，感受数学源于生活,让学生学会用数学的眼光去关注生活。
2 函数单调性说课稿 (二)归纳探索，形成概念
在本阶段的教学中，为使学生充分感受数学概念的形成与发展过程和数形结合的数学思想，加深对函数单调性的本质的认识，我设计了几个环节,引导学生分别完成对单调性定义的认识.
1、提出问题，观察变化
12问题:分别做出函数的图像，指出上面四yxyxyxy,，,,，,,2,1,, x 个函数图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下降的, 8 688 86466 44422 22-10-5510-10-5510-10-5510 -10-5510-2-2-2-2-4 -4-4-6-4 -6-6-8-6-8 -8-8 12 yx,，2yx,,，1yx,y,x 通过学生熟悉的图像，及时引导学生观察，函数图像上A点的运动情况，引导学生能用自然语言描述出，随着增大时图像变化规律。让学生大胆的去说，x 老师逐步修正、完善学生的说法，最后给出正确答案。
【设计意图】 新课标十分注重初中与高中的衔接，注重通过函数的图像，研究函数的基本性质。以学生们熟悉的函数为切入点，尽量做到从直观入手，顺应同学们的认知规律。第三个、第四个函数图像的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质(
2、步步深化，形成概念 2观察函数y=x随自变量x 变化的情况，设置启发式问题: (1)在y轴的右侧部分图象具有什么特点, (2)如果在y轴右侧部分取两个点(x，y)，(x，y)，当x
【设计意图】通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。另外，对“任意性”的理解，我特设计了问题(2)、(3)，达到步步深入，从而突破难点，突出重点的目的。 通过对以上问题的分析，从正、反两方面领会函数单调性。师生共同总结出单调增函数的定义，并解读定义中的关键词，如:区间内，任意，当
教师总结归纳单调性和单调区间的定义。
注意强调:函数的单调性是函数在定义域某个区间上的局部性质，也就是说，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。
【设计意图】通过问题的分解，引导学生步步深入，直至找到最准确的数学语言来描述定义。体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。在课堂教学中教师引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。通过探索，培养学生的观察能力和运动变化的观点，同时充分利用图形的直观性，渗透了数形结合的思想，学生在探索的过程中品尝到了自己劳作后的甘甜，感受到耕耘后的丰收喜悦，更激起了学生的探索创新意识。
3(巩固提高，深化概念
本环节在前面研究的基础上，加深学生进一步理解函数单调性定义本质，完成对概念的再一次认识.练习1:如下图给出的函数，你能说出它的函数值随自变量值的变化情yx况吗?
怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢? 1f(x),例1 说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性.x 练习2:判断下列说法是否正确
(1)定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数。 f(x)f(2),f(1) (2)定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数。 f(x)f(2),f(1) 1(3)已知函数，因为是增函数。 所以函数fx()y,ff(1)(2),,，x ，，，(4)定义在R上的函数在,,,0,上是增函数，在0,，,上也是增函数，f(x) 则函数是R上的增函数。
(5)函数在上都是减函数，所以在
上是减函数。
例2 画出函数的图像，判断它的单调性，并加以证明。 f(x),3x，2 通过对上述几题讨论，加深学生对定义的理解。强调以下三点，完成本阶段的教学: ?单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。
4 函数单调性说课稿
?有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)。
?函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在上是增(或减)函数。
【设计意图】函数单调性定义产生是本节课的难点，难在:如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言的准确理解及正确应用更是学生薄弱环节，这里通过问题研讨体现了以学生为主体，师生互动合作的教学新理念。例1主要是从图形上判断函数的单调性;例2主要对数形结合，定义法证明函数的单调性的只是巩固与应用.(四)归纳小结，提高认识
归纳小结是巩固新知识不可或缺的环节之一，本节课我采用组织和指导学生自己谈学习收获的方式对所学知识进行归纳，深化对数学思想方法的认识，为后续学习打好基础( 1(本节小结
函数单调性定义，判断函数单调性的方法(图像、定义) 在方法层面上，引导学生回顾判断，证明函数单调性的方法和步骤;引导学生体会探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等。
2(布置作业
课后作业实施分层设置，书面作业、课后思考.作业布置:教材第38页的第2，3，5题 思考交流:问题 如果可以证明对任意的，且，有xxab,(,),xx,1212fxfx()(),21，能断定函数在上是增函数吗? fx()(,)ab,0xx,21 【设计意图】:目的是加深学生对定义的理解，让学生体会这种叙述与定义的等价性，而且这种方法进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔。
以上各个环节，环环相扣，层层深入，注意调动学生自主探究与合作交流，努力实现教学目标，也使新课标理念能够得到很好的落实。
各位评委，本节课我在概念教学上进行了一些尝试.在教学过程中，我努力创设一个探索数学的学习环境,通过设计一系列问题,使学生在探究问题的过程中，亲身经历数学概念的发生与发展过程，从而逐步把握概念的实质内涵,深入理解概念。
5 函数单调性说课稿 附一:板书设计 函数的单调性
一、函数单调性的概念
三、例题讲解
四、课堂练习
二、证明函数单调性的步骤 例1:
五、布置作业 例2: 小结和作业在多媒体上展示，这样的板书简明清楚，重点突出，加深学生对重点知识的理解和掌握，同时便于记忆，有利于提高教学效果.6 函数单调性说课稿 7
推荐第5篇：单调性奇偶性教案
函数性质
一、单调性
1.定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，若都有f(x1)f(x2)，那么就说函数在．．区间D上单调递增，若都有f(x1)f(x2)，那么就说函数在区间D上单调递减。例1.证明fxx1在1,上单调递增 x
总结：
1）用定义证明单调性的步骤：取值----作差----变形-----定号-----判断 2）增+增=增
减+减=减
-增=减
1/增=减 3）一次函数ykxb的单调性 例1.判断函数y2.复合函数分析法
设yf(u)，ug(x)x[a,b]，u[m,n]都是单调函数，则yf[g(x)]在[a,b]上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减
1的增减性 x1性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：
ug(x)
yf(u)
yf[g(x)]
增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增
例1.判断函数ylog2(x1)在定义域内的单调性
一、函数单调性的应用 1.比较大小
例1.若f(x)在R上单调递增，且f2a1f(a3)，求a的取值范围
3例2.已知函数f(x)在0,上是减函数，试比较f()与f(a2a1)的大小
42.利用单调性求最值
1例1.求函数yx1的最小值
x
x22xa1例2.已知函数f(x),x1,.当a时，求函数f(x)的最小值
x2
11例3.若函数f(x)的值域为,3，求函数g(x)f(x)的值域
2f(x)
练习：1）求函数yx21x在0,的最大值
112）若函数f(x)的值域为,3，求函数g(x)f(x)的值域
2f(x)
3.求复合函数的单调区间 1)求定义域
2)判断增减区间 3)求交集
12例1.求函数yx2x3的单调区间
2练习：求函数yx22x8的单调增区间
4.求参数取值范围
例1.函数f(x)x22ax3在区间1,2上单调，求a的取值范围
二、奇偶性
1.判断奇偶性的前提条件：定义域关于原点对称 例1.奇函数f(x)定义域是(t,2t3)，则t
.2.奇函数的定义：对于函数f(x)，其定义域D关于原点对称，如果xD,恒有f(x)f(x) ，那么函数f(x)为奇函数。
3.奇函数的性质： 1）图像关于原点对称 2）在圆点左右单调性相同
3）若0在定义域内，则必有f(0)0
1奇函数的例子：yx,yx3,yx,ysinx
x4.偶函数的定义：对于函数f(x)，其定义域D关于原点对称，如果xD,恒有f(x)f(x)，那么函数f(x)为偶函数。
5.偶函数的性质： 1）图像关于y轴对称 2）在圆点左右单调性相反
偶函数的例子：yx2,yx,ycosx
6.结论：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
四、常见题型： 1.函数奇偶性的判定
4x2例1.判断函数f(x)的奇偶性
x22
例2.判断f(x)(x2)
2x的奇偶性 2x2.奇偶性的应用
例1.已知f(x)x5ax3bx8,f(2)10,则f(2)_______
例2.已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x(x2),求x0时，f(x)的解析式
例3.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)
3.函数单调性与奇偶性的综合应用
例1.设偶函数f(x)在[0,)为减函数，则不等式f(x)f(2x1)的解集是 。
例2.已知函数f(x)是定义在实数集R上的函数，若f(x)在区间5,5上是奇函数，在区间0,5上是单调函数，切f(3)f(1)，则（ ）
A.f(1)f(3) B.f(0)f(1) C.f(1)f(1) D.f(3)f(5)，
例3.函数f(x)axb121,1是定义在上的奇函数，且 f()2251x1，求f(x),g(x) x11）求f(x)的解析式
2）判断函数f(x)在1,1上的单调性 3）解不等式f(t1)f(t)0
推荐第6篇：高一数学寒假作业：单调性检测试题五
2018-2018高一数学寒假作业：单调性检测试题
五
为了帮助学生们更好地学习高一数学，查字典数学网精心为大家搜集整理了高一数学寒假作业：单调性检测试题五，希望对大家的学习有所帮助!
高一数学寒假作业：单调性检测试题五
10.已知函数f(x)=x2 -1211x 1
求f(x)的最大、最小值.
解：当-121时，由f(x)=x2，得f(x)最大值为f(1)=1，最小值为f(0)=0; 当1 即121.
综上f(x)max=1，f(x)min=0. 11.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
解：(1)当每辆车的月租金为3600元时，未租出的车辆数为3600-300050=12.所以这时租出了88辆车.
(2)设每辆车的月租金为x元.则租赁公司的月收益为f(x)=(100-x-300050)(x-150)-x-30005050，
整理得
f(x)=-x250+162x-21000=-150(x-4050)2+307050.
所以，当x=4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)=307050.即当每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大.最大月收益为307050元.
经过精心的整理，有关高一数学寒假作业：单调性检测试题五的内容已经呈现给大家，祝大家学习愉快!
推荐第7篇：高三数学单元练习题：函数的单调性
高三数学单元练习题：函数的单调性
【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.
一、选择题（每小题6分，共42分）
1.下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是（ ） A.y=-x+1 B.y=C.y=x-4x+5 D.y=答案：B 解析：A、C、D函数在（0，2）均为减函数.2.设函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数，则下列不等式正确的是（ ） A.f(2a)
222
x 2x
12)+2
34>0，∴a+1>a.又f(x)在R上递减，故f(a+1)
22或者令a=0,排除A、B、C,选D.3.函数y=(2k+1)x+b在(-∞，+∞)上是减函数，则（ ） A.k>12 B.k
12 C.k>-
12 D.k
答案：D 解析：2k+11212ax1x212.在区间（-2，+∞）上为增函数，那么实数a的取值范围为（ ）
12 B.a
D.a>-2 答案：C 解析：∵f(x)=a+12ax2在(-2,+∞)递增，∴1-2a
12.5.(2010四川成都一模，4)已知f(x)是R上的增函数，若令F（x）=f(1-x)-f(1+x)，则F（x）是R上的（ ）
A.增函数 B.减函数
C.先减后增的函数 D.先增后减的函数 答案：B 解析：取f(x)=x,则F(x)=(1-x)-(1+x)=-2x为减函数，选B.6.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数，且f(x)在［0，+∞）上是减函数，则下列关系式中正确的是（ ）
A.f(5)>f(-5)
B.f(4)>f(3)
C.f(-2)>f(2) D.f(-8)
- 1
①对于任意的x∈［0，1］，总有f(x)≥0; ②f(1)=1; ③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1, 则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).(1)求f(0)的值；
（2）求f(x)的最大值.解析：(1)对于条件③，令x1=x2=0得f(0)≤0，又由条件①知f(0)≥0，故f(0)=0.(2)设0≤x1
∴f(x2)-f(x1)=f［(x2-x1)+x1］-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)≥0.即f(x2)≥f(x1),故f(x)在［0，1］上是单调递增，从而f(x)的最大值是f(1)=1.13.定义在R上的奇函数f(x)在［-a,-b］(a>b>0)上是减函数且f(-b)>0,判断F（x）=［f(x)］2在［b,a］上的单调性并证明你的结论.解析：设b≤x1-x2≥-a.∵f(x)在［-a,-b］上是减函数,∴0
则f(x2)
22-1)2+(
nx-1)2的定义域为［m,n)且1≤m
（2）证明：对任意x
1、x2∈［m,n］,不等式|f(x1)-f(x2)| xm-1)+(
2nx-1)=
2xm22nx222xm22nx+2, ∴f′(x)=2xm22nx322m2nx22mx23·(x4-m2n2-mx3+m2nx)=
mx23(x2-mx+mn)(x+mn) (x-mn).∵1≤m≤x0,x2-mx+mn=x(x-m)+mn>0,x+mn>0.令f′(x)=0,得x=mn，
①当x∈［m,mn］时，f′(x)0.∴f(x)在［m,mn］内为减函数，在［mn，n）为内增函数.解法二：由题设可得 f(x)=（xmnx-1）2-2nm+1.
- 3
推荐第8篇：高一数学函数的单调性教案[1]
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函数的单调性
教学过程设计
一、引入新课
师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数，然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别是什么？
（用投影幻灯给出两组函数的图象．） 第一组：
第二组：
二、对概念的分析
引入定义 师：图中因此而图中因此对于区间[a，b]上的任意
，
，当
时，都有
，在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数对于区间[a，b]上的任意
，
，当
时，都有
的单调增区间；
，
的单调减区间． 在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数（师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应„„ 生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数． 生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．
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师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？
生：不能．因为此时函数值是一个数．
说明单调性是局部性质
三、概念的应用
例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？
例2 证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数． 师：他的证明思路是清楚的．一开始设设
，
是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看，这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么
＜0，没有用到开始的假设“
”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以，从而
＜0，即
．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．
这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以
小．
调函数吗？并用定义证明你的结论．
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全体定义域上的减函数？
四、课堂小结
生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤．
数．
．（*）
+b＞0．由此可知（*）式小于0，即
．
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推荐第9篇：能力提升 函数单调性
能力提升
函数单调性
1.（1）已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围是.
（2）已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，则实数a的取值范围是.
ax12.函数f(x)在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a的取值范围是（ ） x2
11A.0aB.aC.a1D.a>-2 22
ax4.判断f(x)2。 (a0)在[1,)上的单调性并给出证明．．．．．x1
5.f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f(
（1）求f(1)的值．
（2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f(
(3)设f（2）=1，解不等式f(x)f(1) ＜2 ． xx) = f(x)－f(y)y1)2x3
3.已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)
2f(1)＝－3(1)求证：f(x)在R上是减函数；
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
推荐第10篇：函数的单调性反思
函数的单调性反思
积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为基本函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利 用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。 按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强。
(一)注意与初中内容的衔接
函数这章内容是与初中数学最近的结合点，如果初中代数中的内容没有学习好或遗忘的过多，学习本章就有障。本章很多内容都是在初中的基础上讲授的，如函数概念，要在讲授之前复习好初中函数及其图象的主要内容，包括函数的概念、函数图象的描绘，一次函数、二次函数的性质等等；又如指数概念的扩充，如果没有正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的基础知识，有理数指数幂就无法给出，运算性质也是如此，因此在本章教学中要注意与初中所学的有关内容的联系，做好初、高中数学的衔接和过渡工作。
(二)注意数形结合
本章的内容中图象占有相当大的比重，函数图象对于研究函数的性质起到很重要的作用本身就是由函数图象给出的。所以在本章教学中要特别注意利用函数图象，使学生不仅能从图象观察得到相应的性质，同时在研究性质时也要有函数图象来印证的思维方式。在教学过程中要注意培养学生绘制某些简单函数图象的技能，记住某些常见的函数图象的草图，养成利用函数图象来说明函数的性质和分析问题的习惯
(三)注意与其他章内容的联系
本章是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识。因此，要经常联系前一章的内容来学习本章，又如学会二次不等式解集的表示就要用到求函数的定义域或表示值域等知识上来。简易逻辑中的充要条件在本章中就章节的联系，也要注意联系物理、化学等学科的知识内容来丰富和巩固本章的内容。
如果我再上这节课，我会引导学生从特殊入手，注意和初中知识的联系。然后教会学学生如何用数学思维严格地论证函数的单调性。
第11篇：单调性及最值
长垣一中学生课堂导学案提纲编号：高二数学7一轮复习（2013-7-18）编制：审核：高二文数数学组
函数单调性及最值 复习学案
班级：姓名：小组：评价：【考纲要求】
1.了解韩式单调性的概念；
2.掌握判断一些简单函数单调性的方法；
3.了解函数最值的定义，掌握求函数最值的基本方法。【学习重点】函数单调性的判断方法 【学习难点】函数的最值的求法 【课堂六环节】
一、“导”------教师导入新课（2分钟）
二、“思”------自主学习。学生结合下列知识点自主学习（背公式，做题）.复习要点
一、函数的单调性
二、判定函数单调性的常见方法
（1）定义法：如上述步骤，这是证明或判定函数单调性的常用方法 （2）图象法：根据函数图象的升降情况进行判断。
（3）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数
的单调性均可直接说出。直接判定函数的单调性，可用到以下结论：
①函数yf(x)与函数yf(x)的单调性相反②函数y(x)恒为正或恒为负时，函数y
f(x)
与yf(x)的单调性相反。
③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等
2．单调区间的定义
若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，f(x)的单调区间．
三、函数的最值 （1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。
（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。 （4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法
（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。 典例剖析：
题型1：判断函数的单调性 例1 证明函数f(x)x
1x
在(0,1)上为减函数。
变式1.讨论函数f（x）=x+a
x
（a＞0）的单调性.例2．已知函数f(x)=x
2+2ax+2，x∈[-5，5] .
（1）当a=-1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间[-5，5]上是单调函数.
变式2.求函数y=log1（4x-x2）的单调区间
.
例3 .已知f(x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x2)f(1x)，求x的取值范围。
题型2：求函数的最值
例4 求函数y=4-32xx2
的最值;
变式3.求函数y=x+
4x
的最值
题型3：已知函数的单调性，求参数的范围
例4．已知函数f(x)= |2x+a|的单调递增区间是3,，则a=
ax,(x变式4.已知f(x)
1)是R上的单调递增函数，则a的取值范围是（）
(4a
2)x2,(x1)A(1,+)B4,8C(4,8)D(1,8)
三、“议”------（8分钟）
四、“展”------（8分钟）
五、“评”------（8分钟）
六、“检”------（4分钟）。【当堂检测】
1、在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是
（）
A．y=2x＋1 B．y=3x2＋
1C．y=
2x
D．y=2x
2＋x＋1
2、函数yx22x在[1，2]上的最大值为（）
A、1B、2C、-1D、不存在
3、函数f(x)=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，
则f(1)等于（）
A．－7
B．1 C．17 D．2
54．函数y=x
2+bx+c(x∈[0，+）)是单调函数，则b的取值范围是（）.A．b0B．b0C．b>0D．b
2x＋6，x∈[1，2])
x＋7，x∈[－1，1]
，则f(x)的最大值、最小值分别为(A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对
6.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数，则f(x)=0的根（）A.有且只有一个B.有2个
C.至多有一个D.以上均不对
若函数f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在区间（-∞，1］上是减函数，则a的取值范围是（）
A.［-3，-1］B.（-∞，-3］∪［-1，+
∞） C.［1，3］
D.（-∞，1］∪［3，+∞）
函数f(x)=x3+ax2+bx+c，其中a、b、c∈R，则a2-3b＜0时，f(x)是（）
7.8.
A.增函数B.减函数
C.常数函数D.单调性不确定的函数
8.已知函数f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x.构造函数y=F(x),定义如下：当f(x)≥g(x)时，F(x)=g(x);当
9.f(x)=ln(4+3x-x)的单调递减区间是（）A.（-∞,］
32
f(x)＜g(x)时，F(x)=f(x),那么F(x) ()A.有最大值3，最小值-1B.有最大值3，无最小值 C.有最大值7-27，无最小值D.无最大值，也无最小值
9.已知y=f(x)是定义在（-2，2）上的增函数，若f(m-1)＜f(1-2m)，则m的取值范围是.10.已知f(x)在定义域（0，+∞）上为增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,解不等式f(x)+f(x-8)≤2.
B.［，+∞）
32
C.（-1，］
32
D.［，4）
32
4.已知函数f（x）在区间［a，b］上单调，且f（a）·f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间［a，b］上（）A.至少有一实根B.至多有一实根C.没有实根
D.
必有惟一的实根
5.函数y=lg(x+2x+m)的值域是R,则m的取值范围是（） A.m＞1B.m≥
1C.m≤
1D.m∈R
6.函数f(x)(x∈R)的图象如下图所示，则函数g(x)=f(logax) (0＜a＜1)的单调减区间是（）A.［0,］B.（-∞,0）∪［，+
∞）C.［a,1］D.［a,a1］7.已知f(x)=
(3a1)x4a
logax
(x1)(x1)
1212
是（-∞,+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（）
13
A.（0，1）
B.（0，）C.［，）
1713
D.［，1）
7
第12篇：函数单调性定义证明
用函数单调性定义证明
例
1、用函数单调性定义证明:
(1) 为常数)在 上是增函数.(2) 在 上是减函数.
分析：虽然两个函数均为含有字母系数的函数，但字母对于函数的单调性并没有影响，故无须讨论.
证明: (1)设
则 是 上的任意两个实数，且
，
=
由 得 ，由
得 ， .
于是， ，
即即 ..
(2) 设在 是 上是增函数.上的任意两个实数，且 ，
则
由 得，由
得
于是 即.又 ， ..
在 上是减函数.
小结：由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关，与常数 无关.若函数解析式是分式，通常变形时需要通分，将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号.
根据单调性确定参数
例
1、函数
在
上是减函数，求
的取值集合.分析：首先需要对 前面的系数进行分类讨论，确定函数的类型，再做进一步研究.
解：当
具备增减性.
当
，解得
.故所求
的取值集合为
.时，函数此时为
，是常数函数，在
上不时，
为一次函数，若在
上是减函数，则有
小结：此题虽比较简单，但渗透了对分类讨论的认识与使用.
第13篇：函数的单调性教案
数学必修一
§1.3.1函数的单调性
姓名：吴志强
班级：统计08-2班 院系：数学与统计学院
学号：08071601021 §1.3.1函数的单调性
一、教学目标
1) 通过已学过的函数，学会运用函数图象理解和研究函数性质 2) 理解函数单调性的定义及单调函数的图像特征
3) 能够熟练的应用定义判断函数在某一区间的单调性
4) 通过本节知识的学习，培养学生严密的逻辑思维能力、用运动变化、数形结合、分类讨论的思想方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质
二、教学重点
函数单调性的定义及单调函数的图像特征
三、教学难点
利用函数的单调性的定义判断或证明函数的单调性
四、教学与学法
启发式教学，充分发挥学生的主体作用
五、教学过程
(一) 引入
如图为某地区2012年元旦这一天24小时内的气温变化图，
教师提问：在0点到4点，气温随着时间的推移是怎么变化的？在4点到14点，气温随着时间的推移又是怎么变化的？
教师指出：上面两种现象都是单调性现象。那么，在数学上我们如何定义函数的单调性呢？
(二) 作出下列函数的图像
图像1 y2x1在R上，y随x的增大而增大，若任意x1x2,则f(x1)f(x2)（左到右为上升）称为增函数
图像2 y2x1在R上，y随x的增大而减小，若任意x1x2,则f(x1)f(x2)（左到右为下降）称为减函数 图像3
yx2以对称轴，左侧下降，右侧上升
在(,0]上，y随x的增大而减小，得出函数在此区间为减函数 在(0,]上，y随x的增大而增大，得出函数在此区间为增函数
问：如何用数学语言来描述增函数与减函数呢？ 以yx2为例，在(0,]上任取x1，都有x1x2
22、
x2，则
f(x1)x12，
f(x2)x22，对任意的0x1x2xx2，所以在区间(0,]上，对任意的1都有f(x1)f(x2)2，即yx在(0,]上，当x增大时，函数值f(x)相应随之增大，得出yx2在(0,]上为增函数
2在区间(,0]上同理推得yx
（三）定义
为减函数
一般的设函数f(x)的定义域为I
a) 如果对于定义域I内某一区间D上任意两个自变量的值
1、2，当都有f(x1)f(x2)xxx1x2时，
，那么说函数f(x)在区间D上为增函数
xxx1x2b) 如果对于定义域I内某一区间D上任意两个自变量的值
1、2，当都有
f(x1)f(x2)时，
，那么说函数f(x)在区间D上为减函数
（四）单调性、单调区间定义：
如果函数yf(x)在这一区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这区间具有（严格的）单调性，区间D为yf(x)的单调区间
（五）举例
例
1、如图，yf(x)在定义在[5,5]的函数，根据图像说出函数的单调区间，以及每一单调区间上它为增函数还是减函数。
解：单调区间[5,2],[2,1],[1,3],[3,5]
[5,2],[1,3]为减函数，[2,1],[3,5]为增函数
注意：
a) 书写时，区间与区间用逗号隔开，不能用“”链接
b) 对于孤立点，没有单调性，所以区间端点处如有定义，写开闭均可 c) 函数为增函数、减函数是对定义域内某一区间而言的
例
2、证明f(x)2x3在R上为单调减函数 证明：
设x1，x2是R上任意两个值，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=(-2x1+3)-(-2x2+3)=-2(x1-x2)x1x2 x1x20 -2(x1x2)0f(x1)f(x2)0 即f(x1)f(x2)函数f(x)2x3在R上为单调减函数
小结：证明函数单调性的步骤 a) 设值，设任意的
1、b) 作差变形，xx2
，且
x1x2
f(x1)-f(x2)变形常用的方法有：因式分解、配方、有理化等
的正负 c) 判断差符号，确定
f(x1)-f(x2)d) 下结论，由定义得出函数的单调性
（六）课堂练习证明f(x)x在[0,+]是增函数证明：设x1,x2[0,+),且x1x2则f(x1)-f(x2)=x1-x2=x1-x21(x1-x2)(x1(x1x20x2)x2)x1-x2x1+x2 (对分子有理化详细讲解）又0x1
给学生时间做Ｐ32 练习4
解： 设x1，x2是R上任意两个值，且x1x2， 则f(x1)-f(x2)=(-2x1+１)-(-2x2+１)=-2(x1-x2) x1x2 x1x20 -2(x1x2)0 f(x1)f(x2)0 即f(x1)f(x2) 函数f(x)2x1在R上为单调减函数
（七）课堂小结
a) 增函数、减函数的定义 b) 图像法判断函数的单调性
（由左到右上升，为增函数，由左到右下降，为减函数） c) 证明单调函数的步骤
（设值…………作差变形………….判断差符号………..下结论………..）
（八）作业
P39习题
1、3 A 组
1、题2
判断函数f(x)=－x3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0，＋∞），函数f(x)是增函数还是减函数？
第14篇：《函数单调性》教学案例
《函数单调性》教学案例
1.【案例背景】
“函数的单调性”是新课标人教版《数学·1》第一章第三节的教学内容。“课标”规定两个课时，所选案例为第一课时。
函数的单调性是函数的一条基本性质，从知识结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究基本初等函数、三角函数等内容的基础。在这之前，学生已经学过函数的定义，函数的表示，学习过一次函数，二次函数，反比例函数等，函数单调性是学生研究函数整体性质的开始，之后还有奇偶性周期性等，所以本节内容承前启后，解决有关的函数问题，这一节学好了，学生获得的知识就会对后面几节的知识产生正迁移作用。
2.【教学内容分析】
首先，从单调性知识本身来讲.学生对于函数单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段是在初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识；第二阶段是在高一进一步学习函数单调性的严格定义，从数和形两个方面理解单调性的概念；第三阶段则是在高三利用导数为工具研究函数的单调性.高一单调性的学习，既是初中学习的延续和深化，又为高三的学习奠定基础．
其次，从函数角度来讲.函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果的过程.因此，函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据.3.【学情分析】
高一的学生正处于经验逻辑思维发展阶段，具备了一定的逻辑思维但要想 使学生“以一系列的行动队一系列的条件作出反应”却需要很大的努力的。函数单调性的本质是利用定量的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．
因此首先要重视学生的亲身体验：将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识。运用新知识尝试解决新 问题．其次重视学生发现的过程．充分展现学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程。充分展现在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程． 最后重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．
4.【教学过程】
一、创设情境，引入课题 课前布置任务：
(1) 由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2) 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题1：请同学们观察图，指出该天的气温在如何变化？（学生独立思考）
【设计意图】通过生活实例，让学生对图象的上升和下降有一个初步的感性认识，让学生感受到函数的单调性和我们的生活密切相关，进而激发学生的兴趣，引发学生进一步学习的好奇心。
生1（主动回答）：0～4时，温度下降，4～14时温度上升，14～24时温度下降。 问题2：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．
归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣． 二．借助图象，直观感知
问题3：观画出y=x和yx2的函数图象，回答下面两个问题：
⑴分别指出上面两个函数的图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下降的？
【设计意图】顺应学生的认知规律。
（小组合作探求）
生1：一次函数y=x其定义域上是上升的，二次函数yx2是先下降后上升。 师：这样回答准确吗？
生2：一次函数y=x在区间（-∞，+∞）上是“上升”的；二次函数y=x2在区间（-∞，0）上是“下降”的，（0，-∞）上是“上升”的。
⑵同学们能用数学语言把这两个函数图象“上升”或“下降”的特征描述出来吗？
【设计意图】有感性上升到理性。（给学生适当的思考时间）
这时学生们思维较为混乱，无从下手。教师及时通过\"几何画板\"展示y=x图象上A点的运动情况，让学生观察x，y值的变化。 师（及时提问）：同学们能用数学语言把y=x图象\"上升\"的特征描述出来吗？ 生3：该函数随着x的值增大，y的值相应的增大。 师（面向全体学生）：大家同意生4的回答吗？
生4：老师，我有补充，应该说：该函数在区间（-∞，+∞）上随着x的值增大，y的值相应的增大。 师：生5补充的很好，明确提出了函数变量在对应区间上的变化情况，那么函数yx2呢？ 生5：函数yx2在区间（-∞，0）上随着x的值增大，y的值相应的减小；在区间（0，+∞）上是随着x的值增大，y的值相应的增大。
师：在数学上，我们把y随着x的增大而增大，称为增函数；把y随着x的增大而减小，称为减函数。
五、巩固概念，适当延展
练习2：证明函数f(x)x在[0,)上是增函数． 〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．
六、归纳小结，提高认识 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结． 1．小结
(1) 概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性． (2) 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．
(3) 数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2.课后探究：
研究函数yx1(x0)的单调性，并结合描点法画出函数的草图． x 在整个教学过程当中收获了以下几点心得：
1、概念教学就是对知识发生过程的了解，数学概念是一系列常识不断精细化的结果，之所以要进一步形式化，完全是数学精确性、严密性的要求。本案例通过“直观”到“抽象”的跨越，使学生意识到自己能力上的缺陷，从而引发认知上的不平衡，产生学习的动力。
2、概念形成困难的原因在于新旧知识结构上的矛盾（如语言形式上的差异太大，学生认知水平、抽象水平与新内容的要求落差大等），所以解决的策略应是要培植知识的生长点，搭建恰当的脚手架。为此，我循序渐进、螺旋式地设计了问题组和运用了信息技术，是学生从“形”到“数”有了清新的认识。。
第15篇：高一数学教案：函数单调性
教学目标
会运用图象判断单调性;理解函数的单调性，能判断或证明一些简单函数单调性;注意必须在定义域内或其子集内讨论函数的单调性。
重 点
函数单调性的证明及判断。
难 点
函数单调性证明及其应用。
一、复习引入
1、函数的定义域、值域、图象、表示方法
2、函数单调性
(1)单调增函数
(2)单调减函数
(3)单调区间
二、例题分析
例
1、画出下列函数图象，并写出单调区间：
(1) (2) (2)
例
2、求证：函数 在区间 上是单调增函数。
例
3、讨论函数 的单调性，并证明你的结论。
变(1)讨论函数 的单调性，并证明你的结论
变(2)讨论函数 的单调性，并证明你的结论。
例
4、试判断函数 在 上的单调性。
三、随堂练习
1、判断下列说法正确的是 。
(1)若定义在 上的函数 满足 ，则函数 是 上的单调增函数;
(2)若定义在 上的函数 满足 ，则函数 在 上不是单调减函数;
(3)若定义在 上的函数 在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单调增函数，则函数 是 上的单调增函数;
(4)若定义在 上的函数 在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单调增函数，则函数 是 上的单调增函数。
2、若一次函数 在 上是单调减函数，则点 在直角坐标平面的( )
A.上半平面 B.下半平面 C.左半平面 D.右半平面
3、函数 在 上是___ ___;函数 在 上是__ _____。
3.下图分别为函数 和 的图象，求函数 和 的单调增区间。
4、求证：函数 是定义域上的单调减函数。
四、回顾小结
1、函数单调性的判断及证明。
课后作业
一、基础题
1、求下列函数的单调区间
(1) (2)
2、画函数 的图象，并写出单调区间。
二、提高题
3、求证：函数 在 上是单调增函数。
4、若函数 ，求函数 的单调区间。
5、若函数 在 上是增函数，在 上是减函数，试比较 与 的大小。
三、能力题
6、已知函数 ，试讨论函数f(x)在区间 上的单调性。
变(1)已知函数 ，试讨论函数f(x)在区间 上的单调性。
第16篇：函数的单调性教案
函数的单调性
教学目标
知识目标：初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念，并掌握判断一些简单函数单调性的方法。
能力目标：启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造地解决问题；通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。
德育目标：在揭示函数单调性实质的同时进行辩证唯物主义思想教育。：
教学重点：函数单调性的有关概念的理解
教学难点：利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性
教 具： 多媒体课件、实物投影仪
教学过程：
一、创设情境，导入课题
[引例1]如图为2006年黄石市元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：
问题1：气温随时间的增大如何变化？
问题2：怎样用数学语言来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？
[引例2]观察二次函数
的图象，从左向右函数图象如何变化？并总结归纳出函数图象中自变量x和 y值之间的变化规律。
结论：（1）y轴左侧：逐渐下降； y轴右侧：逐渐上升；
（2）左侧 y随x的增大而减小；右侧y随x的增大而增大。
上面的结论是直观地由图象得到的。还有很多函数具有这种性质，因此，我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究。
二、给出定义，剖析概念
①定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
⑴若当图3）；
⑵若当图4）。
)>f(
),则f(x) 在这个区间上是减函数（如
)
),则f(x)在这个区间上是增函数（如
②单调性与单调区间
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.由此可知单调区间分为单调增区间和单调减区间。
注意：
（1）函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
当x1 f(x2)y随x增大而减小。
几何解释：递增 函数图象从左到右逐渐上升；递减 函数图象从左到右逐渐下降。
（2）函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。
有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。
。
判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)>f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数。（×）
函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，不能用特殊值代替。
训练：画出下列函数图像，并写出单调区间：
三、范例讲解，运用概念
具有任意性，例1、如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数出函数。 的单调区间，以及在每一单调区间上，函数
的图象，根据图象说
是增函数还减
注意：
（1）函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。
（2）在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。
例2 判断函数 f (x) =3x+2 在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论。
引导学生进行分析证明思路，同时展示证明过程：
证明：设任意的 由
于是
即
所以，。
在R上是增函数。 ，得
，且
，则
分析证明中体现函数单调性的定义。
利用定义证明函数单调性的步骤：
①任意取值：即设x
1、x2是该区间内的任意两个值，且x1 ②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形
③判断定号：确定f(x1)－f(x2)的符号
④得出结论：根据定义作出结论（若差0，则为增函数；若差
0，则为减函数）
即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论”
例
3、证明函数
证明：设
，且
在(0,+)上是减函数.，则
由
又由
于是
即。 ，得
，得即
（*）
，
。
所以，函数
问题1 ：
在区间
在
上是单调减函数。
上是什么函数？(减函数) 在定义域
上是减函数？ （学生讨论
问题2 ：能否说函数得出）
四、课堂练习，知识巩固
课本59页 练习：第
1、
3、4题。
五、课堂小结，知识梳理
1、增、减函数的定义。
函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质。
2、函数单调性的判断方法：（1）利用图象观察；（2）利用定义证明：
证明的步骤：任意取值——作差变形——判断符号——得出结论。
六、布置作业，教学延伸
课本60页习题2.3 ：第
4、
5、6题。
第17篇：复合函数单调性教案
复合函数单调性教案
教学目标 知识目标
1.掌握有关复合函数单调区间的四个引理.2.会求复合函数的单调区间.3.必须明确复合函数单调区间是定义域的子集.能力目标
培养学生的数学转化思想和构建数学建模能力。 情感目标
培养学生分析问题，解决问题的能力。 教学重点与难点
1.教学重点是教会学生应用本节的引理求出所给的复合函数的单调区间.2.教学难点是务必使学生明确复合函数的单调区间是定义域的子集.教学过程设计
师：这节课我们将讲复合函数的单调区间，下面我们先复习一下复合函数的定义.生：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AÍB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.师：很好.下面我们再复习一下所学过的函数的单调区间.(教师把所学过的函数均写在黑板上，中间留出写答案的地方，当学生回答得正确时，由教师将正确答案写在对应题的下边.) (教师板书，可适当略写.) 例
求下列函数的单调区间.1.一次函数y=kx+b(k≠0).
解 当k＞0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间；当k＜0时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.2.反比例函数y=k (k≠0).x解 当k＞0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调减区间，当k＜0时，(－∞，0)和(0，+∞)都是这个函数的单调增区间.3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).
bb)是这个函数的单调减区间，(－，+∞)是它的单调增区间；2a2abb当a＜0时(－∞，－)是这个函数的单调增区间，(－，+∞)是它的单调减区间；
2a2a解
当a＞0时(－∞，－4.指数函数y=ax(a＞0，a≠1).
解
当a＞1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1时，(－∞，+∞)是这个函数的单调减区间.5.对数函数y=logax(a＞0，a≠1).
解
当a＞1时，(0，+∞)是这个函数的单调增区间，当0＜a＜1时，(0，+∞)是它的单调减区间.师：我们还学过幂函数y=xn(n为有理数)，由于n的不同取值情况，可使其定义域分几种情况，比较复杂，我们不妨遇到具体情况时，再具体分析.师：我们看看这个函数y=2x2+2x+1，它显然是复合函数，它的单调性如何? 生：它在(－∞，+∞)上是增函数.师：我猜你是这样想的，底等于2的指数函数为增函数，而此函数的定义域为(－∞，+∞)，所以你就得到了以上的答案.这种做法显然忽略了二次函数u=x2+2x+1的存在，没有考虑这个二次函数的单调性.咱们不难猜想复合函数的单调性应由两个函数共同决定，但一时猜不准结论.下面我们引出并证明一些有关的预备定理.(板书) 引理1 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.(本引理中的开区间也可以是闭区间或半开半闭区间.) 证明
在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x1)＜g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).
因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］， 故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.师：有了这个引理，我们能不能解决所有复合函数的单调性问题呢? 生：不能.因为并非所有的简单函数都是某区间上的增函数.师：你回答得很好.因此，还需增加一些引理，使得求复合函数的单调区间更容易些.(教师可以根据学生情况和时间决定引理2是否在引理1的基础上做些改动即可.建议引理2的证明也是改动引理1的部分证明过程就行了.) 引理2 已知函数y=f［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.证明
在区间(a,b)内任取两个数x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)＞g(x2),记u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＞u2,且u1,u2∈(c,d).
因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2) ］，故函数y=f［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.师：我们明白了上边的引理及其证明以后，剩下的引理我们自己也能写出了.为了记忆方便，咱们把它们总结成一个图表.(板书)
师：你准备怎样记这些引理?有规律吗?
(由学生自己总结出规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数.) 师：由于中学的教学要求，我们这里只研究y=f(u)为u的单调函数这一类的复合函数.做例题前，全班先讨论一道题目.(板书).例1 求下列函数的单调区间：
y=log4(x2－4x+3) 师：咱们第一次接触到求解这种类型问题，由于对它的解题步骤、书写格式都不太清楚，我们先把它写在草稿纸上，待讨论出正确的结论后再往笔记本上写.师：下面谁说一下自己的答案? 生：这是由 y=log4u与u=x2－4x+3构成的一个复合函数，其中对数函数 y=log4u 在定义域(0，+∞)上是增函数，而二次函数u=x2－4x+3，当x∈(－∞，2)时，它是减函数，当x∈(2，+∞)时，它是增函数，.因此，根据今天所学的引理知，(－∞，2)为复合函数的单调减区间；(2，+∞)为复合函数的单调增区间.师：大家是否都同意他的结论?还有没有不同的结论?我可以告诉大家，他的结论不正确.大家再讨论一下，正确的结论应该是什么? 生：……
生：我发现，当x=1时，原复合函数中的对数函数的真数等于零，于是这个函数没意义.因此，单调区间中不应含原函数没有意义的x的值.师：你说得很好，怎样才能做到这点呢? 生：先求复合函数的定义域，再在定义域内求单调区间.师：非常好.我们研究函数的任何性质，都应该首先保证这个函数有意义，否则，函数都不存在了，性质就更无从谈起了.刚才的第一个结论之所以错了，就是因为没考虑对数函数的 定义域.注意，对数函数只有在有意义的情况下，才能讨论单调性.所以，当我们求复合函数的
单调区间时，第一步应该怎么做? 生：求定义域.师：好的.下面我们把这道题作为例1写在笔记本上，我在黑板上写.(板书) 解
设 y=log4u,u=x2－4x+3.由
{u＞0,
u=x2－4x+3， 解得原复合函数的定义域为x＜1或x＞3.师：这步咱们大家都很熟悉了，是求复合函数的定义域.下面该求它的单调区间了，怎样求解，才能保证单调区间落在定义域内呢? 生：利用图象.师：这种方法完全可以.只是再说清楚一点，利用哪个函数的图象? 可咱们并没学过画复合函数的图象啊?这个问题你想如何解决? 生：……
师：我来帮你一下.所有的同学都想想，求定义域也好，求单调区间也好，是求x的取值范围还是求复合函数的函数值的取值范围?或是求中间量u的取值范围? 生：求x的取值范围.师：所以我们只需画x的范围就行了，并不要画复合函数的图象.
(板书) 师：当x∈(－∞，1)时，u=x2－4x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x∈(3，+∞)时，u=x2－4x+3为增函数y=log4u为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.师：除了这种办法，我们还可以利用代数方法求解单调区间.下面先求复合函数单调减区 间.(板书) u=x2－4x+3=(x－2)2－1, x＞3或x＜1，(复合函数定义域) x＜2 (u减) 解得x＜1.所以x∈(－∞，1)时，函数u单调递减.由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x－2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间.(板书) u=x2－4x+3=(x－2)2－1, x＞3或x＜1，(复合函数定义域) x＞2 (u增) 解得x＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间.师：下面咱们再看例2.(板书) 例2
求下列复合函数的单调区间：
y=log(2x－x2) 师：先在笔记本上准备一下，几分钟后咱们再一起看黑板，我再边讲边写.(板书) 解
设 y=logu,u=2x－x2.由
u＞0
u=2x－x2 解得原复合函数的定义域为0＜x＜2.由于y=log13u在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x－x2的单调性正好相反.易知u=2x－x2=－(x－1)2+1在x≤1时单调增.由
0＜x＜2 （复合函数定义域）
x≤1，(u增) 解得0＜x≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间.又u=－(x－1)2+1在x≥1时单调减，由
x＜2， (复合函数定义域)
x≥1， (u减) 解得0≤x＜2,所以[0，1]是原复合函数的单调增区间.师：以上解法中，让定义域与单调区间取公共部分，从而保证了单调区间落在定义域内.师：下面我们再看一道题目，还是自己先准备一下，就按照黑板上第一题的格式写.(板书) 例3 求y=(学生板书) 的单调区间.解
设y=.由
u∈R,
u=x2－2x－1, 解得原复合函数的定义域为x∈R.
因为y=在定义域R内为减函数，所以由引理知，二次函数u=x2－2x－1的单调性与复合函数的单调性相反.易知,u=x2－2x－1=(x－1)2－2在x≤1时单调减，由
x∈R,
(复合函数定义域)
x≤1， (u减) 解得x≤1.所以(－∞，1］是复合函数的单调增区间.同理［1，+∞)是复合函数的单调减区间.师：黑板上这道题做得很好.请大家都与黑板上的整个解题过程对一下.师：下面我小结一下这节课.本节课讲的是复合函数的单调性.大家注意：单调区间必须是定义域的子集，当我们求单调区间时，必须先求出原复合函数的定义域.另外，咱们刚刚学习复合函数的单调性，做这类题目时，一定要按要求做，不要跳步.(作业均为补充题) 作业
求下列复合函数的单调区间.1.y=log3(x2－2x);(答：(－∞，0)是单调减区间，(2，+∞)是单调增区间.)
第18篇：《函数的单调性》说课稿
《函数的单调性》说课稿
北大附中深圳南山分校：马立明
一、教材分析-----教学内容、地位和作用本课是苏教版新课标普通高中数学必修一第二章第1节《函数的简单性质》的内容，该节中内容包括：函数的单调性、函数的最值、函数的奇偶性。总课时安排为3课时，《函数的单调性》是本节中的第一课时。函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均有着广泛的应用；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。按现行教材结构体系，该内容安排在学习了函数的现代定义及函数的三种表示方法之后，了解了在生活实践中函数关系的普遍性，另外学生已在初中学过一次函数、反比例函数、二次函数等初等函数。在学生现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；在本节课是以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；这是本节课的重点内容。利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性一个难点，也是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助。另外，这也是以后要学习的不等式证明的比较法的基本思路，现在提出来对今后的教学也有了一定的铺垫。
二、学情分析教学目标的制定与实现，主要取决于我们对学习者掌握的程度。只有了解学习者原来具有的认知结构，学习者的准备状态，学习风格，情感态度等，我们才能制定合适的教学目标，安排合适的教学活动与评价标准。不同的教学环境，不同的学习主体有着不同的学习动机和学习特点。我所教授的班级的学生具体学情具体到我们班级学生而言有以下特点：学生多才多艺，个性张扬，但学科成绩不很理想，参差不齐；经受不住挫折，需要经常受到鼓励和安慰，否则就不能坚持不懈的学习；学习习惯不好，小动作较多，学习时注意力抗干扰能力不强，易被外界因素所影响，需要不断的引导；独立解决问题能力弱，畏难情绪严重，探索精神不足。只有少部分学生学习习惯良好，学风严谨，思维缜密。
三、教学目标：根据新课标的要求，以及对教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：
三维目标1
知识与技能：（1）
使学生理解函数单调性的概念，能判断并证明一些简单函数在给定区间上的单调性。（2）
通过函数单调性的教学，逐步培养学生观察、分析、概括与合作能力；
2过程与方法：（1）
通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。（2）
通过探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。3
情感，态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。。
（二）重点、难点重点：函数单调性的概念:为了突出重点，使学生理解该概念，整个过程分为：作图象并观察图象→讨论：函数图象的变化趋势是什么？→在这种变化趋势下，x与函数值y是如何相互影响的？→你能从量的角度出一个缜密的，完善的定义来吗？每个步骤都是在教师的参与下与引导下，通过学生与学生之间，师生之间的合作交流，不断反省，探索，直到完善结论，最终达到一个严密，简洁的定义。难点：函数单调性的判断与推证：突破该难点的：通过对照、分析定义，引导学生，概括出证明方法及步骤：“取量定大小，作差定符号，判断得结论”，并注意解题过程的规范性与严谨性。
四、教学方法：合作学习认为教学是师生之间、生生之间相互作用的过程，强调多边互动，共同掌握知识。视教学为师生平等参与和互动的过程，强调教师只是小组中的普通一员，起到一个引导者，管理者角色。在课堂教学中要加强知识发生过程的教学，充分调动学生的参与的积极性，有效地渗透数学思想方法，发展学生个性品质，从而达到提高学生整体的数学素养的目的。结合教学目标和学生情况我采用合作交流，探究学习相结合的教学方法。
五、内容组织形式课堂教学环节画出函数的图象,并研究出它们各自的变化趋势。认知派学习理论认为学习的积累及恰当与否取决于学习者已有的认知结构。残缺的认知结构是完成不了整个学习过程的。针对学生的实际情况，在上一节的课后布置作业让学生画一次函数，二次函数及反比例函数图象，回顾以前知识，尽而形成一个完整的认知结构，为以后的学习排除障碍。
（二）创设情景，引发兴趣师：在生活中我们经常会关注一些实际问题。如果你是市长分管防洪抗旱工作，你会对水位的涨落随时间变化的规律特别关心，如果你为一个股民的话，你心里想得就是如果能预见每天股价的走势那该是一件多么幸福的事情。实际上这些问题归根结底就是：是研究量与量之间的变化趋势，也就是研究其中两个变量如何相互影响的，这也是我们今天所要研究的主要课题。看以下实际问题：请说出气温在哪些时段是升高的，怎么样用数学语言来刻画“随时间的增大气温逐步升高”这一特征？这种在一定时间内，随着时间增大，气温逐步升高的现象反映在数学中，我们称它为函数的单调性行为学习理论者强调环境对学习产生的影响。当学习者对某种特殊的刺激做出反应时，就产生了“学习”。依据教材知识，渗透新课标理念，通过与实际问题的联系，揭示我们研究此节内容的现实意义，目的引发学生学习兴趣，有利于学生学习动力的产生。要点：短，平，快。
（三）合作交流，建构数学师生互动，引导探索建构数学，收获新知让一小组的代表上台来展示在上节课后所做的几个函数图象，并据此讨论下列问题，问题
1、并说一说所画函数的图象的变化趋势。观察得到：随着x值的增大，函数的函数图象有的呈逐渐上升的趋势，有的呈下降的趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一个区间内呈逐渐下降的趋势。问题2：你能明确的说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？此时X与函数值y如何相互影响的？讨论得到：在某一个区间内，当x值增大时，函数值y也增大图象在该区间内呈上升趋势。在某一个区间内，当x值增大时，函数值y也反而减小图象在该区间内呈下降趋势。在众多的函数中，很多函数都具有这种性质，因此我们有必要对函数的这种性质做进一步的讨论与研究。这就是我们今天这一节课的主题。函数的这种性质，我们就称为函数的单调性。
1、通过一系列的问题，引发对概念的全面思考。从具体到抽象，再从抽象到具体，并通过合作交流，增强学生对概念的理解，不断的修正、完善结论，达到建构数学的目的。
2、教学实践证明，小组内成员合作，组间成员竞争的讨论是一种有效的教学策略，使得整个评价的重心同个人之间竞争转为团体合作达标。并能使教师与学生、学生与学生之间有更多的交往、互动的机会。它也是引导学生积极参与教学过程的重要措施，是培养学生合作精神和激发学生创新意识的重要手段，也是促使每个学生得到充分发展的有效途径
3、重点：学生能否抓住定义中的关键词“给定区间”、“任意”和“都有”，是能否正确，深入透彻地理解和掌握概念的重要一环。分析定义，使学生把定义与图形结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解，渗透数形结合的分析问题的数学思想方法问题3：我们刚才已经对函数的单调性，做了定性的分析，我们如何从量的角度来刻画这种性质。你能给出一个确切的定义来吗？请用你自己的话表达出来，并说给你的小组成员听，并与他交流后，形成集体意见，再展示给大家。最后的结论：定义：对于函数f的定义域I内某个区间A上的任意两个值⑴若当f,则说f在这个区间上是减函数。增函数的本质是在某个区间上，较大的自变量对应较大的函数值，减函数反之。
（四）数学运用，巩固新知例题例1：定义在R上的函数y=f图象如图甲，所示，请说出它的单调区间，以及在每一单调区间上，是增函数还是减函数
参看所画看图乙，指出函数y=的单调区间，能不能说在定义域内是单调减函数？指出函数的单调区间，能不能说在定义域内是单调减函数？)如图丙，函数图象如图，写出单调区间让学生进一步理解一般函数单调区间的定义，区间的端点要不要？在这里一定要强调单调性只是函数的“局部性质”它与区间密不可分。-----不能把函数的单调区间写成例2判断并证明函数f=在上的单调性。证明：设,是上的任意两个实数，且0,又由
，
2、由于例2难度较大，学生难以从中归纳出证明方法及步骤，因而有必要先详细讲解，通过分析、引导学生抽象、概括出方法及步骤，提示学生注意证明过程的规范性及严谨性。
归纳证明方法并加以比较说明；使学生突破本节的难点，掌握重点内容。基本步骤：“取量定大小，作差定符号，判断定结论”其中第二环节是难点“作差→变形→判断正负”。课堂练习：
1、判断下列说法是否正确
定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数。
定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数。
定义在R上的函数在上是增函数，在上也是增函数，则函数是R上的增函数。、定义在R上的函数在上是增函数，在上也是增函数，则函数是R上的增函数。
2、判断函数f=kx+b在R上的单调性，并说明理由.3、判断并证明函数在上的单调性。练习的设定也是由浅入深层层推进的。回顾总结，加深理解理解理解请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是词语特别注意的？
1、函数单调性的定义，注意定义中的关键词。
2、证明函数单调性的一般步骤；
3、在写单调区间时，不要轻易用并集的符号连接；课后知识性内容总结，把课堂内容转化为学生的素质兼顾差异，分层练习必做：习题2.1：第
1、
4、7题选做：研究的单调性，并给出严格证明，你能求出该函数的值域吗？
1、针对学生个体的差异设置分层练习。既注重课内基础知识掌握，又兼顾了有余力的学生的能力的提高。
2、提出新的课题是想把问题研究引向课外，激发学生兴趣，为下一节课“最值”作好充分的准备。希望得到各位评委的批评指正课后记：在本节课中我力求做一名引导者，管理者营造一种平等，民主，和谐的学习气氛，充分发挥评价在教学中的导向和激励作用，与学生平等，民主的讨论问题，增强学生之间的合作交流意识。集体讲授时力求简要清晰，高效低耗。
第19篇：函数的单调性证明
函数的单调性证明
一．解答题（共40小题）
1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数．
2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．
3．证明f（x）=
在定义域为[0，+∞）内是增函数．
4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数．
第1页（共23页）
5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．
6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性．
7．证明：函数y=
在（﹣1，+∞）上是单调增函数．
8．求证：f（x）=
在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．
9．用函数单调性的定义证明函数y=
在区间（0，+∞）上为减函数．
第2页（共23页）
10．已知函数f（x）=x+．
（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数； （Ⅱ）若
＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围．
11．证明：函数f（x）=
在x∈（1，+∞）单调递减．
12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数．
13．判断并证明f（x）=
在（﹣1，+∞）上的单调性．
14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性．
第3页（共23页）
15．求函数f（x）=
的单调增区间．
16．求证：函数f（x）=﹣
﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．
17．求函数
的定义域．
18．求函数
的定义域．
19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式 （1）f（x+）=x2+
（2）f（x）+2f（）=3x．
20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）．
第4页（共23页）
21．求下列函数的解析式
（1）已知f（x+1）=x2求f（x）
（2）已知f（
）=x，求f（x）
（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）
（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）
22．已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）．
第5页（共23页）
23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）．
24．已知函数f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函数f（x）．
25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）．
26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，则求f（x）的解析式．
27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）．
28．已知函数f（
+2）=x2+1，求f（x）的解析式．
第6页（共23页）
29．若f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式．
30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）
31．求下列函数的解析式：
（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；
（2）已知f（）=
，求f（x）．
32．已知二次函数满足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式．
33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）．
34．已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函数f（x）的解析式．
第7页（共23页）
35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式．
36．已知函数f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函数f（x）的解析式．
37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）
38．f（
+1）=x2+2
，求f（x）的解析式．
39．若函数f（
）=+1，求函数f（x）的解析式．
40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x． （1）求f（x）的解析式； （2）解方程f（x+1）=0．
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第9页（共23页）
函数的单调性证明
参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数． 【解答】证明：设x1＜x2＜0，则：
；
∵x1＜x2＜0；
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0； ∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．
2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增． 【解答】证明：设0＜x1＜x2＜， 则f（x1）﹣f（x2）=（4x1+
）﹣（4x2+
）=4（x1﹣x2）+
=（x1﹣x2）（），
又由0＜x1＜x2＜，
则（x1﹣x2）＜0，（4x1x2﹣9）＜0，（x1x2）＞0，
则f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）在（0，）上递减， 设≤x3＜x4，
同理可得：f（x3）﹣f（x4）=（x3﹣x4）（又由≤x3＜x4，
第10页（共23页）
），
则（x3﹣x4）＜0，（4x3x4﹣9）＞0，（x1x2）＞0，
则f（x3）﹣f（x4）＜0，则函数f（x）在[，+∞）上递增．
3．证明f（x）=在定义域为[0，+∞）内是增函数．
【解答】证明：设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则：
=∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2； ∴∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在定义域[0，+∞）上是增函数．
4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数． 【解答】证明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）=
﹣（
=
；
；
因为0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4， 所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）， 所以f（x）=x+在（0，2）上为减函数．
5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数． 【解答】解：设x1＜x2＜0， ∴f（x1）﹣f（x2） =2x1﹣﹣2x2+
=（x1﹣x2）（2+∵x1＜x2＜0， ），
第11页（共23页）
∴x1﹣x2＜0，2+
＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0， 即：f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．
6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性． 【解答】解：任取0≤x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）==（x1+x2）（x1﹣x2）
因为0≤x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1﹣x2＜0， 故原式f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），所以原函数在[0，+∞）是单调递增函数．
7．证明：函数y=
在（﹣1，+∞）上是单调增函数．
=1﹣
在在区间（﹣1，+∞），
【解答】解：∵函数f（x）=可以设﹣1＜x1＜x2， 可得f（x1）﹣f（x2）=1﹣∵﹣1＜x1＜x2＜0，
﹣1+=
∴x1+1＞0，1+x2＞0，x1﹣x2＜0， ∴＜0
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为增函数；
8．求证：f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．
第12页（共23页）
【解答】证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，
﹣（﹣）=﹣=，
∴若x1＜x2＜0，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增．
若0＜x1＜x2，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增． 即f（x）=
9．用函数单调性的定义证明函数y=【解答】解：∵函数y=可以设0＜x1＜x2， 可得f（x1）﹣f（x2）=∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数；
10．已知函数f（x）=x+．
（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数； （Ⅱ）若＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围．
﹣
=
＞0，
在区间（0，+∞）上为减函数． 在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．
在区间（0，+∞），
【解答】（Ⅰ）证明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）=（x1+
）﹣（x2+
）=
，
∵2≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞4， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， ∴f（x）=x+在[2，+∞）上为增函数； （Ⅱ）解：∵＞0对任意x∈[4，5]恒成立，
第13页（共23页）
∴x﹣a＞0对任意x∈[4，5]恒成立， ∴a＜x对任意x∈[4，5]恒成立， ∴a＜4．
11．证明：函数f（x）=
在x∈（1，+∞）单调递减．
【解答】证明：设x1＞x2＞1，则：
；
∵x1＞x2＞1；
∴x2﹣x1＜0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0； ∴即f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在x∈（1，+∞）单调递减．
12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数． 【解答】证明：①在（0，1）内任取x1，x2，令x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）=（=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣
；
）﹣（）
），
∵x1，x2∈（0，1），x1＜x2， ∴x1﹣x2＜0，1﹣
＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x）=x+在（0，1）上是减函数． ②在[1，+∞）内任取x1，x2，令x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）=（
）﹣（
）
第14页（共23页）
=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣
），
∵x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2， ∴x1﹣x2＜0，1﹣
＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴f（x）=x+在[1，+∞]上是增函数．
13．判断并证明f（x）=【解答】解：f（x）=证明如下：
在（﹣1，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2， f（x1）﹣f（x2）=
﹣
=
，
在（﹣1，+∞）上的单调性． 在（﹣1，+∞）上的单调递减．
∵x1，x2∈（﹣1+∞），x1＜x2， ∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0， ∴f（x1）﹣f（x2）＞0， ∴f（x）=
14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性． 【解答】解：任意取x1，x2∈（0，2）且0＜x1＜x2＜2 f（x1）﹣f（x2）=x1+∵0＜x1＜x2＜2
∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4， 即x1x2﹣4＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0， 即f（x1）＞f（x2）．
第15页（共23页）
在（﹣1，+∞）上的单调递减．
﹣x2﹣=（x1﹣x2）+
﹣
=（x1﹣x2）
，
所以f（x）在（0，2）上是单调减函数．
15．求函数f（x）=
的单调增区间．
=1﹣的单调递增区间为【解答】解：根据反比例函数的性质可知，f（x）=（﹣∞，0），（0，+∞）
故答案为：（﹣∞，0），（0，+∞）
16．求证：函数f（x）=﹣
﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．
【解答】证明：设x1＜x2＜0，则：
；
∵x1＜x2＜0；
∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0； ∴；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．
17．求函数
的定义域．
【解答】解：根据题意，得，
解可得，
故函数的定义域为2≤x＜3和3＜x＜5．
18．求函数
的定义域．
第16页（共23页）
【解答】解：由故函数定义域为{x|x＜}
．
19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式 （1）f（x+）=x2+
（2）f（x）+2f（）=3x． 【解答】解：（1）f（x+）=x2+
=（x+）2﹣2，
即f（x）=x2﹣2，（x＞2或x＜﹣2） （2）∵f（x）+2f（）=3x， ∴f（）+2f（x）=， 消去f（）得f（x）=﹣x．
20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x+2…①， 用﹣x代替x，得：
3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x+2…②； ①×3﹣②×2得：
5f（x）=（6x+6）﹣（﹣4x+4）=10x+2， ∴f（x）=2x+．
21．求下列函数的解析式 （1）已知f（x+1）=x2求f（x） （2）已知f（）=x，求f（x）
（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x） （4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）
【解答】解：（1）∵已知f（x+1）=x2 ，令x+1=t，可得x=t﹣1，∴f（t）=（t﹣
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1）2，∴f（x）=（x﹣1）2． （2）∵已知f（）=x，令
=t，求得 x=
，∴f（t）=
，∴f（x）=
．
（3）已知函数f（x）为一次函数，设f（x）=kx+b，k≠0，
∵f[f（x）]=kf（x）+b=k（kx+b）+b=9x+1，∴k=3，b=，或k=﹣3，b=﹣，求 ∴f（x）=3x+，或f（x）=﹣3x﹣．
（4）∵已知3f（x）﹣f（）=x2①，∴用代替x，可得3f（）﹣f（x）=由①②求得f（x）=x2+
22．已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）． 【解答】解：∵2f（x）+f（）=2x① 令x=，则2f（）+f（x）=②， ①×2﹣②得： 3f（x）=4x﹣， ∴f（x）=x﹣
23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（）=x，① 等号两边同时以代x， 得：3f（）+2f（x）=，② 由①×3﹣2×②，解得 5f（x）=3x﹣，
∴函数f（x）的解析式：f（x）=x﹣
24．已知函数f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函数f（x）．
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②，
．
．
（x≠0）．
【解答】解：∵x＞0时，x+≥2且函数f（x+）=x2+（）2=设t=x+，（t≥2）； ∴f（t）=t2﹣2；
即函数f（x）=x2﹣2（其中x≥2）．
=2， ﹣2；
25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）． 【解答】解：∵2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1， ∴2f（x）+f（﹣x）=﹣3x﹣1， 联立消去f（﹣x）， 可得f（x）=﹣3x﹣．
26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，则求f（x）的解析式． 【解答】解：∵2f（x）+f（﹣x）=3x+1…①， 用﹣x代替x，得：
2f（﹣x）+f（x）=﹣3x+1…②； ①×2﹣②得：
3f（x）=（6x+2）﹣（﹣3x+1）=9x+1， ∴f（x）=3x+．
27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）． 【解答】解：∵4f（x）﹣5f（）=2x…①， ∴4f（）﹣5f（x）=…②， ①×4+②×5，得：﹣9f（x）=8x+∴f（x）=﹣x﹣
第19页（共23页）
，
．
28．已知函数f（【解答】解：令t=则由f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式． +2，（t≥2），
，x=（t﹣2）2．
+2）=x2+1，得f（t）=（t﹣2）4+1．
∴f（x）=（x﹣2）4+1（x≥2）．
29．若f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，…①， 可得3f（﹣x）+2f（x）=﹣4x…②， ①×3﹣②×2可得：5f（x）=20x． ∴f（x）=4x．
f（x）的解析式：f（x）=4x．
30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x） 【解答】解：∵f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8， ∴a（ax+b）+b=9x+8， 即a2x+ab+b=9x+8， 即，
解得a=3或a=﹣3，
若a=3，则4b=8，解得b=2，此时f（x）=3x+2， 若a=﹣3，则﹣2b=8，解得b=﹣4，此时f（x）=3x﹣4．
31．求下列函数的解析式：
（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）； （2）已知f（）=
，求f（x）．
【解答】解：（1）令2x+1=t，则x=（t﹣1）， ∴f（t）=（t﹣1）2+1，
第20页（共23页）
∴f（x）=（x﹣1）2+1； （2）令m=（m≠0），则x=，
∴f（m）==，
∴f（x）= （x≠0）．
32．已知二次函数满足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：（1）令2x+1=t，则x=则f（t）=4（）2﹣6•
；
+5=t2﹣5t+9，
故f（x）=x2﹣5x+9．
33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）． 【解答】解：令t=2x，则x=t， ∴f（t）=t2﹣t﹣1， ∴f（x）=x2﹣x﹣1．
34．已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函数f（x）的解析式． 【解答】解：设f（x）=ax+b， ∴f（f（x）=a（ax+b）+b，
∴f（f（f（x））））=a[a（ax+b）+b]+b=2x﹣3，
∴，解得：，
∴f（x）= x﹣．
第21页（共23页）
35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x+2）=x2﹣3x+5， 设x+2=t，则x=t﹣2，
∴f（t）=（t﹣2）2﹣3（t﹣2）+5=t2﹣7t+15， ∴f（x）=x2﹣7x+15．
36．已知函数f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函数f（x）的解析式． 【解答】解：令x﹣2=t，则x=t+2，代入原函数得 f（t）=2（t+2）2﹣3（t+2）+4=2t2+5t+6 则函数f（x）的解析式为f（x）=2x2+5x+6
37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x） 【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x…①， 用﹣x代替x，得：
3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x…②； ①×3﹣②×2得：
5f（x）=6x﹣（﹣4x）=10x， ∴f（x）=2x．
38．f（+1）=x2+2
，求f（x）的解析式．
【解答】解：设∴x=（t﹣1）2； ∵f（+1）=x2+2+1=t，则t≥1，
，
∴f（t）=（t﹣1）4+2（t﹣1），
∴f（x）=（x﹣1）4+2（x﹣1），x∈[1，+∞）．
39．若函数f（【解答】解：令）=
+1，求函数f（x）的解析式．
=t（t≠1），则=t﹣1，
第22页（共23页）
∴f（t）=2+（t﹣1）2=t2﹣2t+3， ∴f（x）=x2﹣2x+3（x≠1）．
40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x． （1）求f（x）的解析式； （2）解方程f（x+1）=0．
【解答】解：（1）变形可得f（x﹣1）=（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣∴f（x）的解析式为f（x）=x2﹣2x﹣3；
（2）方程f（x+1）=0可化为（x+1）2﹣2（x+1）﹣3=0， 化简可得x2﹣4=0，解得x=2或x=﹣2
第23页（共23页）
3，
第20篇：含参函数单调性
含参数函数单调性 ●基础知识总结和逻辑关系
一、函数的单调性
求可导函数单调区间的一般步骤和方法: 1) 确定函数的f(x)的定义区间；
2) 求f\'(x)，令f\'(x)0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；
3) 把函数f(x)的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；
4) 确定f\'(x)在各个区间内的符号，由f\'(x)的符号判定函数fx在每个相应小区间内的单调性.
二、函数的极值
求函数的极值的三个基本步骤
1) 求导数f\'(x)；
2) 求方程f\'(x)0的所有实数根；
3) 检验f\'(x)在方程f\'(x)0的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则f(x)在这个根处取得极大（小）值.
三、求函数最值
1) 求函数f(x)在区间(a,b)上的极值；
2) 将极值与区间端点函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.四利用导数证明不等式
1） 利用导数得出函数单调性来证明不等式
我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式：
① 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立.② 把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的.2） 利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式.导数的另一个作用是求函数的最值.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.含参函数的单调性，核心是三个步骤，四个流程：
1）第一步：先求定义域，再求导； 2）第二步：准确求出导数身给定的参数范围】
流程①：最高次项系数如果含参数，分 “0；0；0” 三种情况依次讨论该系数。（不含参就直接略过）“0”时，求出参数的值，代回含参数的
【注意题目本f(x)之后，按以下四个流程依次走：
f(x)，写出不f(x)的最简洁、直观的形式；“0”或“0”时，把最高次项系数外
f(x)0是否有根。如果方程f(x)0没有提，化简变形（含因式分解）到最简洁、直观的形式，能直接看出根来。 流程②：接流程①，判断方程任何实根，说明f(x)0或f(x)0恒成立，f(x)恒定单增或单减，直接f(x)0有实根，全部求出来，写明“x1
”，写结论；如果方程“x2
”然后进入流程③。
流程③：判断由②得出的根是否在定义域内。 （i）定义域内没有根，写出数
f(x)，肯定有f(x)0或f(x)0，说明函
（ii）定义域内有且只有一f(x)在定义域内恒定单增或单减，直接写出结论；
（iii）f(x)单调递增区间和单调递减区间；个根，对这个唯一的根进行列表，判断定义域内有两根（包含两等根或两异根），那么就进入流程④。 流程④：在流程③中确定二次函数型
f(x)0在定义域内有两根x1,x2的情况下，讨论两根大小（“”，“”，“”）。然后列表，依据表格写出结论。
3）第三步：（3）写综上所述。对参数的所有可能取值都要写出，对应结论相同的时候，参数范围必须合并。
【题】讨论函数f(x)xe(k0)的单调区间。 【难度】**
kxk2【题】讨论函数f(x)ln(1x)xx的单调区间。
2【难度】*** 【点评】求单调区间的步骤（1）确定函数的定义域，（2）求出f(x)，令f(x)0，求出根，求出在定义域内所有的根，，（3）把函数的间断点在横坐标上从小到大排列起来，把定义域分成若干个小区间，（4）确定f(x)在每个区间的正负号，求出相应的单调区间。
【题】判断函数f(x)x4xalnx的单调性。 【难度】***
2a32x1的单调区间。 【题】求函数f(x)xax42【难度】*** 【题】、求函数f(x)e(xax1)(x2,aR)的单调区间。
【难度】*** 【题】求函数f(x)【难度】*** 【题】讨论函数f(x)kx2xln(2x1)的单调性。
x212xalnx(aR)的单调区间。 22
【难度】***
ekx【题】讨论函数f(x)的单调性。
x1【难度】** 【题】讨论函数f(x)【难度】*** 【题】求函数f(x)e(xax1)(x1,aR)的单调区间。 【难度】** 【题】求函数f(x)e(xax1)(x3,aR)的单调区间。 【难度】**
x2x22xa的单调性。 2(x1)3利用导数研究含参变量函数的最值问题
利用导数研究含参变量函数最值的基本思路和大致步骤：
通常是先讨论函数的单调性，必要时画出函数的示意图，然后进行最值的讨论。
【题】已知函数fxxkex
1求fx的单调区间；
2求fx在区间0,1上的最小值.
,k1减k1,
k （2）①k1,fxmin【解析】：（1）
②k③1k2,fxmin(1k)e
2，fxmine2k1
【难度】** f(x)ax1(a0)，g(x)xbx2当a4b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间,1上的最大值.【题】已知函数【难度】*** 【题】已知函数
313f(x)x2x23x1，给定区间
3，（a0），试求f(x)在此区间上的最大值。 [a,2a]【难度】***
alnx【题】已知a0，函数f(x)：
x（1） 讨论f(x)的单调性；
（2） 求f(x)在区间[a,2a]上的最值.【答案】：
elna2①0a时，f(x)f(2a)max22f(x)minf(a)lna
②ae时，f(mx)axf(a)，
，
lan
f(x)min③
ln2a f(2a)2时
，2aef(xm)axaf(e)，
ef(x)minln2a f(2a)2af(e)e，e④a2时，f(xm)ax2f(x)minf(a)lna
【难度】*** 【点评】
1x【题】、已知函数f(x)ln(ax1),x0,a0
1x(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围.【答案】：a2时，f(x)在[0,)上单调递增 2a0a2时，f(x)在[0,)上单调递减
a2af(x)在(,)上单调递增
aa2
【难度】***
【题】已知函数：f(x)x(a1)lnx(aR) ,当x1,e时，求f(x)的最小值；
【答案】当1ae时，fxminaa1lna1 当ae时，fxminea1 【难度】***
aeaxf(x)3x1(a0),g(x)x9x，若f(x)g(x)上的最大值为28.求实数k的取值范围 【题】已知函数【难度】***
【题】已知函数
23fxaxxbx（其中常数a,bR），
32gxfxfx为奇函数.(1)求fx的表达式； (2)讨论gx的单调性，并求gx在区间1,2上的最大值与最小值.【答案】
132fxxxgx在1,2上最大值为
3442，最小值 33【难度】***
1312【题】设f(x)xx2ax.
32
2（1）若f(x)在(,)上存在单调递增区间，求a的取值范围；
316（2）当0a2时，f(x)在[1,4]上的最小值为，求
3f(x)在该区间上的最大值。 1【答案】a的取值范围是(,)
910f(x)在该区间上的最大值为.
3【难度】****
【题】已知函数(1)求函数f(x)lnxx2
f(x)的单调递增区间；
(2)求函数f(x)在(0,a],(a0)上的最大值.2(0,)
2【答案】当0a时，f(x)在(0,a],(a0)上的最
22大值为lnaa;
2当a时，f(x)在(0,a],(a0)上的最大值为2
1ln2
2【难度】*** f(x)1(1a)xx2x3，其中a0:
（1）讨论f(x)在其定义域上的单调性；
（2）x[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时x的值.【题】设函数【难度】*** f(x)xaxbxc(实数a,b,c为常
1数)的图像过原点，且在x1处的切线为直线y
2(1) 求函数f(x)的解析式; (2) 若m0，求函数f(x)在区间[m,m]上的最大值.【题】已知函数【难度】***
32f(x)x2ax3a2lnx (1) 讨论f(x)的单调性; 【题】设函数(2) 若a为正常数，求f(x)在区间(0,t](t0)上的最小值.【难度】***
