“函数的单调性”案例分析 连江一中数学组 李锋
数学概念的教学是培养学生创新精神和实践能力的一个很好的切入点，重视数学概念的发生、发展、形成的过程的体验，让学生进行深入的思考和全方位的探索。对于提高学生学习数学的兴趣，培养学生创新精神和实践能力将是十分有利的。现以《函数的单调性》教学实例来进行分析：
一、案例
课题：函数的单调性（第一课时）
二、实施过程（注：课堂实录已经简化）
1．问题引入
师：我们观察某自来水厂在一天24小时内，水压Y随时间X的的变化情况。不妨设其函数解析式：y=f(x); x[0,24]
师： “在哪些时间段内，水压在逐渐上升?在哪能些时间段内，水压在下降?” （很快得出正确答案。）
师：在某一时间段内水压在上升，实际上是水压Y的值随时间X的增大在逐渐增大，于是我说函数y=f(x)在区间[0，3]上，是单调递增函数。同理，函数y=f(x)在区间[3,9]上是单调递减函数。这就是我们要研究的函数的又一特性——函数的单调性。 2．定义探究
师：在某个区间上：①函数值Y随X的增大而增大（图象从左——右，呈上升趋势），就说这个函数在这个区间上是增函数。②函数值Y随X的增大而减小（图象从左——右，呈下降趋势），就说这个函数在这个区间上是减函数。
提出问题1：请同学仔细阅读课本中函数单调性的定义，思考课本定义方法和上面定义方法是否一致？如果一致，定义中哪一句表达了该意思？
生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少． 师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！ 定义中只用了两个简单的不等关系，就刻划出了单调递增和单调递减的性质特征，把文字语言表达为数学语言，简单明了。
师：提出问题2：我们思考这样一个问题：定义中有哪些关键的词语或句子至关重要？能不能把它找出来。（有的同学回答不准确）
生1：我们认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．（阐述了理由）。 师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．还有没有其他的关键词语？
生2：还有定义中的“任意”和“都有”也是关键词语． 生3：“属于” 也是关键词。 师：能解释一下为什么吗？
生3：“属于”就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取． 师：那么“任意”和“都有”又如何理解？
生4：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．
师：能不能构造一个反例来说明“任意” 和“都有”呢？
（让学生思考，但有些学生仍有困难，我设计了三个判断题） 提出问题3：判断下列命题的真假：
①函数y=x2 在(-∞,0) 上是减函数，在[0，+∞]上是增函数，所以函数 y=x2 在定义域R上是增函数或是减函数。
②已知函数f(x)=x2 (-2≤x≤2)。取x1=-2,x2=1，则x1f(x2)，所以函数在区间[-2，2]上是减函数。
③若函数y=1/x在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）也单调递减，则该函数在定义域内单调递减。
（三个问题的提出，引起很大凡响，学生发言踊跃，互相讨论、补充，把本节课推向高潮） 师：因此，要判定一个函数的增减性，主要途径就是依照定义，抓住关键，在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定。 3．定义应用
提出问题4：判断函数f(x)=1/x在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明。 解：略
师：易知函数f(x)=1/x在（-∞,0）上也是单调递减函数，请同学归纳一下要证明一个函数在某个区间上单调性的方法和步骤？ 第八组：①设量；②作差；③判断；④定论。
4．课堂小结（由学生回答）（略）
5．布置作业
（略）
三、案例分析
（一）本节课的设计思路 1．知识目标设计：
（1）在探究中，寻求函数单调性规律并形成概念。
（2）熟练运用函数单调性的概念证明函数在某个区间上的单调性。 2．能力目标设计：
（1）通过对单调性概念的发生、发展的分析过程，培养学生的数学意识、逻辑思维能力;（2）通过本节课的教学探究，培养学生用数学语言代替文字语言的表达能力。提高对数学美的鉴赏能力; （3）对学生进行由“特殊”到“一般”的辩证唯物主义教育。 3．教学过程设计：
针对本节课教学目标，教学过程分为三个阶段：
（1）问题引入阶段：问题的提出具有实际意义，引起学生的兴趣，锻炼学生的观察能力，又直逼主题，学生容易接受。通过图形的直观感觉，给学生函数单调性的感性认识，为突破难点做好铺垫。从而自然导入主题。
（2）定义探究阶段：本节课的中心内容，围绕三个问题的提出，对定义进行探究，层层深入，发动学生，分组讨论，积极思考，在巡视过程中，启发引导学生，及时掌握学生的动向，寻求函数单调性规律并形成概念。
（3）概念应用阶段：函数的单调性定义应用只设计了问题4，这一过程由学生来完成，使学生自主进行学习，独立探究问题，在解决问题的过程中进行自我评判和调控，会对已有的经验进行反思，总结出解题的步骤和规律。
（二）本案例课堂教学的特点
1、抓住课堂教学的基本原则
(1)主体性原则：尊重学生的主体地位，发挥教师的主导作用，教师创造性地教，学生创造性地学，使教、学的主体共同参与整个教学过程。在本案例课堂教学活动过程中，教师围绕三个阶段，以问题的形式提供给学生，学生主动参与。特别是问题
2、3的提出，学生产生许多疑惑，矛盾升级，老师便组织学生开展了互相交流和讨论，适时介入，和学生一起相互启发和梳理，并洞察课堂中发生地各种问题，准确地判断发生问题的原因，能动地、有效地处理这种问题，这一过程体现师生相互平等，教学相长的良好课堂氛围。
(2)探索性原则：教师努力使教学活动富有探索性，为学生创设进行观察、探索、发现的学习环境，鼓励学生质疑问难，大胆联想，激发学生的学习兴趣和创造兴趣，引导学生通过亲身体验获取新知，把教学过程转化为学生自觉进行探索新知的过程，使学生积极主动地在学习中体验探索的乐趣。通过对问题
2、3的讨论，大部分学生对单调性概念的发生、发展有了较深刻的理解，探索到函数单调性规律并形成了概念。同时培养了学生用数学语言代替文字语言的表达能力，提高对数学美的鉴赏力。这一教学过程使学生认识到看似简单的定义中有很多值得去推敲，去研究的东西，通过对问题的分析、总结，把包含在概念中的复杂和隐蔽的内涵，层层剥离，进行多层面的展开，从而使教学由表及里，深入清晰地揭示出概念的本质。因为学生理解程度的差异，老师提出问题4，这是本节课的亮点，简单的三个判断题，再一次揭示了概念的本质。把函数单调性概念的探究推向高潮，通过反向思维使学生的思维素质得以提升，促使学生能够在获得对概念理解的同时，逐步学会学习和思考，增长经验和智慧。这一部分课堂效果非常好。
(3)实践性原则：在教学中要重视理论联系实际，要结合实例进行教学，鼓励学生动口、动脑、动手，让学生参与到数学概念的形成过程；要组织有效的练习，引导学生运用所学到的知识去解决实际问题，使学生获得运用知识的能力。函数的单调性定义应用只设计了问题5，典型的反比例函数，这一过程由学生来完成，但学生的证明过程也存在一定问题，老师再次强调定义，对照解答的层次性，再让学生自主订正，使学生自主进行学习，独立探究问题，在解决问题的过程中进行自我评判和调控，会对已有的经验进行反思、质疑，总结出解题的步骤和规律。问题5的提出起到前后呼应，加深印象、画龙点睛的作用，既是对本节课的反馈，又是引发对本节课的思考。由于时间的关系，课上讨论的并不透彻和完美，但给学生课后进一步的思考、探究留下了空间。
(4)激励性原则：要帮助学生实现成功，让学生在学和做中能经常感受到成功的喜悦和愉悦，认识到自身的价值，以此来激励学生的求知欲和成就感，从而培养学生的自尊心和自信心，增强学生的创造动机和创造热情，使学生能不断地追求新知，积极进取，勇于创新。
2、体现能力培养的指导思想
概念教学有利于培养学生的发现能力；有利于培养学生的创新精神；有利于培养学生的实践能力。概念教学的基本目标是帮助学生形成概念，而学生形成概念的关键是发现事物的本质属性或规律。发现是创造的一种重要形式，创造需要一种实践活动的过程。现代著名心理学家布鲁纳认为：“发现不限于那种寻求人类尚未知晓的事物的行为，正确地说，发现包括着用自己的头脑亲自获得知识的一切形式。”由此可以看出，学生用自己的头脑去亲自获得知识也是一种发现。在过程中发现，在发现中创新。因此，在数学教学中，教师要努力创造条件，给学生提供自主探索的机会，给学生充分的思考空间，让学生在观察、实验、归纳、分析的过程中去理解数学概念的形成和发展过程，进行数学的再发现、再创造，培养学生的发现能力和创新能力。
(三) 本案例课堂教学引发的反思
1、概念教学的方法应灵活多样 中学数学教材展现在学生面前的往往是由概念到定理，法则再到例题的三步曲，这在一定程度上掩盖了数学概念和思想方法的形成，发展过程，从而也掩盖了数学发现、数学创造、数学应用所经历的思维活动过程，抽象的概念也会给学生造成厌恶的感觉。所以数学概念教学不应简单地给出定义，而应加强概念的引入和概念属性的感知，本案例的引入，从实际生活中提炼，通俗易懂，平易近人。教学时应创设情境，方法灵活多样，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与教学活动中来，亲身体验、主动建构，使学生了解知识的发生与发展的背景和过程，使学生对数学的学习感到乐趣。为此，从引进新概念开始就要创造启发式的教学环境，揭示概念的本质属性，并用简单的文字加以表达，在对概念进行结构分析和概念的应用，形成一个生动的概念发生的过程，这一过程需分层次递进，低层次的理解是高层次理解的基础，各层次之间最好不要越级，任何急功近利的想法或做法都是不可取的。
2、正确认识和处理探究过程与时间限定的矛盾
探究活动比较费时间，教师都很重视课堂效率，而且对调控教学节奏，颇有一些办法，是不是一发现学生得到了正确的结论，就让其回答，并结束这个探究过程？由于教学时间的限定，如果探究的不够完美、透彻，或本节课的教学内容没有全部完成，那么总感到一种缺憾，所以在这个矛盾的驱使下，往往追求进度，多讲几个例题，忽略学生的经历。而新课程标准则强调让学生经历“直观感知”、“观察发现”……等思维过程来形成思维能力。这就要求我们要以学生体验、理解、掌握知识为中心，重视数学概念的构作，数学思维的建立，数学意识的形成，所以，教师应设计好每节课的内容与容量，本案例延长了概念的探究过程，重视学生的数学意识、思维品质的培养，使学生懂得数学的意义与价值。虽然只有一个例题，但非常典型，同样收到很好的效果。
落实新课程改革精神，并不是
一、两节课的事，应该体现在课堂教学的每个环节和过程，教师要更新观念，转换角色，力求通过各种不同形式的自主学习，探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。使课堂教学由知识型向能力型和实践型转化，全面提高学生数学素养。能力增强了，学习成绩自然不会差，以人为本的思想也得到了落实。
