不等式选讲
【2013年高考会这样考】 1．考查含绝对值不等式的解法． 2．考查有关不等式的证明． 3．利用不等式的性质求最值． 【复习指导】
本讲复习时，紧紧抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明．该部分的复习以基础知识、基本方法为主，不要刻意提高难度，以课本难度为宜，关键是理解有关内容本质.不等式选讲部分知识点 1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔； (2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔；
(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． 2．含有绝对值的不等式的性质 ≤|a±b|≤3．基本不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立． a＋b
定理2：如果a、b为正数，则2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
a＋b＋c定理3：如果a、b、c为正数，则abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
3a1＋a2＋…＋an定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a
1、a
2、…、an为n个正数，则≥a1a2n，
n当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立 4．柯西不等式
2222
2（1）柯西不等式的代数形式：设a,b,c,d为实数，则(ab)(cd)(acbd)，当且仅当adbc时等
使得aikbi(i1,2,,n)时，等号成立。
（3）柯西不等式的向量形式：设,
，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立。
5．不等式的证明方法
证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．
双基自测
1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为________ 2．不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为________
3．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________ 4．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为______
5．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是_______
考向一 含绝对值不等式的解法
【例1】►设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)＞2； (2)求函数y＝f(x)的最小值．
【训练1】 设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
考向二 不等式的证明
【例2】►证明下列不等式：
(1)设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2； (2)a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc；
1(3)a6＋8b6＋27c6≥2a2b2c2.111
2【训练2】 (2010·辽宁)已知a，b，c均为正数，证明：a＋b＋c＋abc≥63，并确定a，b，
22
2
号成立。
（2）若a1,bi(iN)为实数，则(
c为何值时，等号成立．(三数均值不等式，再两数均值不等式)
考向三 利用基本不等式或柯西不等式求最值
【例3】►已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求3a＋1＋3b＋13c＋1的最大值．
a)(b
2
ii1
i1
nn
2i
)(aibi)2,当且仅当bi0(i1,2,,n)或存在一个数k，
i1
n
（柯西不等式或平方后均值不等式）
【训练3】 已知a＋b＋c＝1，m＝a2＋b2＋c2，求m的最小值
11．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
12．已知a，b是不相等的正实数．求证：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.
13．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．
14．设不等式|2x－1|
(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
15．设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
16． 已知f(x)x2|2x4|a．
（1）当a3时，求不等式f(x)x2|x|的解集；
（2）若不等式f(x)0的解集为实数集R，求实数a的取值范围．
17.设A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系上的两点，定义点A到点B的曼哈顿距离L(A,B)|x1x2||y1y2|.若点A(-1,1)，B在曲线y2x上，则L(A,B)的最小值为
参考答案
不等式选讲(选修4－5)强化训练
一、填空题
1
11．设a、b为正数，且a＋b＝1，则2ab的最小值是________． 2．已知实数x、y满足3x2＋2y2≤6，则P＝2x＋y的最大值是________． 3．函数yx3－x的最大值为________．
4．关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥2a在R上恒成立，则实数a的最大值是______． 5．设a>b>0，x＝a＋b－a，y＝a－a－b，则x、y的大小关系是xy 6．不等式|x|＋|x－1|
7．设函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|，则f(x)的最小值是________，若f(x)≤5，则x的取值范围是________．
1
18．设x,yR,则(x22)(24y2)的最小值为。
yx
9．对于实数x,y，若x1，y21，则x2y的最大值为
二、解答题
10．如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点．设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和．
(1)将y表示为x的函数；
(2)要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？
1.解析：本题考查均值不等式求最小值，按不同的变形方式的解法也有很多．最常见的解法：
11a＋ba＋b1ba3ba32a＋b2ab22a1＋b2＋2a＋b2＋
2ba32ab22.5－2xx
7.解析：函数f(x)＝31≤x≤
42x－5x>4
，可分段求函数的最小值，得f(x)min＝3.
2.解析：本题考查圆锥曲线的参数方程、三角函数的和差角公式等知识．所给不
x＝2cosθx2y2
等式表示的区域为椭圆23＝1及其边界部分．设椭圆的参数方程为(θ
y3sinθ
x4，
解不等式组或或求并集得所求x的取值范围
5－2x≤53≤52x－5≤5，
是[0,5]．
8.解析：由柯西不等式可知(x2
11
)(24y2)(12)29 2
yx
为参数，0≤θ
3.解析：由柯西不等式得x＋3－x≤1＋1x＋3－x＝6.
4.解析：本小题考查了绝对值的定义，令f(x)＝|x－2|＋|x－a|，当a>2时，易知f(x)的值域为[a－2，＋∞)，使f(x)≥2a恒成立，需a－2≥2a成立，即a≤－2(舍去)．
当a
当a＝2时，需|x－2|≥a恒成立，即a≤0(舍去)． 2
综上a的最大值为3bb
5.解析：由x－y＝a＋b－a－a－a－b)＝－a＋b＋aa＋a－bba－
b－a＋b
，所以x
0x2，1y3，9.此题，看似很难，但其实不难，首先解出x的范围，再解出y的范围，
最后综合解出x-2y+1的范围5,1，那么绝对值最大，就取5
10.解：(1)y＝4|x－10|＋6|x－20|,0≤x≤30.
4|x－10|＋6|x－20|≤70，
(2)依题意，x满足解不等式组，其解集为[9,23]．
0≤x≤30.
－3，x≤2，
11.解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5|＝2x－7，2 3，x≥5.当2 当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；
当2
13
6.解析：根据绝对值的几何意义，可直接得到解集为－22.
综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x≤6}．
12.证明：因为a，b是正实数，所以a2b＋a＋b2≥3ab·a·b＝3ab>0，当且仅当
b＝a＝b2，即a＝b＝1时，等号成立；
同理：ab2
＋a2
＋b≥3ab·a·b＝3ab>0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)≥9a2b2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 因为a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.
13.解：由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得|a＋b|＋|a－b||a|≥f(x)． |a＋b|＋|a－b||a＋b＋a－b||a||a|＝2，则有2≥f(x)． 解不等式|x－1|＋|x－2|≤2152x≤214.解：(1)由|2x－1|0.故ab＋1>a＋b.
15.解：(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2，
由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式化为不等式组
x≥a， xx≥a，x≤a，
x－a＋3x≤0，或≤a，
a－x＋3x≤0，
即x≤a或
4
x≤－a
因为a>0，所以不等式组的解集为
x|x≤－a2
.
a
2＝－1，故a＝2.a2
