从线性到非线性
——听郑志明教授讲座有感
听了郑志明教授题为“扎实基础，正心穷理”的讲座，感觉收获颇丰。短短的几个小时里，我们充分体会了郑教授的个人魅力。郑教授说话做事给人一种雷厉风行的果敢的印象，而且谈吐幽默又不乏哲理。一言以蔽之，收获颇丰。
郑教授的讲座起源于数学，亦归结于数学。教授不愧为数学大家，讲座看似散漫但逻辑清晰、一环紧扣一环。首先是近代数学。近代数学是有限的线性的科学。这一点从微积分以及张量代数中就可以清晰的看到。拿微积分来说，种种复杂的理论无不贯穿着一个核心：逼近。通过把一个区间无限的细分以达到在每一个小区间里函数都近似为一个线性函数，这便是微积分最初的目的了。一阶的近似误差太大，所以又有了泰勒展开。一维的函数范围太窄，所以又有了多元函数的微积分。数学便这样一环又一环的发展了起来。不由得想起了李尚志教授的一段话：“我们人脑能算什么？加法，减法，乘法，除法,就这些了。”尚志老师亦举出了一个例子sin x是怎么算的？答案是：泰勒展开。把一个非线性的函数化为一个线性的函数。尚志老师与郑教授的话有异曲同工之妙。
线性、静态、确定、有限空间，线性的数学的基础上建立起来的是线性的科学。一切都是确定可解的。就仿佛牛顿的经典力学，初态确定了一切便确定了。这样的架构自有其合理之处。但也不乏如宇宙方程之类的谬误。该理论认为如果知道某时刻全宇宙所有物质的所有运动状态，宇宙往后的发展便是确定可解的。这无疑是错误的。譬如难道我移动一下腿这样的事难道是也确定的吗？科学要发展，线性理论便不得不做出改观。
与近代科学相对应，现代科学是非线性、动态、随机、无限的。在这里郑教授举了一个经典的例子：两点之间线段最短。这可谓狗都知道，但为什么溪流中的树叶的轨迹不是直的呢？答案有些出人意料，树叶走的是弯曲空间中的最短路线。看到这里，也许读者会有很多疑问甚至怀疑，但是我想说,这些都不重要，重要的是一种思维方式，暨“弯空间”的思想，这才是革命性的。联想到爱因斯坦的相对论。他将万有引力解释为质量使周围的空间发生了弯曲。如此，行星所走的路线便是弯曲空间中的最短路线了。为了其数学结构的构架，爱因斯坦专门去研究了黎曼几何。可见，非线性的思维已是必不可少的了。
现代科学中最无处不在的也许就是系统的概念了。一个复杂的系统，往往，或者说几乎全都是非线性的。这样的结构我们是无法直接分析的。所以，最常用的方式是：通过测试将其量化为数据，再通过科学理论构架模型，并以此分析计算出系统的基本性质并反馈到前几步中。这其中最难做但又最有价值的就是模型的构建了。一个人学术水平的高低正体现在这里。这也是研究非线性系统的常用方式。
通过把非线性问题转化为线性问题来分析仍是一个非常重要的思想。如那片树叶的例子。非线性的系统在弯空间中变为了线性。就如同线性代数中的坐标变化一般，只是更加复杂。思想虽然简单，但却衍生出了无数复杂的理论。这便是数学的奇妙吧。就如同物理中，一切的规律往往都是简单的。还是举相对论的例子。相对论看似比经典力学复杂，计算也更加繁琐。但相对论的核心思想不仅解决了经典力学无法解决的难题，更是在本质上拥有比经典力学更加简单的原理。自然科学往往是简单的，对称的，这也是让无数科学家着迷的地方吧。
最后郑教授举了三个例子作为结束之前的馈赠。一个是“周期三意味着混沌”，一个是“蝴蝶效应”，还有一个是“确定性小概率事件”。平心而论，我都没有听懂。但是，有一点确实是我印象深刻。在讲述第一个例子时，郑教授举了兰州拉面的例子。一个面团中的两个点，不论距离多小，总有被拉开的时刻。看似深奥的道理蕴含进了如此简单的事例之中。在讲述蝴蝶效应时，郑教授亦问道：为什么故事中讲的是巴西的蝴蝶？我们这的蝴蝶行不行？答案是否定的。因为我们这的蝴蝶翅膀面积达不到要求。虽然具体原因没有听懂，但我还是感到了数学之美。数学不只是高深的，更隐藏在生活的细节之中。
另一个令我印象深刻的是蝴蝶效应名字的另一个来源，即一个重要方程的图像竟然就是一只蝴蝶的摸样。联想到无数美丽的故事。心脏曲线，玫瑰曲线，这美丽的名字背后无不隐藏着美丽的典故。为什么伯努利希望在墓碑上描绘出一条对数螺线？为什么高斯希望在墓碑上画出正十七边形？不仅因为这是他们毕生成就的精华，更因为这在数学家眼中是真正的诗篇。就像在基础物理里转动惯量与质量高度的对称、同构使物理学家着迷一样，那一条条优美的曲线，一个个简洁的方程，无不在数学家脑海中奏起动人的旋律。
有的人仰望星空，看到的是无尽的黑暗；但更有的人仰望星空，看到了美丽的繁星。第谷穷毕生之力达到了肉眼观测的极限，是什么驱使他数十年如一日地生活在数字之中？因为那数字之中蕴藏着宇宙运行的规律。能以毕生之力推动人类对世界的认识更进一步，这也是无数数学家为之奋斗的梦想吧。
最后郑教授对我们的学业做出了一点忠告。研究生阶段重要的是导师，但本科阶段学的越基础越好。因为基础，所以扎实，将来的选择也更宽。这也更加确定了我大一大二的计划，即好好完成基础学科的学习，并尽量多利用图书馆的资源以充实自己的头脑。方向坚定了才会有坚持不不懈的学习。想要有所成必须要耐得住寂寞。
三个小时的讲座不是区区几千字的文章能够说清的，其中更是有良多哲理需要花时间慢慢体会。数学之美，尚需钻研才能体会。
