数学研究资料
高中数学之自我总结
§1集合与简易逻辑
1基本概念(定义):元素(确定性,唯一性,无序性),表达方式(描述,枚举,Venn图)
2子集,真子集的概念(注意全集与空集的特殊性)
3集合间的交,并,补运算(注意概念的准确性)
4补集思想
5映射:集合→集合(函数是一种特殊的映射:数集→数集)
6复合命题真假的判断
7充要条件(注意条件结论的位置)
考试以选择与填空题为主
§2函数
1三要素:定义域(注意限制条件),对应法则,值域(方法很多,掌握常用即可)
①配方法
②换元法（运用换元法时，要特别要注意新元的范围）
③函数有界性法
④单调性法
⑤数形结合法
⑥不等式法
⑦导数法
三种方法:图象,列表,解析式
二域:定义域,值域
一相等:定义域相同,对应法则相同
2解析式的求法:①换元,②待定系数法③配凑法④方程的思想等
3单调性(定义):判断(定义,导数,图象,复合函数单调法则:同增异减),证明(定义,导数)
4奇偶性(定义域优先)( ①定义法②等价形式③图像法),周期性(与对称性有关)
5初等函数的图象及性质:定义域,值域,图象等(常见的图象变换:翻折,平移,伸缩等)
6反函数:对称性,互换性,等价性,一致性
7导数与函数(内容比较多,在导数知识单独说)
8二次函数的相关知识(重要)(分式,一元二次不等式)
9不等式恒成立问题,参数取值范围:转化为函数最值或值域问题
10抽象函数:求特定的函数值,单调性证明
11分段函数:求分段函数的值f(x)时，一定首先要判断x属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集
§3立体几何
1常见的几何体:体,台,柱,锥,球„掌握常见几何体的表面积与体积公式(与球有关的抓住球心和半径)
2四条公理以及其推论(熟记)
3线线关系(平行,相交,重合,异面);
线面关系(平行,相交,线在面内);
面面关系(平行,相交,重合):[注意判定定理和性质定理]
4线线角[0°,90°](平移等)
线面角[0°,90°](等积法,三垂线定理等)
二面角[0°,180°](解三角形法,射影面积法,垂面法等)的定义及求法
5点到直线(平面)的距离:直接法,等积法,向量法
6直观图的画法（斜二测画法规则）
7三视图（画法及复原；要求：长对正，高平齐，宽相等）
8向量法解立体几何
①建系原则:右手系,尽可能让多的点落在坐标轴上
②线线角,线面角,二面角,点到直线的距离的向量语言的翻译
③空间向量基本定理
9立体几何中常用的方法:等积法,平移法,割补法等
§4概率与统计
1基本概念:互斥事件,对立事件,相互独立事件(对立必互斥,互斥不一定对立)
2概率定义及其求法(古典概型;几何概型(一般不考)等)
3期望,方差,标准差的定义及求法(注意有些特殊概型的期望与方差的公式)(重要!)
4正态分布(注意数字的意义)
5抽样方法(共同点:等可能性)
简单随机抽样(抽签,随机数表法等);系统抽样;分层抽样
6独立假设性检验(判断收集的数据是否符合标准)
7线性相关性与应用
§5三角函数
1三角函数的基本概念(定义及函数的意义)
2基本特征:周期函数(多对一型映射),正余弦函数值域的有界
3常用的三角函数间的关系:(sinx)^2+(cosx)^2=1,tanx=sinx/cosx
4常用公式
①诱导公式(奇变偶不变,正负看象限)
②和,差角公式(二倍角)
③辅助角公式(三角函数的化简)
5函数y=Asin(ωx+φ)+B相关问题:图象画法(五点作图),解析式的确定
6三角函数方程,不等式的解法,三角恒等式的证明,解析式化简,求一个角的大小(角的三角函数值与角范围兼顾) 7三角函数的化简、计算、证明常用技巧:
①巧变角
②三角函数名互化
③公式变形使用
④降次升次公式
⑤式子结构的转化
⑥常值变换主要指“1”的变换
8基本方法:变,拆,凑
§6平面向量
1向量的有关概念:定义,模,零向量,单位向量,平行向量,相等向量,投影,夹角,法向量
2表示方法:字母,代数,几何
3运算:加法与减法(平行四边形或三角形法则);数乘;数量积(内积)
4平面向量基本定理
5定比分点(了解)
6概念把握要准,特别注意零向量
§7数列
1定义及基本概念(数的规律排列)
2等差数列[An=A1+(n-1)d]
①基本量(首项:A1,公差d)
②判定方法(定义,中项公式,Sn)
③性质
i)若正整数m,n,r,s满足m+n=r+s,则Am+An=Ar+As
ii)Sn为An的前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n„„成等差数列
3等比数列[An=A1q^(n-1)]
基本量:首项,公比,判定方法,性质(类比等差数列)(注意公比为1和-1的情况)
4求数列通项公式的方法:定义,构造(掌握常见的即可)
5常用知识点
①注意An=S1(n=1);Sn-Sn_1(n>=2)
②错位相减法
③倒序相加法
④数列等式及不等式证明(裂项,放缩)
6对于新定义数列,紧抓题目信息,寻找它与已学知识的联系
7数列求和的常用方法
①公式法
②分组求和法
③倒序相加法
④错位相减法
⑤裂项相消法
⑥通项转换法等
§8解三角形
1三角形之间的关系:全等,相似(一般不考)
2边角关系:内角和180°,两边之和大于第三边(隐含条件,做题时易忽略)
3三角形的重心,内心,外心,垂心,旁心(了解定义,重心考查较多)
4正弦,余弦定理及应用(解题时使用最多,注意把握)(重点)
5解三角形问题:长度,角度(角范围与函数值兼顾),面积(掌握常见的公式)[题目一般与向量结合考查]
6注意:
①一题多解(注意检验解是否都符合,有时候还要防止漏解)
②题目中的关键字眼(如锐角三角形等)
③三角恒等变换在解题中的作用
④隐含条件:锐角三角形中有sinA>cosB
§9简单的线性规划
1不等式表示区域问题(线定界,点定域)
2常考问题:直线的截距,角度,区域的面积,距离,斜率等
3注意问题
①注意对问题本质的寻求,适当转化
②线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界处取得
③数形结合思想,化归思想适当运用
④注意边界是实线还是虚线
§10不等式初步
1不等式的概念及基本性质:对称性,传递性,同加原理,同乘原理,倒数原理,乘方和开方原理
2一元常见不等式的解法:有理不等式-穿轴法;指,对数,绝对值不等式,抽象不等式(注意条件,具体对待)
3均值不等式(重点),使用条件:正(正数),定(定值),等(等号成立条件)
4不等式证明方法:比较法(作差,作商);综合法;分析法;其他(换元,放缩,判别式,反证,构造等)
5注意均值不等式使用过程中1的代换、整体思想的运用
6含参、含绝对值不等式求解时必要时需要进行分类讨论
§11解析几何
A直线与圆
1直线的方程(倾斜角和斜率):一般式,点斜式,斜截式,截距式,两点式,参数式
2圆的方程:标准方程,一般方程,直径式,参数方程
3点到直线的距离,平行直线间的距离公式
4直线与直线,直线与圆,圆与圆位置关系的判定(代数法,几何法)
B圆锥曲线
1椭圆:第一定义,基本量(a,b,c,e的含义等)(了解第二定义)
2双曲线(要求最低)了解概念(注意渐近线)
3抛物线(文科考查较多)
4直线与圆锥曲线的位置关系(定义法;联立,判别式)
5技巧与方法:点差法,整体法,韦达定理,弦长公式,巧用定义等
§12导数
1基本概念(定义):定义法利用极限,求出结果
2导数的几何意义及物理意义(切线问题处理方法:设切点,列方程,求切点,写式子)
3常用的导数求导法则,四则运算和复合函数求导法则(基本初等函数的求导公式要熟记)
4导数与函数的单调性及极值,最值问题(求导,列表法判断;含参数的要注意,一般需要分类讨论;注意题目所给的参数范围的限制,如正数等)
5综合应用:导数与数列,不等式,解析几何(文科一般为抛物线),定积分(选择或填空题;方法:几何意义或找原函数)[文科以多项式函数为主,多为三次函数求导后,变为含参数的二次函数问题；理科一般为复合型函数]
6注意分类讨论的合理性;韦达定理使用较多，注意把握;参数取值范围(变量分离或构造(差)函数),有时要对待求问题变形处理后求解,这样可简化
§13复数
1复数引入的必要性:扩充保证了数系完备性
2复数的定义:z=a+bi,a,b为实数,i^2=-1;实部,虚部均是实数;复平面内复数的表示
3常见的结论①(1+i)^2=2i②(1-i)^2=-2i③(1+i)/(1-i)=i
4考查时以选择题为主
§14排列,组合与二项式
1计数原理:(分类)加法原理,(分步)乘法原理
2排列数和组合数的定义与简单运算
3排列组合问题注意:是否与顺序有关,先选还是先排,分类还是分步
4常用方法:
直接法(位置/元素分析法,隔板法,捆绑法等)
间接法(排除法等),照顾特殊位置/元素(先考虑)(难点)
5二项式的展开式通项,注意其上下指标和字母顺序
6赋值法求二项展开式中系数的值,注意赋值的合理性,不要忘记常数项
§15推理与证明
1归纳:从一般的式子中找出共性,总结出一个结论
2类比:通过观察多个式子,找到与新命题的联系,通过适当的变化得到新的结论
3证明等式与不等式方法:
①比较法(差,商,变形);
②反证法(处理含有至少,唯一等词的命题);
③数学归纳法(注意归纳基础与递推,处理与自然数有关的题目)等
4方法要点:
①依据题目的特点和内在联系,选择适当的方法;
②熟悉各种证明方法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点
