凹凸函数在不等式证明中的巧用

发布时间：2020-03-02 14:04:54 来源：范文大全收藏本文下载本文手机版

凹凸函数在不等式证明中的巧用

唐才祯1莫玉忠2李金继

3摘要：本文从凹凸函数原始定义出发，导出其等价的解析不等式.同时从凹凸函数的几何特征导出另一个与凹凸函数原始定义等价的解析不等式.然后利用所得不等式来推导一些常用的不等式，提供了一种不等式证明的技巧.关键词：凹函数；凸函数；不等式；几何特征

不等式在数学问题中是经常碰到的，常用的不等式证明方法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法[1]，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、极大、极小值法和泰勒展式等方法[2] .本文介绍利用凹凸函数的定义及其几何特征在不等式证明中的应用.

一．凹凸函数定义及几何特征

凹凸函数是区分函数增减方式的两种不同类型的函数，即：虽然函数单调增加，但却可有如图1中的两种方式增加，把形如f1(x)的增长方式的函数称为凸函数，而形如f2(x)的增长方式的函数称为凹函数，其精确定义为

1．定义[3]设函数f(x)在区间I有定义,若x1,x2I,t(0,1)有

……（1） f(tx1(1t)x2)tf(x1)(1t)f(x2)

(f(tx1(1t)x2)tf(x1)(1t)f(x2))

则称f(x)在区间I是凸函数（凹函数）.根据函数的凸凹定义，不难证明，若函数f(x)在区间I是凹的，则函数一f(x)在区间I就是凸的，从而，我们从凸函数特征的讨论可在凹函数上适用.

为了便于使用，通常把不等式（1）改写成如下等价形式：

如：设q1t,q21t,有q1q21.(q1,q2(0,1))

则（1）式可改写为

f(q1x2q2x2)q1f(x1)q2(x2)……（2）

2．凸函数的几何特征：

如图，设A1,A2是凸函数y=f(x)曲线上两点，它们对应的

横坐标x1x2,x(x1,x2)，则存在q1,q20,q1q21,使得

12作者简介：唐才祯（1963－），男，广西灵川人，中教一级，广西医科大学附中.作者简介：莫玉忠（1969－），女，广西金秀人，讲师，柳州师专数学系.

3作者简介：李金继（1963－），男，广西灵川人，灵川化肥厂

xq1x1q2x2,,过点x作ox轴的垂线交函数于A，交A1A2于B，则（2）式左端即为A点纵坐标，右端即为B点纵坐标，因此，凸函数的几何意义就是：其函数曲线任意两点A1与A2之间的部分位于弦A1A2的下方或曲线在任一点切线上方.

根据以上几何特征，下面推导一个关于凸函数的直接不等式，设yf(x)为函数，A1A2为f(x)上的任一弦，设A1(x1,f(x1)),A2(x2,f(x2)，不妨设x1x2 ，则直线 A1A2的方程为

yf(x1)f(x2)f(x1)(xx1),x(x1,x2) x2x1

从而由上所述凸函数几何性质有

f(x1)f(x2)f(x1)(xx1)f(x),x(x1,x2)……（3） x2x1

3．凸函数的判断

凸函数的判别准则在一般教材均有述及，下面是[4]中的一个判别凸函数准则：定理设f(x)在(a,b)上二阶可导，则f(x)在(a,b)上是凸函数的充要条件是f(x)0

下面我们将从不等式（2）、（3）出发，适当选取q1,q2,x1,x2来证明一些不等式.

二．等式（2）的应用

不等式（2）是凸函数定义的一个等价形式，所以不等式（2）的应用实际上是凸函数定义的直接应用，（2）式的一个直接结果是出詹生（Jenson）不等式.

命题若函数f(x)在区间I 是凸的，则有不等式

f(q1x1q2x2qnxn)q1f(x1)q2f(x2)qnf(xn) (4)其中xiI,qi0,i1,2,,n,且q1q2qn1，其证明可参见[3]，在此略.

如在（2）及（4）式中，适当选取f(x)的表达式，将可巧妙地证明一些不等式.

xx2xnxx2xn例1．证明不等式1其中 1

nn

q11;x1,x2,xn0.

证明：设f(x)x,x0,则f\'\'(x)p(p1)xpp2pppp，由条件可知f\'\'(x)0.从而f(x)xp为凸函数.取q1q2qn

p1，再由Jenson不等式（4）有 npppxx2xnx1x2xn 1

nn

例2．证明不等式(xy)lnxyxlnxylnyx,y0.2

10,x0.如取x证明：取f(x)xlnx，x0.f\'(x)lnx1，f\'\'(x)

1.由Jenson不等式有 2

xyxylnxlnxylny即有 22

xy(xy)lnxlnxylny2

三．不等式（3）的应用 n2,q1q2

不等式（3）是由凸函数的几何特征得到的，要得到所要证的不等式，需据所给出的不等式形式适当选取x1,x2的值，所以这种方法具有一定的构造性，灵活性，难度相对大些.

例3．证明杨格（young）不等式：

apbq11ab,a,b0,1.pqpq

证明：取f(x)lnx.显然其为凹函数，直线AB的方程为

ylnx1lnx2lnx1(xx1)，取xp\'x1(1p\')x2(x1,x2),p\'(0,1)则 x2x1

lnx2lnx1((p\'1)x1(1p\')x2)p\'lnx1(1p\')lnx2 x2x1

pqylnx1如取x1a,x2b,p\'111,1p\'1.ppq

由（3）式ln(1p1q11ab)lnaplnbq

pqpq

ln(1p1qab)lna.bpq

又因为lnx在定义域上为严格增函数，所以有

a.b1p1qab.pq

abnanbn

),a,b0 例4 证明不等式(22

证明：此例是例1的特例，下面用不等式（3）的方法给予证明.

取yf(x)x,x0,则f(x)为凸函数，由（3）式有 n

f(x)f(x1)f(x2)f(x1)ab11(xx1),取x1,x2,x(x1x2)x2x1abab22

从而有

bnan)()1nan1a()()()，化简后得： ba2ab2ababab

abn1n()(abn).22(

结语：综上所述，利用凸函数定义及几何特性证明不等式，关键是要根据所要证不等式，选取相关的函数及适当的x1,x2选取，此法虽具有一定的构造性，但证明的过程却相对简洁.

参考文献：

[1].梁永固，等，初等代数研究，广东高等教育出版社，1989

[2].纪乐刚，等，数学分析，华东师范大学出版社，1993

[3].刘玉琏，等，数学分析讲义，高等教育出版社，1996

[4].朱来义，等，微积分，高等教育出版社，2000

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