证明函数连续（精选多篇）

推荐第1篇：函数极限连续试题

····· ········密············································订·········线·································装·····系·····封················· ··················__ __：_ ：___： ___________名______________业_姓_____ _号_____ _：：___级_ ____别年专______学

· ·····密·········· ·············································卷···线·································阅·······封········································

函数 极限 连续试题

1.

设f(x)

求

(1) f(x)的定义域; (2) 12f[f(x)]2

; (3) lim

f(x)x0x

.

2.试证明函数f(x)x3ex2

为R上的有界函数.

3.求lim1nnln[(11n)(12

n)

(1nn

)].

4.设在平面区域D上函数f(x,y)对于变量x连续，对于变量y 的一阶偏导数有界，试证：f(x,y)在D上连续.

（共12页）第1页

5.求lim(

2x3x4x1

x03

)x.

1(1x)x

6.求lim[

x0e]x.

7.设f(x)在

[1,1]上连续，恒不为0，求x0

8.求lim(n!)n2

n

.

9.设x

axb)2,试确定常数a和b的值.

（共12页）第2页

10.设函数f(x)=limx2n1axb

n1x

2n连续，求常数a,b的值.

11.若limsin6xxf(x)6f(xx0x30，求lim)

x0x2

.

12.设lim

axsinx

x0c(c0),求常数a,b,c的值.xln(1t3)btdt

13.判断题：当x0时，x

1cost2

0t

是关于x的4阶无穷小量.

114.设a为常数，且lim(

ex

x0

2aarctan1

x

)存在，求a的值，并计算极限.

ex1

（共12页）第3页

215.设lim[

ln(1ex

)x0

1a[x]]存在，且aN，求a的值，并计算极限.

ln(1ex

)

16.

求n(a0).

n

17.

求limn2(a0,b0).

ln(1

f(x)

18.设lim

)

x0

3x1

=5，求limf(x)x0x2.

19.设f(x)为三次多项式，且xlim

f(x)f(x)f2ax2axlim4ax4a1，求xlim(x)

3ax3a

的值.

（共12页）第4页

24.设连续函数f(x)在[1,)上是正的，单调递减的，且

dnf(k)f(x)dx，试证明：数列dn收敛.

n

n

20.设x1,求lim(1x)(1x2)(1x4n

n

)

(1x2).

21.试证明：(1) （1n1111+n)1





为递减数列；(2) n1ln(1n)n,n1,2,3,.

limnn

22.求n3nn!

.

23.已知数列：a1

112，a222

，a32

，

22

a42

12

1的极限存在，求此极限.

22

（共12页）第5页

k1

25.设数列xn，x0a，x1b，求limn

xn.

26.求lima2n

n1a2n

.

28.

求limx

.

x1

n2

(xn1xn2)(n2)，

（共12页）第6页

29.设函数f(x)是周期为T(T0)的连续函数，且f(x)0,试证：

xlim1xx0f(t)dt1TT0f(t)dt.

30.求lim1

1n0

x.

en

(1x)n

n

31.设lim(

1x)x

tetxx

dt，求的值.

32.判断函数f(x)limxn1

nxn1

的连续性.

33.

判断函数f(x.

（共12页）第7页

34.设f(x)为二次连续可微函数，f(0)=0，定义函数

g(x)

f(0)当x0，试证：g(x)f(x)

x当x0连续可微.

35.设f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)，对x(a,b)，

g(x)lim

f(xt)f(xt)

t0

t

存在，试证：存在c(a,b),使g(c)0.

36.若f(x)为[a,b]上定义的连续函数，如果b

a[f(x)]2dx0，试证：

f(x)0(axb).

37.设函数f(x)在x=0处连续，且lim

f(2x)f(x)

x0

x

A，试证：f(0)=A.

（共12页）第8页

38.设f(x)在[a,b]上二阶可导，过点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线

yf(x)相交于C(c,f(c))，其中acb.试证：至少存在一点(a,b)，

使得f()=0.

39.设f(x)，g(x)，h(x)在axb上连续，在(a,b)内可导，试证：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一点(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并说明拉格朗日中值 f()g()h()

定理和柯西中值定理是它的特例.

40.试证明函数ysgnx在x[1,1]上不存在原函数.

41.

设函数f(x)=nf(x)的不可导点的个数.

（共12页）第9页

42.

设f(x(0x



),求f(x).

43.

设xn1(n1,2,3,)，0x13，试说明数列xn的极限存在.

x0

44.求函数f(x)=sin1

x21

x(2x)的间断点.

2cosx

x0

45.求曲线

3

的斜渐近线.

（共12页）第10页

1

46.求数列nn的最小项.



50.求lim

x.

x0

sin1

x

47.求limtan(tanx)sin(sinx)

x0tanxsinx

.

48.设f(x)在[0,2]上连续，在（0,2)内有二阶导数，且lim

f(x)

x1(x1)2

1， 

f(x)dxf(2)，试证：存在(0,2)，使得f()=(1+1)f().

49.试证：若函数f(x)在点a处连续，则函数f+(x)=maxf(x),0与

f-(x)=minf(x),0在点a处都连续.

（共12页）第11页

12页）第12页

（共

推荐第2篇：函数极限与连续

函数、极限与连续

一、基本题

1、函数f

xln6x的连续区间ax2x2x

12、设函数fx，若limfx0，且limfx存在，则 x1x1x12axb

a-1，b

41sin2x

3、limx2sin-2x0xx

4、n2x4/(√2-3)k

5、lim1e2，则k=-1xx

x2axb5，则a3，b-

46、设limx1x

17、设函数fx2xsinx1,gxkx，当x0时，fx~gx，则k

ex2x0

8、函数fx2x10x1的定义域R ；连续区间(-oo,1),(1,+oo)3x1x1

1xsinx

a

9、函数fx1xsinbxx0x0在x0处连续，则a1，b1x0

10、函数fxe

1e11

x1x的间断点为x=0，类型是 跳跃间断点。

11、fx,yx2y2xycosx，则f0,1ft,1y

12、fxy,xyx2y2，则fx,yy^2+x

13、函数zln

2x2y2的定义域为 {(x,y)|1=0}

14、1e2xylim-12；x,y0,0x2y2exyx,y0,01x2y2x2y2lim

3-12；lim12xyx1

5、x0

y0

二、计算题

1、求下列极限

（1）0

0型：

1）limexex2x

x0xsin3x；=0

2） limexx

1x0x1e2x; =-1/

43） limtan3xln12x

x01cos2x;=-

34）limtanxsinx

x0xsin2x2;=1/4

（2）

型：

1）lnsin3x

xlim0lnsin2x=1

lim2n13n1

2） n2n3n=3

（3）型：

1）lim11

x0xex1=1/

22）lim

x111x1lnx=-1/2

3) xlimarccosx=π/3

4)xlimx=-1 x0y2

（4）0型：

1）limxarctanx=1x2

2) limx1tanx1x2=-π/2

（5）1型：

21）lim1xx3x2=e^(-6)

4x23x12）limx3x2

3) lim12xx0 =e^(-4) =e^(2/5) 1sin5x

14)limcos=e^(-1/2) xx

（6）00型：1）limxsinx=1 x0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）型：1）limx20x

x1x=2

同上

2、已知：fxsin2xln13x2limfx，求fx x0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：两边limf(x)x->0)

x2x

3、求函数fx的间断点，并判定类型。2xx1驻点x=0,x=1,x=-

11）当x=0+时，f(x)=-1；当x=0-时，f(x)=1 跳跃间断点

2）当x=1时，f(x)=oo;第二类间断点

3）当x=-1时，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去间断点

sin2xx

4、设函数fxa

ln1bx1e2xx0x0在定义域内连续，求a与b x0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、证明方程：x33x29x10在0,1内有唯一的实根。（存在性与唯一性） 证明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10

因为f(0).f(1)

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)内为单调减函数

故x33x29x10在0,1内有唯一的实根。

推荐第3篇：连续就读证明

连续就读证明

兹有

学校学生

（身份证号码

），

年

月

日起至今，连续在

学校就读。特此证明！

单位盖章

年

月

日

推荐第4篇：函数一致连续的条件

一、选题的目的和意义：在学习数学分析时，总是很难理解概念和公式的意义，常常只要求自己记住会用就行。学习函数的连续性和一致连续性时也有同样的情况，然而我们研究本课题的目的就是通过所学的知识，将课堂知识转化为实用的报告，让自己学会分析，提高自己的综合能力，将充实的内容与完美的外在形式的有机结合，本文给出5种函数一致连续性的证明，同时讨论其的应用。函数的一致连续性是数学分析中的一个重要的概念，它不仅是闭区间上连续函数黎曼可积的理论基础，而且与随后的参数积分，函数项积分等概念有着密切的联系。因此，找出函数一致连续的条件是数学分析中一个重要的内容。然而，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵和条件有更全面的理解和认识。

二、国内外研究现状简述：连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数，一致连续函数又是从连续函数的概念派生出来的。而函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今，回顾函数概念的历史发展，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念对数学发展，数学学习的巨大作用。19世纪中期，法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果，第一次准确地提出了函数的定义。十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，制定了解析几何学，从而打破了局限于方程的未知数的理解；后来，牛顿（Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说。这期间，随着数学内容的丰富，各种具体的函

数已大量出现，但函数还未被给出一个一般的定义。牛顿于1665年开始研究微积分之后，一直用“流量”（fluent）一词来表示变量间的关系。国内是主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（

二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。逐步形成了一门逻辑严密、系统完整的学科，不仅成为其他许多数学分支的重要基础，而且在自然科学、工程技术、生命科学、社会科学、经济管理等众多方面中获得了十分广泛的应用，成为处理有关连续量问题的强有力的数学工具。

三、毕业设计（论文）所采用的研究方法和手段：

查询法：通过文献调研有目的有计划有系统地收集并整理资料，了解图论在数学模型中 的应用。

分析法：通过对图论的研究，发现其性质。

文献研究法：调研文献，整理文章，获取所需材料。

归纳法：总结并整理论文。

四、主要参考文献与资料获得情况：

【1】对建立函数一致连续概念的认识大学数学2005, (02)

【2】证明函数连续的几个定理南阳师范学院学报2007, (09)

【3】判别函数一致连续的几种方法常州工学院院报2004, (02)

【4】函数一致连续的充要条件及其应用江西科学2009, (08)

【5】数学分析高等教育出版社2006,(01)

【6】数学分析的理论、方法和技巧华中科技大学出版社2005, (06)

【7】一致连续与一致收敛人民教育出版社1982, (07

推荐第5篇：函数极限与连续教案

第四讲

Ⅰ 授课题目（章节）

1.8：函数的连续性

Ⅱ 教学目的与要求：

1、正确理解函数在一点连续及在某一区间内连续的定义；

2、会判断函数的间断点.4、了解初等函数在定义区间内是连续的、基本初等函数在定义域内是连续的；

5、了解初等函数的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性；6 掌握闭区间上连续函数的性质

教学重点与难点：

重点：函数在一点连续的定义，间断点，初等函数的连续性

难点：函数在一点连续的定义，闭区间上连续函数的性质

Ⅳ 讲授内容：

一 连续函数的概念

1 函数的增量

定义1设变量u从它的初值u0变到终值u1，终值与初值之差u1u0，称为变量u的增

量，或称为u的改变量，记为u，即uu1u0

xx1x0

yf(x0x)f(x0)

2 函数的连续性

定义2 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若当自变量的增量x趋近于零

时，相应函数的增量y也趋近于零，即

limy0或 x0

x0limf(x0x)f(x0)0

则称函数f(x)在x0点连续

2例1 用连续的定义证明y3x1在点x02处是连续的

证明 略

若令xx0x则当x0时，xx0又yf(x0x)f(x0)即

f(x)f(x0)y故y0就是f(x)f(x0)

因而limy0可以改写成limf(x)f(x0) x0xx0

定义3 设函数yf(x)在点x0的某个邻域内有定义，若

xx0limf(x)f(x0)

则称函数f(x)在x0点连续

由定义3知函数fx在点x0连续包含了三个条件：

（1）fx在点x0有定义

（2）limf(x)存在

xx0

（3）limf(x)f(x0) xx0

sinx,x0例2 考察函数f(x)x在点x0处得连续性

1,x0

解略

3左连续及右连续的概念.定义4 若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点左连续 xx0

若limf(x)f(x0)，则函数f(x)在x0点右连续 xx0+

由此可知函数f(x)在x0点连续的充分必要条件函数f(x)在x0点左连续又右连续

4、函数在区间上连续的定义

（a,b）（a,b）定义5 若函数f(x)在开区间内每一点都连续，则称函数f(x)在开区间内连

续

（a,b）若函数f(x)在开区间内连续，且在左端点a右连续，在右端点b左连续，则

称称函数f(x)在闭区间a,b上连续

（-,+）例3 讨论函数yx在内的连续性

解 略

二 函数的间断点

1 定义6函数f(x)不连续的点x0称为函数f(x)的间断点

由定义6可知函数f(x)不连续的点x0有下列三种情况

（1）fx在点x0没有定义

（2）limf(x)不存在

xx0

（3）limf(x)f(x0) xx0

2间断点的分类

左右极限都相等（可去间断点）第一类间断点：左右极限都存在间断点 左右极限不相等（跳跃间断点）

第二类间断点：左右极限至少有一个不存在

x21,x0例4考察函数f(x)在x0处得连续性

0,x0

解 略

例5考察函数f(x)

解 略

1,x0例6考察函数f(x)x在x0处得连续性

0,x0x,x0x1,x0在x0处得连续性

解 略

三 连续函数的运算与初等函数的连续性

1、连续函数的和、差、积、商的连续性

2、反函数与复合函数的连续性

3、初等函数的连续性：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的．对于初等函数,由于连续性xx0limf(x)f(x0),求其极限即等价于求函数的函数值

四闭区间上连续函数的性质

定理1 （最大值最小值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则函数f(x)在闭区间a,b上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，m 和M分别为f(x)在a,b上的最小值和最大值，则对于介于m 和M之间的任一实数C，至少存在一点a,b，使得

f()C

定理3（零点定理）

若函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)与f(b)异号，，则至少存在一点a,b，使得f()0

例7 证明x52x20在区间(0,1)内至少有一个实根 证明 略

Ⅴ 小结与提问：

Ⅵ 课外作业：

习题1-8 2，5，7，9

推荐第6篇：函数极限证明

函数极限证明

记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;

下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。

不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1;

那么存在N1,当x>N1,有a/MN2时，0Ni时，0

那么当x>N,有

(a/M)^n

推荐第7篇：函数极限与连续习题(含答案)

1、已知四个命题：（1）若

（2）若

（3）若

（4）若f(x)在x0点连续，则f(x)在xx0点必有极限 f(x)在xx0点有极限，则f(x)在x0点必连续 f(x)在xx0点无极限，则f(x)在xx0点一定不连续f(x)在xx0点不连续，则f(x)在xx0点一定无极限。其中正确的命题个数是（B、2）

2、若limf(x)a，则下列说法正确的是（C、

xx0f(x)在xx0处可以无意义）

3、下列命题错误的是（D、对于函数f(x)有limf(x)f(x0) ）

xx0

4、已知f(x)1

x，则limf(xx)f(x)的值是（C、1）

x0xx2

x1

25、下列式子中，正确的是（B、limx11 ） 2(x1)

26、limxaxb5，则a、

x11xb的值分别为（A、7和6）

7、已知f(3)2,f(3)2,则lim2x3f(x)的值是（C、8 ）

x3x3

8、limxa

xxaa（D、3a2）

29、当定义f(1)f(x)1x

2在x1处是连续的。 1x

10、lim16x12。

x27x311

11、lim

12、x21xxx12x31

limx2x112 3x11

13、lim(x2xx21)1

x

214、lim(x2xx21)1

x2

x,0x11

15、设(1)求xf(x),x1

2

1,1x2

1时，f(x)的左极限和右极限；(2)求f(x)在x1的函数值，它在这点连续吗？(3)求出的连续区间。

答：（1）左右极限都为1 （2）不连续（3 ） （0，1）（1，2）

推荐第8篇：二元函数的极限与连续

§2.3 二元函数的极限与连续

定义

设二元函数有意义, 若存在

常数A,

都有

则称A是函数当点 趋于点

或

或

趋于点时的极限,记作

。

的方式无关,即不,当（即）时，在点的某邻域内或

必须注意这个极限值与点

论P以什么方

向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向

分接近, 就能 使。只要P与 充与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多

种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

图8-7

同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,

极限

在该点

存在,但不相等, 则可以判定元函数极限不 存在的重要方法之一。

极限不存在。这是判断多

一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极

限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。例如若

有

, 其中

。

求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理

来计算。例4 求。解由于

,

而

,根据夹逼定理知

,所以 。

a≠0)

。

解

例

求

（

。例6 求。解

由于理知

且,所以根据夹逼定

.例7

研究函数

在点

处极限是否存在。解当x

2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于

（0，0

）的极限，有值，可得到不同的极 限值,所以极限

不存在,但

,。很显然，对于不同的k

。

注意：极限方式的

的区别, 前面两个求

本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的

极限,我们称为求二重极限。

例8

设函数极限都不存在,因

为对任何

,当

时

,

。它关于原点的两个累次

的第二项不存在极限；同理对任何

时, 的第 一项也不存在极限,

但是因此

。

由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存

在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果:定理1 若累次极限

都存在,则

三者相等（证明略）。推论

若但不相等,

则二重极限

不

存在

和二重极

限

,

由于

,

存在。定义 设

在点的某邻域内有意义,

且称

函

数

,则

在

点

处

连

续

,

记

上式称为函数(值)的全增

量

。

则。

定义

增量。

为函数(值)对x的偏

二元函数连续的定义可写为

偏增量。

若

断点, 若

在点

为函数（值）对y的

处不连续,

则称点

是

的间

在某区域

在区域G上连续。若

在闭区域G

G上每一点都连续,则称的每一内点都连 续,并在G的连界点

处成立

,

则称

为连续曲面。

在闭域G上连续。闭域上连续的二元函数的图形称

关于一元函数连续的有关性质, 如最值定理、介值定理、Cantor

定理,对于

二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果：定理2设

在平面有界闭区域G上连续,则

（1）必在G上取到最大值,最小值及其中间的一切值;（2

）

,当

时,都有

。以上关于二元函数的

在G上一致连续,即

极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。

推荐第9篇：多元函数的极限与连续

数学分析

第16章

多元函数的极限与连续

计划课时：

1 0 时

第16章

多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 )

§ 1

平面点集与多元函数

一.平面点集:平面点集的表示: E{(x,y)|(x,y)满足的条件}.余集Ec.

1.常见平面点集:

⑴

全平面和半平面 : {(x,y)|x0}, {(x,y)|x0}, {(x,y)|xa},

{(x,y)|yaxb}等.

⑵ 矩形域: [a,b][c,d], {(x,y)|x||y|1}. ⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环，圆的一部分.极坐标表示, 特别是 {(r,)|r2acos}和{(r,)|r2asin}.⑷ 角域: {(r,)|}.

⑸ 简单域: X型域和Y型域.

2.邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.

空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集

{(x,y)|0|xx0| , 0|yy0|}的区别.3． 点与点集的关系（集拓扑的基本概念）:

（1）内点、外点和界点：

内点：存在U(A)使U(A)E

集合E的全体内点集表示为intE,.外点：存在U(A)使U(A)E

界点：A的任何邻域内既有E的点也有不属于E的点。E的边界表示为E

集合的内点E, 外点E , 界点不定 .例1 确定集E{ (x,y)|0(x1)(y2)1 }的内点、外点集和边界 .例2 E{ (x,y)|0yD(x) , x[ 0 , 1 ] } , D(x)为Dirichlet函数.确定集E的内点、外点和界点集 .（2）( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点:

聚点：A的任何邻域内必有属于E的点。

孤立点：AE但不是聚点。孤立点必为界点 .例3 E{ (x,y)|ysin }. 确定集E的聚点集 .解

E的聚点集E[ 1 , 1 ].

221x 2 4．区域：

（1）( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集: intE E时称E为开集 , E的聚点集E时称E为闭集. intE 存在非开非闭集.（3） 有界集与无界集:

（4）

点集的直径d(E)： 两点的距离(P1 , P2).（5）

三角不等式：

|x1x2|（或|y1y2|）或(P1,P2)R2和空集为既开又闭集.（2） ( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 .

(x1x2)2(y1y2)2 |x1x2||y1y2|.(P1,P3)(P2,P3)

二.

R2中的完备性定理:

1． 点列的极限:

设Pn( xn , yn )R2, P0( x0 , y0 )R2.PnP0的定义 ( 用邻域语言 )

定义1。

limn0,N,nNPnU(P0,)或(P0,Pn)

例4 ( xn , yn ) ( x0 , y0 ) xnx0, yny0, ( n ).例5 设P0为点集E的一个聚点 .则存在E中的点列{ Pn }, 使limPnP0.

n

2．R2中的完备性定理：

（1）Cauchy收敛准则:

.

（2）. 闭域套定理:

3 （3）. 聚点原理: 列紧性 ,

Weierstra聚点原理.

（4） 有限复盖定理:

三．二元函数:

1.二元函数的定义、记法、图象：

2.定义域： 例6 求定义域：

ⅰ>f(x,y)3.

二元函数求值: 例7 例8 9x2y2x2y21; ⅱ> f(x,y)lny.2ln(yx1)yf(x,y)2x3y2, 求 f( 1 , 1 ) , f( 1 , ).

xf(x,y)ln(1x2y2), 求f(cos , sin).

4.

三种特殊函数: ⑴ 变量对称函数: f(x,y)f(y,x),例8中的函数变量对称.

⑵ 变量分离型函数: f(x,y)(x)(y).例如

zxye2x3y, zxy2xy2, f(x,y)(xyy)(xyx)等 .

(xy)2 4 但函数zxy不是变量分离型函数 .

⑶ 具有奇、偶性的函数

四．n元函数

二元函数 推广维空间 记作R n

作业 P9

2 —8 .

5

1 § 2 二元函数的极限

一. 二重极限

二重极限亦称为全面极限

1.二重极限

定义1 设f为定义在DR上的二元函数，P0为D的一个聚点，A是确定数 若 0,0,或

2PU0(P0,)D,f(P)A则limf(P)A

PP0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)A

例1 用“”定义验证极限

(x,y)(2,1)lim(x2xyy2)7.

xy20. 例2 用“”定义验证极限 lim2x0xy2y0例3 x2y2, (x,y)(0,0),xyf(x,y)x2y2

0 , (x,y)(0,0).f(x,y)0. ( 用极坐标变换 )

P94 E2.

证明

(x,y)(0,0)lim2.归结原则：

定理 1

limf(P)A, 

对D的每一个子集E , 只要点P0是E的聚点 , PP0PD就有limf(P)A.PP0PE

推论1

设E1D, P0是E1的聚点 .若极限limf(P)不存在 , 则极限limf(P)也不存在 .

PP0PE1PP0PD

推论2

设E1,E2D, P0是E1和E2的聚点. 若存在极限limf(P)A1,

PP0PE1PP0PE2limf(P)A2, 但A1A2, 则极限limf(P)不存在.

PP0PDPP0PD

推论3

极限limf(P)存在,  对D内任一点列{ Pn }, PnP0但PnP0, 数列{f(Pn)}收敛 .

通常为证明极限limf(P)不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限PP0不相等, 或证明极限与方向有关 .但应注意 , 沿任何方向的极限存在且相等  全面极限存在

例4 xy , (x,y)(0,0), 证明极限limf(x,y)不存在.

f(x,y)x2y2(x,y)(0,0)0 , (x,y)(0,0) .6 例

5 二重极限具有与一元函数极限类似的运算性质.

例6 求下列极限: ⅰ>

(x,y)(0,0)limsinxyx2ylim; ⅱ>; (x,y)(3,0)yx2y2 ⅲ>

3．极限(x,y)(0,0)limxy11ln(1x2y2); ⅳ>lim.22(x,y)(0,0)xyxy(x,y)(x0,y0)limf(x,y)的定义:

2定义2．设f为定义在DR上的二元函数，P0为D的一个聚点， 若 M0,0,或

PU0(P0,)D,f(P)M则limf(P)

PP0(x,y)(x0,y0)limf(x,y)

其他类型的非正常极限， (x,y)无穷远点的情况.例7 验证(x,y)(0,0)lim1.222x3y二.

累次极限

二次极限

1.

累次极限的定义:

定义3．设Ex,EyR,x0,y0分别是Ex,Ey的聚点，二元函数f在集合ExEy上有定义。若对每一个yEyyy0存在极限limf(x,y)

记作(y)limf(x,y)

xx0xExx0xE若Llim(y)存在，则称此极限为二元函数f先对x后对y的累次极限

yy0yEy记作Llimlim(y)

简记Llimlim(y)

yy0xx0yEyxExyy0xx0例8 f(x,y)xy, 求在点( 0 , 0 )的两个累次极限 .

x2y2 7 例9 x2y2, 求在点( 0 , 0 )的两个累次极限 .f(x,y)22xy11ysin, 求在点( 0 , 0 )的两个累次极限 .yx例10 f(x,y)xsin2.二重极限与累次极限的关系:

⑴ 两个累次极限存在时, 可以不相等. ( 例9 ) ⑵ 两个累次极限中的一个存在时, 另一个可以不存在.

例如函数f(x,y)xsin1在点( 0 , 0 )的情况 .

y

⑶ 二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例如例10中的函数, 由

, y)(0,0). 可见全面极限存在 , 但两个累次极限均不存在.

|f(x,y)|  |x||y|0 , ( x

⑷ 两个累次极限存在( 甚至相等 ) 

二重极限存在 .( 参阅例4和例8 ).综上 , 二重极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系 . 但有以下确定关系.定理2 若二重极限

推论1 二重极限和两个累次极限三者都存在时 , 三者相等 .

推论1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.

推论2 两个累次极限存在但不相等时 , 二重极限不存在 .

但两个累次极限中一个存在 , 另一个不存在 

二重极限不存在 .参阅⑵的例.(x,y)(x0,y0)limf(x,y)和累次极限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 则必相等.

xx0yy0

作业提示: P99

1、

2、4

§ 3 二元函数的连续性 ( 4 时 )

一． 二元函数的连续（相对连续）概念：由一元函数连续概念引入 .

1.连续的定义:

定义

用邻域语言定义相对连续 . 全面连续 .

函数f(x,y)有定义的孤立点必为连续点 .

例1 xy22 , xy0 ,22xy

f(x,y)m , x2y20 .1m2证明函数f(x,y)在点( 0 , 0 )沿方向ymx连续 .

1 , 0yx2, x ,

例2

f(x,y)

( [1]P124 E4 ) 0 , 其他 .证明函数f(x,y)在点( 0 , 0 )沿任何方向都连续 , 但并不全面连续.

函数的增量: 全增量、偏增量 . 用增量定义连续性 .

函数在区域上的连续性 .

2.二元连续( 即全面连续 ) 和单元连续 :

定义

( 单元连续 )

二元连续与单元连续的关系: 参阅[1]P132 图16—9.

3.

连续函数的性质: 运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.

仅证复合函数连续性.

二.

二元初等函数及其连续性:

二元初等函数 , 二元初等函数的连续性.

三.一致连续性: 定义.

四.有界闭区域上连续函数的性质:

9

1.

有界性与最值性.

( 证 )

2.

一致连续性.

( 证 )

3.

介值性与零点定理. ( 证 )

Ex

[1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5；

P137—138

1，4. 10

推荐第10篇：多元函数的极限与连续

多元函数的极限

1.求下列极限：

x2y111)lim(4x3y)；

2）lim(xy)sinsin；

3）lim2. 2x0x2x0xyxyy0y1y02

2.证明：若f(x，y)

xy，(xy0)，求 limlimf(x，y)与limlimf(x，y).

x0y0y0x0xyx4y43.设函数f(x，y)4，证明：当点(x，y)沿通过原点的任意直线 (ymx)趋于（0,0）时，函数f(x，y)23(xy)存在极限，且极限相等.但是，此函数在原点不存在极限.

x2y22D(x，y)yx4.若将函数f(x，y)2限制在区域，则函数f(x，y)在原点（0，0）存在极限.2xy

5.求下列极限： 1）lim

3）lim(xy)In(xy)；

4）limx0y022xysinxy；

2）； limx1x2xyy2x0xy2y4(14x2)(16y2)12x23y2x0y0.

第11篇：连续五年完税证明

连续五年完税证明

连续五年的完税证明指的是过去5年的完税证明，如果是去银行申请按揭的话，每个年度提供三到六个月的完税证明即可，并非每月都要

我在北京工作，现在想买房，但是现在的政策是需连续5年的完税和社保证明，眼看5年时间马上就到了，想买房，但是有一点很担心，这5年中我换过一次工作，所以在交接的时候有一个月没连上交税和社保，不知道这会不会影响买房需要提供的连续5年完税和社保证明呢?我该这么办?有朋友知道吗?

需要您的社保或者纳税证明连续满5年才可以。中间有断篇的情况的话，可能需要到原工作单位开纳税或者社保证明，和现在的单位续接上，但是并不是很确定这样做能不能过户，建议您到建委去问问。

1F只要满足条件，名下在北京没有住房的话，在北京是可以买房的，只是因年龄的关系可能贷款的话有点问题，如果有一定的经济条件您可以考虑全款买房。

“婚姻关系存续期间，房屋归一方所有变更为双方共有，是否征收契税?”“只要婚姻登记证上仍然保持了婚姻关系的，怎么变都没关系，由一个人变为两人不缴契税。”昨日，北京市地方税务局相关负责人做客《首都之窗》，对网友关心的问题进行了一一回复。针对近日热传的年终奖临界点，相关负责人表示，“‘差几块钱正好税率上了一个档次’可能由于税率极差造成的，要避免这种情况，财务人员需先做计算。”

近日，中国农业大学经济管理学院副教授葛长银发文提醒称，“请大家注意年终奖临界点，宁可少千元不要超一元”，并举例称，发18001元比18000元多纳税1154.1元;54001元比54000元多纳税4950.2元……众多网友总结的临界点有1.8万、5.4万、10.8万、42万、66万和96万。

对此，市地税局征收管理处处长陆坤昨日表示，根据《国家税务总局关于调整个人取得全年一次性奖金等计算征收个人所得税方法问题的通知》(国税发9号)规定：“纳税人取得全年一次性奖金，单独作为一个月工资、薪金所得计算纳税，由扣缴义务人发放时代扣代缴。”他列举了具体的计算方法和计算公式，表示之前提到的现象有可能是税率极差造成的，“可能差几块钱，正好税率上了一个档次，发钱的时候要避免这种情况，还要请财务人员先计算好。”

■年终奖计算方法

一、先将雇员当月内取得的全年一次性奖金，除以12个月，按其商数确定适用税率和速算扣除数。

如果在发放年终一次性奖金的当月，雇员当月工资薪金所得低于税法规定的费用扣除额，应将全年一次性奖金减除“雇员当月工资薪金所得与费用扣除额的差额”后的余额，按上述办法确定全年一次性奖金的适用税率和速算扣除数。

二、计算公式：

1.雇员当月工资薪金所得高于(或等于)税法规定的费用扣除额，适用公式为：应纳税额=雇员当月取得全年一次性奖金×适用税率-速算扣除数

2.雇员当月工资薪金所得低于税法规定的费用扣除额，适用公式：应纳税额=(雇员当月取得全年一次性奖金-雇员当月工资薪金所得与费用扣除额的差额)×适用税率-速算扣除数。

五年完税记录非指“连续60个月”。

第12篇：连续五年纳税证明

连续五年纳税证明

新政出台要结合其背景，目前政府出台政策干预楼价，要求连续5年纳税证明，主要防止跨区域炒楼，常驻人口对楼宇的需求有一定的饱和度。综合考虑，5年纳税证明应该是连续的，但不限于每个月连续(有的月份没有达到纳税标准自然没有)，以年度纳税证明为准。

按照北京限购令的规定，个人理解，五年是每一年都需要有社保和个人所得税记录就符合条件，不需要每一年都满12个月

京籍1套房家庭可再购1套

【政策】

对已拥有1套住房的本市户籍居民家庭、持有本市有效暂住证在本市没拥有住房且连续5年(含)以上在本市缴纳社会保险或个人所得税的非本市户籍居民家庭，限购1套住房(含新建商品住房和二手住房);

对已拥有2套及以上住房的本市户籍居民家庭、拥有1套及以上住房的非本市户籍居民家庭、无法提供本市有效暂住证和连续5年(含)以上在本市缴纳社会保险或个人所得税缴纳证明的非本市户籍居民家庭，暂停在本市向其售房。

【解读】

去年出台的“京十二条”中，首次提出了限购措施，即一个家庭只能新购买一套住房。

北京市房协副秘书长陈志认为，新调控措施对限购措施进行了完善。“过去限购只看增量，即不论以前家庭拥有多少套住房，都能再新购一套。而这次既看存量又看增量，如果一个本地户籍家庭已拥有了两套住房，符合条件的外地户籍家庭已拥有一套住房，就不能再购房了。而本地户籍的家庭如果已拥有一套或外地家庭没有住房，还可以再买一套。这就照顾到改善型家庭的需求。”

提供5年纳税证明防炒房

【政策】

对于外地户籍家庭购房，在纳税和社保缴纳时间上，延长到了“连续5年”。【解读】

陈志表示，这并非是一个排外的政策。首先，在限购政策上，对北京户籍的家庭和外地户籍的家庭，同样都采取了严格限购，都是为了抑制投资和投机性购房。对外地户籍家庭社保和纳税时间的延长，是为防止一些并非在京工作人员，在京炒房。

“其次，对于外地在京工作人员的合理购房需求，政策上是考虑到的。因为无论是本地户籍还是外地户籍，并不一定刚开始工作，就要购买住房。可以先租房居住，在有了沉淀和积累后，再考虑买房。用5年来进行积累，是一个比较合适的时间。政策规定，5年缴纳个税和社保之后，是可以购买一套住房的。这和北京提出的‘先租后买’、大力发展公租房是一致的。”陈志说。

第13篇：高等数学第一章 函数、极限与连续[全文]

高等数学教学备课系统

高等数学

教学备课系统

与《高等数学多媒体教学系统（经济类）》配套使用

教师姓名：________________________

教学班级：________________________

2004年9月1至2005年1月10

高等数学教学备课系统

第一章

函数、极限与连续

第一节 函数概念

1、内容分布图示

★ 集合的概念

★ 集合的运算

★ 区间

★ 例

1★ 邻域

★ 例2

★ 常量与变量

★ 函数概念

★ 例

3★ 例

4★ 例

5 ★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 分段函数举例

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 函数关系的建立

★ 例 12

★ 例 13

★ 例 14

★ 函数特性

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-1

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1解下列不等式,并将其解用区间表示.(1)|2x1|3;(2)|3x2|3;(3)0(x1)29.

讲解注意：

例2将点12的邻域表示为不带绝对值的不等式.33

讲解注意：

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例3函数y2.

讲解注意：

例4绝对值函数y|x|x,x0x,x0

讲解注意：

例5下面是几个常见的表格.(1)2002年2月21日国务院公布的利率表.如表1.1.1.表1.1.1时间年利率(%)3个月6个月1年1.711.891.982年2.253年2.525年2.79(2)国民生产总值统计表《中国统计年鉴((2001)》).如表1.1.2.表1.1.2年份生产总值(亿元)199519961997199819992000057494.966850.573142.776967.280579.488189.6

讲解注意：

例6下面是几个常见的图形.(1)两位患者的心电图.见图1.1.1.图1.1.1(2)19952000年天津市人才市场状况图《天津年鉴((2001)》).见图1.1.2.

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人数(人)55 00044 00033 00022 00011 00001995达成意向人次进场人次19961997199819992000年份图1.1.2

讲解注意：

例7下面是几个常见的公式.(1)自由落体运动的距离公式:12gt,g为常数2(2)成本函数(costfunctiong):C(x)C0C1(x),其中C0为S固定成本;C1(x)为可变成本;x为生产量.

讲解注意：

例8判断下面函数是否相同,并说明理由,画图表示.(1)yx2与y|x|;(2)y1与ysin2xcos2x(3)y2x1与x2y1.

讲解注意：

例9求函数y 讲解注意：

121x x2的定义域.

例10设f(x)讲解注意：

1,0x12,1x2,求函数f(x3)的定义域.

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例11求函数f(x)讲解注意：

lg(3x)sinx54xx2的定义域.

例12把一半径为R的圆形铁片,自中心处剪去圆心角为的扇形后,围成一无底圆锥,试将圆锥的体积V表为的函数.

讲解注意：

例13某工厂生产某型号车床,年产量为a台,分若干批进行生产,每批生产准备费为b元,设产品均匀投入市场,且上一批用完后立即生产下一批,即平均库存量为批量的一半.设每年每台库存费为c元.显然,生产批量大则库存费高;生产批量少则批数增多,因而生产准备费高.为了选择最优批量,试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.

讲解注意：

例14某运输公司规定货物的吨公里运价为:在a公里以内,每公里k元,超过部分每公里为数关系.讲解注意：

例15证明(1)函数y(2)函数yxx21在(,)上是有界的;4k元.求运价m和里程s之间的函5

1在(0,1)上是无界的.x2

讲解注意：

例16证明函数y讲解注意：

x在(1,)内是单调增加的函数.1x

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例17判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)ex1ex1ln1x1x1x1;(2)f(x)(23)x(23)x;(3)f(x)lg(x1x2);(4)f(x)(x2x)sinx.讲解注意：

例18设f(x)满足af(x)bf|a||b|,证明f(x)是奇函数.c,其中a,b,c为常数,且(1)xx

讲解注意：

1,xQ7,求D,D(1例19设D(x)50,xQ()2).并讨论D(D(x))的性质.

讲解注意：

例20若f(x)对其定义域上的一切x,恒有f(x)f(2ax),则称f(x)对称于xa.证明:若f(x)对称于xa及xb(ab),则f(x)是以T2(ba)为周期的周期函数.

讲解注意：

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第二节 初等函数

1、内容分布图示

★ 反函数

★ 例

1 ★ 例2 ★ 复合函数

★ 例

3 ★ 例4

★ 例

5 ★ 例6

★ 例7

★ 幂函数、指数函数与对数函数

★ 三角函数

★ 反三角函数

★ 初等函数

★ 函数图形的迭加与变换

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-2

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求函数y1114x14x的反函数.

讲解注意：

例2已知1,x0sgnx0,x0,sgnx为符号函数,1,x0求y(1x2)sgnx的反函数.

讲解注意：

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例3将下列函数分解成基本初等函数的复合.(1)ylnsin2x;(2)yearctanx2;(3)ycos2ln(21x2).

讲解注意：

例4设f(x)x1,(x)x2,求f[(x)]及[f(x)],并求它们的定义域.

讲解注意：

例5设求f[(x)].f(x)exx,x1,x1,x2,(x)2x1,x0x0,

讲解注意：

例6设fx讲解注意：

(11x22,求f(x).xx)

例7设f(x)ln(3x)的定义域(a0).149x2,求g(x)f(xa)f(xa)

讲解注意：

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第三节 经济学中的常用函数

1、内容分布图示

★ 单利与复利

★ 例1

★ 多次付息

★ 贴现

★ 例2 ★ 需求函数

★ 供给函数

★ 市场均衡

★ 例

3★ 例4 ★ 成本函数

★ 例5

★ 收入函数与利润函数

★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-3

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1现有初始本金100元,若银行年储蓄利率为7%,问：(1)按单利计算,3年末的本利和为多少?(2)按复利计算,3年末的本利和为多少?(3)按复利计算,需多少年能使本利和超过初始本金的一倍?

讲解注意：

例2某人手中有三张票据,其中一年后到期的票据金额是500元,二年后到期的是800元,五年后到期的是2000元,已知银行的贴现率6%,现在将三张票据向银行做一次性转让,银行的贴现金额是多少?

讲解注意：

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例3某种商品的供给函数和需求函数分别为qd25P10,qs2005P求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.

讲解注意：

例4某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售售商,在这个基础上零售商每次多进100台电扇,则批发价相应降低2元,批发商最大批发量为每次1000台,试将电扇批发价格表示为批发量的函数,并求出零售商每次进800台电扇时的批发价格.讲解注意：

例5某工厂生产某产品,每日最多生产200单位.它的日固定成本为150元,生产一个单位产品的可变成本为16元.求该厂日总成本函数及平均成本函数.讲解注意：

例6某工厂生产某产品年产量为q台,每台售价500元,当年产量超过800台时,超过部分只能按9折出售.这样可多售出200台,如果再多生产.本年就销售不出去了.试写出本年的收益(入)函数.

讲解注意：

例7已知某厂生产单位产品时,可变成本为15元,每天的固定成本为2000元,如这种产品出厂价为20元,求(1)利润函数;(2)若不亏本,该厂每天至少生产多少单位这种产品.

讲解注意：

例8某电器厂生产一种新产品,在定价时不单是根据生产成本而定,还要请各销售单位来出价,即他们愿意以什么价格来购买.根据调查得出需求函数为x900P45000.该厂生产该产品的固定成本是270000元,而单位产品的变动成本为10元.为获得最大利润,出厂价格应为多少?

讲解注意：

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例9已知某商品的成本函数与收入函数分别是C123xx2R11x试求该商品的盈亏平衡点,并说明盈亏情况.

讲解注意：

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第四节 数列的极限

1、内容分布图示

★ 极限概念的引入

★ 数列的意义 ★ 数列的极限

★ 例1

★ 例

2★ 例

3★ 例

4★ 例

5★ 例6 ★ 收敛数列的有界性

★ 极限的唯一性

★ 例7

★ 收敛数列的保号性

★ 子数列的收敛性

★ 内容小结

★习题1-4

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1证明limn(1)n1n1.n

讲解注意：

例2证明limqn0,其中q1.n

讲解注意：

例3用数列极限定义证明52n2.n13n3lim

讲解注意：

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n221.例4用数列极限定义证明lim2nnn1

讲解注意：

例5设xn0,且limxna0,求证limnnxna.

讲解注意：

例6证明:若limxnA,则存在正整数N,当nN时,不等式n|xn||A|2成立.

讲解注意：

例7证明数列xn(1)n1是发散的.

讲解注意：

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第五节 函数的极限

1、内容分布图示

★ 自变量趋向无穷大时函数的极限

★ 例

1 ★ 例

2 ★ 例3 ★ 自变量趋向有限值时函数的极限

★ 例

4 ★ 例5

★ 左右极限

★ 例6

★ 例7 ★ 函数极限的性质

★ 子序列收敛性 ★ 函数极限与数列极限的关系

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-5

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1证明lim讲解注意：

sinx0.xx

例2用函数极限的X定义证明limxx21.x1

讲解注意：

例3(1)lim12xx0;(2)lim2x0.x

讲解注意：

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例4证明limx212.x1x1

讲解注意：

例5证明:当x00时,lim讲解注意：

xx0xx0.

例6设f(x)讲解注意：

例7验证lim1x,x01,x0x2,求limf(x).x0

x0x不存在.x

讲解注意：

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第六节 无穷大与无穷小

1、内容分布图示

★ 无穷小

★ 无穷小与函数极限的关系

★ 例1 ★ 无穷小的运算性质

★ 例2 ★ 无穷大

★ 无穷大与无界变量

★ 无穷小与无穷大的关系

★ 例3

★ 内容小结

★习题1-6

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

1例1根据定义证明:yx2sinx当x0时为无穷小.

讲解注意：

例2求lim讲解注意：

xsinx.x

x4.例3求lim3xx5讲解注意：

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第七节 极限运算法则

1、内容分布图示

★ 极限运算法则

★ 例1

★ 例2 –3

★ 例

4 ★ 例

5 ★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11 ★ 复合函数的极限运算法则

★ 例 12

★ 例 13

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-7

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求x31xlim2x23x5.

讲解注意：

例2求lim4x1x22x3.x1

讲解注意：

例3求limx21.x1x22x3

讲解注意：

★ 例 14

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例4求lim讲解注意：

2x33x257x34x21x.

例5求lim讲解注意：

x12n222nnn

例6计算下列极限:x1lim(1x)(1x)(1x)(1x)334.

讲解注意：

例7计算下列极限:12lim.x11x21x

讲解注意：

例8计算下列极限:3xlim8x36x25x1.3x2

讲解注意：

例9计算下列极限:xlim(sinx1sinx).

讲解注意：

例10求lim(x2xx2x).x8

讲解注意：

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例11计算下列极限:3(1)limnn2sinn!;n1(2)x0limtanx12ex.

讲解注意：

例12已知x1,f(x)x23x1,x31xx0x0求limf(x),limf(x),limf(x).x0x

讲解注意：

例13求极限limlnx1[x21.2(x1)]

讲解注意：

例14已知lim(5xax2bxc)2,求a,b之值.x

讲解注意：

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第八节 极限存在准则

两个重要极限

1、内容分布图示

★夹逼准则★例1★例2★单调有界准则★例4★limsinx1x0x★例6★例7★例9★例10 x★xlim(11x)e★例12 ★例13 ★例15 ★例16 ★例17 柯西极限存在准则★连续复制★内容小结★课堂练习★习题1-8★返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求nlim1n211n221n2n

讲解注意：

例2计算下列极限:(1)lim(1nn23n1)n;(2)1nlimn21(n1)21(nn)2

讲解注意：

★例3★例5★例8★例11★例14★例18

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例3证明下列极限:n0(a1);nanan(2)lim0(a0);nn!n!(3)limn0.nn(1)lim

讲解注意：

例4证明数列xn333(n重根式)的极限存在.讲解注意：

例5设a0为常数,数列xn由下式定义:xn1axn1xn12n

(n1,2,)其中x0为大于零的常数,求limxn.

讲解注意：

例6求lim讲解注意：

tan3x.x0sin5x

例7求lim讲解注意：

x01cosx.x2

例8下列运算过程是否正确:xlimxtanxtanxxtanxlimlimlim1.sinxxxsinxxxxsinx

讲解注意：

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例9计算lim讲解注意：

cosxcos3x.2x0x

例10计算lim讲解注意：

x21xsinxcosxx0.

例11计算lim讲解注意：

x02tanx2sinx.x3

1例12求lim1xx讲解注意：

().x

例13计算下列极限:limx01x(12x);

讲解注意：

例14求lim1n(1n)n3.

讲解注意：

例15求lim讲解注意：

x(x2x21)x.

例16计算limxx0cosx.

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讲解注意：

例17计算lim(ex0x1xx).

讲解注意：

tan2x.例18求极限lim(tanx)x4

讲解注意：

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第九节 无穷小的比较

1、内容分布图示

★ 无穷小的比较

★ 例1-2

★ 例3 ★ 常用等价无穷小

★ 等价无穷小替换定理

★ 例

4 ★ 例

5 ★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-9 ★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1证明:当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.

讲解注意：

例2当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.

讲解注意：

例3当x1时,试将下列各量与无穷小量x1进行比较:(1)x33x2;(2)lgx;(3)(x1)sin1.x1

讲解注意：

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例4求limx0tan2x.sin5x

讲解注意：

例5求limtanxsinx.sin32xx0

讲解注意：

(1x2)1/31.例6求limx0cosx1

讲解注意：

例7计算lim1tanx1tanx12x1.x0

讲解注意：

exexcosx.例8计算limx0xln(1x2)讲解注意：

例9计算lim讲解注意：

x021cosx.sin2x

例10求lim讲解注意：

x0ln(1xx2)ln(1xx2).secxcosx

例11求limx0tan5xcosx1.sin3x

高等数学教学备课系统

讲解注意：

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第十节 函数的连续性与间断点

1、内容分布图示

★ 函数的连续性

★ 例

1★ 例2 ★ 左右连续

★ 例3

★ 例

4★ 例5 ★ 连续函数与连续区间

★ 例6

★ 函数的间断点

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 例 12

★ 内容小结

★ 课堂练习

★习题1-10

★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

xsin1,x0,x例1试证函数f(x)在x0处连续.x0,0,

讲解注意：

例2f(x)是定义于[a,b]上的单调增加函数,x0(a,b),若xx0limf(x)存在,证明f(x)在x0连续.

讲解注意：

x2,x0,()fx3例讨论在x0处的连续性.x2,x0,

高等数学教学备课系统

讲解注意：

1x,x02x0在x0和x1处的连例4讨论函数f(x)0,1x2,0x1x14x,续性.

讲解注意：

x4axb,x1,x2,例5设f(x)(x1)(x2)为使f(x)在x1x1,2,处连续,a与b应如何取值?

讲解注意：

例6证明函数ysinx在区间(,)内连续.

讲解注意：

例7讨论函数f(x)x,x0,1x,x0,在x0处的连续性.

讲解注意：

例8讨论函数2x,0x1f(x)1,x1x11x,在x1处的连续性.

讲解注意：

1,x0,x例9讨论函数f(x)在x0处的连续性.,0,xx

讲解注意：

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例10求下列函数的间断点,并判断其类型.若为可去间断点,试补充或修改定义后使其为连续点.x2x|x|(x21),f(x)0,x1及0x1

讲解注意：

xsin1,x0,x例11研究f(x)在x0的连续性.ex,x0,

讲解注意：

xx2enx例12讨论f(x)lim的连续性.n1enx

讲解注意：

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第十一节 连续函数的运算与性质

1、内容分布图示

★ 连续函数的算术运算

★ 复合函数的连续性

★ 例1★ 初等函数的连续性

★ 例

3★ 例

2 ★ 例4

闭区间上连续函数的性质 ★ 最大最小值定理与有界性定理

★ 零点定理与介值定理

★ 例5

★ 例6

★ 例7

★ 内容小结

★ 课堂练习★习题1-11 ★ 返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1求nlimcos(x1x).

讲解注意：

例2求limln(1x)x0x.

讲解注意：

例3求limx1sinex1.

讲解注意：

★ 例8

高等数学教学备课系统

例4求lim(x2ex01xx1).

讲解注意：

例5证明方程x34x210在区间(0,1)内至少有一个根.

讲解注意：

例6证明方程内的两个实根.1110有分别包含于(1,2),(2,3)x1x2x3

讲解注意：

例7设函数f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)a,f(b)b证明:(a,b),使得f().

讲解注意：

例8设f(x)在[a,)上连续,f(a)0,且limf(x)A0,x证明:在(a,)上至少有一点,使f()0.讲解注意：

第14篇：高等数学函数极限连续练习题及解析

数学任务——启动——习题

1一、选择题：

(1) 函数yxarccosx1的定义域是()

2(A) x1;(B) 3x1(C) 3,1(D) xx1x3x

1(2)函数yxcosxsinx是()

(A)偶函数(B)奇函数(C)非奇非偶函数(D)奇偶函数

(3)函数y1cos

2x的最小正周期是()

(A)2(B)

(4)与y(C) 4(D) 1 2x2等价的函数是()

(A)x;(B) x(C) x(D) 23x

x11x0(5) fx,则limfx() x0x1x0

(A)-1(B)1(C)0(D)不存在

二、填空题：

(1) 若f1

t52t2,则ft_________,ft21__________.t



1(2) tsinx3 ，则______。 ______,66x

30,1，则fx2的定义域为______，fsinx的定义域为x(3) 若fx的定义域为

______，fxaa0的定义域为___，fxafxaa0的定义域为______。

14x

2(4) lim。 __________

12x1x2

(5) 无穷小量皆以______为极限。

三、计算题

(1) 证明函数y11sin在区间0,1上无界，但当x0时，这个函数不是无穷大。 xx

(2) 求下列极限 (1)lim2x33x25

x7x34x21

(3)limtanxtan2x

x

(5)limex1

x

x0

(7)limxsinx1

x0x2arctanx

(2)lim1cos2x x0xsinx(4)lim12n3n1n n (6)limtanxsinxx0sin32x 1 (8) limxex1x

(3) 设fx

1xx0 ，求limfx。 2x0x1x0

(4) 证明数列2,22,222,的极限存在，并求出该极限。

f(x)2x3f(x)2,lim3, 求f(x) (5) 设f(x)是多项式, 且lim2xx0xx

(6) 证明方程xasinxb，其中a0,b0，至少有一个正根，并且它不超过ab。

x2axb2,求:a,b.(7).lim2x2xx2

第15篇：函数、极限与连续测试卷带答案

上海民航学院

函数、极限与连续测试卷

总分100分命题人:叶茂莹

一、填空题（每空2分，共20分）

1、函数y32x|4的定义域是；解：|32x|40,32x4,或32x4 2x1,或2x7

17x,或x 2

217x(,][,) 22

2、把复合函数yearctan(1x)分解成简单的函数________________________；解：yeu,uarctanv,v1x

23、函数yarcsin2x的反函数是_____________________；1解：ysinx,x, 222

1x

4、lim；xx2x

21x解：limxx2x1xlim1e2 xx2

(2x1)15(3x1)30

；

5、limx(3x2)4

5(2x1)15(3x1)302153302 解：lim4545x(3x2)33

x23x

26、lim2；x2x4x12x1x2limx11x23x2lim解：lim2 x2x6x2x4x12x2x6x281

57、

x1；

2解：

limx1xx1

2x12x1 x13x

13

4x2的连续区间为(x1)(x4)

解：x20,且x1x40

8、函数f(x)

x2,x1,x4,

x[2,1)(1,4)(4,)

ax2bx

19、已知a，b为常数，lim2，则a，b.x2x

1ax2bx1解：因为x的最高次为2，lim2 x2x1

所以a0，b2，即b4

2x0在点x0处连续，则a

x0

x1lim1xxx022x

10、已知f(x)(1x)a解：limfxlim1xx0x0e

2因为fx在点x0处连续，f0alimfxe2，所以ae2。 x0

二、单项选择题（每小题4分，共20分．）

1、下列函数中，定义域为全体实数的是（D）

yx2x（A）（B）y1(C) y2x1(D)yx24x5 lg|x1|

解：（A）yx2x，x2x0,xx10,x0或x1 （B）y1,|x1|0,lg|x1|0,所以x1,x11,即x1,x0 lg|x1|

2x10，2x1，x0 (C

) y(D

)yx24x5x210,xR

2、当x0时，sin2x是x的（C）

（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小

(C) 同阶但不等价无穷小(D) 等价无穷小 解：limsin2x2 x0x

3、下列极限值等于1的是（D）（A）limsinxsin2xsinxsinx（B）lim(C)lim(D)lim xx0x2xxxxx

sinx xx解：（A）lim

（B）lim

(C)lim

(D)limsin2x2 x0xsinxsin20 x2x2sinxsinxlim1 xxxx

14、函数f(x)xsin在点x0处（ B）． x

（A）有定义且有极限（B）无定义但有极限（C）有定义但无极限(D) 无定义且无极限 111解：因为limx0sin1，所以limf(x)limxsin0 limf(x)limxsin，x0x0x0x0x0xxx

5、下列叙述正确的是（B）（A）分段函数的分界点必是间断点

（B）函数无定义处必是间断点

(C)若limf(x)存在，则x0不可能是第一类跳跃间断点； xx0

(D)若f(x00)f(x00)A，则x0必是连续点

三、简单计算题（每小题5分，共30分）

2x,x0

1、设f(x)x，求f(1),f(1)；2,x0

解：10,f(1)21

110,f(1)21

22、设f(sinx)cos2x1，求f(cosx)；

解：f(sinx)cos2x112sin2x122sin2x

f(cosx)22cos2x2sin2x1cos2x

x1x4，

3、设函数f(x)=，求limf(x)及limf(x)，问limf(x)是否存x1x1x12x1，x1

在？；

fxlim解：limx45 x1x

1x1limfxlim2x11 x1

x1x1fxlimfx 因为lim

所以limfx不存在 x1

61

4、计算lim2；x2x3x9

6x361112limlim解：lim x2x2x3x2x9x3x3x35

21xsin，x0

5、设函数f(x)，讨论f(x)在x0的连续性；x

ax2，x0

解：因为limx0，sin

2x01211，所以limf(x)limxsin0 x0x0xxx0limfxlimax2a，f0a x0

x0x0f(x)0limf(x)f(0)，f(x)在x0的连续。 当a0时，lim

f(x)0limf(x)f(0)a，f(x)在x0的不连续，为跳当a0时，limx0x0

跃间断点。

x2，0x

16、设函数f(x)，讨论f(x)在x1的连续性.x1x1，

2fxlimx1， 解：limx1x

1x1limf(x)limx12 x1

x1limfxlimfx x1

f(x)在x1的不连续，为跳跃间断点。

四、解答题（每小题6分，共30分）

1、lim

解：

x0x0x1； sin3xx0

1x0x1

6x21axb

2、已知 lim0，求a,b的值； xx1

解：

x21axx1bx1x2ax2abx1bx21limaxblimlim0xxxx1x1x1

1a0,ab0

a1,b

1sin2x，x0

3、函数f(x)x，问常数k为何值时，函数f(x)在其定义域内3x22xk，x0

连续？；

解：

x0limfxlimx0

x0sin2x2， xx0limf(x)lim3x22xkk 

因为函数f(x)在其定义域内连续

所以limfx2limfxk x0x0

所以k

2ex，x0

4、设f(x)1，x0求limf(x),limf(x)并问f(x)在x0处是否连续？ x0x0sinx,x0x

解：因为

x0xlimfxlime1， x0

x0limf(x)limx0

x0sinx1 xx0所以limfx1limfxf0

所以f(x)在x0处是连续。

5、设函数f在[0,2a]上连续，且f(0)f(2a)，证明：存在点x0[0,a]，使得f(x0)f(x0a)

证明：令gxfxafx,x0,a 因为f在[0,2a]上连续，所以gx在x0,a连续 g0f0af0=faf0

gafaafa=f2afaf0fa 所以g0ga0

所以存在点x0[0,a]，使得gx00。 即存在点x0[0,a]，使得f(x0)f(x0a)

第16篇：高数课件函数极限和连续

一、函数极限和连续自测题

1,是非题

（1）无界变量不一定是无穷大量

（

） （2）若limf(x)a，则f(x)在x0处必有定义

（

）

xx012x（3）极限lim2sinxlimx0

（

）

xx33x2，选择题

（1）当x0时，无穷小量1x1x是x的

（

） A．等价无穷小

B.同阶但不等价

C.高阶无穷小

D.低价无穷小

x11x0（2）设函数f(x)，则x0是f(x)的

(

) x0x0A.可去间断点 B.无穷间断点

C 连续点

D 跳跃间断点

exx0（3）设函数f(x)，要使f(x)在x0处连续，则a

(

) axx0A.2

B 1

C 0

D 1

3n25n1

（

） （4）lim2n6n3n2A 151

B 

C 

D  2321xsinx0x(5)设f(x)，则在x0处f(x)

（

）

1sinx1x0xA 有定义

B 有极限

C 连续

D左连续

3(6)x1是函数yx1的

（

） x1A 可去间断点

B 无穷间断点

C 连续

D跳跃间断点

3.求下列极限

（1）limxxsinxsin(2x)x23

（2）lim

（3）lim

x0x12xln(12x)x1e2x1（4）lim

（5）limn[ln(1n)lnn]

（6）lim(sinn1sinn)

nnx0x2x3x2(sinx3)tanx2lim() (7) lim

(8)

（9）limx(x1x)x2x1x01cosx2xcosxcosaarctanxexex0（10）lim

(11) lim

（12）lim

xaxxx0xxxax0x232x21sin(x1))（13）lim

（14）lim(2

xx1x1x24，求满足下列条件的a,b的值

1x2xab

（2）lim(3xax2x1) （1）limxx26x2tanaxx0axb2

(4)已知f(x)x（3）lim且limf(x)存在

x0x1x2x2x0x122（5）已知f(x)xaxb1x1在(,)内连续

2x1sin2xe2ax1x0(6)函数f(x)在x0点连续 xax05．求下列函数的间断点并判断其类型

x1x11cosxx21（1）y2

（2）y

（3）f(x)

sinxx3x23xx11x0x（4）f(x)ex1

（5）y

tanxln(1x)1x026.已知x1时，xax5x1是同阶无穷小，求a

7.证明方程x4x20在区间(1,2)内至少有一个根 8.当x0时，eln(1x)1与x是同阶无穷小，求n 9.设函数f(x)a,(a0,a1)，求limxxn41ln[f(1)f(2)f(n)]

nn2

第17篇：函数、极限、连续 易混淆概念总结

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《高等数学》易混淆概念

一、函数、极限、连续

1.1 无界变量一定是无穷大量吗？

答：不一定是．

xXD 无界变量：设函数f(x)的定义域为D，如果存在正数M，使得f(x)M，

则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就成函数f(x)在X上无界；也就是说如果对于任何正数M，总存在x1X，使f(x1)M，那么函数f(x)在X上无界．

无穷大量：设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或x大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数（或正数X），只要x适合不等式0xx0（或xX），对应的函数值f(x)总满足不等式f(x)M，则称函数f(x)为当xx0（或x）时的无穷大．

注意相互关系: 无穷大变量一定是无界变量, 无界变量不一定是无穷大变量.

根据以上叙述, 很容易举出无界变量不一定是无穷大变量的反例:

例1.1．fxx,gxx,xn，limfxlimx， 即当 x时, x0,xnx

fx是无穷大量；对于gx, 当x时, gx的值总可以大于任何的正数M, 但是也总有可能等于0 gn0.所以当 x时, gx是无界变量但不是无穷大量.

例1.2． 当 gx时, fxxsinx是无界变量, 不是无穷大量.

1.2 当a0时，limf(x)a，可以推出limf(x)a成立；反之，若limf(x)a， x0x0x0

可以推出成立limf(x)a吗？当a0的时候呢？

x0

答：当a0时，反过来是不一定成立的．例如：若an则此时an的绝对值极限为1，而本身极限不存在．

1n为偶数

,

1n为奇数

当a0时，limf(x)alimf(x)a，并且对于任意的极限过程都是成立的．

x0

x0

1.3 设xnznyn，且lim(ynxn)0,则limzn一定存在吗？

n

n

答：不一定存在．

分析：若limxnlimyna0，由夹逼定理可得limzna0．取，

n

n

n

11

xn(1)n,yn(1)n,zn(1)n，则xnznyn，且lim(ynxn)0，

nnn

但limzn不存在．遇到此类问题一定要会用反例．

n

1.4 和函数的极限一定等于函数的极限和吗？答：不一定．

例1.3： lim(

12n

...) 22nn2n1nn2nnn12n

lim2lim2...lim2 nnn1nnn2nnnn00...00，

对吗？显然不对．原因在于：错用了极限的运算法则中“和的极限等于极限的和”，这一法则只适用于有限项的和，不适用无限项的和．

正确答案：因为，

12n12n

...... 222222

nnnnnnnnnnn1nn2nnn

12n22...2所以， nn1nn1nn1



n(n1)12nn(n1)

... 22222

2(nnn)nn1nn2nnn2(nn1)n(n1)n(n1)1

lim，故由夹逼准则得，

n2(n2nn)n2(n2n1)2

lim(

n

而，lim

12n1

...)

n2n1n2n2n2nn2

例1.4：求极限lim

1nn

...2

解答：因为，lim1nn

...lim

n



kn

n

k1

limf()xk

nnnk1

其中，f(x)xk所以，原式



n

，















x cosdx

2

如何求此类函数的极限值呢？通常有两种方法：

①用“夹逼准则”，适当的“放大”和“缩小”所求的式子，求出其极限．如例1.3； ②用“定积分定义”，把所求的式子看做是某个函数在某个区间上的积分，利用积分求出其极限值．如例1.4．

1.5 函数乘积的极限等于各个函数极限的乘积吗？

答：不一定．只有当各个函数的极限都存在时，该命题才成立．

x2sin

例1.5：lim

x0

sinx

limx

x0

11

limsin0，对吗？ x0xlimx0x

这样做的错误在于limsin

x0

不存在，从而不能利用“函数乘积的极限等于极限的乘积”x

这一结论．正确的做法：

因为limxsin

x0

1sinx=0，（无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量）．而lim=1，所

x0xx

以，原函数极限为0.

虽然结果一样，但是也要运用正确的求解方法求解．

1.6 含参数的数列极限中常见的问题.

例1.6： lim

1e

n1，这样做对吗？ nxn1elim(1enx)

n

nx

lim(1enx)

这样做是不对的，错误在于，忽视了对参数取值范围的讨论.

enx)1enxlim(1n

正确解答，当x0时, lim1.nxn1enxlim(1e)

n

当x0时, lim

1e

nnxnx1 nxn1elime(e1)

n

nx

limenx(enx1)

注：含参数数列或函数求极限时，注意对参数进行讨论．

1.7 如果函数极限不存在，那么极限一定是无穷大吗？答：不一定．

当xx0（或x）时的无穷大的函数f(x)，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．

x1

例1.7：函数f(x)0

x1

x0x0x0

，当x0时f(x)的极限不存在．

1.8如果limf(x)0，那么是否有lim

xx0

xx0

？ f(x)

答：不一定．

x

例1.8：f(x)

0

x为有理数lim，则x

x0

x为无理数

f(x)0，但由于1

f(x)

在x0的任一

邻域的无理点均没有定义，故无法讨论

在x0的极限． f(x)

结论：如果limf(x)0，且f(x)在x0的某一去心邻域内满足f(x)0，则

xx0

xx0

li11

．反之，f(x)为无穷大，则为无穷小． f(x)f(x)

1.9 求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是否相等，遇到间断点求极限要注意左右极限是否相等．

例1.9：求极限lime,lime

x

x0x

1x

解：limex,limex0，因而x时ex极限不存在．

x

x1x

lime0,lime，因而x0时e极限不存在．

x0

x0

1x1x

1.10 利用等价无穷小代换求极限时应注意的问题．

tanxsinx

x0x3

tanxsinxxx

lim0解：lim33x0x0xx

例1.10：求极限lim

利用等价无穷小代换．这样计算对吗？计算的错误在于在运算过程中利用了未加证明的

命题．

若~\',~\',则~\'\'.考察这个命题，



limlimlim，当1时,这个命题是真命题；当

11

时,命题是假命题． 1





对于例1.10，因为， sinx,tanx,\'\'x，lim所以，证明的结论是错误的．正确解答:

sinxlim1 x0x0tanx

x2x

tanxsinxtanx(1cosx)1.limlimlimx0x0x0x3x3x32

sin(x2sin 例1.11：求lim

x0x

11

sin(x2sin)x2sin

limlimxsin10 错误解答: lim

x0x0x0xxx

错误的原因在于在运算中错误的运用了等价无穷小代换：

11

sinx2sinx2sin,x0

xx

而根据无穷小的比较的定义，当x取所以不能用等价无穷小的代换．

正确解答：当x0时，

111(nZ)时，sin(x2sin)和x2sin均为0， nxx

11sin(x2sin)x2sin

11x0(x0) sin(x2sin)x2sinx2，xxxx

所以，由夹逼准则知原函数极限为0．

sinx

xx

解：本题切忌将sinx用x等价代换，导致结果为1．

sinxsin

应该为：lim0.

xx

例1.12：求极限lim

注意：

（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用．这时，一般可以用泰勒公式来求极限．

（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换．

1.11 函数连续性的判断

（1）设f(x)在xx0间断，g(x)在xx0连续，则f(x)g(x)在xx0间断．而

f(x)g(x),f2(x),f(x)在xx0可能连续．

0

例如，设f(x)

1

x0

，g(x)sinx，则f(x)在x0间断，g(x)在x0连续，x0

f(x)g(x)f(x)sinx0在x0连续．

1

若设f(x)

1

x0

，f(x)在x0间断，但f2(x)f(x)1在x0均连续． x0

（2）“f(x)在x0点连续”是“f(x)在x0点连续”的充分不必要条件．

xa”可得“如果limf(x)f(x0)，则分析：由“若limf(x)a，则limf(

xx0

xx0xx0

xx0

limf(xfx(0)”，因此，f(x)在x0点连续，则f(x)在x0点连续．f(x)

在x0点连续并不能推出f(x)在x0点连续．

（3）(x)在xx0连续，f(u)在uu0(x0)连续，则f((x))在xx0连续．其余结论均不一定成立．

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第18篇：第一章函数、极限与连续学习指导

第一章函数、极限与连续

重点：极限基本理论及计算、闭区间上连续函数的性质。

难点：

1．计算极限技巧；

2．极限的“X”，“”语言，

（一）

A1函数概念是高等数学的基本概念，反应了同一过程中，几个变量的联系以及依赖关系。函数定义强调了自变量x在定义D上每取一值时，函数y都有唯一确定的值与它对应，而对于对应关系的形式，定义中并无限制，因此一个函数可以用分析式子来表达，也可以用图象法和表格法来表达。在用分析式子来表达时，可用一个式子表达，也可用几个式子（即分段函数），参数式（实质是以参变量为中间变量的复合函数），隐式（即隐函数）表达。

A2高等数学讨论的函数主要是初等函数。初等函数是由基本初等函数组成，因此对基本初等函数及其性质要非常熟悉，否则在研究初等函数的性质时会遇到困难。对基本初等函数以及性质的深入了解应结合函数图形进行，将函数的性质与图形的特点逐一对照，在此基础上利用图形来记忆函数的性质。

A3由于极限是研究变量在无限变化过程中的趋势，因此必须从变化的、运动的角度来认识极限，在极限的描述性定义中应明确fx“无限接近于A”的含义。“fx无限接近于A”是指x在某一过程中，fx与A要有多接近就有多接近，或者说fx与A的误差可达到任意小。

“x无限接近于a”，“fx无限接近于A”均刻划了变量无限接近于某个常数。这里有两点值得注意：

①无限接近是指在变化过程中，变量与某个常量要有多接近就有多接近，或者说fx与A的误差可以达到任意小，因此“无限接近”与“越来越接近”的含义是不同的。

②变量无限接近于某个常量并没有要求达到这个常量，如“x无限接近于a时，fx无限接近于A”，这个描述并不要求也不要求．．．x最终达到a，．．．fx达到A。这一点不可忽视。

A4闭区间上连续函数具有：有界性、最值性、介值性、零值性。在这里，闭区间与函数连续这两个前提应引起充分的注意，当前提不满足时结论就不能成立。

数列极限是特殊的函数极限。因此，其极限性质也有其特殊性。如函数极限只具有局部有界性，而存在极限的数列xn是有界的，这里就有一个局部和整体的差别，其它性质也可进行对照比较。

A5闭区间上连续函数的性质在实际中应用较广泛，在科学技术中常需知某个方程的根的近似值。对于较复杂的方程，若知fafb0便可由零值定理知所求的根落在a,b内，而求出满足fafb0的a，b一般比求出方程

fx0的根要容易得多。

（二）

B1“连续”是个局部的概念，是在xx0这一点定义的，因此区间上的连续函数是指对区间上的任一点处，函数都连续。

B2函数fx在x0连续的定义常用以下两种：

定义1：若fx在点x0的某个邻域内有定义，且limfxfa，则称函数

xx0

fx在x0处连续。

定义2：若fx在点x0的某个邻域内有定义，且fx在x0处有limy0，

x0

则称函数fx在x0处连续。

从以上定义中看出，fx在x0处连续的充要条件为同时满足以下三条： ①limfx存在；②fx在xx0处有定义；③极限值limfx与函数值

xx0

xx0

fx0相等。

B3无穷小量就是极限为0的变量，因此，极限为的变量显然不是无穷小量，依无穷大量的定义，它是无穷大量。

常用的等价无穷小量：当x0时，x~sinx~tgx~ln1x~ex1；

ax1~xlnaa0；1x1~x0。



B

4计算极限的基本方法小结：

1．利用极限四则运算、夹逼原理、两个重要极限求极限； 2．约简分式、分子（分母）有理化法； 3．变量替换法； 4．等价无穷小的替换法； 5．利用连续函数求极限法 6．利用对数求极限法；

7．利用洛必塔法则求极限（第二章后）。

（三）

，“”语言定义函数极限具有简练、精确、使用方便的C1用“X”

特点。但由于这种语言要通过一些符号、式子来表达，从而比较抽象。因此应将极限的描述性定义与用“X”，“”语言给出的定义加以对照，深入理解。

下面以limfxA为例，将极限的描述性定义转化为用“”语言给出

xx0

的定义，从而加深对用“”语言的理解。

xx0

limfxA表示了：

当x无限接近于x0时，因变量fx无限地接近于常数A，

即：fxA可以任意小，只要xx0充分小（不用考虑xx0的情况） 即：0，只要xx0充分小，（不用考虑xx0的情况），就有fxA， 即：0，0，当0xx0时，就有fx。

这时应注意到，且不唯一。而定义中对，只要求了它的存在性，加外并无要求。由的任意给定和fxA的呼应，用运动变化的观点来刻划fx与A的无限接近。

，“”语言中，X、均用于刻划自变量x的变化过程，C2“X”

而是用于刻划因变量y的变化趋势的。自变量x的变化过程有：x、



、xx0。而对自变量每个变化过程，因x、x、xx、xx0

变量yfx可有不同的变化趋势：fxA、fx、fx、（当然也可以考虑分得更fx。因此搭配起来就有24个不同的极限定义。细些）

只要真正掌握了极限的基本思想，理解了以上C1，这24个不同的极限定义，是可以理解和掌握的。

，“”语言给出的极限定义。 C3可利用图象理解“X”

从图中易看出无论取多么小，作二条平行线yA，一定存在邻域

ˆ0,，当x在这个邻域内变化的时候，对应函数图象落入这二条平行线之间。Nx

请将图中看到的这个结果与极限的“”的叙述语言联系起来考虑，并可考虑相应的图象来理解“”语言给出的极限定义。

，“”语言来证明函数的极限为某值时，语言一定C4使用“X”

要规范，初学者应按教材上的例题为范例，进行证明，否则易走弯路。

例证明：当x00时，limxx0。

xx0

证：0， 因为fxA

xx0

xx0xx0

1x0

xx0

要使fxA

，只要xx0x0，且x0， 而x0，可用xx0x0保证，因此取minx0,x0 则当x满足0xx0时，对应的函数值x满足不等式

xx0



即limxx0。

xx0

特别注意：

①证明中的划直线部分，实际上正是limxx0的“”语言定义；

xx0

②划曲线部分是用“X”，“”语言来证明xx0时，函数极限为A这类问题的主要叙述语言，要尽快地熟悉和掌握；

③式子fxA

1x0

该式应引起充分注意，通过放大的手段，xx0，

将fxA与xx0联系起来了。

④从以上证明中不难看出的取法不唯一，对小于minx0,x0的数均可作为。



C5一致连续是个整体性的概念，它与fx在区间上连续的差别在于fx在区间I上连续，即0，对I上的不同的x0，分别存在x00，当xx0x0

时，fxfx0，这里的x0一般因x0的不同而不同。但若fx在区间I上一致连续，则对于给定的0，存在公共的0，对于I上的任一x0，当恒有fxfx0 成立。由于x与x0地位是相当的，因此f在xx0时，

I上一致连续用“”语言来定义时通常表达为：0，0，x1I，

x2I，当x1x2时恒有fx1fx2。

C6柯西准则

我们以数列极限为例容易知道，①有极限的数列在n充分大时，它们的项的变化是很微小的。这个特点就是收敛数列的本质。因此，一个数列的收敛或发散可从该数列本身的结构入手进行刻划，柯西准则就是这样刻划数列的敛散性的，它是数列an存在极限的充要条件。

②柯西准则中的an，am是指数列在N项以后的任二项。

第19篇：多元函数的极限与连续习题

多元函数的极限与连续习题

1.用极限定义证明:lim(3x2y)14。x2y1

2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。

（1）f(x,y)xy； xy

(2)f(x,y)(xy)sisi； 1

x1y

x3y3

(3)f(x,y)2； xy

1(4)f(x,y)ysi。 x

3.求极限（1）lim(xy)x0y022x2y2；

（2）limx2y2

xy122x0y0；

（3）lim(xy)sinx0y01； 22xy

sin(x2y2)（4）lim。 22x0xyy0

ln(1xy)4.试证明函数f(x,y)xy

x0x0在其定义域上是连续的。

1.用极限定义证明:lim(3x2y)14。

x2y1

因为x2,y1，不妨设|x2|0,|y1|0， 有|x2||x24||x2|45，|3x2y14||3x122y2|

3|x2||x2|2|y1|15|x2|2|y1|15[|x2||y1|]

0，要使不等式

|3x2y14|15[|x2||y1|]成立 取min{



30

,1}，于是

0， min{



30

,1}0，(x,y)：|x2|,|y1|

且 (x,y)(2,1)，有|3x2y14|，即证。

2.讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。（1）f(x,y)

xy

； xy

xyxy

limli1， ，limlim1

y0x0xyx0y0xy

二重极限不存在。

xyxy1

或lim0 ，li。

x0xyx0xy3

yx

y2x

(2)f(x,y)(xy)sin

11sin； xy

11

0|(xy)sinsin||x||y|

xy

可以证明lim(|x||y|)0所以limf(x,y)0。

x0y0

x0y0

当x

111

，y0时，f(x,y)(xy)sinsin极限不存在， kxy

11

因此limlim(xy)sisi不存在，

x0y0xy

lim(xy)sisi不存在。 同理lim

y0x0

x1y

x3y3

(3)f(x,y)2；

xy

2x3

limf(x,y)lim0， x0x0xx

yx

当 P(x, y)沿着yxx趋于（0,0）时有

23

yxx

x3(x3x2)3limf(x,y)li21， x0x0xx3x223

x0y0

所以 limf(x,y)不存在；

limlimf(x,y)0，limlimf(x,y)0。

x0y0

y0x0

(4)f(x,y)ysin

1 x

0|ysin||y|

x

∴limf(x,y)0，

x0y0

11

limlimysi0，limlimysi不存在。 x0y0y0x0xx

3.求极限（1）lim(xy)

x0

y0

2x2y2

；

(x2y2)2

0|xyln(xy)||ln(x2y2)|，

22

(x2y2)2t

ln(x2y2)limlnt0，又 lim

x0t044

y0

∴lim(xy)

x0

y0

2x2y2

e

limx2y2ln(x2y2)(x,y)(0,0)

1。

（2）lim

x2y2xy1

x0y0

；

(x2y2)(x2y21)lim2。lim2222x001xy1xy1x

y0y0

x2y2

（3）lim(xy)sin

x0y0

；22

xy

||xy|，|(xy)sin2

xy

而lim(xy)0

x0

y0

故lim(xy)si20。 2x0xyy0

sin(x2y2)

（4）lim。 22x0xyy0

令xrcos，yrsin，(x,y)(0,0)时，r0，

sin(x2y2)sinr2

limlim21。 22x0r0rxyy0

ln(1xy)

4.试证明函数f(x,y)x

y

x0x0

在其定义域上是连续的。

证明：显然f(x, y)的定义域是xy>-1.

当x0时，f(x, y)是连续的， 只需证明其作为二元函数在y轴的每一点上连续。以下分两种情况讨论。 （1） 在原点（0,0）处

f(0, 0)=0,当x0时

0ln(1xy)1f(x,y)

xyxyln(1xy)

由于limln1(xy)

x0

y0

1xy

y0

,

y0

1

1xy

不妨设|ln1(xy)从而0， 取

xy

1|1，|ln1(xy)|2，

，当0|x|,0|y|时，



ln(1xy)

0||yln(1xy)xy||

x

|y||ln(1xy)|2|y|，

于是，无论x0,x0，当|x|,|y|时，都有limf(x,y)0f(0,0)

x0y0

1xy

（2） 在(0,)处。（0)

xy

当x0时， |f(x,y)f(0,)||yln(1xy)

1xy

|

1(xy)|y(ln1)(y)| 1||y|

|y||ln(1xy)

xy

当x=0时,|f(x,y)f(0,)||y|,

1xy

注意到，当0时limln1(xy)

x0

y1，

于是，无论x0,x0， 当0时lim|f(x,y)f(0,)|0，

x0y即 f(x, y)在在(0,)处连续， 综上，f(x, y)在其定义域上连续。

第20篇：函数、极限和连续试题及答案

极限和连续试题（A卷）

1.选择题（正确答案可能不止一个）。（1）下列数列收敛的是（

）。 A.xnn1n(1)n

B.xn1n(1)n

C.xnnsin

2 D.xn2n （2）下列极限存在的有（

）。

A.lim1xsinx

B.xlimxsinx

C.lim11x02x

1 D.limn2n21

（3）下列极限不正确的是（

）。

A.lim(x1)2

B.lim1x1x0x11 12C.lim4x2xx2

D.xlim0e （4）下列变量在给定的变化过程中，是无穷小量的有（

）。 A.2x1(x0)

B.

sinxx(x0)

2C.ex(x)

D.

xx1(2sin1x)(x0) 1（5）如果函数f(x)xsinx,x0;a,x0;在x0处连续，则a、b的值为（xsin1xb,x0.A.a0,b0

B.a1,b1 C.a1,b0

D.a0,b1 2.求下列极限：

（1）lim(x322x13x1)；

（2）xlim2(3x2x5)；

（3）lim1x(1x3)；

（4）limx30x2x2x；

x28x2（5）limx3x3；

（6）lim16x4x4；

（7）limx21x2x12x2x1；

（8）lim；

x2x2。

）（9）limx0cosx1x1；

（10）lim；

xxxx33x1x43x1（11）lim；

（12）lim；

x3x3xx5x4x3x33x19x33x1（13）lim；

（14）lim； 42xxxxx1x3.

（15）limx03xsin2x，x023.设f(x)2x1，0x1，求limf(x)，limf(x)，limf(x)，limf(x)。

1x0x3x1x3(x1)3，x124.证明：xsinx~x(x0)。

5.求下列函数的连续区间：

2x1,x1;（1）yln(3x)9x；

（2）y2

x1,x1.26.证明limx2x2不存在.x21xsin,x0;x7.设f(x)求f(x)在x0时的左极限，并说明它在x0时10x.sin,x右极限是否存在？

8.证明lim(n1n121n221nn2)存在并求极限值。

x21axb)0，求a、b的值。 9.若lim(xx1

答案

1.（1）B；（2）BD；

（3）C；

（4） ACD ； （5）B.2.（1）-1； （2）3； （3）

21； （4）； （5）； （6）8；

36 （7）21111；

（8）； （9）； （10）0； （11）； （12）； 323522（13）0； （14）； （15）

1.9x123.limf(x)3, limf(x)不存在, limf(x)x1x03, limf(x)11.2x35.（1）[3,3)；

（2）(,1)(1,).7.f(x)在x0时的左极限为0，在x0时右极限不存在。 8.极限值为1.9.a1,b1.

《证明函数连续.doc》

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